专题02 将军饮马、将军遛马、将军过桥解决线段和的最值问题的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题02 将军饮马、将军遛马、将军过桥解决线段和的最值问题的三种模型 目录 题型一：将军饮马解决线段和的最值问题 1 题型二：将军遛马解决线段和的最值问题 7 题型三：将军过桥解决线段和的最值问题 18 题型一：将军饮马解决线段和的最值问题 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型证明： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例题：（25-26八年级上·北京·月考）如图所示，在等边中，E是边的中点，于点D，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】题考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】是等边三角形，， ， 是的垂直平分线， 点E关于的对称点为F， 如图所示，作点E关于的对称点F，连接， 就是的最小值， 是等边三角形，E是边的中点， F是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为3， 故答案为：3． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中有，两点，坐标分别为，，若轴上存在一点，使的值最小，那么这个最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、坐标距离公式，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接，根据对称的性质得到，根据两点之间，线段最短，得到当三点共线时，的值最小，再根据坐标距离公式求解即可． 【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接， ∴， ∴ ∵两点之间，线段最短， ∴当三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是______．    【答案】 【分析】此题主要考查平移的性质，勾股定理；将把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，进而得出的最小值为长，即可求解答案． 【详解】解：如图，把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，    ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在边长为2的正方形中，点M、N分别是边、上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题延长到点，使，连接、、，根据正方形的性质可得，，然后得到，，进而得到，再根据两点之间线段最短，然后通过勾股定理即可求解； 【详解】解：延长到点，使，连接、、，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴由图可得的最小值为， 在中，勾股定理可得， ∵，， 解得：， ∴的最小值为：， 故答案为：； 题型二：将军遛马解决线段和的最值问题 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 模型证明： 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例题：如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 【变式训练】 1．如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________． 【答案】14 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理、平移的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作A关于的对称点，将线段沿射线平移的长度，得到，连接、、、，根据轴对称的性质和平移的性质可推出，再由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，最后利用勾股定理得到即可解答． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接、，则，， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴点、、三点共线，即， ∵，， ∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、， 此时，， ∴， ∵，， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 此时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：14． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 _____． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 3．阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值． 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD． 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合… 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________； 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________． 【答案】[尝试解决]7；[灵活运用]，2；[拓展提升]， 【分析】尝试解决：根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将A向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到D点的位置，进而得到C点的位置．写出，坐标，利用两点间距离公式求解即可； 灵活运用：借助上一问的思路，CD的长度一定，利用平移和对称，转化求其最小值； 拓展提升：按照前面的思路，CD的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值． 【详解】解：[尝试解决]：由题意得，，， ， ， AC+CD+DB的最小值是7， 故答案为：7． [灵活运用]：先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点即为D点，以D点为圆心，的长度为半径画圆，与直线的交点即为C点，连接AC、CD、BD，此时AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD． 作图如下： 由作图得，，且， 四边形是平行四边形，且，，，， 最小值为， 此时a为C点的横坐标2， 故答案为：，2． [拓展提升]：先将A点向右平移2个单位长度得到，得到平行四边形，，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求的最小值， 由题意得： D点在直线上，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点B，连接，与直线的交点为点D，D点向左平移2个单位为C点，如图： 与直线垂直， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 是的中点，设， ， 解得， ， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 点是直线与直线的交点， 解得， ， 点是由D点向左平移2个单位长度所得到的点， ， 此时，， 故答案为：，． 4．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 题型三：将军过桥解决线段和的最值问题 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 模型证明： 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例题：（24-25八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 (1)1 (2) 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02将军饮马、将军遛马、将军过桥解决线段和的最值问题的三种模型 题型归纳 目录 题型一：将军饮马解决线段和的最值问题 题型二：将军遛马解决线段和的最值问题 .7 题型三：将军过桥解决线段和的最值问题…18 题型专练 题型一：将军饮马解决线段和的最值问题 条件：A,B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型(1)点A、B在直线m两侧： 模型(2)点A、B在直线同侧： 模型证明：模型(1)点A、B在直线m两侧： 模型(2)点A、B在直线同侧： 图(1) 图(2) 模型(1)：如图(1)，连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型(2)：如图(2)，作点A关于定直线m的对称点A',连结A'B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小 值即为：线段AB的长度。 例题：(25-26八年级上·北京·月考)如图所示，在等边ABC中，E是AC边的中点，AD1BC于点D,P 是AD上的动点，若AD=3,则EP+CP的最小值为一· 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练】 1.在平面直角坐标系中有A,B两点，坐标分别为A(0,2),B(2,,若x轴上存在一点M,使MA+MB的 值最小，那么这个最小值为· 2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则 EF+EB的最小值是 3.(24-25八年级下·北京期中)如图，点A(3,0)在x轴上，直线y=-x+6与两坐标轴分别交于B,C两点， D,P分别是线段OC,BC上的动点，则PD+DA的最小值为一· 0 AB\、 4.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是(-1,0)，点B的坐标是2,0)，长为2的线段CD在y轴上移动， 则AC+BD的最小值是· 不 U A O B 5.(24-25八年级下·北京海淀·期中)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、DC上 的动点，且BM=CN,连接BN,DM,则BN+DM的最小值为一 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B 题型二：将军遛马解决线段和的最值问题 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定 ,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧（图1-2）： ● 图1-1 图1-2 模型证明： 将军遛马模型（异侧型)：如图1-1，过A点作ACm,且AC=PQ,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ 长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ,PQ为定值，.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ ,∵ACm,AC=PQ,得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。.PA+QB=QC+QB, 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB,故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE‖m,且AE=PQ,作B关于m的对称点B',连接B'E,交 直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 :PQ为定值，∴.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ,AElm,AE=PQ,得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。.PA+QB=QE+QB, 根据对称，可得QB'=QB,即QE+QB=QE+QB', 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+OB的最小值为EB',故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB'。 例题：如图，ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，∠B=65°.E为AC边上的动点，F,G为AD 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上的动点，且FG的长为定值FG<2AD 连接CF,GE,当GE+CF取最小值时，∠CFD的度数为() B D A.25° B.35 C.55 D.65 【变式训练】 1.如图，正方形ABCD的边长为6，线段EF在边BC上左右滑动，若EF=1,则AE+EF+DF的最小值 为 2.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在x轴上，AB=2,点C的坐标为0,2)，点D的坐标为6-1)， 则CA+AB+BD的最小值为。 B 0 D 3.阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，己知点A(0,3), B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),连接AC、CD、DB,求AC+CD+DB的最小值. 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连接A1B1交x轴于 点D,将点D向左平移2个单位长度得到点C,连接AC、BD.此时AC+CD+DB的最小值等于AB+CD, 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1,作点A1关于x轴的点A2,连接A2B可以求解. 小亮：对称和平移还可以有不同的组合 4/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),B(5,1),C(a,1),D(a+2,0),连接AC、CD 、DB,则AC+CD+DB的最小值是 ,此时a= 并请在图5中用直尺和圆规作出AC +CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）. 6 6 6 5 4 4 3 3 2 2 D .B 1 -.D 267 234678 -2 图4 图5 图6 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且 CD=2(点D在点C右侧)，连接AC、CD、AD,直接写出AC+CD+DA的最小值是 ，此 时点C的坐标是 4.(24-25八年级下·山东威海·期末)数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种 变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决. 图1 图2 图3 (I)如图1，已知菱形ABCD,∠A=60°，AB=2,点E是BC边中点，点F是对角线BD边上的动点.连接 EF,CF,则EF+CF的最小值为 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，已知矩形ABCD,AB=6,BC=3.点E是BC上的点，且CE=1,点F,G是CD上的动点， 且FG=1,连接AG.则EF+FG+AG的最小值为 (3)如图3，己知正方形ABCD,AB=2,E是AC上的动点，F是BC上的动点，且AE=CF,连接AF, DE,求AF+DE的最小值. 题型三：将军过桥解决线段和的最值问题 将军造桥（过桥）模型：己知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建 造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM什MNW+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 模型证明： 将军造桥（过桥)模型：如图2-2，过A点作AAMN,且AA'=MN,连接A'B, :AA'MN,且AA'=MN.四边形APQC为平行四边形，故AM=A'N, ,MN为定值，∴.求AM什MN+NB的最小值，即求AM什VB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM什NB的最小值为A'B,故AMMN+NB的最小值=A'B+MN。 例题：(24-25八年级下福建漳州期中)河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图），要在 河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A,B间的路程最短.确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的 垂线，分别交河岸PO,MN于F,G.在AG上取AE=FG,连接EB,EB交MN于D.在D处作到对岸 的垂线DC,那么DC就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明. A E F M G 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),点B(3,-3,直线m经过点C(0,-1,且与x轴平行，点M, N分别是x轴和直线m上的动点，且MW⊥x轴，连接AM,MW,NB. 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ? B (1)线段MN的长是 (2)当AM+MN+NB取得最小值时，点M的坐标是 2.(25-26八年级上福建龙岩·期中)综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数 学问题一将军饮马，如图(1)，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边1饮马后再回到点B宿营， 他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 围 0. 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 【分析问题】小亮：如图(2)，作点B关于直线l的对称点B,连接AB与直线I交于点C,点C就是饮马 的地方，此时按路线走的路程就是最短的. 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图(3)，在直线1上另取不同于点C的任一点C',连接AC',BC',B'C'. :点B、B关于直线l对称，点C、C在直线1上， ∴CB= ,C'B= .AC+CB=AC+CB' :在△ACB'中，AB′<AC'+CB′， <AC'+CB',即AC+CB最小. 【解决问题】 任务 请将小亮的说明过程补充完整.（直接填在横线上） 如图(4)，将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在 任务二 图中设计一条路线，使其所走的路径最短.（保留画图痕迹） 如图(5)，在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过 任务三 这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥MN,则这座桥MN造在何处可使由P村到Q 7/8 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 8/8