圆--与扇形弧长和面积相关 高频考点归纳专项练2026年数学中考一轮复习备考

圆-一与扇形弧长和面积相关 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心的圆过点D. (1)求证：BC与⊙A相切； (2若AB=10,sinB=2 1 求阴影部分的面积. 2.如图，⊙O为△ABC外接圆，BC为⊙O的直径，BC=12,AD是⊙O的切线， AD‖BC,∠ACD=90. D (I)求证：四边形ABCD为平行四边形： (2)求阴影部分的面积.（结果不取近似值，请保留精确值） 3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,与AC所 在直线交于点E,连接BE, B D 图1 图2 (1)如图1，点E在边AC上，当∠ABC=70时，求∠EBC的度数： (2)如图2，点E在边CA延长线上，若AC=2AE,BC=6,求AD的长. 4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，∠BAC=45°，过点C作CE|BD 交AB的延长线于点E. 试卷第1页，共3页 D (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若BD=4,AB=2,求线段BE,CE和BC围成的阴影部分面积 5.如图，半圆O的直径AB=12,C是半圆上一点，OD⊥AC于点D,OD=3. (I)求AC的长： (2)求图中阴影部分的面积（结果保留π）· 6.在△OAB中，∠A=40°，∠B=55°，AB与⊙O相切于点C,OA与⊙O相交于点 D,E为⊙O上一点，连接CE,DE G B C (图1) (图2) (1)如图1，求∠CED的大小： (2)如图2，EC与OA相交于点F,延长AO与⊙O相交于点G,若EC‖OB,且DE=4,求 EG的长（结果保留π）. 7.如图，BD是△ABC的外接圆⊙O的直径，线段BE与⊙O相切于点B,连接CE,交 BD,AB于点F,G,∠EBG=∠BFE. 试卷第2页，共3页 D B B 图1 图2 (1)求证：CG⊥AB: (2)求证：AC·BC=BD·CG; (3)如图2，若AC=6,AG=3BG,∠ABC=60°，求阴影部分的面积. 8.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点 D,∠ACD=∠B,E是BC的中点. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若BE=23,OE=2,求阴影部分的面积. 9.已知：如图，AB为⊙O的直径，点C,D为⊙O上不同于A,B的两点，连接BC,BD 并延长，与过点A的直线分别交于E,F两点，连接OD,∠AFB=∠DOB 2 A D 图1 图2 (I)如图1，求证：直线EF为⊙O的切线： (2)如图2，连接CD,当CD‖EF,且BE=2AE=183时，求BD的长。 10.如图，△ABC内接于⊙O,连接OC,OC平分∠ACB,点D在弧BC上，过点B作 BE⊥CD,交CD的延长线于点E,∠ACB=2∠BCD 试卷第3页，共3页 A B E (1)求证：BE是⊙O的切线： (2)若AC‖BE,DE=1,求阴影部分的面积. 11.如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB‖CD,BO=6, C0=8. (I)求证：OB⊥OC: (2)求图中阴影部分的面积」 12.如图，在△ABC中，AB=AC=8,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点 D、E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F. B (I)求证：直线DF是⊙O的切线； (2)若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积. 13.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D.过点D作 DE⊥AC,垂足为点E,延长CA交⊙O于点F. F E D (1)求证：DE是⊙O的切线： 试卷第4页，共3页 (2)若AF=6,∠BAC=120°，求图中阴影部分的面积. 14.如图，AB为⊙O的直径，OA=3,点C是⊙O上且位于AB上方一点，∠BOC=60°， 点D是⊙O上一动点，且不与A、B、C重合，过点D作AC的平行线L. B (1)求AC的长度： (2)当点D在AB上方且直线l与⊙O相切时，求AD的长：（结果保留π） (3)当BD=CD时，求扇形AOD的面积；（结果保留π） (4)当直线1与⊙O相交时，设另一个交点为E,连接CE、BE,当BE=4时，直接写出线段 CE的长. 15.己知半圆O的直径AB=6,MN为半圆O的弦长，且MN‖AB,点C在射线BA上， 以BC为直径作半圆D. D M (CO D B A B A 0 B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点C与点O重合时，连接BM交半圆D于点P,连接OP ∠OPB的度数为 ；比较大小：BP PM(填“”“”或“”)； (2)如图2，若MN与半圆D相切于点G,当MN=4时，求半圆D的半径长； (3)射线BM交半圆D于点Q,若MN=33,当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直 接写出劣弧CQ的长 试卷第5页，共3页 《圆-与扇形弧长和面积相关高频考点归纳专项练2026年数学中考一轮复习备考》参考 答案 1.(①)见解析 (2)253-25π 3 【分析】(1)推导出AD⊥BC,AD是⊙A的半径，则BC与⊙A相切，即可解答； 2)先求出AD=AB=5,LB=300,得到BD=AB:c530=10x3=53.线 而推导出BC=2BD=103,∠BAC=180°-∠C-∠B=120°，再根据 S影=5。口ac5%影=253-257，即可解答 【详解】(1)证明：AB=AC,点D是BC的中点 ·AD⊥BC ⊙A以点A为圆心，且过点D ∴.AD是⊙A的半径 .BC与⊙A相切： (2)解：在Rt△ABD中，AB=10,sinB= +sin B=AD-1 AB 2 :AD=1AB=5,∠B=300, BD=AB:c0530°=10×3=5R3, 点D是BC的中点 BC=2 BD=103, AB=AC ∠C=∠B=30°， ∠BAC=180°-∠C-∠B=120°， 5=号8cAD=分×103×5=2593 ·S形=120n×52=25n 360 3 答案第1页，共2页 4S阴影=Sa口Ac-S扇形=253-25n 3 答：阴影部分的面积为253-25n 3 2.(1)见详解 (2)54-9π 【分析】(1)首先证明AB‖|CD,结合AD‖BC,即可证明结论： (2)用梯形OCDA的面积减去扇形AOC的面积即得阴影部分的面积. 【详解】(1)证明：，BC为⊙O的直径， ∴.∠BAC=90, .∠ACD=90°， ∴.∠ACD=∠BAC, .AB‖CD, 又，AD‖BC, .四边形ABCD为平行四边形： (2)连接OA,如下图， ,AD是⊙O的切线， .OA⊥AD,即∠OAD=90°， .AD BC, .∠AOC=180°-∠OAD=90°， :四边形ABCD为平行四边形，且BC为⊙O的直径，BC=12, .AD=BC=12.OC=OA-BC-6, .阴影部分的面积S=S梯形OADC-S扇形OAC 6号0C+AD×OA-90×2x0A 360 6}x6+12x6-90Xnx6 360 答案第2页，共2页 i54-9π. 3.(1)∠EBC=20° e 3 m 【分析】(1)由等边对等角得出∠C=∠ABC=70°，由直径所对的圆周角等于90度得 出∠AEB=90°，则∠BEC=90°，由直角三角形中的两个锐角互余即可得出答案 (2)连接OD,AD,由直径所对的圆周角等于90度得出∠AEB=∠ADB=90°，由三 线合一的性质得出BD=CD=号BC=号×6=3，再根据正弦的定义得出∠EBA=30°，由 外角的定义得出∠ABC=∠C=30°，由余弦的定义得出AB=2V3,再求出半径，由圆 周角定理得出∠AOD=2∠ABC=60°，最后根据弧长公式求解即可. 【详解】(1)解：：AB=AC, ∴.∠C=∠ABC=70°， AB是⊙O的直径， .∠AEB=90°， ∴.∠BEC=90°， 在Rt△BEC中，∠BEC=90°， .∠EBC+∠C=90°， ∴.∠EBC=90°-70°=20°， ∴.∠EBC=20°， (2)解：连接OD,AD, .AB=AC,AC=2 AE, ∴.∠ABC=∠C,AB=2AE, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=∠ADB=90°， .AD⊥BC, 答案第3页，共2页 BD-CD-BC=1x6=3. 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， sin∠EBA=AE=1 AB 2 .∠EBA=30°， ∴.∠EAB=60°， ,∠EAB是△ABC的外角， ∴.∠EAB=∠ABC+∠C, ∴.∠EAB=2∠C, ∴.∠ABC=∠C=30°， 在Rt△ABD中，∠ADB=90°， COS∠ABD= BD AB .c0s30°= BD AB :33 ·2AB ∴.AB=23, ∴.r=OB=V3 .AD=AD, ∴.∠AOD=2∠ABC=60°， ·AD的长元60π3_3】 π. 1803 4.(1)见解析 (2)12+23-3n 3 【分析】(1)连接OC,利用平行线的性质证得OC⊥CE,即可得到CE是⊙O的切线： (2)连接AD,作BF⊥CE于点F,证得四边形OBFC是正方形，得到CF=BF=2,解 3,再 直角三角形求得∠E=∠ABD=60°，在Rt△BEF中，解直角三角形求得EF=2 根据阴影部分面积(SABCE+S△BC0-S扇形Co,列式计算即可求解. 【详解】(1)证明：连接OC, 答案第4页，共2页 ∠BAC=45, ∴.∠BOC=2∠BAC=90, .OC⊥BD .CE BD, ∴.OC⊥CE,又OC是⊙O的半径， ∴.CE是⊙O的切线： (2)解：连接AD,作BF⊥CE于点F, O BF⊥CE,OC⊥CE, ..OC BF, .CEBD, ∴.四边形OBFC是平行四边形， BF⊥CE ∴.四边形OBFC是矩形， 0B=0C=8D=2, .四边形OBFC是正方形， ∴.CF=BF=2, BD是⊙O的直径， .∠BAD=90, BD=4,AB=2, ·COs∠ABD=AB1 BD2 ∴.∠ABD=60°， CE‖BD, ∴.∠E=∠ABD=60°， 答案第5页，共2页 在Rt△BEF中，BF=2, ∴EF=BF=23 1 tan60°3 ×2=6+23 2 3 3 .∠BOC=90°，OB=OC=2, ∴.SABc0= 2 x0C×0B)×2×2=2,S猫形c090Tx22 =π， 360 二阴影部分面积(S△BCE+SAB0-S扇形B 6+23+2-m=12+23-3n 3 3 5.(I)AC=63 (2)S阴影=12π-9V3 【分析】(1)根据垂径定理得到AD=DC,根据三角形中位线定理得到BC=2OD=6, 由AB是直径推出∠ACB=90°，再利用勾股定理即可求解： (2)连接OC,根据S阴影=S扇形OAc-S△AOc即可求解。 【详解】(1)解：.OD⊥AC, ∴.AD=DC, .'AO=OB, ∴.OD是△ABC的中位线， ∴.BC=2OD=6. ,AB是直径， .∠ACB=90°， .AC=VAB2-BC2=122-62=63. (2)解：如图，连接OC, .OC=OB=BC=6 ∴△BOC是等边三角形， .∠BOC=60°， 答案第6页，共2页 ∴.∠A0C=120°， S=S50c-56x=120x6-号x63×3=12-95. 3602 6.(1)∠CED=25° e臀 【分析】(1)连接OC,根据题意得出∠ACO=90°，进而得出∠AOC=50°，再根据 圆周角定理求出结论： (2)连接OC,OE,先求出∠EOD=60°，证明△EOD是等边三角形，得出OE=4,根 据弧长公式计算即可. 【详解】(1)解：连接OC, E .AB⊙O C B (图1) 与 相切于点C, .OC⊥AB, ∴.∠AC0=90°， ,∠A=40°， ∴.∠AOC=90°-40°=50， '.CD=CD .∠CED=∠A0C=25: (2)解：连接OC,OE, B C (图2) 由(1)知OC⊥AB, .∠A=40°，∠B=55°， 答案第7页，共2页 .∴.∠B0C=90°-55°=35°，∠A0C=90°-40°=50°， .ECOB, ∴.∠OCE=∠BOC=35°， OC=OE, ∴.∠OCE=∠OEC=35°， ∴.∠E0C=180°-35°-35°=110°， .∠EOD=∠EOC-∠AOC=110°-50°=60°， .OE=OD, ∴.△EOD是等边三角形， .DE=OE=4, .∴.∠E0G=180°-∠EOD=120°， ·EG的长120π×4_8m 180 3 7.(1)证明见解析 (2)证明见解析 @31 【分析】(1)先根据切线的性质得∠DBE=90°，进而得出∠E+∠BFE=90°，再结合 己知条件可得∠E+∠EBG=90°，则此题可解： (2)先根据直径所对的圆周角得∠BCD=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得 BC CD BD ∠BDC=∠BAC,接下来说明△BCD一△CGA,进而得出 CG AGAC 然后化成 乘积式可得答案： (3)先根据直角三角形的性质得BC=2BG,再根据勾股定理求出BG=1,然后说明 ∠CAG=∠ACG=45°，接下来根据同弧所对的圆周角相等∠BDC=45°，再根据圆周 角定理得∠BOC=90°，即可根据勾股定理求出BO=V2,最后根据 S阴影=S扇形BoC-SABOC得出答案 【详解】(1)证明：BE是⊙O的切线， ∴.BD⊥BE,即∠DBE=90, ∴.∠E+∠BFE=90°. ,'∠EBG=∠BFE, 答案第8页，共2页 ∴.∠E+∠EBG=90°， ∴.∠EGB=90°， 即CG⊥AB: (2)证明：连接CD, .BD是⊙O的直径， ∴.∠BCD=90° .∠BDC=∠BAC,∠BCD=∠AGC=90°， ∴.△BCD-△CGA, 8-8肥 .AC·BC=BD·CG; (3)解：连接CO, 在Rt△BCG中，∠ABC=60°， ∴.∠BCG=30°， ∴.BC=2BG, 根据勾股定理，得CG=VBC2-BG=3BG. 在Rt△ACG中，AG+CG=AC2, .(3BG2+(3BG}2=(62, 解得BG=1(负值舍去)， 答案第9页，共2页 ∴.AG=CG=V3,BC=2, ∴.∠CAG=∠ACG=45°， ∴.∠BDC=∠BAC=45°， .∠BOC=2∠BDC=90°. 在Rt△BOC中，BO2+CO=BC2, 即2B02=4, 解得BO=2(负值舍去)， ∴S阴影=S扇形B0C-S△B0C 90mx2-1×2×2=6号-1. 360 2 【点晴】求不规则图形的面积的常用方法是转化为求规则图形的面积差，如题目中，弓形 的面积等于扇形面积减去三角形的面积即可. 8.()见解析 2)63- 3 【分析】(1)连接OC,由OB=OC得∠OCB=∠B;结合直径所对圆周角为90°，及 ∠ACD=∠B,推得∠OCD=90°，由切线判定定理证得CD是⊙O的切线： (2)由垂径定理得OE⊥BC,勾股定理求得半径OB=4,判定△AOC为等边三角形： 再计算△ACD、△OAC与扇形AOC的面积，用割补法即可求解阴影面积. 【详解】(1)证明：连接OC,如图. B.'OB=OC ∴.∠OCB=∠B. ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°， ∴.∠ACO+∠B=90°. .·∠ACD=∠B, ∴.∠AC0+∠ACD=90°，即∠DCO=90°. .点C在⊙O上， 答案第10页，共2页 .CD是⊙O的切线： (2)解：过O作OH⊥AC于H,如图， B.E BC OB=OC 是 的中点， ∴.OE⊥BC, .BE=23,OE=2 OB=VBE+0E=4,tan B=OE=3 BE 3 ∴.OA=OC=4,∠B=30°， ∴.∠AOC=60°. 又.OA=OC, ∴.△AOC是等边三角形， ∴.∠AC0=60°，AC=4, ∴.∠ACD=90°-60°=30°， .AD=2,CD=AC·c0s30°=23 5ao=克AD-GD x2x293 (23, 60 S扇形AOC 360 42-8 :△AOC是等边三角形，且OH⊥AC, ∴.H是AC的中点， ·AH=HC=号AC=2, 2 在Rt△AOH中，OH=OA2-AH=23, ÷5%0c-2×ACx0H=483, 答案第11页，共2页 六S明影=SAACD+S60Ac-S猫形A0c=63-8, 3 【点晴】本题核心是切线判定与割补法求阴影面积，关键是“连半径、证垂直”证明切线， 再结合垂径定理、等边三角形性质，将阴影面积转化为三角形与扇形的面积差计算。 9.(1)见解析： (2)9π. 【分析】(1)连接AD,由圆周角定理得∠DAB=号∠DOB,从而可得 ∠DAB=∠AFB,又AB为⊙O的直径，则∠ADB=90°，从而得出∠FAB=90°，所以 AB⊥EF,然后通过切线的判定方法即可求证： (2)设CD与AB交于点M,证明△DMB≌△CMB SAS,所以∠ABC=∠ABD, BC=BD,然后由Sn∠ABC=能=克则∠ABC=30再延明△BCD是等边三角影. 所以∠BCD=60°，得∠DOB=2∠BCD=120°，在Rt△EAB中，∠EBA=30°， BE=2AE=183,由勾股定理得AB=BE2-AE=1832-(93=27,然后通 过弧长公式即可求解. 【详解】(1)证明：连接AD, B ,∠DAB与∠DOB都对着弧BD, :∠DAB=∠DOB, ∠AFB=)∠DOB ∴.∠DAB=∠AFB, ,AB为⊙O的直径， 答案第12页，共2页 ∴.∠ADB=90°， ∴.∠DAB+∠ABD=90, ∴.∠AFB+∠ABD=90°， .∠FAB=90°， AB⊥EF, AB为⊙O的直径， ∴.EF为⊙O的切线： (2)解：设CD与AB交于点M, E B M CD‖EF, .∠FAB=∠DMB, 由(1)知∠FAB=90°， .∠DMB=90°， .AB⊥CD, .∠CMB=∠DMB=90°， AB为⊙O的直径， ∴.CM=DM, .BM=BM, .△DMB≌△CMB SAS, ∴.∠ABC=∠ABD,BC=BD, ,EF为⊙O的切线， ∴.∠EAB=90, 由BE=2AE=183,得sin∠ABC=AS=1 BE-21 .∠ABC=30°， 答案第13页，共2页 ∴.∠ABC=∠ABD=30°， .∠CBD=60, .BC=BD, .△BCD是等边三角形， .∠BCD=60°， ∴.∠DOB=2∠BCD=120°， 在Rt△EAB中，∠EBA=30°，BE=2AE=18V3, .AB=BE2-AE=1832-93=27, .OB=13.5 4BD=120mx13.5-9元. 180 10.(1)见详解 【分析】(1)连接OB,则OB=OC,由OC平分∠ACB,∠ACB=2∠BCD,得 ∠OCA=∠OCB=∠BCD,等量代换得∠OBC+∠CBE=90°即可； (2)连接BD,OD交BC于点F,则OC=OD,证△OCD是等边三角形，设 OC=OD=CD=r,CE=r+1,得CE=BC·c0s30=3解得r=2,由勾股定理得 BD=VBE2+DE=2,证四边形OBDC是菱形，得SACDF=S△BoF,用割补法求面积即可. 【详解】(1)证明：连接OB,则OB=OC, 0。 ∴.∠OCB=∠OBC, .OC平分∠ACB,∠ACB=2∠BCD, ∴.∠OCA=∠OCB=∠BCD, 答案第14页，共2页 BE⊥CD, ∴.∠BCD+∠CBE=90°， ∴.∠OBC+∠CBE=90, OB⊥BE,OB为⊙O的半径， ∴.BE是⊙O的切线： (2)解：连接BD,OD交BC于点F,则OC=OD, y D B E :ACBE,BE⊥CD,DE=1, ∴.∠ACE=90, 由(1)得∠OCA=∠OCB=∠BCD, ∴.∠OCA=∠OCB=∠BCD=30°， .∠B0C=180°-30°-30°=120°，∠OCD=30°+30°=60°， 又.OC=OD, ∴.△OCD是等边三角形， ∴.OC=OD=CD, 设OC=OD=CD=r,CE=r+1, BC=2-OCc0s30 BE=BGsin 30=CE=BCC0s30 2 2 .3r=r+1,解得r=2, ..OC=OD=CD=2,CE=3,BE=3, ∴.BD=BE2+DE2=2, ∴.OC=OB=OD=CD=BD=2, ∴.四边形OBDC是菱形，∠BOD=60°， .SACDF=SABOF' SaOmD-60 IXOB--XTX44E头D 6 3 答案第15页，共2页 11.(1)见解析 144 2)25 【分析】(1)由切线长定理易得∠EBO=∠FBO,∠OCF=∠OCG,则可得 ∠OBF+∠FCO=∠ABC+LBCD=90°，即可得证： (2)先由勾股定理求出BC,再根据三角形的面积公式得到OF=24, 然后根据扇形的面 积公式计算即可得到结论 【详解】(1)证明：如图，连接OE,OF,OG, D G AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点， ∴.OE=OF=OG,LOEB=∠OFB=∠OGC=90°， ∴.∠EBO=∠FBO,∠OCF=∠OCG, ,AB‖CD, .∠ABC+∠BCD=180°， :.∠OBF+∠FCO=LABC+∠BCD=90°， 2 ∴.∠BOC=90°，即OB⊥OC: (2)解：∠BOC=90°，OF⊥BC,BO=6,CO=8, .BC=V0B2+0C2=V62+82=10, Sxow-BCOF-OB-OC, :0F=6x8=24 10 5’ 2 ∴S阴影 90 24 144 π. 360 25 12.(1)见详解 答案第16页，共2页 o-43改15-43 【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质，同位角相等两直线平行：即可解答： (2)连接OE,作OH⊥AE于点H,分∠AOE=60°或∠AOE=120°两种情况：分别 计算扇形AOE的面积和三角形AOE的面积，再计算面积差即可解答； 【详解】(1)解：连接OD, EXF B D .AB=AC, ∴.∠B=∠C .'OB=OD ∴.∠B=∠ODB, ∴.∠C=∠ODB, .OD‖AC, DF⊥AC, OD⊥DF, ∴.直线DF是⊙O的切线： (2)解：连接OE,作OH⊥AE于点H, D :点E是半圆ADB的一个三等分点， ∴.∠AOE=60°或∠AOE=120°， 当∠AOE=60°时， .OA=OE ∴.∠OEA=60, ..AE=OA=4, 答案第17页，共2页 -5aaAc0H=号AE-0Esn60=×4×4 =43, 2 ÷Se=5e0e-S8A0E-60m:4-495=8L-433. 360° 3 当∠AOE=120时，则∠OEA=30°， ∴.OH=2, ∴HE=0E·cos30°=23，AE=43, 5c-号A证0H=×43×2=493 S0影=S附e0e-5A0e=120X4-43=16n-43. 360 3 综上所述，影部分的面积是”一43或6”一4鬼 3 13.(1)见解析 a2793-6m 【分析】(1)连接OD,由OD=OB根据“等边对等角”得∠OBD=∠ODB,已知 ∠B=∠C,即可得∠ODB=∠C,根据“同位角相等，两直线平行”得OD‖AC,根据 DE⊥AC,可得OD⊥DE即可证明结论： (2)过点O作OG⊥AF,垂足为点G,根据垂径定理，则得AG=GF=号AF=3,再根 据等边对等角以及三角形的外角的性质可得∠OAG=60°，解直角三角形可得OG=3V3, OA=6,进而得到SA0c三)3；再证明四边形ODEG是矩形，以及S矩形oDc=183 易得∠AOD=2∠B=60°，则S扇形oAD=6L,最后根据 S阴影=S矩形oDEG-S△AOG-S扇形OAD求解即可. 【详解】(1)证明：如图1，以AB为直径的⊙O交BC于点D,连接OD, 图1 答案第18页，共2页 则OD=OB, ∴.∠OBD=∠ODB, .AB=AC, ∴.∠B=∠C, .∠ODB=∠C, ∴.OD‖AC, ,DE⊥AC, .OD⊥DE .OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线： (2)解：如图2，AF=6,∠C=30°，过点O作OG⊥AF,垂足为点G, FG ◇八A .AG=GF=AF=3 D 图2 .AB=AC, .∠B=∠C=30, ∴.∠OAG=∠B+∠C=60, OG=AG.tan 60=393,OA=-AG c0s60。=6=0D 5o×3×33=ga ,DE⊥AC,OG⊥AF,OD⊥DE ∴.∠GED=90°，∠ODE=90°，∠OGE=90°， ∴.四边形ODEG是矩形， ∴.S矩形o0Ec=6×33=183, .∠AOD=2∠B=60°， ∴.S扇形口OAD 60元6=6， 360 ·S阴影=S0E口g0EG-SaA06-S层形口D=183-93-6n= 73-6π. 答案第19页，共2页 14.(1)AC=33 (2)π 5野 (4)23-V5或23+5 【分析】(1)根据AB为⊙O的直径得出∠ACB=90°，根据圆周角定理得出 ∠BAC=30°，利用∠BAC的三角函数即可得答案； (2)根据切线的性质得出OD⊥1，根据垂径定理得出∠AOD=∠COD=60°，利用弧 长公式求解即可： (3)根据BD=CD可得直线I是BC的垂直平分线，分点D在AB上方和下方两种情况，利 用平行线的性质及扇形面积公式分别求解即可； (4)分点D在AB上方和下方两种情况，连接AE、BC,作过点B作CE的垂线，利用勾股 定理求出AE=25,根据含30°角的直角三角形的性质得出BC=3,利用∠ABE的三角 函数分别求解即可； 【详解】(1)解：如图，连接BC, B ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ,∠BOC=60°， ∠nMC=∠B0C=30, OA=3, 六AC=AB-c0s30°=20A:c0s30=6×3=35. (2)解：如图，连接OD, 答案第20页，共2页 D B .∠BOC=60°， ∴.∠A0C=120, ,点D在AB上方且直线l与⊙O相切， .OD⊥， .l‖AC, .OD⊥AC, ∴.∠AOD=∠COD=60°， “AD=60°×πx3 180° (3)解：如图，连接BC, B BD=CD,OC=OB, ∴.OD是BC的垂直平分线，即直线l是BC的垂直平分线， ①当点D在AB上方时， :l‖AC,∠BAC=30, ∴.∠BOD,=∠BAC=30°， ∴.∠A0D1=150°， 六S肩形AOD 150×元×32_15π 360 4 ②当点D在AB下方时， ,1‖AC,∠BAC=30°， ∴.∠AOD=∠BAC=30°， 答案第21页，共2页 小S扇形AOD 30×m×3=31 360 4 15π3π 综上所述：扇形AOD的面积为4或4 (4)解：如图，当点D在AB上方时，连接AE、BC,过点B作BH⊥EC,交EC延长线 于H, B AB为⊙O的直径，BE=4, .∠AEB=90°，AE=AB2-BE2=62-42=2V5, ,∠BEC和∠BAC都是BC所对的圆周角， ∴.∠BEC=∠BAC=30°， ∴BC=号AB=3,EH=BE-co∠BEH=4×3=23, ,∠ACB=90°，BH⊥EC, ∴.∠ABC=∠EBH=60°， ∴.∠ABC-∠EBC=∠EBH-∠EBC,即∠ABE=∠CBH, ∴.sin∠CBH=sin∠ABE, 指2g5- 63’ CH=5, ∴.CE=EH-CH=23-V5: 如图，当点D在AB下方时，连接AE、BC,过点B作BF⊥EC于F, 答案第22页，共2页 B D E 同理可得，BC=AB=3,AE=25.∠ABE=∠CBE,EF=23. ∴.sin∠CBF=sin∠ABE, 怨品即2g号 63 解得：C℉=V5, ∴.CE=CF+EF=23+V5: 综上所述：CE的长为2V3-V5或23+V5. 15.(1)90:t (2)半圆D的半径长为V5 (⊙)劣弧CQ的长为或 【分析】(1)根据题意及圆周角定理：直径所对应的圆周角是直角，再根据垂径定理即可 得答案： (2)首先，连接ON,DG,过点O作OH⊥MN于点H,由MN与半圆D相切于点G, 得DG⊥MN,再根据OHLMN,MN=4,得HN=MH=号MN=2,再由AB=6,得 2 ON=号AB=3,进面得OH=ON心-HN2=G,最后，整理可得结论： (3)根据题意分两种情况：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2；当半圆D 的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，进行“分类讨论”，添加辅助线，过点O作 OH上MN于点H,连接OM,DQ,然后，根据OM=号AB=3,HM=号MN=33 2 得到OH=OM-HM=多，进而得到∠OMN=30,再证得 答案第23页，共2页 ∠CDQ=2∠MBA=30°，最后，代入弧长公式计算即可；另一种情况与此类似可得答案. 【详解】(1)解：，点C与点O重合，OB是半圆D的直径， ∴.∠OPB的度数为90°： .OP⊥BM, BM是半圆O的弦长，点O是圆心，OP⊥BM, ∴.BP=PM; (2)解：如图1，连接ON,DG, MN与半圆D相切于点G, .DG⊥MN. M 图1 过点O作OH⊥MN于点H, .MN=4, N=MI=号MN=2, ,⊙O的直径为AB=6, :0N=3AB=3, .oH=0N2-HN2=5. .MN‖AB,OH⊥MN,DG⊥MN, ∴DG=OH=5, .半圆D的半径长为5： (3)解：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2，过点O作OH⊥MN于点 H,连接OM,DQ O(C D B 图2 答案第24页，共2页 AB=6, 0M-=号AB=3. :0D=OM=3 Γ21 :OH⊥MN,MN=33, .HM-I MN-3V3 2 3 在Rt△OHM中，OH=OM2-HM= ..OH=OM, ∴.∠OMN=30°. .MN‖AB, ∴.∠MOA=∠OMN=30°， ÷<MBA=号<MOA=159 .∠CDQ=2∠MBA=30°， 30π .3 “劣弧CQ的长为 2_T: 180 =4 当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，过点O作OH⊥MN于点H,连接 OM,DQ. M D(A)O 图3 AB=6, :.OM-jAB-3,CD-AB-6. .OH L MN,MN=33, HM=号MN=33 2 答案第25页，共2页 在Rt△OHM中，OH=OM2-HM=3 ..OH=-OM, 2 ∴.∠OMN=30°. ,MN‖AB, ∴.∠MOA=∠OMN=30°， ·∠MBA=号∠MOA=15°， 2 .∠CDQ=2∠MBA=30°， ∴劣弧CQ的长 30元：6=元. 180 劣弧CQ的长为元， 综上，劣弧CQ的长为4或元 【点睛】熟练运用圆的性质，垂径定理，勾股定理，求出OH=ON2-HN=V5, OH=OM,得到∠OMN=30,能进行“分类讨论”，并热记3弧长公式是解题的关键 答案第26页，共2页