2026年中考数学复习：弧长及扇形面积

2026年中考数学复习：弧长及扇形面积 一、单选题 1．如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，点是优弧上一点，且，以弦的长为直径在的下方作半圆．若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是（　　） A．8﹣4π B．8﹣π C．16﹣2π D．8﹣2π 4．下列图形中，属于棱锥的是（    ） A．   B．   C．    D．    5．已知⊙O与直线相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ） A．S1=S2 B．S1≤S2 C．S1≥S2 D．先S1<S2, 再S1=S2，最后S1>S2 6．用半径为12㎝，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为   （    ） A．3㎝ B．1.5㎝ C．6㎝ D．12㎝ 7．已知圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为 A．12π cm2 B．15π cm2 C．20π cm2 D．25π cm2 8．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知60°的圆心角所对的弧长为3cm，它所在的圆的周长是_________cm． 10．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6cm，AB=cm．则图中阴影部分的面积是_____． 11．如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是_____cm2，弧长___cm． 12．如图所示，有一个直径是2米的圆形铁皮，从中剪出一个扇形ABC，其中BC是⊙O的直径．那么被剪掉的阴影部分面积=________平方米． 13．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A在线段OB上，且，将线段OB绕着点O逆时针旋转，旋转角度为. （1）时，线段AB扫过的面积为________. （2）记点B旋转后的对应点为，当满足________时，以为圆心，AB的长为半径的圆与x轴没有交点. 14．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂与弓弦的中点，弓弦，沿方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点时，有，． （1）图2中，弓臂两端，的距离为_____． （2）如图3，将弓箭继续拉到点，使弓臂为半圆，则的长为_______．     三、解答题 15．如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作⊙O的切线交的延长线于点P． (1)相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 度； (2)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； (3)连接，则 和有什么特殊位关系？请说明理由． (4)求切线长的值． 16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）将△ABC绕着点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1，请画出△A1BC1；求点A旋转过程中所经过的路径长． （2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1． 17．“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图．王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题： (1)求点到的距离； (2)求点E运动的距离． 18．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，交OA于点F，连接EF并延长EF交AB于G，且EG⊥AB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若EF=2FG，AB= ，求图中阴影部分的面积； （3）若EG=9，BG=12，求BD的长． 19．一量角器所在圆的直径为10cm，其外缘有A、B两点，其读数分别为71°和47°. (1)劣弧AB所对圆心角是多少度？ (2)求的长； (3)问A、B之间的距离是多少？ (参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A A C C 1．B 【分析】根据弧长公式即可求得圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为n°，根据题意得： ∴n=45° 故选：B 【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式，熟记扇形的弧长公式是关键. 2．A 【分析】连接，，过O作于A，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形得到，再由勾股定理得，，分别计算出，，，再根据即可解答． 本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】连接，，过O作于A， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 3．D 【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，则阴影部分的面积＝S△ABC﹣三个扇形的面积和，即可得到答案． 【详解】∵∠C＝90°，CA＝CB＝4， ∴，， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和为， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积＝S△ABC﹣三个扇形的面积和＝8﹣2π． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，将非阴影部分转化为圆心角为180°扇形的面积是解题的关键. 4．C 【分析】本题主要考查了棱锥与圆锥的定义，三棱锥、四棱锥、五棱锥都是由平面图形组成的立体图形，而圆锥是由一个曲面和一个平面图形组成． 根据棱锥和圆锥的定义即可解答． 【详解】解：A.该选项是圆柱，不属于锥体，故不符合题意； B. 该选项是三棱柱，不属于锥体，故不符合题意； C. 该选项是六棱锥，故符合题意； D. 该选项是圆锥，不是棱锥，故不符合题意． 故选C． 5．A 【详解】试题分析：因为直线l与圆O相切，所以OA⊥AP， 即 考点：1．切线的性质；2．扇形面积的计算． 6．A 【详解】试题分析：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得 2πr=， 解得r=3cm． 故选A． 考点：圆锥的计算. 7．C 【详解】试题解析：母线长为5cm，高线长为3cm，则勾股定理得，底面圆的半径为4cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8×5=20πcm2． 故选C． 考点：圆锥的计算． 8．C 【详解】试题分析：根据弦长和半径可得弧AB所对的圆心角为60°，则． 考点：弧长的计算公式． 9．18 【分析】先确定圆的周长可以分成多少个60°的圆心角所对的弧长，然后再乘以3即可求得． 【详解】． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了圆心角与弧长的关系，熟练掌握其关系是解题的关键． 10．． 【详解】试题分析：线段AB与⊙O相切于点C，则可以连接OC，得到OC⊥AB，则OC是等腰三角形OAB底边上的高线，根据三线合一定理，得到AC=3，在直角△OAC中根据勾股定理得到半径OC的长；图中阴影部分的面积等于△OAB的面积与扇形OCD的面积的差的一半． 试题解析：连接OC，则OC⊥AB． ∵OA=OB， ∴AC=BC=AB=×6=3 在Rt△AOC中，OC= ∴⊙O的半径为3； ∵OC=OB， ∴∠B=30°，∠COD=60° ∴扇形OCD的面积为S扇形OCD= ∴阴影部分的面积为S阴影=SRt△OBC-S扇形OCD=OC•CB-= 考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理；3．切线的性质． 11． 2π 3π 【详解】试题分析：因为扇形的圆心角为120°，半径为3cm，可直接根据扇形的弧长计算公式L=，和扇形的面积公式S=，代入求出即可． 试题解析：∵扇形的圆心角为120°，半径为3cm， ∴扇形的弧长计算公式L= ∴扇形的面积公式S= 考点：1.扇形面积的计算；2.弧长的计算． 12． 【详解】 13． ； . 【分析】（1）线段AB扫过的面积=S扇形－S扇形，据此代入相关数据求解即可； （2）分别求出⊙与x轴两次相切时的的度数，即可求出符合题意的的范围. 【详解】解：（1）∵，∴， 当时，线段AB扫过的面积=S扇形－S扇形= =； （2）如图，当⊙与x轴相切时，设切点为C，则轴， ∵，，∴，即； 同理当点在第三象限时，可求得， 故当时，以为圆心，AB的长为半径的圆与x轴没有交点. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、直线与圆相切的性质和等腰直角三角形的性质，正确理解题意，熟练掌握扇形面积公式和切线的性质是解题的关键. 14． 【分析】（1）如图2，连接B1C1交AD1于H，在Rt△B1HD1中，解直角三角形求出B1H，利用垂径定理即可得到B1C1； （2）如图3，连接B1C1交AD1于H，连接B2C2交AD2于T，利用弧长相等可列式求出B2T，即AT的长，然后根据勾股定理求出D2T，利用含30度直角三角形的性质求出AH，根据线段和差即可解决问题． 【详解】解：（1）如图2，连接B1C1交AD1于H． ∵AD1＝D1B1＝40cm， ∴D1是所在圆的圆心， 在Rt△B1HD1中，B1H＝40•sin60°＝cm， ∴B1C1＝2B1H＝cm； （2）如图3中，连接B1C1交AD1于H，连接B2C2交AD2于T． 由题意得：， 解得：， ∴AT＝B2T＝cm， 在Rt△B2TD2中，D2T＝cm， ∵HD1＝D1B1＝20 cm， ∴AH＝HD1＝20 cm， ∴HT＝−20＝cm， ∴D1D2＝HD2−HD1＝D2T + HT −HD1＝cm， 故答案为；. 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．(1)30 (2)劣弧的长度更长 (3)垂直，理由见详解 (4) 【分析】（1）由题意可知圆周12等分后得到表盘模型，故相邻两个整钟点间所夹的圆心角为周角的，由“周角×”计算即可； （2）连接、，求得劣弧的长度，并与直径比较即可； （3）根据题意可得，为直径，则，即可求解； （4）由题意可得、，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，圆周12等分后得到表盘模型， 所以相邻两个整钟点间所夹的圆心角为． 故答案为：30； （2）解：如图，连接，，， 由（1）得：劣弧所对应的圆心角， ∴劣弧的长， ∵， ∴劣弧的长度更长； （3）解：垂直，理由如下： 连接，， ∵， ∴是⊙O的直径， ∴，即， ∴和相互垂直； （4）解：如图，∵是⊙O的切线，∴， 由（1）知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ． 【点睛】此题考查了切线的性质、弧长公式、圆周角定理以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 16．（1）图略，．（2）图略 【详解】试题分析：（1）按照要求确定出点A、B、C绕着点B逆时针旋转90°后的对应点A1、B、C1，然后顺次连结A1B，C1A1，BC1，可得△A1BC1，点A旋转过程中所经过的路径是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的弧，根据弧长公式计算即可；（2）使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1，将△ABC的各边扩大2倍，进而得出答案． 试题解析：（1）确定出点A、B、C绕着点B逆时针旋转90°后的对应点A1、B、C1，然后顺次连结A1B，C1A1，BC1，可得△A1BC1，（图略）；点A旋转过程中所经过的路径是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的弧，因为AB=，所以路径长=；（2）将△ABC的各边扩大2倍，可画出△A2B2C2，（图略）． 考点：1．图形的旋转；2．弧长的计算；3．图形的相似． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，弧长的计算： （1）通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，再根据弧长的计算方法求出弧的长即可． 【详解】（1）解：如图2，过点作于H，连接，， 由题意可知，，，， 在中，，， ， 点到的距离为， 答：点到的距离为； （2）解：在中，，， ， 弧的长为， 答：点E运动的距离为． 18．（1）详见解析；（2）；（3） ． 【分析】（1）连接OE，由OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）过O点作OH⊥EG于H，则EH＝FH，由EF＝2FG，得到EHEG，又OH∥BG，根据平行线分线段成比例定理得到EH：EG＝EO：EB，BO＝2OE，则OB＝2OC，得到∠B＝30°，而BCAB＝6，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OCBC＝6，然后根据三角形和扇形的面积公式利用S阴影部分＝S△OAB﹣S扇形OFD计算即可； （3）利用勾股定理得到BE的长，设⊙O的半径为r，易证Rt△BOC∽Rt△BEG，由相似三角形的性质得到BCr，BOr，则15﹣rr，求出r，利用BD＝BE﹣ED计算即可． 【详解】（1）连接OC，如图，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴直线AB是⊙O的切线； （2）过O点作OH⊥EG于H，如图，∵OE＝OF，∴EH＝FH． ∵EF＝2FG，∴EHEG，而EG⊥AB，∴OH∥BG，∴EH：EG＝EO：EB，∴BO＝2OE，∴OB＝2OC，∴∠B＝30°，∠COB＝60°． 而BCAB＝6，∴OCBC＝6，∴S阴影部分＝S△OAB﹣S扇形OFD•12•6＝3612π； （3）在Rt△BEG中，EG＝9，BG＝12，∴BE15，设⊙O的半径为r，则OB＝15﹣r． ∵OC∥EG，∴Rt△BOC∽Rt△BEG，∴OC：EG＝BC：BG＝BO：BE，即r：9＝BC：12＝BO：15，∴BCr，BOr，∴15﹣rr，解得：r，∴BD＝BE﹣ED＝15﹣2． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了扇形的面积公式以及三角形相似的判定与性质． 19．（1）24°；（2）；（3）2.1 cm. 【详解】试题分析：（1）根据题意可得，劣弧AB所对的圆心角的度数就是度数71°与47°的差；（2）根据弧长的计算公式计算即可；（3）连接AB，过O作OD⊥AB于D，，在Rt△AOD中，利用三角函数求得AD的长，即可得AB的长． 试题解析： (1)设量角器中心为O，则∠AOB＝71°－47°＝24°. (2)的长是＝＝π(cm)． (3)∠AOB＝24°，连接AB，过O作OD⊥AB于D，则∠AOD＝∠BOD＝12°， 在Rt△AOD中，sin12°＝， ∴AD≈5×0.21＝1.05(cm)． 所以AB＝2.1 cm. 点睛：本题主要考查了弧长的计算，注意：圆中求弦长，半径，弦心距的计算，一般可以转化为解直角三角形的问题来解决． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $