第8章 成对数据的统计分析（单元自测·基础卷）高二数学沪教版选择性必修第二册

第8章 成对数据的统计分析 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．下列各组数据中，可以进行相关分析的是 ．（填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系； ⑤角度和它的余弦值； ⑥正n边形的边数和内角和． 【答案】②③ 【分析】利用相关关系的概念进行判断． 【详解】由题意可知：①④⑤⑥是函数关系，是两个变量之间的关系是一种确定性关系， 比如⑤⑥可以写出它们的函数关系式，分别为，， 而②③中的两个变量之间有一定关系，但不是确定关系，所以它们具有相关关系． 故答案为：②③. 2．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】乙 【分析】根据相关系数的定义判断即可. 【详解】因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高， 故答案为：乙. 3．学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，其相关系数 （结果保留两位小数）. 【答案】0.99 【分析】根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意 . 故答案为：. 4．由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是 x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 【答案】/ 【分析】先计算出样本的中心点坐标，将其代入中可求得m的值，再结合离差的定义求解即可. 【详解】因为，，且线性回归方程恒过， 所以，解得， 将代入回归方程得， 所以此回归方程在样本点处的离差是. 故答案为： 5．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机地抽取50名学生，得到如下列联表，则 ．（结果精确到0.001） 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 【答案】 【分析】根据图表，利用的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 6．下列说法中正确的是 ． ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强； ④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大． 【答案】①④ 【分析】利用方差的性质判断①的正误；利用回归直线的性质判断②，相关系数判断③，独立检验判断④． 【详解】对于①，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，①正确； 对于②，设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位；所以②不正确； 对于③，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以③ 不正确； 对于④，在一个2×2列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，所以④正确； 故答案为：①④． 7．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 【答案】有 【分析】根据列联表数据和的计算公式求出即可根据小概率值的独立性检验得到结论. 【详解】零假设为改款盲盒与性别无关联. 由列联表数据计算得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故有的把握认为改款盲盒与性别有关. 故答案为：有. 8．某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与气温.由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 度. 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 【答案】40 【分析】先求解，代入方程求得，然后可得气温为时用电量的度数. 【详解】， ， 所以，所以当时，. 故答案为：40. 9．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量（单位：千箱）与单位成本（单位：元）的资料进行线性回归分析，结果如下：，，，，，，则销量每增加1000箱，单位成本下降 元. 【答案】1.8182/ 【分析】求出线性回归方程可得答案. 【详解】由，，所以， 销售量每增加1000箱，则， 所以单位成本下降1.8182元. 故答案为：1.8182. 10．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得样本中心代入回归方程，求得，进而求得，令时，求得的值，即可得到答案. 【详解】由表格数据得，， 因为数对满足，解得， 所以，即，可得， 当时，可得， 即当时，蝗虫的产卵量的估计值为． 故答案为：． 11．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， . 【答案】 【分析】两边同时取对数，求得，结合，求得，得到的值，再由，求得，结合，即可求解. 【详解】由，两边同时取对数，可得， 因为变换后的线性回归方程为，可得， 即，所以， 又因为，且， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为：；. 12．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数 . 【答案】 【分析】根据题干中相关系数的定义进行计算. 【详解】由题干数据，，可得， 根据夹角公式的定义，，而， 根据 ， 于是. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列关于散点图的说法中，正确的是（    ） A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系 C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况 【答案】B 【分析】根据散点图的概念判断即可. 【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误； 散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误； 散点图中能看出数据的分布情况，故D错误. 故选：B 14．某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（     ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据，与临界值表对照判断. 【详解】解：因为，且， 所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关， 即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于， 故①②正确； 分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确； 故选：D 15．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 【答案】B 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，由相关系数公式即可判断B，根据回归方程代入计算即可判断C，由的正负即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故B正确； 当时，y的预测值为，故C错误； 因为，所以与的样本是正相关，故D错误. 故选：B 16．已知两个变是x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m，具体数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y m 若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】由回归方程可得，设去掉数据后，新数据为， 注意到，结合相关系数计算公式可得答案. 【详解】由题可得原数据，因过点， 则，从而. 设去掉数据后，新数据为，则 ，又因，， 则，，从而. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好” ①根据所给数据，完成下面的列联表，并计算第一行第一列数据的预期值． ②根据上一小问的列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次超过400人与该市当天的空气质量有关．             锻炼人次 空气质量 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 【答案】(1)概率见解析；350； (2)①列联表见解析；38.5；②有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 【分析】（1）用频率估计概率，结合平均数计算公式求解即可； （2）①得出列联表，进一步求得预期值．②计算卡方值，对比临界值即可判断. 【详解】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为，，，的概率的估计值如下表： 空气质量等级 概率的估计值 一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为． （2）根据所给数据，可得列联表：             锻炼人次空气质量 人次 人次 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 第一行第一列数据的预期值为． 根据列联表得的观测值．由于， 故有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 18．（14分）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免 的费用（元） 3 4 5 6 7 用户数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】(1) (2)万人 【分析】（1）根据已知数据，先求得，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程； （2）利用回归方程估计. 【详解】（1）解：由 有， 故关于的线性回归方程为； （2）解：由（1）知回归方程为，当时，， 所以预测该月的用户数量为万人. 19．（14分）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. (3)见解析. 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）计算出的值，即可判断； （3）利用超几何分布求出分布列，然后利用期望和方差的公式求解即可. 【详解】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. （2）根据题意，可将表格补充完整： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 故， 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员， 故随机变量可能为 且, 故分布列如下： 0 1 2 所以期望：， 方差：. 20．（18分）随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）由 ，得模型线性化为：，然后利用最小二乘法的公式计算即可； （2）利用二项分布的概率计算公式与期望计算公式可得答案. 【详解】（1）由 ，则模型线性化为：， ，，， 由，， 得：， 由，， 得：， 代入最小二乘法估计公式，得： ， ， ， 故关于的回归方程为：. （2）由题意知： 服从二项分布，即. 由二项分布的概率计算公式得： ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 21．（18分）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记，.证明：； （ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 注：参考公式与参考数据. ；；. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可； （2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可. 【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 ； （2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以 ， ， 从而和的平均数都是． 因此， ， 同理可得， 由于 ， 所以. （ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91， 答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 【点睛】方法点睛；新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 成对数据的统计分析 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．下列各组数据中，可以进行相关分析的是 ．（填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系； ⑤角度和它的余弦值； ⑥正n边形的边数和内角和． 2．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 3．学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，其相关系数 （结果保留两位小数）. 4．由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是 x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 5．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机地抽取50名学生，得到如下列联表，则 ．（结果精确到0.001） 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 6．下列说法中正确的是 ． ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强； ④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大． 7．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 8．某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与气温.由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 度. 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 9．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量（单位：千箱）与单位成本（单位：元）的资料进行线性回归分析，结果如下：，，，，，，则销量每增加1000箱，单位成本下降 元. 10．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为 ． 11．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， . 12．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列关于散点图的说法中，正确的是（    ） A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系 C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况 14．某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（     ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A．个 B．个 C．个 D．个 15．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 16．已知两个变是x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m，具体数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y m 若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好” ①根据所给数据，完成下面的列联表，并计算第一行第一列数据的预期值． ②根据上一小问的列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次超过400人与该市当天的空气质量有关．             锻炼人次 空气质量 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 18．（14分）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免 的费用（元） 3 4 5 6 7 用户数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 19．（14分）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20．（18分）随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 21．（18分）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记，.证明：； （ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 注：参考公式与参考数据. ；；. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 成对数据的统计分析 单元自测卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.②③. 2.乙 3.. 4. 5.. 6. ①④ 7.. 8 40. 9. 1.8182. 10.． 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13 14 15 16 B D B A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为，，，的概率的估计值如下表： 空气质量等级 概率的估计值 一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为． (6分) （2）根据所给数据，可得列联表：             锻炼人次空气质量 人次 人次 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 第一行第一列数据的预期值为． 根据列联表得的观测值．由于， 故有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． （8分） 18．（14分）【详解】（1）解：由 有， 故关于的线性回归方程为； （8分） （2）解：由（1）知回归方程为，当时，， 所以预测该月的用户数量为万人. （6分） 19．（14分）【详解】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. （4分） （2）根据题意，可将表格补充完整： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 故， 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. （5分） （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员， 故随机变量可能为 且, 故分布列如下： 0 1 2 所以期望：， 方差：. （5分） 20．（18分）【详解】（1）由 ，则模型线性化为：， ，，， 由，， 得：， 由，， 得：， 代入最小二乘法估计公式，得： ， ， ， 故关于的回归方程为：. （9分） （2）由题意知： 服从二项分布，即. 由二项分布的概率计算公式得： ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （9分） 21．（18分）【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 ； （4分） （2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以 ， ， 从而和的平均数都是． 因此， ， 同理可得， 由于 ， 所以. （ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91， （14分） 答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $