第8章成对数据的统计（复习课件）高二数学沪教版选择性必修第二册

单元复习课件 第8章 成对数据的统计 沪教版选择性必修二·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解成对数据的基本概念，理解变量之间的相关关系（正相关、负相关、线性相关、非线性相关），能通过散点图直观判断两个变量的相关关系。掌握相关系数的计算与意义，能根据样本数据计算相关系数 r，并利用 r 判断线性相关关系的强弱。 3.掌握 2×2 列联表的独立性检验，理解卡方统计量 χ^2 的计算公式，能根据给定的显著性水平判断两个分类变量是否独立。 2.理解一元线性回归模型，掌握用最小二乘法求回归直线方程，能解释回归系数的实际意义，并能进行简单的预测。 单元学习目标 本章在高考中的定位：根据近五年上海卷考情，统计案例（回归分析、独立性检验）是必考内容之一，常在解答题中出现，分值约 6–8 分。试题通常提供实际数据（如身高体重、广告投入与销售额、药物疗效、性别与喜好等），要求考生完成数据整理、计算相关系数、求回归方程、进行独立性检验等。 单元知识图谱 章节 8.1 成对数据的相关分析 8.2 一元线性回归分析 8.3 2×2列联表 核心内容 散点图正相关 / 负相关线性相关 / 非线性相关 回归直线方程 最小二乘法回归系数的意义预测与残差 列联表独立性检验卡方统计量临界值比较结论：有关/无关 重要公式 相关系数 越接近1，线性相关越强 单元知识图谱 考点一：成对数据的相关分析 1. 散点图与相关关系 将成对数据 ( ) 在平面直角坐标系中描点，得到的图形称为散点图。 通过散点图可以直观判断两个变量之间的相关关系： 正相关：当一个变量增大时，另一个变量也大体上增大。 负相关：当一个变量增大时，另一个变量大体上减小。 线性相关：散点大致分布在一条直线附近。 非线性相关：散点分布呈曲线形态。 考点串讲 考点一：成对数据的相关分析 2. 相关系数 r 相关系数 是衡量两个变量线性相关程度的数值指标。 相关系数的性质： |r|≤1。 当 r>0 时，两变量正相关；当 r<0 时，两变量负相关。。 |r| 越接近 1，线性相关程度越强；|r| 越接近 0，线性相关程度越弱。 通常认为：|r|≥0.8 为强相关，0.3≤|r|<0.8 为中等相关，|r|<0.3 为弱相关。 注意： 相关系数只衡量线性相关程度，若两变量存在非线性相关但线性相关系数可能接近 0，此时不能否定两者有关。 考点串讲 考点二：一元线性回归分析 1. 回归直线方程 如果两个变量具有线性相关关系，我们可以用一条直线 =bx+a 来近似地描述它们的关系，这条直线称为回归直线， 2. 最小二乘法 最小二乘法是求回归直线方程中参数 a,b 的方法，它使得所有样本点到回归直线的垂直距离的平方和最小。 公式： 其中： b 称为回归系数（斜率），表示 x 每增加一个单位，y 平均增加（或减少）b 个单位。 a 称为截距。 3. 回归分析的应用 预测：给定 ，代入回归方程得 ，作为 的估计值。 残差：=-，i=1,2,3,…,n.残差分析可用于判断回归模型的拟合效果。 考点串讲 考点三：2×2 列联表与独立性检验 1. 2×2 列联表 用于整理两个分类变量的数据，常见形式如下：   合计 合计 2. 独立性检验 判断两个分类变量 A 与 B 是否相互独立。原假设 ：A 与 B 独立（无关联）。 卡方统计量： 其中 n=a+b+c+d。 判断规则： 计算 值，与临界值比较（通常取显著性水平 α=0.05，临界值 3.841；α=0.01，临界值 6.635）。 若 ≥3.841，则拒绝 ，认为 A 与 B 有关（差异有统计学意义）。 若 <3.841，则没有足够证据拒绝 ，认为 A 与 B 独立。 考点串讲 题型一：散点图与相关系数 【例1】 （2024·上海浦东新区一模）某研究小组对 10 名学生的每周运动时间 x（小时）与期末体育测试成绩 y（分）进行调查，得到数据如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 55 60 68 72 78 80 85 88 92 95 （1）画出散点图（描述即可）； （2）计算 x 与 y 的相关系数 r（精确到 0.01），并判断相关关系的强弱。 解析 （1）散点图大致呈从左下到右上的分布，说明运动时间与成绩呈正相关。 （2）计算得 ，, , , , , 82.5,则 。 |r|≈0.991>0.8，表明运动时间与体育成绩之间存在很强的正线性相关关系。 题型剖析 题型二：回归直线方程的求解与应用 【例2】 （2025·上海虹口区二模改编）某种产品的广告支出 x（万元）与销售额 y（万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 50 60 70 （1）求 y 关于 x 的回归直线方程； （2）若广告支出为 10 万元，预测销售额是多少？ 解析 （1）计算 。 。 所以回归直线方程为 =7x+15。 （2）当 x=10 时，=7×10+15=85（万元）。 题型剖析 题型二：回归直线方程的求解与应用 【例3】 （上海高考真题节选）某工厂为了研究某种产品的产量 （千件）与单位成本 （元/件）的关系，收集了 5 组数据，经计算得 ，，，。 （1）求回归直线方程； （2）若产量为 8 千件，估计单位成本。 解析 ，， 。 。 。 回归方程为 =-2.5x+52.5。 当 x=8 时，=-2.5×8+52.5=-20+52.5=32.5（元）。 题型剖析 题型三：独立性检验 【例4】 （2023·上海长宁区质检）为研究某药物对预防感冒是否有效，对 200 人进行试验，得到如下数据：   患病 未患病 合计 服药组 20 80 100 未服药组 40 60 100 合计 60 140 200 问：能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为该药物对预防感冒有效？ 解析 建立假设 ：服药与患病独立（即药物无效）。 计算卡方统计量：注意：。 分母：。 分子：。 结论：临界值 (1)=3.841，由于 9.524>3.841，所以拒绝 ，认为在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，该药物对预防感冒有效。 题型剖析 题型三：独立性检验 【例5】 （上海高考模拟）某中学调查了 300 名学生的文理分科意向与性别的关系，得到如下列联表：   理科 文科 合计 男生 90 60 150 女生 70 80 150 合计 160 140 300 试判断性别与文理分科意向是否有关？（α=0.05） 解析 。，，，平方得 。 分母：，，。 分子：。 。 结论： 5.357>3.841，所以认为性别与文理分科意向有关。 题型剖析 题型四：综合应用题 【例6】 （改编自上海闵行区二模）某奶茶店为了研究气温 x（℃）与奶茶销量 y（杯）的关系，统计了 6 天的数据： 气温(℃) 15 18 22 25 28 30 销量(杯) 70 75 90 100 110 125 （1）画出散点图（描述），判断相关类型； （2）计算相关系数 r，并说明线性相关的强弱； （3）求回归直线方程，并预测当气温为 32℃ 时的销量。 解析 （1）散点大致呈上升趋势，正相关，线性关系明显。 （2）计算：，。 。 。 。 。 接近 1，强正相关。 （3），。 回归方程 （保留两位小数）。 当 时，（杯）。 题型剖析 1.对于一组样本数据 ( )，若相关系数 r=0.92，则下列说法正确的是（　） A. x 与 y 负相关，线性相关很强 B. x 与 y 正相关，线性相关很强 C. x 与 y 没有线性相关关系 D. x 与 y 可能不存在关系 A组——基础巩固 相关系数 r 的性质： r 的取值范围是 [-1,1]。 当 r>0 时，x 与 y 正相关；当 r<0 时，x 与 y 负相关。 |r| 越接近 1，线性相关性越强；|r| 越接近 0，线性相关性越弱。 题目中 r=0.92>0，且 |r|=0.92 非常接近 1，说明 x 与 y 正相关，且线性相关性很强。 对照选项： A：负相关，错误 B：正相关，线性相关很强，正确 C：没有线性相关关系，错误 D：可能不存在关系，错误 ✅ 答案：B 针对训练 2.已知回归直线方程为 =2.5x-1.2，则当 x=4 时，y 的估计值为______． A组——基础巩固 把x=4代入回归方程，可得y=8.8 3.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表： 1 2 3 4 2 3 5 6 （1）求 x 与 y 的相关系数 r（保留两位小数）； （2）求 y 关于 x 的回归直线方程． (2)回归直线方程为 。 针对训练 4.某机构为了调查性别与是否喜欢阅读古典文学的关系，调查了 100 人，得到如下列联表： A组——基础巩固 ，临界值 。 由于 ，拒绝独立性假设，有95%的把握认为性别与喜欢古典文学有关。   喜欢 不喜欢 合计 男 25 25 50 女 35 15 50 合计 60 40 100 请计算 值，并判断是否有 95% 的把握认为性别与喜欢古典文学有关。 针对训练 5. （2024·上海静安区期末）某公司为了研究广告投入 （万元）与销售额 （万元）的关系，收集了 8 组数据，经计算得 ，，，。 （1）求回归直线方程； （2）若广告投入为 8 万元，预测销售额； （3）求相关系数 ，并说明相关程度。 B组——能力提升 （1），，，，，，；（2）时，万元；（3），需 缺数据，可略。 针对训练 6.某校研究性学习小组调查了 12 名学生的数学成绩 x 与物理成绩 y，数据如下（单位：分）： B组——能力提升 （2）；（3）回归方程 （近似），预测 时 。 数学 65 70 72 75 78 80 82 85 88 90 92 95 物理 70 68 75 80 82 85 88 90 86 92 94 96 （1）画出散点图（简述）； （2）计算相关系数 r； （3）求物理成绩关于数学成绩的回归直线方程，并预测数学成绩为 86 分时的物理成绩。 针对训练 7.为了研究某种新药对高血压的治疗效果，对 200 名患者进行试验，结果如下： B组——能力提升 ，不能认为有效。   有效 无效 合计 服用新药 90 30 120 服用安慰剂 40 40 80 合计 130 70 200 能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为新药有效？（参考临界值： (1)=6.635） 针对训练 8.为了解高中生选考物理与性别的关系，随机调查了 300 名学生，得到如下数据：男生 150 人中有 100 人选考物理，女生 150 人中有 80 人选考物理。请完成 2×2 列联表，并判断是否有 99% 的把握认为选考物理与性别有关。 B组——能力提升 列联表：男生选考100，不选50；女生选考80，不选70。，没有99%把握。 针对训练 9. （上海高考改编）某研究机构对某品牌手机的售价 x（百元）与月销量 y（万台）进行调查，得到 10 组数据。经计算得 x ‾=30，y ‾=20，S_xx=200，S_yy=300，S_xy=-180。 （1）求相关系数 r； （2）求回归直线方程； （3）若售价定为 35 百元，预测月销量。 C组——拓展挑战 （1），中等强度负相关；（2），，；（3）时，万台。 针对训练 10. （综合题）某校高二年级对 200 名学生进行了“是否喜欢数学”和“是否喜欢物理”的问卷调查，结果如下： C组——拓展挑战 （1），远大于3.841，高度相关；（2）；（3），认为有关。   喜欢数学 不喜欢数学 合计 喜欢物理 60 20 80 不喜欢物理 40 80 120 合计 100 100 200 （1）求喜欢数学与喜欢物理的相关系数； （2）若随机抽取一名学生，已知他喜欢物理，求他也喜欢数学的概率； （3）根据独立性检验，能否认为喜欢数学与喜欢物理有关？ 针对训练 1. 知识体系回顾 知识模块 核心内容 关键公式/方法 相关分析 散点图，正/负相关，线性相关强弱 回归分析 最小二乘法求回归直线 ， 独立性检验 列联表，卡方检验 临界值比较 判断是否独立 （）则拒绝独立 课堂总结 2.易错提醒 混淆相关系数与回归系数：r 反映相关方向与强度，b 反映 x 每变化一单位 y 的平均变化量。b 与 r 符号相同，但数值不同。 误用公式中的分母：计算 b 时，分母是，不是 ；计算 时，注意四个边际合计的位置。 忽略数据单位对回归系数的影响：回归系数 b 有单位（y 的单位/x 的单位），不同单位下 b 不同，不可直接比较大小。 过度外推预测：回归方程只适用于原数据范围内或略超出范围的预测，外推过远可能导致较大误差。 独立性检验结论表述不严谨：应说“有 95% 的把握认为 A 与 B 有关”，而不是“A 与 B 有关”或“A 与 B 无关”。 课堂总结 3.学习建议 熟练掌握计算流程：对于回归分析，建议按“求均值 → 计算 ,,→ 求 b,a → 写方程”的步骤进行，避免跳跃计算出错。 善用计算工具：考试中允许使用计算器时，应熟练使用统计模式（STAT）快速计算均值、标准差、相关系数等。 理解统计量的实际意义：r 的意义、b 的意义、 的意义要能结合实际问题进行解释。 重视列联表的构建：独立性检验的第一步是正确填写列联表，确保四个频数 a,b,c,d 对应正确。 规范答题格式：回答独立性检验时，必须写出假设 ，计算，与临界值比较，最后下结论，四步缺一不可。 课堂总结 感谢聆听! $