第8章 成对数据的统计分析（复习讲义）高二数学沪教版选择性必修第二册

第8章 成对数据的统计分析（复习讲义） （一）基础目标 1.能复述“线性相关”“正相关”“负相关”的定义，识别成对数据的相关趋势. 2.能复述样本相关系数的计算公式，明确其取值范围为. 3.能复述一元线性回归方程的形式，说出（斜率）、（截距）的含义. 4.能复述列联表的结构（含“总计”行/列），写出独立性检验的零假设：“两个分类变量相互独立”. （二）进阶目标 1.会计算样本相关系数，根据的大小判断成对数据的线性相关程度（如为强线性相关）. 2.会计算回归直线的斜率与截距，写出一元线性回归方程. 3.理解并应用回归方程进行内插预测，计算预测值的误差范围. 4.会计算列联表的卡方统计量，结合临界值表判断两个分类变量的独立性. （三）拓展目标 1.能根据实际成对数据（如身高与体重、销量与广告费用），完成“计算相关系数→判断线性相关程度→建立回归方程→预测”的完整分析流程. 2.能区分“相关关系”与“因果关系”，避免由强相关误推因果. 3.能结合独立性检验的结果，对实际问题（如疾病与习惯的关联）进行决策建议. 4.能辨析非线性相关数据的处理思路（如变量变换转化为线性相关）. （一）核心概念与公式对比表 知识模块 核心概念 核心公式/定理 关键特征/要点 成对数据的相关分析 样本相关系数 ①取值范围； ②为正相关，为负相关； ③越接近1，线性相关越强 一元线性回归分析 回归直线方程 斜率：； 截距： ①回归直线过样本中心点； ②用于预测样本取值范围内的值 列联表与独立性检验 卡方统计量 （为样本量） ①零假设：“两个分类变量独立”； ②若，则在0.05显著性水平下拒绝 （二）知识框架结构表 成对数据的相关分析 一元线性回归分析 列联表与独立性检验 1.线性相关、正相关、负相关的定义 2.样本相关系数的公式与计算 3.与线性相关程度的对应关系 1.回归直线的定义与性质（过样本中心） 2.斜率与截距的计算 3.回归方程的内插预测功能 1.列联表的结构（的含义） 2.卡方统计量的计算 3.临界值表的使用与独立性判断 （一）核心重点知识解析 1.成对数据的相关分析 （1）样本相关系数的计算步骤 ①计算样本均值：，； ②计算分子：； ③计算分母：； ④分子除以分母得. （2）的线性相关程度判定 的范围 线性相关程度 强线性相关 弱线性相关 几乎无线性相关 2.一元线性回归分析 （1）回归直线的核心性质 回归直线必过样本中心点，此性质可用于快速验证回归方程的正确性. （2）回归方程的预测限制 回归方程仅适用于样本数据的取值范围（内插预测），不能随意外推到取值范围外的情况（如用身高150-180cm的回归方程预测身高200cm的体重）. 3.列联表与独立性检验 （1）列联表的结构（以“吸烟与肺癌”为例） 患肺癌 未患肺癌 总计 吸烟 不吸烟 总计 （2）卡方检验的决策规则 常用临界值：①→在0.05显著性水平下，拒绝，认为两个分类变量有关联；②→在0.01显著性水平下，拒绝，关联程度更强. （二）常见结论总结 1.样本相关系数反映的是线性相关程度，若小，仅说明“无强线性相关”，不代表无其他相关关系（如非线性相关）. 2.回归直线的斜率的符号与样本相关系数的符号一致：则（正相关），则（负相关）. 3.卡方检验的结论是“有多大把握认为两个分类变量有关联”，不是“两个分类变量一定有关联”. （三）易错点辨析 易错类型 反例 正解 避坑技巧 混淆相关与因果 由“身高与体重强正相关”，误推“身高增长导致体重增加” 相关关系≠因果关系，可能存在共同影响因素（如年龄） 分析相关关系时，明确“相关不代表因果” 回归方程外推预测 用“10-15岁身高-体重的回归方程”预测20岁的体重 回归方程仅适用于样本取值范围的内插预测 预测前先确认自变量是否在样本取值范围内 卡方统计量数据代入错误 列联表中位置记混，导致计算错误 固定列联表结构（行：分类变量1；列：分类变量2），标记后再代入公式 列联表计算前，先标注的对应位置 题型一 判断是否线性相关 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）某公司近年来科研费用（单位：万元）与公司所获的利润（单位：万元）之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图； (2)观察散点图，判断与是否具有线性相关关系. 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图： 根据以上信息，判断下列结论： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高. 其中正确的个数为 . 【变式1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）某市居民2015~2019年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 收入 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，家庭年平均收入与年平均支出有 相关关系（选填“正”或“负”）. 题型二 相关系数的概念辨析 【例1】（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【变式1-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）对四组不同的数据进行统计，获得如题图所示的散点图，则样本相关系数从小到大依次为 ． 【变式1-3】（2024·上海·三模）上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（    ）． A． B． C． D． 题型三 相关系数的计算 【例1】（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【变式1-1】（25-26高三上·上海·单元测试）某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第个村中村户的年平均收入（单位：万元）和产业资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，． (1)试估计该地被调查村的村户年平均收入； (2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投1的相关系数；（精确到0.01） (3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【变式1-2】（24-25高三上·上海·课后作业）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限x（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7 失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 由上表数据可知，y与x的相关系数为 ．（精确到0.01，参考数据：，，） 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）春节期间，由于高速免费，车流量逐步增加，某高速口统计了5天中的车流量与空气质量指数的关系，所得数据如下表所示： 车流量x（万辆） 12 12.5 13 13.5 14 空气质量指数y 74 76 78 77 80 (1)在下列网格纸中绘制出散点图； (2)观察散点图的趋势，如果能看成线性关系，请在图中画出一条直线来近似地表示这种关系，并计算车流量与空气质量指数的相关系数． 题型四 决定系数的计算与分析 【例1】（25-26高三上·浙江温州·开学考试）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·全国·月考）已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（    ） A． B． C． D．不确定 【变式1-2】（2025·广西来宾·模拟预测）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 【变式1-3】（2025·云南·模拟预测）自2021年以来，新能源汽车因其动力充沛､提速快､用车成本低等特点得到民众的追捧，某地区电动汽车保有量呈现快速增长趋势，下表给出了近5年该地区的电动汽车保有量（单位：万辆）. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号 1 2 3 4 5 电动汽车保有量 1.5 2.5 4.9 7.8 若用作为该数据的回归直线模型，并已求得， (1)结合已知数据求出2023年该地区的电动汽车保有量，并预测2030年该地区的电动汽车保有量； (2)若已知，求此模型下的决定系数（精确到0.01）. 参考公式及数据：一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，决定系数. 题型五 线性回归方程的意义 【例1】（2025·上海崇明·三模）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．离差和变小 B．相关系数变小 C．拟合误差变小 D．解释变量与反应变量的相关性变弱 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）给出下列说法： ①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1； ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变； ④在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是 .（填写正确序号） 【变式1-3】（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零题型六 求线性回归方程 【例1】（2025·上海浦东新·三模）某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)求成对数据的相关系数； (2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； (3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 【变式1-1】（2025·上海金山·三模）根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 【变式1-2】（2025·上海黄浦·三模）下表是某景点在某APP平台10天预定票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.50 (1)由于系统故障，该APP平台在第10天时的销售量数据异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程，并用回归方程修正第十天的销售数据；（回归系数与销售数据都精确到0.0001） (2)为招揽游客，现推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张盖有纪念章（可兑换纪念品），X的分布如下：．求X的期望与方差； (3)在（2）的条件下，小明购买了一份团体票，从中随机抽取2张，恰有1张有纪念章，求此情况发生的概率． 附：对于一组数据、、…、，其回归方程为，其中回归系数，． 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. (1)这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； (2)若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； (3)在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 题型七 求非线性回归方程 【例1】（24-25高二下·上海·月考）某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【变式1-1】（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）． 6 97.90 0.21 240 0.14 14.12 26.13 (1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型； (2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？ 【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）； (2)某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望． 参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 题型八 独立性检验 【例1】（25-26高三上·上海徐汇·期中）某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 【变式1-1】（25-26高三上·上海黄浦·期中）某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有、、、、、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 性能评分汽车款式 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版１ 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 (1)约定当得分为或时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 优秀 13 合计 (2)为进一步提升产品品质，现从样本评分为的6位基础版车主中，有放回地随机抽取2人征求意见，并做进一步打分.若基础版1的车主会打1分，而基础版2的车主会打4分，设随机变量为总得分，求的方差． 附：；， ，，． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（    ） A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 2．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25高二下·上海·期中）下列有关线性回归分析的四个命题：① 线性回归直线必过样本数据的中心点；② 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数 时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于 1．其中真命题的个数为（    ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（24-25高二下·上海·期末）为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 销售额y万元 14 21 29 30 37 43 A．广告支出数据的极差为13 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（   ） A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C．花瓣长度和花萼长度负相关 D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 二、填空题 6．（24-25高二下·上海松江·月考）某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成的列联表，根据列联表的数据，至少有 的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系． 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 总计 7 13 20 附表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 7．（24-25高三下·上海虹口·期中）某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 8．（24-25高三下·上海金山·月考）某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为 ，在样本点处的离差为 ． 3 4 5 6 2.5 3 4 9．（24-25高二下·上海·期末）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为 . 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 10．（24-25高二下·上海·期末）某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表 广告费（单位：万元） 2 3 4 5 销售额（单位：万元） 26 39 49 54 根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为 万元． 11．（24-25高三·上海·课堂例题）下列关系中是相关关系的是 （填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系. 三、解答题 12．（24-25高二下·上海·期末）某学生兴趣小组从一年365天中随机调查了100天中每天的空气质量等级和当天到莘庄公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 (1)一年365天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有多少天（精确到1天）； (2)估计一天中到莘庄公园锻炼的平均人次； (3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．判断是否有95%的把握认为一天中到莘庄公园锻炼的人次不超过400人与当天的空气质量有关？（） 13．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 14．（24-25高三·上海·课堂例题）季节性流感分布广泛，儿童普遍易感.某区将去年春季该区患季节性流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄 2 3 4 5 6 患病人数 22 22 17 14 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)计算样本相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该区去年春季患季节性流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱.） 15．（24-25高三上·四川绵阳·月考）对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查，其售价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 11 10 8 6 5 14 (1)根据1至5月份的数据，先求出关于的回归直线方程；将6月份的数据作为检验数据，若由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所得到的回归直线方程是否理想？ (2)预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 16．（24-25高三·上海·随堂练习）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95 (1)某个同学的数学成绩与物理成绩是否可以看作成对数据？是否可以进行相关分析？ (2)如果这组数据是成对数据，请画出散点图； (3)根据以上数据，判断下列结论： ①可以判断数学成绩与物理成绩具有线性关系； ②可以判断数学成绩与物理成绩是一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高． 其中正确的序号为_____． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·上海浦东新·二模）研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有5个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算6个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于    ②与一定重合 则（   ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 二、填空题 3．（2025·上海黄浦·三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 4．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 5．（2025·上海·模拟预测）已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 三、解答题 6．（24-25高三下·上海·月考）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 7．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉线次数测试，得到数据如表所示： A B C D E 甲 4 3 8 6 12 乙 5 7 4 4 3 (1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值的独立性检验，能否说明网络状况与网络的类型有关? (2)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求A，B两个地区同时被选到的概率； (3)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以X表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位置个数，求随机变量X的分布及数学期望． 附：其中． α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 8．（2025高三上·上海·专题练习）为了了解高中学生课后自主学习时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下图） 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据:，） (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习，经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生，按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（如下图）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 9．（2023·上海长宁·二模）某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量． 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 t 0 1 2 3 4 保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 假设该地新能源汽车饱和量万辆． (1)若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）； (2)设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）． 附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：. 10．（2023·上海嘉定·三模）烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下： 1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟. 参考数据与公式：设，则 6.8 线性回归直线中，.    (1)填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元） (2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议. 11．（23-24高三下·上海·月考）社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会.某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格: 大学 A大学 B大学 C大学 D大学 2023年毕业生的人数（千人） 7 6 5 4 2023年毕业生中参加过社会实践人数（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2 若该省大学2023年毕业生人数为12万人，对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放1000元的补贴. (1)写出关于的线性回归方程，并估计该省2023年发放补贴的总金额（单位:万元）; (2)若2023年毕业生中的小李、小王参加暑期社会实践活动的概率分别为，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围. 参考公式:. 12．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 成对数据的统计分析（复习讲义） （一）基础目标 1.能复述“线性相关”“正相关”“负相关”的定义，识别成对数据的相关趋势. 2.能复述样本相关系数的计算公式，明确其取值范围为. 3.能复述一元线性回归方程的形式，说出（斜率）、（截距）的含义. 4.能复述列联表的结构（含“总计”行/列），写出独立性检验的零假设：“两个分类变量相互独立”. （二）进阶目标 1.会计算样本相关系数，根据的大小判断成对数据的线性相关程度（如为强线性相关）. 2.会计算回归直线的斜率与截距，写出一元线性回归方程. 3.理解并应用回归方程进行内插预测，计算预测值的误差范围. 4.会计算列联表的卡方统计量，结合临界值表判断两个分类变量的独立性. （三）拓展目标 1.能根据实际成对数据（如身高与体重、销量与广告费用），完成“计算相关系数→判断线性相关程度→建立回归方程→预测”的完整分析流程. 2.能区分“相关关系”与“因果关系”，避免由强相关误推因果. 3.能结合独立性检验的结果，对实际问题（如疾病与习惯的关联）进行决策建议. 4.能辨析非线性相关数据的处理思路（如变量变换转化为线性相关）. （一）核心概念与公式对比表 知识模块 核心概念 核心公式/定理 关键特征/要点 成对数据的相关分析 样本相关系数 ①取值范围； ②为正相关，为负相关； ③越接近1，线性相关越强 一元线性回归分析 回归直线方程 斜率：； 截距： ①回归直线过样本中心点； ②用于预测样本取值范围内的值 列联表与独立性检验 卡方统计量 （为样本量） ①零假设：“两个分类变量独立”； ②若，则在0.05显著性水平下拒绝 （二）知识框架结构表 成对数据的相关分析 一元线性回归分析 列联表与独立性检验 1.线性相关、正相关、负相关的定义 2.样本相关系数的公式与计算 3.与线性相关程度的对应关系 1.回归直线的定义与性质（过样本中心） 2.斜率与截距的计算 3.回归方程的内插预测功能 1.列联表的结构（的含义） 2.卡方统计量的计算 3.临界值表的使用与独立性判断 （一）核心重点知识解析 1.成对数据的相关分析 （1）样本相关系数的计算步骤 ①计算样本均值：，； ②计算分子：； ③计算分母：； ④分子除以分母得. （2）的线性相关程度判定 的范围 线性相关程度 强线性相关 弱线性相关 几乎无线性相关 2.一元线性回归分析 （1）回归直线的核心性质 回归直线必过样本中心点，此性质可用于快速验证回归方程的正确性. （2）回归方程的预测限制 回归方程仅适用于样本数据的取值范围（内插预测），不能随意外推到取值范围外的情况（如用身高150-180cm的回归方程预测身高200cm的体重）. 3.列联表与独立性检验 （1）列联表的结构（以“吸烟与肺癌”为例） 患肺癌 未患肺癌 总计 吸烟 不吸烟 总计 （2）卡方检验的决策规则 常用临界值：①→在0.05显著性水平下，拒绝，认为两个分类变量有关联；②→在0.01显著性水平下，拒绝，关联程度更强. （二）常见结论总结 1.样本相关系数反映的是线性相关程度，若小，仅说明“无强线性相关”，不代表无其他相关关系（如非线性相关）. 2.回归直线的斜率的符号与样本相关系数的符号一致：则（正相关），则（负相关）. 3.卡方检验的结论是“有多大把握认为两个分类变量有关联”，不是“两个分类变量一定有关联”. （三）易错点辨析 易错类型 反例 正解 避坑技巧 混淆相关与因果 由“身高与体重强正相关”，误推“身高增长导致体重增加” 相关关系≠因果关系，可能存在共同影响因素（如年龄） 分析相关关系时，明确“相关不代表因果” 回归方程外推预测 用“10-15岁身高-体重的回归方程”预测20岁的体重 回归方程仅适用于样本取值范围的内插预测 预测前先确认自变量是否在样本取值范围内 卡方统计量数据代入错误 列联表中位置记混，导致计算错误 固定列联表结构（行：分类变量1；列：分类变量2），标记后再代入公式 列联表计算前，先标注的对应位置 题型一 判断是否线性相关 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 【答案】作图见解析，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高 【分析】根据表中数据在直角坐标系中描点即可，由散点图可看出，图中的数据点接近直线排列，故可以判断有没相关性. 【详解】画出的散点图如图所示. 可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高. 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）某公司近年来科研费用（单位：万元）与公司所获的利润（单位：万元）之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图； (2)观察散点图，判断与是否具有线性相关关系. 【答案】(1)作图见解析 (2)与有线性相关关系 【分析】（1）结合题中所给数据，作出散点图即可； （2）根据散点图可以判断有没相关性. 【详解】（1）散点图如下： （2）由图知，所有数据点接近直线排列，因此认为与具有线性相关关系. 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图： 根据以上信息，判断下列结论： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高. 其中正确的个数为 . 【答案】1 【分析】由散点图知两变量间是相关关系，不是函数关系；利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性． 【详解】对于①，根据散点图知，各点分布在一条直线附近，两变量间是线性相关关系，①正确； 对于②，根据散点图知，两变量不是确定的一次函数关系，②错误； 对于③，利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，③错误， 所以正确的个数为1. 故答案为：1 【变式1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）某市居民2015~2019年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 收入 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，家庭年平均收入与年平均支出有 相关关系（选填“正”或“负”）. 【答案】正 【分析】描出散点图从图上直观看直线的斜率，即可判断. 【详解】由题可得散点图， 从图上直观看出直线的斜率为正，则为正线性相关. 故答案为：正 题型二 相关系数的概念辨析 【例1】（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】D 【分析】根据相关系数的意义判断各项的正误即可. 【详解】由于相关系数表示一个变量变化对另一个变量变化趋势的影响， 所以随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势. 故选：D 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）对四组不同的数据进行统计，获得如题图所示的散点图，则样本相关系数从小到大依次为 ． 【答案】 【分析】根据散点图直接观察比较即可. 【详解】由散点图可知图（1）与图（3）中的两个变量是正相关，故，． 图（2）与图（4）中的两个变量是负相关，故，． 又图（1）与图（2）中的样本点集中在一条直线附近，所以其相关系数的绝对值越接近1． 故答案为：． 【变式1-3】（2024·上海·三模）上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可. 【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故， 图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强， 故，，，故，所以. 故选：C. 题型三 相关系数的计算 【例1】（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高三上·上海·单元测试）某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第个村中村户的年平均收入（单位：万元）和产业资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，． (1)试估计该地被调查村的村户年平均收入； (2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投1的相关系数；（精确到0.01） (3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【答案】(1)（万元） (2) (3)采用分层抽样，理由见解析 【分析】（1）利用样本平均数的计算公式求解即可，（2）利用样本平均数的计算公式求解即可.（3）结合题意根据调查总体的分布特征选择分层抽样进行调查即可. 【详解】（1）该地被调查村的村户年平均收入的估计值为（万元）； （2）样本的相关系数为 ； （3）采用分层抽样，理由如下： 由（2）知被调查村的村户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性， 由于各被调查村产业资金投入差异很大，因此被调查村的村户年平均收入差异也很大， 所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地更准确的验收估计． 【变式1-2】（24-25高三上·上海·课后作业）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限x（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7 失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 由上表数据可知，y与x的相关系数为 ．（精确到0.01，参考数据：，，） 【答案】0.99/ 【分析】根据表中的数据结合公式直接求解即可. 【详解】由题意，知， 所以． 所以结合参考数据知：． 所以y与x的相关系数近似为0.99． 故答案为： 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）春节期间，由于高速免费，车流量逐步增加，某高速口统计了5天中的车流量与空气质量指数的关系，所得数据如下表所示： 车流量x（万辆） 12 12.5 13 13.5 14 空气质量指数y 74 76 78 77 80 (1)在下列网格纸中绘制出散点图； (2)观察散点图的趋势，如果能看成线性关系，请在图中画出一条直线来近似地表示这种关系，并计算车流量与空气质量指数的相关系数． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】（1）根据表里数据标点即可； （2）根据公式计算相关系数； 【详解】（1） （2）可以看成线性关系，如图所示， 计算得：， ； ， ； 则． 题型四 决定系数的计算与分析 【例1】（25-26高三上·浙江温州·开学考试）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用回归方程的性质，利用相关系数和相关指数分析判断即可. 【详解】从散点图可以看出，两个变量是正相关，故A正确； 从散点图可以看出，回归直线的斜率是正数，且的斜率大于的斜率，故 B和C正确； 从散点图可以看出，去掉“离群点”后，相关性更强，拟合的效果更好， 值越大，模型的拟合效果越好，所以，故D错误； 故选：D. 【变式1-1】（25-26高三上·全国·月考）已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据决定系数的定义判断即可. 【详解】由散点图知，用拟合的效果比用拟合的效果要好， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（2025·广西来宾·模拟预测）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 【答案】(1)，； (2)，拟合程度更好. 【分析】（1）根据经验回归方程过样本中心点，先由经验回归方程和的平均数，求出的平均数，再根据平均数的定义求出；然后根据残差定义计算8月份的残差. （2）先求出残差平方和，再代入公式计算，最后与非线性回归模型的比较大小，即可判断. 【详解】（1）因为，，， 则，解得； 8月份对应的残差值. （2）因为， 所以， 所以， 所以线性回归模型拟合程度更好. 【变式1-3】（2025·云南·模拟预测）自2021年以来，新能源汽车因其动力充沛､提速快､用车成本低等特点得到民众的追捧，某地区电动汽车保有量呈现快速增长趋势，下表给出了近5年该地区的电动汽车保有量（单位：万辆）. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号 1 2 3 4 5 电动汽车保有量 1.5 2.5 4.9 7.8 若用作为该数据的回归直线模型，并已求得， (1)结合已知数据求出2023年该地区的电动汽车保有量，并预测2030年该地区的电动汽车保有量； (2)若已知，求此模型下的决定系数（精确到0.01）. 参考公式及数据：一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，决定系数. 【答案】(1)3.4万辆，14.52万辆. (2)0.93 【分析】（1）首先根据回归直线方程过样本点中心，根据求2023年汽车的保有量； （2）首先求的值，再代入决定系数公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，且， 所以， 所以2023年电动汽车保有量万辆. 2030年对应的年份编号为10，代入回归直线方程，可求得. 即在2030年时，电动汽车保有量可能为14.52万辆. （2）， 所以决定系数. 题型五 线性回归方程的意义 【例1】（2025·上海崇明·三模）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由平均数的求法，根据样本中心的定义，利用回归直线方程的斜率，结合样本估计总体及最小乘法原理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①②，由题意可得，，则新的样本中为，故①错误，②正确； 对于③，将代入回归直线，可得，解得，故③正确； 对于④，根据样本估计总体及最小乘法原理，利用组数据所得经验回归程是与样本点“距离”平方和最小的直线方程，故④错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．离差和变小 B．相关系数变小 C．拟合误差变小 D．解释变量与反应变量的相关性变弱 【答案】C 【分析】根据离差和、相关系数、拟合误差、解释变量与反应变量的相关性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，离差和是每个数据点与均值差值平方后的累计和， 去掉一个点后离差平方和的变化取决于该点的具体数值及其与均值的差距， 如果该点与均值相差较大，去掉它可能会导致离差平方和显著减小， 如果相差较小，则可能对离差平方和的影响不大， 因此，无法说明去掉一个点后离差平方和一定会如何变化，故A错误； 对于B，因为点离其它点较远，去掉后，相关性变强，而且是正相关，所以相关系数变大，故B错误； 对于C，点离其它点较远，是一个异常值，拟合误差减小，故C正确 对于D，解释变量与反应变量的相关性变强，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）给出下列说法： ①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1； ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变； ④在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是 .（填写正确序号） 【答案】②③④ 【分析】借助回归直线性质可得①；借助相关系数定义可得②；借助方差的性质可得③；借助回归直线方程性质可得④. 【详解】对①，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，故①错误； 对②，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1，故②正确； 对③，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，故③正确； 对④，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中， 当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故④正确. 故答案为：②③④. 【变式1-3】（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 【答案】C 【分析】利用与r的含义判断AB，根据r大于零时两变量正相关即可得一定大于零判断CD. 【详解】影响的是回归直线的斜率，r影响是两个变量之间的相关性， 所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误； 若r大于零，则说明两个变量之间成正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误. 故选：C 题型六 求线性回归方程 【例1】（2025·上海浦东新·三模）某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)求成对数据的相关系数； (2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； (3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 【答案】(1) (2)答案见解析， (3) 【分析】（1）首先求，再根据相关系数公式，即可求解； （2）根据（1）的数据，结合回归直线方程中和的公式，即可求回归直线方程； （3）根据（1）的结果求和，再根据概率公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，， ， ， ， 所以； （2）， ， 所以， 当时，； （3），所以,， ，， 所以. 【变式1-1】（2025·上海金山·三模）根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 【答案】(1)可以，万元 (2)选择方案二 【分析】（1）求出、的值，将数据代入相关系数公式，求出的值，可得出结论，再将代入经验回归方程，可得出结果； （2）计算出方案一、二中实际付款金额，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可得，， ， ， ， 所以，， 因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系， ，则， 所以，关于的经验回归方程为， 将代入经验回归方程为， 故估计年月该网点利润估计知为万元. （2）设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元， 则的可能取值有、、、， 则，， ，， 故， 设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、， ，，， 故 因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠. 【变式1-2】（2025·上海黄浦·三模）下表是某景点在某APP平台10天预定票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.50 (1)由于系统故障，该APP平台在第10天时的销售量数据异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程，并用回归方程修正第十天的销售数据；（回归系数与销售数据都精确到0.0001） (2)为招揽游客，现推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张盖有纪念章（可兑换纪念品），X的分布如下：．求X的期望与方差； (3)在（2）的条件下，小明购买了一份团体票，从中随机抽取2张，恰有1张有纪念章，求此情况发生的概率． 附：对于一组数据、、…、，其回归方程为，其中回归系数，． 【答案】(1)，第10天数据为； (2)，； (3)； 【分析】（1）根据题意，由线性回归方程的公式代入计算，即可得到结果； （2）根据分布列求期望和方差即可； （3）根据题意，由全概率公式可得恰有1张为纪念章的概率，即可求解. 【详解】（1）设回归方程为，则，， 又，， 所以，，即， 当时，万张； （2）由分布列知，； （3）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张有纪念章”为事件， “该份团体票中共有张有纪念章”为事件，则，，， 则 ，即所求概率为； 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. (1)这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； (2)若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； (3)在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 【答案】(1)600个 (2) (3)个 【分析】（1）利用样本质量合格的频率估计总体的概率，求总体中质量合格的零件数量. （2）根据给出的公式可求的值. （3）根据期望的线性性质求解. 【详解】（1）因为在这100个零件中，合格的零件为60个， 故质量合格的零件所占样本比例为. 而在这1000个零件中，质量合格的零件数为：(个). （2）由可得，， 又因为，， 因此可得：. 代入数据可得：. （3）用表示抽查的结果，若第个零件与第个零件被选中，则记； 若结果是其余情况，则记，. 由线性期望的性质可得： (个). 题型七 求非线性回归方程 【例1】（24-25高二下·上海·月考）某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1)模型②； (2)（i）（ⅱ）27.1亿元 【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小得出结论； （2）（i）两边取自然对数，转化为线性回归方程求解，再转化为指数式即可； （ii）根据（i）的结论预测销售额y达到80亿元时研发投入即可得解. 【详解】（1）由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. （2）（i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 【变式1-1】（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）． 6 97.90 0.21 240 0.14 14.12 26.13 (1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型； (2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？ 【答案】(1)更适宜作为回归方程类型； (2)，. 【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合和，结合，即可得到结论. （2）（i）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii）当时，结合回归方程，即可求得预报值. 【详解】（1）因为的线性相关系数， 的线性相关系数， 因为， 所以更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型. （2）依题意，， 则，于是， 所以关于的回归方程为. 当时，金属含量的预报值为. 【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1)； (2)是理想的 【分析】（1）通过对所给的函数模型取对数，转换为求回归直线方程即可，再结合题中所给的直线方程与数据即可得解. （2）利用（1）中求得的函数模型进行预测，结合回归方程理想的定义判断即可. 【详解】（1）将的等号左右两边同时取自然对数得， 所以．， 而， 所以 ， ． 所以，即， 所以． （2）2023年对应的年份代码为7， 当时，，， 所以（1）中求得的回归方程是理想的． 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）； (2)某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望． 参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【分析】（1）将的等号两边同时取对数，再结合回归直线的斜率和截距的最小二乘法求得结果； （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据超几何分布求出分布列以及数学期望. 【详解】（1）将的等号两边同时取对数得， 所以．， ． 所以 ， ． 所以，即， 所以． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，，． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ． 题型八 独立性检验 【例1】（25-26高三上·上海徐汇·期中）某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 【答案】(1)8.25 (2)列联表见解析，订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 【分析】（1）先根据题意计算出和的值，再依据百分位数的计算方法求解即可； （2）先根据题意计算出服务改进前好评订单的数量，进而完成列联表，进行独立性检验时，提出零假设，计算，根据与临界值大小关系即可判断结论. 【详解】（1）根据题意，这100个好评订单评分的极差为2， 因此，解得， 又有，解得， 因为， 所以这100个好评订单的第40百分位数为服务评分按从小到大的顺序排列后的第40个订单和第41个订单服务评分的平均数，即. 故这100个好评订单的第40百分位数为8.25. （2）根据题意，服务改进前好评订单的数量为，由此可得列联表如下： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 零假设：订单获得好评与服务改进无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 【变式1-1】（25-26高三上·上海黄浦·期中）某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，. (2) (3)有，理由见解析 【分析】（1）由题中条件直接可解； （2）根据样本的频率估计总体频率，再由总体频率估计概率； （3）根据独立性检验的方法直接得出. 【详解】（1）由样本容量为，得，即. 又事件A的频率是事件B的频率的3倍，所以，即. 故，. （2）因为在样本中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 根据用样本频率估计总体频率，估计总体中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 再由频率估计概率，故用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为. 故的估计值为. （3）设假设：周末使用手机时长与学业成绩相互独立.由题得列联表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 合计 良好 30 20 50 不良好 10 40 50 合计 40 60 100 可知，，，，，. 所以 故假设不成立，有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）根据等可能性事件的概率和条件概率公式直接可得. （2）根据独立性检验直接可得. 【详解】（1）设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，，因为每个志愿者被抽到的可能性相等， 根据古典概型的概率公式得，，. 由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为. （2）由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 提出零假设：是否‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平. 可得，由于，拒绝零假设， 故有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有、、、、、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 性能评分汽车款式 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版１ 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 (1)约定当得分为或时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 优秀 13 合计 (2)为进一步提升产品品质，现从样本评分为的6位基础版车主中，有放回地随机抽取2人征求意见，并做进一步打分.若基础版1的车主会打1分，而基础版2的车主会打4分，设随机变量为总得分，求的方差． 附：；， ，，． 【答案】(1)列联表见解析，汽车的性能与款式有关，理由见解析 (2) 【分析】（1）由题意根据数据关系写出列联表，再提出原假设，确定显著性水平，计算值，做出统计决断； （2）用，分别表示在第次抽取中，企业获得的得分，则，故，再求的分布列，由方程公式求，再求，可得结论. 从而求解分布列和期望. 【详解】（1）由题意，列联表如下： 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 12 32 优秀 5 13 18 合计 25 25 50 （1）提出原假设：两种款式的汽车的性能没有显著差异， （2）确定显著性水平， （3）计算， （4）统计决断：由于，而，的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为汽车的性能与款式有关； （2）评分为的位基础版车主中，基础版的车主有位，基础版的车主有位， 用，分别表示在第次抽取中，企业获得的得分， 则，且相互独立，则， 又随机变量的取值有， ，， 所以的分布列为， 所以，， 随机变量的取值有， ，， 所以的分布列为， 所以，， 所以 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（    ） A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 【答案】B 【分析】根据独立性检验判断各个选项即可. 【详解】因为，则的值大于3.841， 就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确； 的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误. 故选：B. 2．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海·期中）下列有关线性回归分析的四个命题：① 线性回归直线必过样本数据的中心点；② 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数 时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于 1．其中真命题的个数为（    ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项A，B；根据相关系数的性质可判断C，D，进而可得正确选项. 【详解】对于①，线性回归直线一定过样本数据点的中心，故①正确； 对于②，回归直线在散点图中可能不经过任何一个样本数据点，故②错误； 对于③，当相关系数时，两个变量正相关，故③正确； 对于④，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于或，故④错误. 故真命题的个数为2. 故选：B. 4．（24-25高二下·上海·期末）为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 销售额y万元 14 21 29 30 37 43 A．广告支出数据的极差为13 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强 【答案】D 【分析】对于A，由极差的定义验算即可；对于B，由百分位数的定义判断即可；对于CD，由线性回归方程的意义判断即可. 【详解】对于A，极差为，故A错误； 对于B，销售额数据按照从小到大的顺序排列为共个数据， 因为，所以销售额数据的第百分位数为，故B错误； 对于C，线性回归方程反应之间关系的一种拟合，不具有确定性，故C错误； 对于D，若去掉超市A这一组数据，因为超市的数据偏离其他数据较远，去掉后其他数据更集中，所以相关程度会更高，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（   ） A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C．花瓣长度和花萼长度负相关 D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 【答案】A 【分析】根据散点图的特点及回归方程可判断ACD选项，根据相关系数的定义可以判断B选项. 【详解】当时， ，故A正确， 部分数据的相关系数未必和总体相同，故B错误； 从散点图可以看出花瓣长度和花萼长度正相关，故C错误； 花瓣长度和花萼长度之间不存在函数关系，为相关关系，只是用一次函数近似拟合它们的关系， 故D错误． 故选：A. 二、填空题 6．（24-25高二下·上海松江·月考）某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成的列联表，根据列联表的数据，至少有 的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系． 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 总计 7 13 20 附表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】95% 【分析】先计算卡方，对照参考表即可求解. 【详解】由题意有， 所以至少有95%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系， 故答案为：95%. 7．（24-25高三下·上海虹口·期中）某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 【答案】 【分析】求出样本中心点的坐标，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可得出实数的值. 【详解】由表格中的数据可知，，， 所以，样本中心点的坐标为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 8．（24-25高三下·上海金山·月考）某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为 ，在样本点处的离差为 ． 3 4 5 6 2.5 3 4 【答案】 4.5 【分析】根据回归直线过样本中心点得出，再根据定义计算离差即可. 【详解】，， 当时，，则离差为． 故答案为：；. 9．（24-25高二下·上海·期末）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为 . 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 【答案】36 【分析】根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值. 【详解】根据表中数据可知，， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得， 故答案为：36. 10．（24-25高二下·上海·期末）某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表 广告费（单位：万元） 2 3 4 5 销售额（单位：万元） 26 39 49 54 根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为 万元． 【答案】 【分析】先根据表格计算出广告费与销售额的平均数，得到样本中心点；再将样本中心代入回归直线方程，求出得值，写出线性回归方程；最后将代入回归直线方程得出即可. 【详解】由表格可得：； . 因为回归方程为，， 所以，即，得， 则回归方程为. 当时，. 故答案为：. 11．（24-25高三·上海·课堂例题）下列关系中是相关关系的是 （填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系. 【答案】②③ 【分析】根据相关关系是一种不确定的关系，是两个变量之间确实存在的关系，由此判断即可． 【详解】对于①，曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应关系，不是相关关系，是确定性关系； 对于②，苹果的产量与气候之间确实存在一定的关系，虽然变量的值不确定，但它们仍按某种规律在一定的范围内变化，属于相关关系； 对于③，森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间确实存在一定的关系，虽然变量的值不确定，但它们仍按某种规律在一定的范围内变化，属于相关关系； 对于④，学生与他（她）的学号之间的关系是一种确定的对应关系，是映射，不是相关关系. 故答案为：②③ 三、解答题 12．（24-25高二下·上海·期末）某学生兴趣小组从一年365天中随机调查了100天中每天的空气质量等级和当天到莘庄公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 (1)一年365天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有多少天（精确到1天）； (2)估计一天中到莘庄公园锻炼的平均人次； (3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．判断是否有95%的把握认为一天中到莘庄公园锻炼的人次不超过400人与当天的空气质量有关？（） 【答案】(1)天 (2)天 (3)有把握，理由见解析 【分析】（1）算出天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的天数后可求365天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的天数； （2）写出各锻炼人次区间对应的频数，利用中间值作代表，利用公式求解即可； （3）先根据题目中给的数据补充列联表，利用公式求出，再与临界值比较即可. 【详解】（1）由题设可得天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有天， 故天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有 天. （2）锻炼人次为的有天， 锻炼人次为的有天， 锻炼人次为有天， 利用中间值作代表，一天中到该莘庄公园锻炼的平均人次的估计值为: . （3）根据所给数据，可得列联表： 人次≤400 人次＞400 合计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 合计 55 45 100 设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关， 根据列联表得， 因为，，由小概率事件原理否定， 故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 13．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】(1)，与具有较高的线性相关程度 (2) 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【详解】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 14．（24-25高三·上海·课堂例题）季节性流感分布广泛，儿童普遍易感.某区将去年春季该区患季节性流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄 2 3 4 5 6 患病人数 22 22 17 14 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)计算样本相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该区去年春季患季节性流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱.） 【答案】(1) (2)，是 【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式即可求解； （2）根据相关系数的计算公式即可求解，然后判断相关系数的绝对值在哪个范围就能知道和相关性强弱. 【详解】（1）由题意可得，， ， . 故关于的线性回归方程为； （2）， 由，可知、负相关. 又因为，所以、相关性很强. 因此，可以认为该区去年春季患季节性流感人数与年龄负相关很强. 15．（24-25高三上·四川绵阳·月考）对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查，其售价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 11 10 8 6 5 14 (1)根据1至5月份的数据，先求出关于的回归直线方程；将6月份的数据作为检验数据，若由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所得到的回归直线方程是否理想？ (2)预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)，理想 (2)7.5 【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；利用回归方程计算时的估计值，计算误差得出结论； （2）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的x. 【详解】（1）由题意知，. ， . . 当时，， ， 可认为所得到的回归直线方程是理想的. （2）依题意得，利润： . 当元时，取得最大值. 该产品的单价定为7.5元时，利润最大. 16．（24-25高三·上海·随堂练习）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95 (1)某个同学的数学成绩与物理成绩是否可以看作成对数据？是否可以进行相关分析？ (2)如果这组数据是成对数据，请画出散点图； (3)根据以上数据，判断下列结论： ①可以判断数学成绩与物理成绩具有线性关系； ②可以判断数学成绩与物理成绩是一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高． 其中正确的序号为_____． 【答案】(1)是成对数据，能进行相关分析 (2)画图见解析 (3)① 【分析】（1）根据表格数据，数学、物理成绩呈现某种正相关，故可看作成对数据，能进行相关分析； （2）根据数据绘制具体的散点图，并由散点图可以得到具体分析的结果； （3）借助数形结合进行分析，从而得到具体答案. 【详解】（1）根据表格数据，数学、物理成绩呈现某种正相关关系，故可看作成对数据，能进行相关分析； （2） 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大； （3）由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性关系，但不能判断数学成绩与物理成绩是一次函数关系，故①正确，②错误； 若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，相关关系不是函数关系，故甲同学的物理成绩不一定比乙同学的物理成绩高，故③错误， 因此正确的序号为①. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·上海浦东新·二模）研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 【答案】C 【分析】由已知可得，，求出相关系数，即可判断A，B选项，再利用回归直线方程过样本中心点可判断C选项，D利用残差平方和进行判断即可. 【详解】设变量x，y的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 则， ， ， 则相关系数. 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故A，B错误； 对于C，因为，所以不变， 且线性回归方程过样本中心点，即，均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变，所以拟合误差Q不变，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有5个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算6个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于    ②与一定重合 则（   ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】C 【分析】根据相关系数的定义，以及得到回归直线方程的过程，即可判断选项. 【详解】当增加一个与回归直线完全拟合的数据点后，这个点没有产生新的拟合误差，整体数据点与回归直线的拟合程度变得更好，所以，不一定，故①错误； 回归方程是基于5个数据点通过最小二乘法（使拟合误差取最小值）得到的，当加入新的数据点，因为它在回归直线上，它不会改变原来使取得最小的直线的位置，所以与一定重合，故②正确. 故选：C 二、填空题 3．（2025·上海黄浦·三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【分析】设男生人数为，依题意列出列联表，分析出根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则，再代入的公式求出的范围，再根据的实际意义即可求出男生的最少人数. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 4．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 5．（2025·上海·模拟预测）已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 【答案】 【分析】利用相关系数公式可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系数问题转化为向量夹角问题，即可求解. 【详解】设， 则有， 由相关系数公式得， 设与夹角为与夹角为， 由的样本相关系数为，的样本相关系数为，所以， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， 即， 所以的样本线性相关系数的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高三下·上海·月考）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【答案】(1)表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 (2)（i）；（ii）人 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【详解】（1）依题意，列联表如下： DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. （2）（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 7．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉线次数测试，得到数据如表所示： A B C D E 甲 4 3 8 6 12 乙 5 7 4 4 3 (1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值的独立性检验，能否说明网络状况与网络的类型有关? (2)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求A，B两个地区同时被选到的概率； (3)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以X表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位置个数，求随机变量X的分布及数学期望． 附：其中． α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2) (3)分布见解析，数学期望为1.8 【分析】（1）根据题干信息，填写列联表，再代入公式计算，下结论即可. （2）在5个地区中任选3个，有种选法，其中A，B两个地区同时被选到的选法有种，再根据古典概型列式计算即可. （3）根据题意知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，再根据超几何分布求解对应概率，计算数学期望即可. 【详解】（1）根据题意列出列联表如下： 糟糕 良好 合计 甲 3 2 5 乙 1 4 5 合计 4 6 10 零假设：网络状况与网络类型无关，则， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即网络状况与网络的类型有关． （2）在5个地区中任选3个，有种选法， 其中两个地区同时被选到的选法有种， 因此所求概率． （3）随机变量的所有可能取值为1，2，3， ． 故的分布列为： 1 2 3 P . 8．（2025高三上·上海·专题练习）为了了解高中学生课后自主学习时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下图） 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据:，） (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习，经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生，按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（如下图）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.996 (2)相关系数接近1，可线性拟合，， (3)认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关. 【分析】（1）根据所给数据计算出相关系数； （2）因接近，故与之间具有极强的线性相关关系；依次运用公式计算和，即得线性回归方程，代入即得数学预测成绩； （3）计算出卡方，即可判断. 【详解】（1）由题所给数据可得， ， ， ， ， 所以 . （2）由（1）知相关系数接近，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合； 所以，， 所以，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为分. （3）零假设为学生周末在校自主学习与成绩进步无关. 根据数据，计算得到， 所以依据的独立性检验，可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关. 9．（2023·上海长宁·二模）某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量． 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 t 0 1 2 3 4 保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 假设该地新能源汽车饱和量万辆． (1)若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）； (2)设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）． 附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：. 【答案】(1)，万辆 (2)， 【分析】（1）根据题意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解； （2）设设，转化为关于的线性回归问题，利用公式求出即可. 【详解】（1）由题意可知，2018年对应，， 满足，所以，解得， 因为年对应的， 所以 所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆. （2）， 设，则， t 0 1 2 3 4 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 3.37 3.07 2.77 2.44 2.11 ，， ， 所以， 因为， 所以. (该题无参考数据，需要计算器计算) 10．（2023·上海嘉定·三模）烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下： 1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟. 参考数据与公式：设，则 6.8 线性回归直线中，.    (1)填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元） (2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议. 【答案】(1)表格见解析，（元） (2)建议购买3辆车 【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可； （2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可. 【详解】（1）由表格及公式通过计算器可计算得 补全填空如下： 0.54 6.8 1.53 0.45 根据题意，， 所以 所以， 又，所以， 所以时，（千元）， 即卖出100份的成本为11764元， 故利润（元）. （2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为： 箱数 设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元， 则的可能取值为，其分布列为： 1500 800 100 P 故， 的可能取值为，其分布列为： 2000 1300 600 -100 P 故， 即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车. 11．（23-24高三下·上海·月考）社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会.某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格: 大学 A大学 B大学 C大学 D大学 2023年毕业生的人数（千人） 7 6 5 4 2023年毕业生中参加过社会实践人数（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2 若该省大学2023年毕业生人数为12万人，对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放1000元的补贴. (1)写出关于的线性回归方程，并估计该省2023年发放补贴的总金额（单位:万元）; (2)若2023年毕业生中的小李、小王参加暑期社会实践活动的概率分别为，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围. 参考公式:. 【答案】(1)；1180 (2) 【分析】（1）根据给定数表，结合最小二乘法公式计算即得到回归直线方程，再代入求出参加过暑期社会实践活动的人数，从而估计出补贴的总金额； （2）设小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为，求出，再利用期望的性质得到不等式，解得即可. 【详解】（1）由数表知，，， ，， ， ， 所以，， 因此， 所以关于的线性回归方程是， 当千人时，（千人）， 所以该省要发放补贴的总金额约为：万元； （2）设小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为，则的可能取值为、、， 所以， ， ， 所以 ， 因此，解得，而，即， 于是，所以的取值范围是. 12．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数； （2）由古典概型概率公式可得； （3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得. 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $