考点02 问题策略——最值问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

考点02 问题策略——最值问题 考点一：和距离最值有关的几何知识 1.两点之间线段最短； 2.垂线段最短（点到与直线上动点连线） 3.三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 考点二：利用对称性转化线段求最值问题 线段 和最 小值 问题 点的情况 作法及结论 两点在直 线异侧 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小   结论：PA＋PB的最小值为AB的长 两点在直 线同侧 “将军饮马” 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小   结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 考点三：一般方法 1.找题眼、配模型. ①找点：观察所求线段和(差)特点，相同字母为动点，另外两字母为定点. ②求值：分析是同侧还是异侧，看是否需要作对称. 2.用模型、明思路. ①异侧求和最小，连接两定点，与定直线的交点为最小值时动点的位置；异侧求差最大，需要作对称，考虑作定点关于动点所在直线的对称点，连接另一定点与所作对称点并延长，与动点所在直线的交点为最大值时动点的位置； 题型一：根据垂线段最短求线段的最值 ·转化思想：转化线段为求定点到直线上动点的连线段的距离。 1.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 【答案】 关于点A成中心对称 【难度】0.65 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质、三角形的面积公式、勾股定理． （1）根据轴对称的性质和中心对称的定义求解； （2）根据勾股定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）如图，连接． 由轴对称的性质可知，，， ，， 三点共线，点F和点G关于点A成中心对称． 故答案为：关于点A成中心对称. （2）在中，． 由（1）知，，当最小时，最小， ∴当时，最小，此时为中边上的高． 设中边上的高为h，则，解得， 的最小值为． 故答案为： 2.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 题型二：根据对称性转化线段求线段和的最小值（将军饮马问题） 三线段 或周长 最小值 两动一定 两定两动 三动点 两定点 一定长 线段和最小值+ 垂线段最短 问题 动点到线 段距离为 定长 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离PD为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小   结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 2．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 3.（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 (1)1 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________． 【答案】14 【难度】0.65 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理、平移的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作A关于的对称点，将线段沿射线平移的长度，得到，连接、、、，根据轴对称的性质和平移的性质可推出，再由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，最后利用勾股定理得到即可解答． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接、，则，， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴点、、三点共线，即， ∵，， ∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、， 此时，， ∴， ∵，， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 此时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：14． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 【答案】８ 【难度】0.4 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据A、B两点的坐标，得出，说明点在直线上运动，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图， 则， 由旋转知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当最小时，的周长最小， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 则， ∴， 当点与点E重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴由勾股定理得， 即的最小值为5， ∴周长的最小值为， 故答案为：８． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 6．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，为等腰直角三角形，，点P在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为_______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】作点关于点的对称点，连接，由平移的性质可得：，证明得到，由对称的性质可得：，推出，则，当在同一直线上时，的值最小，为，根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出，由勾股定理计算出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点，连接， 由平移的性质可得：， ， ， ， ∴， ， ∵点关于点的对称点， ∴， ， 当在同一直线上时，的值最小，为， ∵为等腰直角三角形，， ， ， 在中，， ， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键． 题型三：根据三角形的三边关系求最值 线段 差最 大值 问题 两点在直线 同侧 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大   结论：|PA－PB|的最大值为AB的长 两点在直线异侧 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大   结论：|PA－PB|的最大值为AB'的长 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3)8 【难度】0.15 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； （3）解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线定理，二次根式的运算，线段最值问题等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建南平·期中）在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点． (1)如图①，若，求证：是等腰三角形； (2)如图②，若点在上，求证：点是的中点； (3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)有最大值：，有最小值：，图形见解析 【难度】0.4 【分析】（1）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，得到，然后证明，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，即可得证； （2）根据等腰三角形的性质和旋转的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据勾股定理和旋转的性质得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵，， ∴， 又∵绕点旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴，，， ∴，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：∵，， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，当、、三点共线且点在点上方时，此时点，点都与点重合， 有最大值：； 如图，当、、三点共线且点在点下方时，此时点，点都与点重合， 有最小值：． 【点睛】本题是旋转综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，本题综合性较强，有一定的难度．掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 题型四：费马点问题 模型拓展——费马点 数学上称，到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点. 问题：如图①,在△ABC内有一动点P,求点P到三角形三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC的最小值. 思路：利用旋转，将点P与原三角形一边组成的三角形绕原三角形一顶点旋转60°，将PA，PB，PC三条折线段转化为一条直线段时，线段和最小. 作法： 如图②，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA＋PB＋PC＝PQ＋PB＋QE≥BE，即当B，P，Q，E四点共线时(图③)，PA＋PB＋PC的值最小，最小值为BE的长. 1．（21-22九年级上·湖北鄂州·期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA＋PB＋PC的最小值是______________________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H．根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小值＝EC的长，解直角三角形求出EC即可． 【详解】解：如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H． ∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°， ∵∠ABP＝∠EBF， ∴∠EBF＋∠ABF＝60°， ∴∠EBC＝120°， ∵PB＝BF，∠PBF＝60°， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB＝PF，∠ABE=60° ∵PA＝EF， ∴PA＋PB＋PC＝CP＋PF＋EF， 根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小值＝EC的长， 在Rt△EBH中，∵∠EBH＝180°-∠ABC-∠ABE=60°，EB＝AB=4， ∴∠BEH=90°-60°=30° ∴BH＝BE＝2，EH＝， ∴CH＝BH＋CB＝2＋6＝8， ∴EC＝ 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 2．【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【难度】0.65 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（）；（）；问题解决：（）证明见解析；（）；学以致用： 【难度】0.4 【分析】背景资料：根据等边三角形的判定、两点之间线段最短及周角的定义解答即可； 知识生成： （）由旋转可得，进而得到，，，，即可得为等边三角形，得到，，进而由勾股的逆定理得为直角三角形，得到，即得到，即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，即得，即得到，进而由得到，再根据勾股定理即可求证； 问题解决： （）在上取一点，使得，连接，可证为等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； （）由直角三角形的性质得，由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由点为的费马点，，利用勾股定理求出即可求解； 学以致用：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，，，即得和均为等边三角形，得到，，，进而得到，又由是等腰直角三角形，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”， 则，， ∴， ∴， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）由旋转可得，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）在中，∵，， ∴， 如图，将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （）在中，∵，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点为的费马点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的值是， 故答案为：； 学以致用：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于， 由旋转的性质可得，，，，， ∴和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型五：根据最大距离求最大面积 ·核心原理：①最大面积 =固定底 × 最大高 关键：底固定，找最大高（距离）。 ·解题步骤： 1. 定底：找出图形中长度不变的一边（如线段AB），作为固定底。 2. 找高（关键一步）- 若顶点在直线上运动：点到直线的垂线段长度即为高。 ①若顶点在圆上运动：最大距离 = 圆心到直线距离 + 半径；最小距离 = 圆心到直线距离 - 半径。 ②利用平行线间距离处处相等，平移顶点找高。 3. 代公式 ①将最大高代入面积公式；②四边形：可分割为两个三角形，面积相加。 注意：区分最大距离与最大高：高必须是垂线段。 1．（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，7 【难度】0.4 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题； （3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始终保持不变，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵， 即 ， 在 和 中， （2），理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同 （1）得： (SAS)， ∴， ∴， ∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高， ∴， ∵， ∴； （3） 与 的面积和存在最大值为7，理由如下： 如图（4）    由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ， ∵ 与 面积的和达到最大， ∴ 面积最大， ∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ， ∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大， ∴， ∴ 与 面积的和达到的最大值为： 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 2．【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    【答案】（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3） 【难度】0.4 【分析】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明． （2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论． （3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解． 【详解】（1）选择① 证明：，， ， 又， 选择② 证明：，， ， 又， ．    （2）过点作于，   ，， ，，三点共线，都在的垂直平分线上，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． （3）延长交于E，如图，    由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵在中，，， ∴当时，此时， 过点A作于D， ∴，， 作线段，交于O，使， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题．灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键． 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)的周长最小值为． 【难度】0.4 【分析】（1）把代入，可得，再分别求解的坐标可得，进一步可得答案； （2）如图，由，为等腰三角形且，可得，可得，可得直线为：，再进一步求解即可，当轴时，不符合题意；从而可得答案； （3）如图， 求解，，，设线段向上平移个单位，向右平移个单位，可得，，过作轴于，可得，证明，结合，可得，可得，在直线上运动，且在的内部，作关于直线的对称点，连接，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴正半轴，轴相交于两点， ∴当，， ∴， ∵直线分别与轴，轴相交于两点， ∴当，，当，则， ∴，， ∴，而， ∴； （2）解：如图， ∵，为等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 直线为：， ∴， 解得：， ∴； 当轴时，不符合题意； 综上：． （3）解：如图，∵，，， ∴，，， ∵在的内部， ∴设线段向上平移个单位，向右平移个单位， ∴，， 过作轴于， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴在直线上运动，且在的内部， 作关于直线的对称点，连接， 则， ∴的周长为， 当共线时，的周长最小， 而， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，化为最简二次根式，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)的最小值为4，. 【难度】0.4 【分析】（1）根据题意得，即可求证； （2）根据题意得，再证，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴ （2） 理由：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴        ∴ （3）由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，如图； ∵， ∴ ∵， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4 ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键． 3．【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 【答案】（1）证明见详解；（2），证明见详解；（3） 【难度】0.4 【分析】（1）利用手拉手模型，结合等边三角形性质，证明，即可得证； （2）将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示，得到，，再由勾股定理求解即可得到答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示，可证明，则，得，再证明，得，推导出，在上截取，连接，可证明，得，当时，的值最小，此时的值最小，由勾股定理得，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 即； （2）满足的数量关系为， 证明如下： 将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示： 由旋转性质可得，， 在等腰中，由勾股定理可得， 即， ， 即； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示： ，，， ∴，， ∴， 则， ∵， ， 在中，由勾股定理可得， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在上截取，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据知，此时的值最小，如图所示： ， ， ， 在等腰中，由勾股定理可得， 则， 解得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，重点考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足： (1)如图1，已知，，则______； (2)如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度沿轴正半轴运动；与此同时，点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴正半轴运动；点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴负半轴运动．连接，将绕点逆时针旋转至，连接交轴于点．当时，求运动时间． (3)如图3，已知，点是中点，过点作直线轴，点是直线上的动点，连接，作，且，若达到最小，且最小值为时，求此时的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【难度】0.15 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是作垂线构造全等三角形． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点D作轴于点E，可证明，得，再证明，得，在中由勾股定理可求出的值． （3）过点作轴于点，可证明，可证得，点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，得，由勾股定理可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：． （2） 由已知可得，， 过点D作轴于点E， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴（负值舍去）． 答：当时，运动时间为． （3） ∵为的中点， ∴． 作轴于点， ∵，且 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上 作点关于直线的对称点 则有， ∴ ∴连接，与直线的交点时最小 在中 ∴ ∴（负值舍去） 答：若达到最小，且最小值为时，此时的值为2． 5．（25-26九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)最小值，最大值 【难度】0.4 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图②，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为；         （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【难度】0.65 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 问题策略——最值问题 考点一：和距离最值有关的几何知识 1.两点之间线段最短； 2.垂线段最短（点到与直线上动点连线） 3.三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 考点二：利用对称性转化线段求最值问题 线段 和最 小值 问题 点的情况 作法及结论 两点在直 线异侧 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小   结论：PA＋PB的最小值为AB的长 两点在直 线同侧 “将军饮马” 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小   结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 考点三：一般方法 1.找题眼、配模型. ①找点：观察所求线段和(差)特点，相同字母为动点，另外两字母为定点. ②求值：分析是同侧还是异侧，看是否需要作对称. 2.用模型、明思路. ①异侧求和最小，连接两定点，与定直线的交点为最小值时动点的位置；异侧求差最大，需要作对称，考虑作定点关于动点所在直线的对称点，连接另一定点与所作对称点并延长，与动点所在直线的交点为最大值时动点的位置； 题型一：根据垂线段最短求线段的最值 ·转化思想：转化线段为求定点到直线上动点的连线段的距离。 1.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 2.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二：根据对称性转化线段求线段和的最小值（将军饮马问题） 三线段 或周长 最小值 两动一定 两定两动 三动点 两定点 一定长 线段和最小值+ 垂线段最短 问题 动点到线 段距离为 定长 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离PD为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小   结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 2．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 3.（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 4．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 6．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，为等腰直角三角形，，点P在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为_______． 题型三：根据三角形的三边关系求最值 线段 差最 大值 问题 两点在直线 同侧 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大   结论：|PA－PB|的最大值为AB的长 两点在直线异侧 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大   结论：|PA－PB|的最大值为AB'的长 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 3．（23-24九年级上·福建南平·期中）在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点． (1)如图①，若，求证：是等腰三角形； (2)如图②，若点在上，求证：点是的中点； (3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形． 题型四：费马点问题 模型拓展——费马点 数学上称，到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点. 问题：如图①,在△ABC内有一动点P,求点P到三角形三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC的最小值. 思路：利用旋转，将点P与原三角形一边组成的三角形绕原三角形一顶点旋转60°，将PA，PB，PC三条折线段转化为一条直线段时，线段和最小. 作法： 如图②，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA＋PB＋PC＝PQ＋PB＋QE≥BE，即当B，P，Q，E四点共线时(图③)，PA＋PB＋PC的值最小，最小值为BE的长. 1．（21-22九年级上·湖北鄂州·期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA＋PB＋PC的最小值是______________________． 2．【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 题型五：根据最大距离求最大面积 ·核心原理：①最大面积 =固定底 × 最大高 关键：底固定，找最大高（距离）。 ·解题步骤： 1. 定底：找出图形中长度不变的一边（如线段AB），作为固定底。 2. 找高（关键一步）- 若顶点在直线上运动：点到直线的垂线段长度即为高。 ①若顶点在圆上运动：最大距离 = 圆心到直线距离 + 半径；最小距离 = 圆心到直线距离 - 半径。 ②利用平行线间距离处处相等，平移顶点找高。 3. 代公式 ①将最大高代入面积公式；②四边形：可分割为两个三角形，面积相加。 注意：区分最大距离与最大高：高必须是垂线段。 1．（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 2．【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    1．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 3．【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足： (1)如图1，已知，，则______； (2)如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度沿轴正半轴运动；与此同时，点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴正半轴运动；点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴负半轴运动．连接，将绕点逆时针旋转至，连接交轴于点．当时，求运动时间． (3)如图3，已知，点是中点，过点作直线轴，点是直线上的动点，连接，作，且，若达到最小，且最小值为时，求此时的值． 5．（25-26九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $