重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练（重难专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点02相似三角形模型及其综合题综合训练 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ☆考法解读/考向预测 第二部分重难要点賠剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知★技巧点拨 ★类题夯基 考向01基础模型的直接应用（选填题提速专练） 考向02直角三角形的衍生模型（高频核心考点） 考向03共点与旋转型相似（压轴题常客） 考向04相似在三角形与四边形中的综合应用 考向05坐标系中的相似（数与形的桥梁) 考向06相似三角形的动态探究与最值问题 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆分父的◆ 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国中考真题，相似三角形的命题呈现“重基础模型渗透，重综合推演能力”的双核 驱动特点： 1. 基础考查：多以选择题、填空题形式出现，直接考查相似三角形判定与性质，或与反比例函数、 格点作图结合，单题分值3-4分。 2. 综合考查：作为解答题的“灵魂纽带”贯穿全卷。在几何综合题（如圆的证明计算、四边形探究） 和函数压轴题中，相似是转化边比例、证明直角、求坐标的核心工具，极具区分度。 3. 命题偏好：“一线三等角”(K字型)、“A字型”和8字型”是命题人最青睐的基础模型，而“旋转型相 似”（共享顶点）则是拉开分差的高阶考点。 二、2026年考法预测 基于近年命题演变，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1.命题趋势展望 (1)从“显性”向“隐性”过渡：题目将越来越少的直接给出平行条件或相等角，更多需要学生通过导角（如 利用等腰三角形、圆周角定理)自行发现隐藏的相似关系。 (2)跨板块融合加剧：预计2026年会将相似三角形与二次函数面积问题、动点轨迹（如胡不归、阿氏 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 圆模型的前置条件)深度捆绑。 (3)作图与探究并重：可能会出现“利用相似设计测量方案”的实践探究题，或在新定义背景下要求构 造特定比例的线段。 2. 2026年备考策略建议 (①)狠抓“导角”基本功：让学生养成“见拐角就标角度的习惯，熟练运用“外角为内对角”、“对顶角/公 共角”快速锁定一对相等角。 (2)固化“模型特征”雷达：训练学生看到“一组平行线+交叉线”立刻反应出A字/8字型；看到“同侧共 线等角”立刻反应出旋转型。 (3)强化“分类讨论”防漏解：在相似存在性问题中，强调“定角寻对边”的逻辑，避免因漏写比例式而导 致失分。 重●难●要●点●剖●析 考向01基础模型的直接应用（选填题提速专练） 。题型01平结构如下的A字型与8字型 包棉豪妙计 通用思路：利用平行线寻找相等的同位角/内错角，直接判定AA相似。 关键步骤： 1. 找平行线：观察图中是否有明确的一组或多组平行线。 2. 定模型：平行线截两边得A字型；截两腰得8字型(X字型)。 3.写比例。 避坑提示：注意线段的对应关系，防止把上下底和腰写反。 1.(2026辽宁沈阳一模)在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是BC边的中点，E是射线BA上一点，将 BDE沿DE翻折得到FDE,点F是点B的对应点. (图1) (图2) (I)如图1，点E在线段BA上，EF∥BC,EF,DF分别交AC于点G,H. ①求证：四边形BEFD是菱形： ②连接DG,求△DGF的面积； / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，点E在BA延长线上，DE,EF分别交AC于点M,N.连接BF,CF,若 ∠ABF=90°-∠ABC,求CF的长. 2.(2022江西赣州模拟预测)如图1，是一款小型渔具包，其侧面可抽象成图2所示的示意图，点C是渔 具包AB的中点，BC=CD,且EF始终与地面BD平行，皮带EF有一定的弹性，且始终处于紧绷状态， 已知CD=50cm. A D 777777777777777777 图1 图2 (I)当点A到地面BD的距离为50√Bcm时，求渔具包AB与支架CD的夹角LBCD的度数； (2)已知当渔具包AB与支架CD的夹角∠BCD=40°时，渔具包摆放最稳定，且CE:BE=1:3,求此时皮 带EF的长度（结果精确到0.1cm). (参考数据：sin20°≈0.34，c0s20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77， tan65°≈2.14) 3.(2026贵州遵义.一模)如图，在ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交边AC于点E, ∠B=∠EFC. B (I)求证：四边形DEFB是平行四边形； (②)当四边形DEFB是菱形时，AB=10,，BC=8,求菱形的边长 ②题型02网格（格点）中的相似三角形计数与盟 包佛豪妙计 通用思路：在方格纸中，通过勾股定理计算各边长度，利用“三边成比例”进行判定。 关键步骤： 1.定格点：明确每个小正方形的边长（通常设为1）。 2. 算边长：利用勾股定理计算目标三角形的三边长。 3 验比例：将边长从小到大排序，验证两组三角形的最短边、中长边、最长边是否对应成比例。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(2025湖北武汉·模拟预测)如图是由小正方形组成的7×7网格，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的 直尺在给定网格中完成下列画图，每问画线不超过4条， B (1) (2) (I)在图1中，先在AC上画一点P,使得∠APB=∠ABC;再在AB上画一点Q,使∠APQ=∠BPC; (2)在图2中，点D是AB与网格线的交点，先画线段AD关于AC对称的线段AE,再在AC上画点F, 使得EF=AE. 2.(2025·湖北武汉·三模)如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点ABC,P为AB与 网格线的交点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中依次完成下列画图： 图1 图2 (I)在图1中，先将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AF,再在AC上画点Q,使tan∠APQ=2; (2)在图2中，先画线段PD,使PD∥BC,且PD=BC,再过点D画AC的垂线，垂足为H. 3.(2025江苏镇江一模)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点.己知 A、B、C三点都是格点，且A(-3,-2),C(-4,3), B A (I)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标 (2)①如图，若线段BC与x轴交于点D,求点D坐标； ②在①的条件下，在你所画的平面直角坐标系的y轴上找一点P,使得△CDP是以CD为直角边的直角 三角形，请求出点P的坐标 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③直接写出在②的条件下∠DPC的正切值 (3)请仅用无刻度的直尺在给定网格作图。在AC上找一点Q,使△CB0的面积为 3 考向02直角三角形的衍生模型（高频核心考点) 。题型03双垂直模型（母子相似三角形） 回棉豪妙计 通用思路：三角形中有一个直角，且有一条斜边上的高，则原三角形与分成的两个小三角形均相似。 D 关键步骤： 1.识图：结构中必有∠ACB=90°且CD⊥AB。 2. 列等式：得到三组相似（△ABC∽△ACD∽△CBD)。 3. 核心结论（射影定理）：AC2=ADAB,BC2=BD·AB,CD2=AD·BD。 避坑提示：考试常隐藏直角符号，需通过其他条件（如直径所对圆周角）推导得出。 1.(2026四川巴中.一模)已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相 交于点P,连接PD. (1)求证：PD是O0的切线 (2)判断线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明. (③诺P9=6,an∠CD8=分求00的半径的长。 2.(2026河南开封一模)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研 究. 【拓展探究】如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 (I)兴趣小组的同学得出AC2=AD,AB,理由如下： :∠ACB=90° .·∠A=∠A .∠A+∠B=90° .△ABC∽AACD :CD⊥AB AB .∠ADC=90° =② AC .∠A+∠ACD=90 ∠B=① AC2=AD·AB 请完成填空：① ② (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当LACE=LAFC时，请判断△AEB 的形状，并说明理由. (3)【学以致用】如图3，ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=1,BC=√6，平面内一点D,满足 AD=AC,连接CD并延长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取得最小值时.请直接写出线 段CE的长 3.(2026江西吉安模拟预测)如图，在Rt△AB0中，点B在y轴上，∠AB0=90°，AB=2,反比例函数 y=-45的图象经过点A,直线CD垂直平分A0,交A0于点C,交y轴于点D,交x轴于点E. (1)求点A的坐标及0C的长. (2)求点E的坐标. 题型04一线三等角模型(K字型/蝶型) 包佛豪沙计 通用思路：同一直线上出现三个等角（通常为直角或锐角），通过角度推导必然得出两个三角形相似。 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 关键步骤： 1. 找共线：确认三个角的顶点在同一条直线上。 2. 导锐角：若三个角都是直角，则通过“同角的余角相等”推导出一组锐角相等。 3. 证相似：结合己知的另一组直角，利用AA判定相似。 避坑提示：该模型极易与全等三角形结合（当某组对应边相等时即为全等），审题时留意边长数据。 1.(2026江苏南通一模)平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题 D A B F 图1 图2 图3 【尝试解决】 如图1，正方形ABCD中，点E,F,P分别在边AD,BC,CD上，且EF⊥AP, (I)过点D作DG∥EF交边BC于点G,则DG,EF的数量关系是-· (2)在(1)的基础上，求证：EF=AP. (3)【类比应用】 如图2，正方形ABCD中，点E,F,P分别在边AD,BC,CD上，直线EF交AP于点Q,且 ∠AQE=45°.若点P是CD的中点，AB=6,求EF的长. (4【拓展提升】 如图3，矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，点P在射线CD上，直线EF交AP于点Q.若 ∠AOE=,DP=5:AD=15,EF=6N2,求C的值 2.(2026安微毫州一模)按要求完成下列各题： 图1 图2 图3 (I)如图1，点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交边AB于点F, 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：AF+CE=AD; ②如图2，连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH.求C的值： AF (2)如图3，矩形ABCD中，AD=12,AB=I0,点F是边AB的中点，连接DF,过点A作AE⊥DF于点 G,交边BC于点E,连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH，求CH的长. 3.(2026山东潍坊一模)【问题提出】 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D是BC边上一点， BD=上(n为正整数)，E是AB边上的 CD n 动点，连接DE,过点D作DE的垂线交直线AC于点F.探究BE、CF、BC之间的数量关系. 图1 图2 图3 【特例探究】 ①如图1，当n=1时，证明：BE+CF8C (2)如图2，当n=2时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取CD的中点G,过点G作GH∥AC,分别交AB、DF于点H、M. 易4BHG为等腰直角三角形，由1)可得BE+MG=号BG,进面由MGCF,sG-aC,推号 得BE、CF、BC之间的数量关系是： ； (3)如图3，当n=3时，探究BE、CF、BC之间的数量关系，并说明理由. 【问题解决】 (4)当n=k时，写出BE、CF、BC之间的数量关系： 考向03共点与旋转型相似（压轴题常客） 。题型05王拉手相似模型 包偶季时科 通用思路：两个相似三角形共用一个顶点，并且对应边的夹角（旋转角）相等。 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 关键步骤： 1. 找共点：确定两个三角形的公共顶点（旋转中心）。 2.证比例：验证共点发出的两组对应边是否成比例。 3. 证夹角：验证这两边组的夹角相等（通常利用公共角或角的和差）。 4. 得结论：推出第三个三角形相似，并得出对应角相等（常用于导出平行或共线）。 1.（2026河南安阳一模)几何综合 图① 图② 图③ 备用图 【方法尝试】 (I)如图①，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形，CB, ED分别是它们的对角线.求证：CB⊥ED; 【类比迁移】 (2)如图②，在Rt△ABC和Rt△ADE中，LBAC=∠DAE=90°，AC=√2I,AB=√万，AE=√5， AD=1.将△DAE绕点A在平面内逆时针旋转，连接CE,BD. ①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当点B,D,E在同一直线上时，求线段CE的长： 【拓展延伸】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6,过点A作AP∥BC,在射线AP上取一点D,连接 CD,使得am∠ACD-子，请直接写出线段BD的最大值. 2.(2022湖北十堰模拟预测)已知在ABC中，O为BC边的中点，连接A0,将△AOC绕点O顺时针方 向旋转（旋转角为钝角），得到aEOF，连接AE,CF. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)如图1，当LBAC=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的关系是： (2)如图2，当∠BAC=90°且AB≠AC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不 成立，请说明理由； (3)如图3，延长A0到点D,使0D=0A,连接DE,当A0=CF=5,BC=6时，直接写出AE的长度。 3.(2024青海西宁.一模)【问题呈现】 如图I,ABC和ADE都是等边三角形，连接BD,CE,求证：BD=CE; 【类比探究】 如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，AD=a,AB=b,∠ABC=∠ADE=90°，连接BD, CE,请写出BD ；并写出详细解答过程 E B 图1 图2 《。题型06共享顶点型相似（金字塔/倒V型） 回棉豪妙计 通用思路：两个三角形共享一个顶角，且夹这个角的两边对应成比例。 E 关键步骤： 1. 定顶点：明确共享的顶角（如∠A)。 2. 验比例：计算共享角两边的比例关系 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3. 得相似：若比例成立，则△ABC∽△AED。 4. 避坑提示：注意区分“共享顶点”和“旋转型”，前者是静止结构，后者强调动态变换过程。 1.(2023宁夏银川一模)综合与实践 我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，王老师启发学生 将三角形的中线和中位线综合到一起做了专题探究，下面是某两个小组的探究内容. 知识储备 由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，是平行线分线段 成比例的特例，也是相似三角形的典型模型之一· 知识应用 D D ② ③ (I)如图①，在ABC中，D是边AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E,当BC=10时，DE= 问题探究 (2)兴趣小组A在探究学习时，在ABC中，作出中线AD,BE,AD与BE交于点O,如图②，根据中 位线的性风，得到40：号40.请同学们结合所学证明这一结论， (3)兴趣小组B在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图③，在ABC中，AD是边 BC上的中线，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点H,则一定有AH=;AC请结合所学证明这 3 一结论， 2.(2024贵州黔东南·二模)如图①，将ABC沿中位线EH折叠，使点A落在边BC上的点D处，HG折 叠，使点B,折痕形成一个四边形EFGH.小刚在探索这个问题时发现四边形EFGH是矩形. 小刚是这样想的：中位线EH→EH∥BC(折叠的性质)→EF⊥FG,HG⊥FG,HG⊥EH→矩形 EFGH 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B F D B 图① 图② (1)请参考小刚的思路写出证明过程； (2)连接AD,当AD=BC时，写出线段EF,CG的数量关系，并说明理由： (3)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=8,DC=10,E为AB的中点，把四边形ABCD折叠成如图 ②所示的正方形EFGH,D落在点M处，顶点A,求BC的长 3.(2025河南南阳·二模)【问题提出】 在微专题复习课上，王老师引导同学们以“直角三角板的旋转”为主题开展探究活动：将一大一小两个等 腰直角三角板ABC和AFD按图1放置，LBAC=LAFD=90°，点F在ABC内，连接BF并延长到点E ,使EF=BF,连接CD,DE.探究线段DE与CD的关系. 【思路探究】 “诸葛小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG∥DE交DF的延长线于 点G,这样可以将DE和CD的关系转化为BG和CD的关系； “孔明小组的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交 ED延长线于点H,从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系， (1)【推理论证】 请你写出线段DE与CD的关系并证明（可以用不同于前面的思路）； (2)【能力提升】 “创新小组”在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE,将△AFD绕点A在平面内旋转， 当AD∥CE,CD=7,AC=17时，请直接写出线段AF的长， D 图1 图2 图3 B 备用图 备用图 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考向04相似在三角形与四边形中的综合应用 ◆题型07利用相以证明直角三角形与特殊角 回棉豪妙社 通用思路：在复杂组合图形中，通过作垂线构造K字型相似，将线段关系进行转移。 关键步骤： 1.察缺漏：观察要证明的直角或等角缺少直接条件。 2. 作垂线：从关键点向基准线作垂线，构造“横平竖直”的K字型结构。 3. 推结论：利用相似得出对应角相等，进而推导出目标垂直或角度相等。 避坑提示：圆背景下常与直径、切线结合，注意“弦切角等于所夹弧对的圆周角”的导角应用。 1.(2025·吉林松原模拟预测)【探究思考】 (1)通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法.己知，如图①， ABC是等边三角形，CE是ABC的外角∠ACF的平分线，点D为射线BC上一点，且 ∠ADE=∠ABC,DE与CE相交于点E.我们可以过点D作AC的平行线，交AB于点G,构造得到 (填两个全等三角形)，来证明AD=DE; 【问题解决】 (2)如图②，在ABC中，AB=BC,在边BC上取一点D,以D为顶点，AD为一条边在AD的右侧 作∠ADE=∠ABC,点F在BC延长线上，∠ECF=∠ACB. ①求证：AD=DE; ②如图③所示，当点D在BC的延长线上时，若∠CAD=∠B,CD=1,AB=4,直接写出DE的长， 图① 图② 图③ 2.(2021·山东威海·模拟预测)已知：点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF ,∠ECF=90°.FG⊥BC交BC的延长线于点G,连接DF,交CG于点H. (I)初步发现：如图I,若AB=AD,CE=CF,求证：DH=HF. (2)深入探究：如图2，若AB=nAD,CF=nCE.DH与HF是否仍然相等？若相等，进行证明；若 不相等，写出新的数量关系并证明： (3)拓广延伸：在(2)的条件上，AD=3,AB=4,且射线FC过边AD的三等分点，直接写出线段 EF的长 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G H B E E 图1 图2 备用图 3.(2023河南洛阳·二模)【回顾思考】：用数学的思维思考 图1 图2 图3 (I)如图1，在ABC中，AB=AC. ①若BD,CE是ABC的角平分线.求证：BD=CE. ②若点D,E分别是边AC,AB的中点，连接BD,CE.求证：BD=CE. (从①②两题中选择一题加以证明) (2)【猜想证明】：用数学的眼光观察 经过做题反思，小明同学认为：在ABC中，AB=AC,D为边AC上一动点（不与点A,C重合）.对 于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提 出问题：若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题： 如图2，在ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加 新的字母)，使得BD=CE,并证明. (3)【拓展探究】：用数学的语言表达 如图3，在ABC中，AB=AC=3,∠A=36°，E为边AB上任意一点（不与点A,B重合），F为边AC 延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由. 。题型08相似与四边形_圆的综合计算 回锦豪妙什 通用思路：在梯形、圆中，利用平行线或相交弦定理带来的相似关系，设未知数列方程求解半径或边长。 关键步骤： 1.挖隐含：找出图中的平行关系（梯形中位线、圆的弦心距）或垂直关系。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.定相似：判定产生的A字型或8字型相似。 3. 列方程：用含有未知数的代数式表示线段长度，代入比例式求解。 1.(25-26九年级上山西大同期末)阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务 弦切角定理 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也.”意思是， 圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年.与 圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一 与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角， 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度 数。 下面是弦切角定理的部分证明过程： 己知：AC是O0的弦，AB是⊙0的切线，A为切点 求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数 证明：分三种情况， ①如图（1)，当圆心0在弦AC上时， AB与O0相切于点A, ∠CAB=90°. 在AC上任取一点E,连接AE,CE,则∠CEA=90°（依据1）， ∠CAB=∠CEA. ②如图(2)，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交O0于点D,在AC上任取一点E,连 接EC,ED,EA,则LCED=∠CAD(依据2). :AD为O0的直径， ∠DEA=90° :AB与O0相切于点A, LDAB=90°， :∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB,即∠CEA=∠CAB. ③如图(3)，当圆心O在∠BAC的外部时， 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B C 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 任务： (1)填空：材料中的依据1是指 依据2是指 (2)请完成图(3)的剩余证明过程. (3)如图(4)，CE是O0的切线，AB为O0的直径，连接AE交O0于点D.若CE⊥AD,BC=4, ⊙0的半径为5，则DE的长为 2.(2024湖南长沙模拟预测)如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C,使 ∠DBC=∠DAB,过点D作AB的垂线，交圆O于点E,点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA 的延长线于点P,连接DF与AB交于点G. D GO (1)求证：BC是圆O的切线； (2②)i记448D,a8CD的面积分别为S,S,若smC=-2, anC3,求。的值 S GB (3)若圆O的半径为1，设PA=x GAy,试求y关于x的函数解析式。 3.(2025广西梧州二模)在ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D是线段AB上的一个动点， 以AD为直径作圆O D y A A 图1 图2 图3 (I)当AD=6时，如图1，求证：圆0与BC相切； (2)如图2，连接CD,CD与圆O相交于点E,连接BE,请你求出BE的最小值并说明理由； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，AD=4,若点P是圆O上的一个动点，且点P在ABC内，连接BP、CP,请你直接写出 CP+BP的最小值. 考向05坐标系中的相似（数与形的桥梁) 。题型09平面直角坐标系中的相心三角形存在性问题 回锦豪妙社 通用思路：将点的坐标转化为横竖网格的长度，利用“两点间距离公式”或“勾股定理”计算边长，再 进行分类讨论。 关键步骤： 1.化坐标：已知点坐标，求出目标三角形各边的长度（或平方），注意去负号取绝对值。 2.定分类：若未明确对应顶点，需按“大边对大角”进行两两匹配分类。 3. 列比例：根据对应边成比例列出分式方程。 4. 解检验：解方程，并将求得的参数代回检验三边是否共线。 避坑提示：坐标平面内的长度必须为正数，计算时务必加上绝对值符号。 1.(2026山东济南一模)如图，过原点0的直线与反比例函数y=《(k≠0)的图象交于小、B两点.一次函 数y=x+b(m≠0)的图象过点A与反比例函数交于另一点C,与x轴交于点M,其中A-2,1, C(-1,n). Q)求反比例函数y=和一次函数y=mx+b的表达式 (2)求△AOM的面积； (3)连接BC,在直线AC上是否存在点D,使以O、A、D为顶点的三角形与ABC相似.若存在，请直 接写出点D坐标；若不存在，请说明理由， 2.(2025·黑龙江佳木斯二模)如图，抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)与x轴交于A(-3,0)、B两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C(0,-3),抛物线的顶点为M. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 YA (I)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段AC上一个动点，连接OP,问是否存在点P,使得以点O、C、P为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(2025·黑龙江大庆·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上， OA=2,点B在反比例函数y=《(k>0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长B0与反比例函数y= 的图象在第三象限交于点C.连接CA并延长与反比例函数y=《的图象在第一象限交于点D. (1)求反比例函数的表达式： (2)求点D的坐标及△0AD的面积； (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请直接写出Q点 坐标；若不存在，请说明理由。 考向06相似三角形的动态探究与最值问题 。题型10动点引发的相心似存在探究 回棉豪妙什 通用思路：图形在运动变化中，找出那个始终保持不变的角或边，作为相似的突破口。 关键步骤： 1.找定角：在整个运动过程中，确定一个恒定的角（如等腰三角形的底角、固定的视角）。 2. 看动点：分析动点运动到什么位置时，能与定角组合成相似三角形。 3. 算时间路程：根据相似得出的比例关系，计算出此时动点在坐标轴上的具体位置或走过的路程。 1.(2024上海松江·二模)如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=2,点P是边AD上一动点，过点P作 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PE⊥AC,垂足为点E,连接BE,过点E作EF⊥BE,交边AD于点F(点F与点A不重合). F O D 备用图 (I)当F是AP的中点时，求证：BA=BE: (2)当AP的长度取不同值时，在PEF中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度， 如果不存在，请说明理由； (3)延长PE交边BC于点G,连接FG,△EFG与△AEF能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不 能相似，请说明理由. 2.(2024广东东莞一模)如题，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-1,0), 点B(4,0),与y轴交于点C,连接AC,BC. B 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)点D为抛物线的对称轴上一动点，当△ACD周长最小时，求点D的坐标. (3)点E是OC的中点，射线AE交抛物线于点F,P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交射 线AF与点G,是否存在点P使得△PFG与△AOE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由. 3.(2025·四川成都模拟预测)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于 点C,D(1,-2)是抛物线的顶点，连接BC, B B D 图1 图2 备用图 (I)求抛物线的函数表达式： (2)如图2，P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PE⊥BC于点E,作PF∥x轴交抛物线于另一 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点F,求√5PE+PF的最大值及此时点P的坐标； (3)连接AC,设直线DC交x轴于点M,若N是线段DM上的一动点，是否存在以点M,N,O为顶点 的三角形与ABC相似.若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 。题型11由相似处北衍生的线段晶值问题 包佛豪沙计 通用思路：当题目中出现“两个相似三角形的周长比/面积比”时，立刻转化为“相似比”，进而转化为具 体的“线段比”。 关键步骤： 1.用条件：利用题目给出的面积比，开方得到相似比k。 2. 转线段：将相似比转化为两条具体线段的长度比值。 3. 求函数：若涉及最值，通常其中一条线段含有变量，转化为一元二次函数求最值，或利用“两点之 间线段最短”求几何最值。 1.(2025广东珠海一模)【问题背景】 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+bx+2与x轴交于A(1,0),于y轴交于B点，以A为 直角顶点，AB为腰作等腰直角ABC,恰好C点落在抛物线上， (1)直接写出点B坐标，并求抛物线的函数表达式： 【初步探索】 (2)如图2所示，点D为线段AC的中点，点M为线段BC上一动点（点M不与点B,C重合），连接 AM,以A为旋转中心将线段AM顺时针旋转90°得到线段AN,连接DN,求DN的最小值； 【深度探究】 如图2所示，连接MN交AC于点E,在满足(2)最值的条件下，求。匹 S△AEN y 图1 图2 备用图 2.(2026宁夏固原模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-2,0), B(4,0),与y轴交于点C. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A M B\x A 0 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)若点M从点A出发，沿线段AB以每秒3个单位长度的速度运动，同时点N从点B出发，沿线段BC 以每秒1个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t秒. ①求△MBN的面积S与t的函数关系式，并求S的最值； ②当△BMN的面积最大时，在抛物线上，是否存在点E,使得S△BCE:S△Bww=50:9.若存在，请直接写 出点E的横坐标，若不存在，说明理由. 3.(2026吉林.一模)在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件 下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下： N D D 图1 图2 图3 (1)【观察发现】 如图1，在等边4BC中，4C=45,CDBC,EF分别是B和4C上的动点，且总有BE:A ，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定DE+DF最小值的方法。 :在等边ABC中，AC=45,CD=BC, 2 点D为BC边上的中点，LB=∠ACB. .AD⊥BC. 过点A作AG⊥AD,使AG=BD,连接GF, .AG∥BC. .∠GAC=LACB=LB. 又：AF=BE, .△AGF≌△BDE(SAS). :.GF=DE. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接DG,DF,当D,F,G三点共线时，GF+DF的最小值等于线段DG的长. 连接GC, 证明过程缺失 .四边形ADCG是矩形 .DG=AC. 【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形ADCG为矩形的过程； ②结合上述探究过程可知DE+DF的最小值为· (2)【类比应用】 如图2，己知正方形ABCD的边长为12，O为对角线的交点，M,N分别是AB,AD上的动点，且总有 BM=DN,连接OM,CN,求OM+CN的最小值. (3)【拓展延伸】 如图3，矩形ABCD中，AB=√2，AD=22,E是AD的中点，F,G分别是BC和DC上的动点，且 总有BF=2DG,则EF+2AG的最小值为· 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1.(2026安徽芜湖·二模)如图，在ABC中，D为BC上一点，E为AB的中点，CE与AD相交于点F, 若CD、3 BD8,则 DF=() E D A.3 B. 10 3 3 D.4 2.(2026江苏无锡一模)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=8的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数y=的图象上，且04108，∠4=60°，则k的值为() 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.12 B.-24 C.-8V5 D.16√3 3.(2026辽宁沈阳一模)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,在DC的延长线上取一点E ,连接OE交BC于点F,若AB=6,BC=8,CE=3,则CF的长为() D 0 B A.2 B.3 C.4 D.5 4.(2022·四川泸州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E是CD上一点，沿AE折叠矩形， BC的对应边B'C'经过点D,连接BB',与AE、AD分别交于点G、H,连接BD交AE于点F,下列 酷论：①ABDH是等腰三角形：②GH:BH=13;③BB平分LABD;④S,D9,其中结论正雅 的有() B H G E B A.①④ B.②④ C.①②③ D.( ①②④ 二、填空题 5.(2026江苏无锡一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在线段BC上（不与B,C重合）， ∠BPD=∠ACB,PD交BA于点D,过点B作BE⊥PD,垂足为E,交CA的延长线于点F,则BC与 CF的数量关系为：若PD=4,tanC=n(n为常数)，则DE=(用含n的代数式表示). 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F D P 6.(2026辽宁沈阳一模)如图，在菱形ABCD中，AB=3V3,∠B=120°，点E在CD边上，且CE=2DE ,CF⊥CD交AE的延长线于点F,则CF的长为 D 7.(2026陕西西安·二模)如图，矩形A0CB中，∠AB0=60°，矩形A0CB的面积为24，A0与x轴负半 轴的夹角为30°，双曲线y=k(k≠0)经过点A,则k的值为 8.(2026贵州六盘水一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,E为AD的中点，点F为AB上一 点，连接EF,EC,若LBCE=LCEF,则BF的长为 D B 三、解答题 9.(2026山东枣庄一模)探究解题： B D B D B 图1 图2 备用图 (I)如图，等腰直角ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角ADE,使 ∠DAE=90°，AD=AE,连接CE,判断∠ABC和∠ACE数量关系并说明理由； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰ABC中，AB=BC,点D是BC边上任意一点（不与点B,C重合），在AD的右侧 作等腰ADE,使AD=DE,∠ADE=∠ABC,连接CE,则(I)中的结论是否仍然成立，并说明理由： 【归纳应用】 (3)在(2)的条件下，若AB=BC=5,AC=3,点D是直线BC上任意一点，请直接写出当CD=2时 CE的长， 10.(2026福建厦门一模)如图1，在⊙0中，AB为⊙0直径，C为⊙0上的点，且在直径AB上方，D为 OO上的点，且在直径AB下方，C,D不与A,B重合，CD交AB于点E. B B B Eō D 图1 图2 图3 (I)若AC=2,BC=4,求tanZADC; (2)当LACD=LABC时 ①如图2，试探究CD,AE,BE的数量关系，并说明理由； ②如图3，过C作CF∥AB,交⊙0于点F,过F作FG‖CA,交AB于点G,当3CF=√3CD时，求 证：F,G,D三点共线 11.(2026河南郑州·二模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动 B E B E 图1 图2 备用图 (I)如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF,将纸片展开，连接AE,CF,则 四边形AECF的形状是 [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF,将△ABE沿AE翻 折得到△AME,将CDF沿CF翻折得到aCNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四 边形AMCN的形状，并给出证明. [拓展应用] (3)在(2)的条件下，若AB=I0,BC=I2,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出BE的 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 长 12.(2026安徽六安二模)如图，在矩形ABCD中，∠DBC的平分线交CD于点P,过点D作DE⊥BP交 DC BP的延长线于点E,DE与BC的延长线交于点F,且 -=m BC A D D G E 图1 图2 图3 (1)如图1，当m=√5时，DF与BP的数量关系为 (2)如图2，连接CE,AE,AE与BD相交于点G,求证：△AGD∽△BGE. (3)如图3，当m=1时，其他条件不变，若BC=2,求CP的长 13.(2026甘肃兰州模拟预测)如图，已知AB是⊙0的直径，点F在⊙0上，点C为AB延长线上一点， AE⊥CF,垂足为E,AF平分∠EAC,AG=BG,连接AG,BF. E B (I)求证：EC是O0的切线； (2)若AG=6V2,AF=8,求线段EF的长. 重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 基础模型的直接应用（选填题提速专练） 考向02 直角三角形的衍生模型（高频核心考点） 考向03 共点与旋转型相似（压轴题常客） 考向04 相似在三角形与四边形中的综合应用 考向05 坐标系中的相似（数与形的桥梁） 考向06 相似三角形的动态探究与最值问题 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国中考真题，相似三角形的命题呈现“重基础模型渗透，重综合推演能力”的双核驱动特点： 1. 基础考查：多以选择题、填空题形式出现，直接考查相似三角形判定与性质，或与反比例函数、格点作图结合，单题分值3-4分。 2. 综合考查：作为解答题的“灵魂纽带”贯穿全卷。在几何综合题（如圆的证明计算、四边形探究）和函数压轴题中，相似是转化边比例、证明直角、求坐标的核心工具，极具区分度。 3. 命题偏好：“一线三等角”（K字型）、“A字型”和“8字型”是命题人最青睐的基础模型，而“旋转型相似”（共享顶点）则是拉开分差的高阶考点。 二、2026年考法预测 基于近年命题演变，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1) 从“显性”向“隐性”过渡：题目将越来越少的直接给出平行条件或相等角，更多需要学生通过导角（如利用等腰三角形、圆周角定理）自行发现隐藏的相似关系。 (2) 跨板块融合加剧：预计2026年会将相似三角形与二次函数面积问题、动点轨迹（如胡不归、阿氏圆模型的前置条件）深度捆绑。 (3) 作图与探究并重：可能会出现“利用相似设计测量方案”的实践探究题，或在新定义背景下要求构造特定比例的线段。 2. 2026年备考策略建议 (1) 狠抓“导角”基本功：让学生养成“见拐角就标角度”的习惯，熟练运用“外角为内对角”、“对顶角/公共角”快速锁定一对相等角。 (2) 固化“模型特征”雷达：训练学生看到“一组平行线+交叉线”立刻反应出A字/8字型；看到“同侧共线等角”立刻反应出旋转型。 (3) 强化“分类讨论”防漏解：在相似存在性问题中，强调“定角寻对边”的逻辑，避免因漏写比例式而导致失分。 重●难●要●点●剖●析 考向01 基础模型的直接应用（选填题提速专练） 题型01 平行结构下的A字型与8字型 通用思路：利用平行线寻找相等的同位角/内错角，直接判定AA相似。 关键步骤： 1. 找平行线：观察图中是否有明确的一组或多组平行线。 2. 定模型：平行线截两边得A字型；截两腰得8字型（X字型）。 3. 写比例。 避坑提示：注意线段的对应关系，防止把上下底和腰写反。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． (1)如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； (2)如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①由翻折得出，证明，进而得出，即可得出结论；②先求出，证明，得出，求出，，即可求出结论； （2）连接，延长交于点G，证明，设，则，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）①证明：∵将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； ②连接，设交于点M， ，D是边的中点， ， ， ， 在中，， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， ； （2）解：， ， 连接， ， ， ， ， 延长交于点G， 由翻折知，， 则， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：（不合题意舍去），或， ， ， ， ， ， 在中， ． 2．（2022·江西赣州·模拟预测）如图1，是一款小型渔具包，其侧面可抽象成图2所示的示意图，点C是渔具包的中点，，且始终与地面平行，皮带有一定的弹性，且始终处于紧绷状态，已知． (1)当点A到地面的距离为时，求渔具包与支架的夹角的度数； (2)已知当渔具包与支架的夹角时，渔具包摆放最稳定，且，求此时皮带的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时皮带的长度约为 【分析】（1）连接，首先求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可； （2）过点C作于点G，交于点H，由三线合一得到，解直角三角形求出，然后证明，得到，然后结合求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A到地面的距离为， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作于点G，交于点H， ∵，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：此时皮带的长度约为． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由得出，再结合已知条件，利用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的四条边相等的性质，设菱形的边长为，表示出的长度，再由证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，得到菱形的边长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 题型02 网格（格点）中的相似三角形计数与证明 通用思路：在方格纸中，通过勾股定理计算各边长度，利用“三边成比例”进行判定。 关键步骤： 1. 定格点：明确每个小正方形的边长（通常设为1）。 2. 算边长：利用勾股定理计算目标三角形的三边长。 3. 验比例：将边长从小到大排序，验证两组三角形的最短边、中长边、最长边是否对应成比例。 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，每问画线不超过条． (1)在图1中，先在上画一点，使得；再在上画一点，使； (2)在图2中，点是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）取格点，连接交于点，取格点，连接并延长交于点，则即为所求； （2）取格点，连接并延长交网格线于点，取与网格的交点，延长交网格线于点，连接交于点，连接，即可求解． 【详解】（1）如图所示，点即为所求； 理由如下，连接， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据网格可得 ∴ ∵， ∴； ∴点即为所求； ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点即为所求； （2）解：如图，线段，点，即为所求 理由如下， ∵， 又根据网格的特点可得：， ∴ ∴ ∴，， ∴，即 又∵是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴，， 又∵ ∴，且是关于对称的线段 ∴即为所求； ∵，即 ∵， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点即为所求； 2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，为与网格线的交点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中依次完成下列画图： (1)在图1中，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再在上画点，使； (2)在图2中，先画线段，使，且，再过点画的垂线，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得线段，在上取与网格线的交点，连接，交于，则点即为所求； （2）如图，取格点，连接，，取与网格线的交点，连接，则线段即为所求，取格点，可知格点在上，连接，取格点，，可知，连接交于，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 在上取与网格线的交点，连接，交于， 由网格的特点可知，，， 由旋转可知，，， 在中，， 则点即为所求； （2）如图，取格点，连接，，由网格的特点可知四边形为平行四边形，则，， 取与网格线的交点，连接， 由网格的特点可知，，，，则 ∵， ∴四边形为平行四边形，则，， 则线段即为所求， 取格点，可知格点在上，连接， 由勾股定理可知，，， ∴，则， ∴， 取格点，，可知，连接交于， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴，则即为所求． 【点睛】本题考查格点作图，旋转变换、相似三角形的判定及性质、解直角三角形，勾股定理及逆定理，利用网格的特点是解答本题的关键． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C三点都是格点，且． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标_________； (2)①如图，若线段与x轴交于点D，求点D坐标； ②在①的条件下，在你所画的平面直角坐标系的y轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请求出点P的坐标． ③直接写出在②的条件下的正切值____________ (3)请仅用无刻度的直尺在给定网格作图．在上找一点Q，使的面积为． 【答案】(1)坐标系见解析， (2)①；②或；③或 (3)见解析 【分析】（1）根据点A和点C的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到点P的坐标； （2）①求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点坐标即可得到点D的坐标； ②设点P的坐标为，求出出，，；再分点D为直角顶点和点C为直角顶点两种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可； ③根据（2）②所求结合正切的定义求解即可； （3）取点，点，连接交与Q，则点Q即为所求；利用割补法可求出，则，可得，可证明得到，即． 【详解】（1）解；如图所示的平面直角坐标系即为所求，则； （2）解：①设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点D的坐标为； ②设点P的坐标为， ∵，， ∴，， ； 当点D为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ③当点P的坐标为时，，， ∴； 当点P的坐标为时，，， ∴； 综上所述，的值为或； （3）解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，两点距离计算公式，相似三角形的性质与判定，求角的正切值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 考向02 直角三角形的衍生模型（高频核心考点） 题型03 双垂直模型（母子相似三角形） 通用思路：三角形中有一个直角，且有一条斜边上的高，则原三角形与分成的两个小三角形均相似。 关键步骤： 1. 识图：结构中必有∠ACB=90°且CD⊥AB。 2. 列等式：得到三组相似（△ABC△ACD△CBD）。 3. 核心结论（射影定理）：。 避坑提示：考试常隐藏直角符号，需通过其他条件（如直径所对圆周角）推导得出。 1．（2026·四川巴中·一模）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得直线垂直平分，进而得到，由等边对等角得到，再由切线的性质得到，即可证明结论； （2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答； （3）设交点为，由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵的直径垂直于弦， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，证明如下： 是的直径， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，设交点为， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 的半径的长为． 2．（2026·河南开封·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 【拓展探究】如图1，在中，，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ①________ ②________ 请完成填空：①________；②________； (2)如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． (3)【学以致用】如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)直角三角形，见解析 (3) 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：， ， ， ， ∵， 如图，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 3．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在中，点B在y轴上，，，反比例函数的图象经过点，直线垂直平分，交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求点的坐标及的长． (2)求点的坐标． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）将代入反比例函数解析式得到，即可得到点坐标； （2）证明，求出，证明，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 点的横坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， , , 直线垂直平分， ; （2）解：由（1）知，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 题型04 一线三等角模型（K字型/蝶型） 通用思路：同一直线上出现三个等角（通常为直角或锐角），通过角度推导必然得出两个三角形相似。 关键步骤： 1. 找共线：确认三个角的顶点在同一条直线上。 2. 导锐角：若三个角都是直角，则通过“同角的余角相等”推导出一组锐角相等。 3. 证相似：结合已知的另一组直角，利用AA判定相似。 避坑提示：该模型极易与全等三角形结合（当某组对应边相等时即为全等），审题时留意边长数据。 1．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 _ ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据正方形得到，证明四边形是平行四边形，即可得到答案； （2）根据正方形的定义得到，证明，得到，即可得到结论； （3）过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，先证明，根据点P是的中点，，正方形，得到，， 设，则，求出，故，证明，即可得到； （4）过点作交于点，交延长线于点，过点作，分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． 2．（2026·安徽亳州·一模）按要求完成下列各题： (1)如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； (2)如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①结合正方形的性质证明，即可解答；②作交的延长线于M，结合平行四边形的性质可得，由（1）得，再证明，可得到是等腰直角三角形，即可解答； （2）证明，可得，，作交的延长线于N，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ； ②如图2，作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 由（1）得， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图3，作交的延长线于N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 考向03 共点与旋转型相似（压轴题常客） 题型05 手拉手相似模型 通用思路：两个相似三角形共用一个顶点，并且对应边的夹角（旋转角）相等。 关键步骤： 1. 找共点：确定两个三角形的公共顶点（旋转中心）。 2. 证比例：验证共点发出的两组对应边是否成比例。 3. 证夹角：验证这两边组的夹角相等（通常利用公共角或角的和差）。 4. 得结论：推出第三个三角形相似，并得出对应角相等（常用于导出平行或共线）。 1．（2026·河南安阳·一模）几何综合 【方法尝试】 (1)如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：； 【类比迁移】 (2)如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，． 请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 当点，，在同一直线上时，求线段的长； 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)见解析； (2) ，，见解析；线段的长为或； (3)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）延长交于点，由四边形是矩形，则，通过旋转的性质可知，可得，从而求证； （）延长分别交于点，交于点，证明，所以 ，，从而求解； 分当点落在线段上时，当点在线段上时两种情况求解即可； （）过点作，使得 ，取的中点，连接，，，，证明，则，所以，由勾股定理得，又，从而可得最大值为，当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，再代入即可求解 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，，理由： 如图，延长分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，； 如图，当点落在线段上时，设， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴； 如图，当点在线段上时， 设，则，， ∵， ∴， 整理得，， ∴，（舍去）， ∴， ∴综上所述，线段的长为或； （3）解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即最大值为， ∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值， ∴． 2．（2022·湖北十堰·模拟预测）已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到，连接，． (1)如图1，当且时，则与满足的关系是_； (2)如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)如图3，延长到点D，使，连接，当时，直接写出的长度． 【答案】(1)，见解析； (2)成立，见解析； (3)． 【分析】（1）结论．证明，可得结论． （2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）结论：． 理由：如图1中， ，，， ，， ， ， ，， ， ； （2）结论成立．理由： 如图2中， ，， ， ， ， ，， ， ； （3）如图3中， 由旋转的性质可知， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ． 3．（2024·青海西宁·一模）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，，，．连接，．请写出__________；并写出详细解答过程． 【答案】【问题呈现】见解析；【类比探究】 【分析】本题主要考查了相似形的综合题，是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键： （1）证明，即可得； （2）证明，可推导出，再证明，可得 【详解】解：问题呈现：证明：∵和都是等边三角形， ∴ ∴ 即 ； 类比探究：解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ∴， ∵， ∴ ∴ 题型06 共享顶点型相似（金字塔/倒V型） 通用思路：两个三角形共享一个顶角，且夹这个角的两边对应成比例。 关键步骤： 1. 定顶点：明确共享的顶角（如∠A）。 2. 验比例：计算共享角两边的比例关系 3. 得相似：若比例成立，则△ABC△AED。 4. 避坑提示：注意区分“共享顶点”和“旋转型”，前者是静止结构，后者强调动态变换过程。 1．（2023·宁夏银川·一模）综合与实践 我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，王老师启发学生将三角形的中线和中位线综合到一起做了专题探究，下面是某两个小组的探究内容． 知识储备 由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，是平行线分线段成比例的特例，也是相似三角形的典型模型之一． 知识应用    (1)如图，在中，是边的中点，过点作交于点，当时，______ ． 问题探究 (2)兴趣小组在探究学习时，在中，作出中线，，与交于点，如图，根据中位线的性质，得到请同学们结合所学证明这一结论． (3)兴趣小组在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，则一定有请结合所学证明这一结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由，得，则，即可得出，由此即可得到答案； （2）连接，根据三角形中位线定理得，，则，得，即可证明结论； （3）取的中点，连接，由三角形中位线定理得，，再利用证明，得，进而解决问题． 【详解】（1）解：， ， ， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：连接，     中线与交于点， 是的中位线， ，， ， ， ； （3）证明：取的中点，连接，       点是的中点， ，， ，， 点是的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2024·贵州黔东南·二模）如图①，将沿中位线折叠，使点A落在边上的点D处，折叠，使点B，折痕形成一个四边形．小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形． 小刚是这样想的：中位线→（折叠的性质）→→矩形 (1)请参考小刚的思路写出证明过程； (2)连接，当时，写出线段的数量关系，并说明理由； (3)如图②，在四边形中，为的中点，把四边形折叠成如图②所示的正方形落在点M处，顶点A，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据四个角是直角的四边形是矩形即可证明． （2）根据三角形的中位线定理得到．由折叠的性质可知：，由此即可证明． （3）首先求出正方形的边长，利用勾股定理求出，再证明，可得，求出即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：结论：． 理由：如图①中，连接． 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图②中， 由折叠的性质可知：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2025·河南南阳·二模）【问题提出】 在微专题复习课上，王老师引导同学们以“直角三角板的旋转”为主题开展探究活动：将一大一小两个等腰直角三角板和按图1放置，，点在内，连接并延长到点，使，连接，．探究线段与的关系． 【思路探究】 “诸葛小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作交的延长线于点，这样可以将和的关系转化为和的关系； “孔明小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）【推理论证】 请你写出线段与的关系并证明（可以用不同于前面的思路）； （2）【能力提升】 “创新小组”在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，将绕点在平面内旋转，当，，时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2）的长为8或15 【分析】（1）勤学小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“善思小组”的解法：结合F为的中点构造三角形的中位线，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证． （2）当点在内部时，可证得C、D、F共线，根据可求得，进而得出结果；同样求得当点在外部时的结果． 【详解】解：（1），，理由如下： 证法1：如图1，延长至，使，连接，延长交的延长线于点， ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点A、H、B、C共圆， ∴， ∴， ∴； 证法2：如图2，延长至，使，连接，延长交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）设， 如图3，当点在内部时， 由（1）知，，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴C、D、F三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴，(舍去)， ∴； 如图4，当点在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 综上所述：的长为8或15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形． 考向04 相似在三角形与四边形中的综合应用 题型07 利用相似证明直角三角形与特殊角 通用思路：在复杂组合图形中，通过作垂线构造K字型相似，将线段关系进行转移。 关键步骤： 1. 察缺漏：观察要证明的直角或等角缺少直接条件。 2. 作垂线：从关键点向基准线作垂线，构造“横平竖直”的K字型结构。 3. 推结论：利用相似得出对应角相等，进而推导出目标垂直或角度相等。 避坑提示：圆背景下常与直径、切线结合，注意“弦切角等于所夹弧对的圆周角”的导角应用。 1．（2025·吉林松原·模拟预测）【探究思考】 （1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图①，是等边三角形，是的外角的平分线，点为射线上一点，且与相交于点．我们可以过点作的平行线，交于点，构造得到_____（填两个全等三角形），来证明； 【问题解决】 （2）如图②，在中，，在边上取一点，以为顶点，为一条边在的右侧作，点在延长线上，． ①求证：； ②如图③所示，当点在的延长线上时，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质，并用证明即可． （2）①过点D作的平行线，交于点，同（1）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证即可得出结论． ②过点D作的平行线，交于点，同（2）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证得出，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）∵过点D作的平行线，交于点G， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 是的外角的平分线， 又， ，， ， 在与中， ， ， ．    （2）①如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ， ．    ②依然成立，如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ∴ ∴，即 ， ， ， 在与中， ， ， ． ∵，． ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 2．（2021·山东威海·模拟预测）已知：点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt，．交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H． （1）初步发现：如图1，若，．求证：． （2）深入探究：如图2，若，．DH与HF是否仍然相等？若相等，进行证明；若不相等，写出新的数量关系并证明； （3）拓广延伸：在（2）的条件上，，，且射线FC过边AD的三等分点，直接写出线段EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）仍然相等，见解析；（3）或 【分析】（1）首先证得（AAS），得到，则，则证，得出即可； （2）证得，则，由矩形的性质得出，证得，即可得出； （3）根据矩形的性质和已知得，则，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠EBC=∠BCD=90°， ∴CD⊥BC， ∵FG⊥BC，∠ECF=90°， ∴CD∥GF，∠CGF=∠ECF=∠EBC=90°， ∴∠GCF+∠BCE=90°， ∵∠BCE+∠BEC=90°， ∴∠GCF=∠BEC， 在△GCF和△BEC中， ， ∴△GCF≌△BEC（AAS）， ∴BC=GF， ∴CD=GF， ∵CD∥GF， ∴∠HDC=∠HFG，∠HCD=∠HGF， 在△HCD和△HGF中， ， ∴△HCD≌△HGF（ASA）， ∴DH=HF； （2）相等. 四边形ABCD是矩形， ，，. . . ， . . . . . ， . . ， .即. . . ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD⊥BC， ∵FG⊥BC， ∴CD∥GF， ∴∠HDC=∠HFG，∠HCD=∠HGF， 在△HCD和△HGF中， ， ∴. . （3）如下图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=4，AD=BC=3，∠RDC=90°，RD∥CH， ∵AB=nAD，CF=nCE， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ∵AD=3， ∴AR=1，DR=2， 在Rt△CDR中，由勾股定理得：， ∵RD∥CH，DH=FH， ∴， ∴CE=， 由勾股定理得：； ②当时，同理可得：DR=1，，，， 由勾股定理得：； 综上所述，若射线FC过AD的三等分点，AD=3，AB=4，则线段EF的长为 或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023·河南洛阳·二模）【回顾思考】：用数学的思维思考    (1)如图1，在中，． ①若是的角平分线．求证：． ②若点D，E分别是边的中点，连接．求证：． （从①②两题中选择一题加以证明） (2)【猜想证明】：用数学的眼光观察 经过做题反思，小明同学认为：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得．进而提出问题：若点D，E分别运动到边的延长线上，与还相等吗？请解决下面的问题： 如图2，在中，，点D，E分别在边的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得，并证明． (3)【拓展探究】：用数学的语言表达 如图3，在中，，E为边上任意一点（不与点A，B重合），F为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，求的取值范围；若不能，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)见解析 (3)能， 【分析】（1）①利用证明即可． ②利用证明即可． （2）添加条件，证明，从而利用证明即可． （3）在上取一点D，使得，根据，得到，当时，可证，运用相似性质，求得的长即可． 【详解】（1）证明：①如图1，∵， ∴，    ∵是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图1，∵，点D，E分别是边的中点， ∴，∵， ∴， ∴． （2）解：添加条件，    证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：能． 在上取一点D，使得，根据，得到， 当时，E与A重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∵， 设， ∴， 整理，得：， 解得：，（舍去）， 故， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键． 题型08 相似与四边形、圆的综合计算 通用思路：在梯形、圆中，利用平行线或相交弦定理带来的相似关系，设未知数列方程求解半径或边长。 关键步骤： 1. 挖隐含：找出图中的平行关系（梯形中位线、圆的弦心距）或垂直关系。 2. 定相似：判定产生的A字型或8字型相似。 3. 列方程：用含有未知数的代数式表示线段长度，代入比例式求解。 1．（25-26九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务 弦切角定理 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”意思是，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的部分证明过程： 已知：是的弦，是的切线，为切点． 求证：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：分三种情况， ①如图（1），当圆心在弦上时， 与相切于点， ． 在上任取一点，连接，，则（依据1）， ． ②如图（2），当圆心在的内部时，过点作直径交于点，在上任取一点，连接，，，则（依据2）． 为的直径， ． 与相切于点A， ， ，即． ③如图（3），当圆心在的外部时， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指________，依据2是指________ (2)请完成图（3）的剩余证明过程． (3)如图（4），是的切线，为的直径，连接交于点．若，，的半径为5，则的长为________． 【答案】(1)直径所对的圆周角等于；同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于和同弧所对的圆周角相等求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角解题即可； （3）连接，，证明，得出，证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指直径所对的圆周角等于，依据2是指同弧所对的圆周角相等； （2）解：如图，当圆心在的外部时， 在优弧上任取一点E，连接，，，则， 是的直径，则 是的切线，则 所以，，即 所以弦切角的度数等于它所夹的弧所对圆周角的度数； （3）解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由弦切角定理得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，切线的性质定理，直径所对的圆周角为直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质定理． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G． (1)求证：BC是圆O的切线； (2)记的面积分别为，若，求的值； (3)若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）记由是的直径，得到再进一步得到即可得出结论； （2）由得到进而得到设根据勾股定理进一步证明即可得出结论； （3）连接，证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，记 ∵是的直径， ∵由题意得： 又∵是的直径， ∴是 的切线； （2）解：由（1）得 ∴在中， 即 设 在中， ∵为的直径， ∵由题意得 ； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，且为的直径， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点O作与点，易证，求出，即可证明结论； （2）连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，易得点在上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解； （3）在上取点，使得，且位于点O上方，连接，证明，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作与点， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在上，且， ∴圆与相切； （2）解：最小值为，理由如下： 连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接， ∵， ∴， ∴点在上运动， 当三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， ∴最小值为； （3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，， ∴． 【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键． 考向05 坐标系中的相似（数与形的桥梁） 题型09 平面直角坐标系中的相似三角形存在性问题 通用思路：将点的坐标转化为横竖网格的长度，利用“两点间距离公式”或“勾股定理”计算边长，再进行分类讨论。 关键步骤： 1. 化坐标：已知点坐标，求出目标三角形各边的长度（或平方），注意去负号取绝对值。 2. 定分类：若未明确对应顶点，需按“大边对大角”进行两两匹配分类。 3. 列比例：根据对应边成比例列出分式方程。 4. 解检验：解方程，并将求得的参数代回检验三边是否共线。 避坑提示：坐标平面内的长度必须为正数，计算时务必加上绝对值符号。 1．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，P点坐标或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可，再把解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，，分两种情况讨论：当时，当时，分别求出P点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、代入， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴M点的坐标为； （2）解：存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似，理由如下： 当时，， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， 当时，， ∴， 解得：， ∴，解得：或2（舍去）， ∴； 当时，， ∴，解得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴P点的坐标为； 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 考向06 相似三角形的动态探究与最值问题 题型10 动点引发的相似存在性探究 通用思路：图形在运动变化中，找出那个始终保持不变的角或边，作为相似的突破口。 关键步骤： 1. 找定角：在整个运动过程中，确定一个恒定的角（如等腰三角形的底角、固定的视角）。 2. 看动点：分析动点运动到什么位置时，能与定角组合成相似三角形。 3. 算时间/路程：根据相似得出的比例关系，计算出此时动点在坐标轴上的具体位置或走过的路程。 1．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，PF的长度不变， (3)能相似， 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解； （3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为． （2）∵， ∴对称轴为直线 点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得 ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴点． （3）存在． ∵，是的中点， ． 又， ∴直线的解析式为，． 联立得． 解得，（舍）． 当时，． ∴． 设，则． ∴． 分以下两种情况： ①如图2，若，则，． ∴轴． ∴． ∴． 解得或（舍）． ∴． ②如图3，若，则，． 过点作于点，则， 即． 解得或（舍）． ∴． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，N的坐标为或． 【分析】（1）由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得解得，即可得抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，设，求出，直线BC解析式为，可得，，由，可得，即，故，，再求出，可得，根据二次函数性质可得答案； （3）由，得直线CD解析式为，可得，即知，要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或，设，求出，，，分两种情况列方程可解得答案． 本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形等知识，能分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设， 在中，令得， ， 由，得直线BC解析式为， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ，抛物线对称轴为直线，轴， ， ， ， 当时，的最大值为， 此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； （3）存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图： 由，得直线CD解析式为， 令得， ， ， 直线OC是线段BM的垂直平分线， ， ， 要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或， 设， ，，，， ，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，N的坐标为或． 题型11 由相似比衍生的线段最值问题 通用思路：当题目中出现“两个相似三角形的周长比/面积比”时，立刻转化为“相似比”，进而转化为具体的“线段比”。 关键步骤： 1. 用条件：利用题目给出的面积比，开方得到相似比k。 2. 转线段：将相似比转化为两条具体线段的长度比值。 3. 求函数：若涉及最值，通常其中一条线段含有变量，转化为一元二次函数求最值，或利用“两点之间线段最短”求几何最值。 1．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，于y轴交于B点，以A为直角顶点，为腰作等腰直角，恰好C点落在抛物线上． （1）直接写出点B坐标，并求抛物线的函数表达式； 【初步探索】 （2）如图2所示，点D为线段的中点，点M为线段上一动点（点M不与点B，C重合），连接，以A为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值； 【深度探究】 如图2所示，连接交于点E，在满足（2）最值的条件下，求． 【答案】（1），抛物线解析式为 （2） （3） 【分析】（1）令，则，得到，如图所示，过点作轴于点，证明，得到，，则，把代入抛物线中，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，根据等腰直角三角形，旋转的性质证明，得，，则，由此即可求解； （3）由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，，，，，，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于，于轴交于点， 令，则， ∴， ∵以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入抛物线中得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小， ∵是等腰直角三角形，绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动， ∴当时，的值最小， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点于点重合时，的值最小，最小值为； （3）根据上述计算可得，， 由（2）可得，是等腰直角三角形，，则， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，垂线段最短 ，相似三角形的判定和性质等综合，数形结合分析思想是解题的关键． 2．（2026·宁夏固原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点从点A出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度运动，同时点从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． ①求的面积与的函数关系式，并求的最值； ②当的面积最大时，在抛物线上，是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①的最小值为，最大值为；②存在，点E的横坐标为或 【分析】（1）先设交点式，把代入求出的值，从而得到抛物线解析式； （2）①由题意求出，确定的取值范围，用表示出，过点N作于点D，由得到，所以，利用面积公式建立函数，再利用顶点式求最值；②当最大时，由相似三角形求出点的坐标为，设，利用坐标法表示面积，根据面积比列方程求解，注意绝对值方程要分两种情况讨论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ， ， 故抛物线解析式为； （2）解：①由题意得，， ， ， 点从出发，沿以每秒3个单位运动， 运动时间的取值范围是， 点从出发，沿以每秒1个单位运动， ， 点从出发，沿运动， ， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 与的函数关系式为， ， 当时， ， ， ∴ 当秒时，取得最大值为； 当或时，取得最小值为， ②最大时，， 又， ， 设点的横坐标为, 则， 如图，过点作轴于点，交于点G 直线过， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， 解得， 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、动点问题、相似三角形的性质、二次函数的最值、坐标法求三角形面积以及分类讨论思想.解题的关键是掌握交点式求解析式、利用相似三角形转化线段关系、二次函数顶点公式求最值、坐标法表示三角形面积以及分类讨论思想. 3．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下： (1)【观察发现】 如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． ∵在等边中，，， ∴点为边上的中点，． ∴． 过点作，使，连接， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接， 证明过程缺失 ∴四边形是矩形． ∴． 【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程； ②结合上述探究过程可知的最小值为_． (2)【类比应用】 如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】 如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为_． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证； ②求出即可； （2）过点作，使，连接，，先得出，则当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，再利用勾股定理求解即可； （3）延长到点，使，连接，，先证明，可得，则当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ②由上已证：四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为， 又∵， ∴的最小值为． （2）解：如图，过点作，使，连接，， ∵正方形的边长为12， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长， 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． （3）解：如图，延长到点，使，连接，． ∵矩形中，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，D为上一点，E为的中点，与相交于点F，若，则（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】取的中点，连接，得到，进而得到，得到，进而求出的值即可. 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴. 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过点作的平行线交于点，利用平行线分线段成比例得到为的中点，再结合相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 四边形是平行四边形， 是的中点，， ， ∴， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2022·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点．下列结论：是等腰三角形；；平分；．其中结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，进而由互余的性质得，便可判断本结论正误；过点作，与的延长线交于点，根据三角形的面积公式和勾股定理求得、、和，进而由相似三角形的性质得出，从而判断本结论的正误；过点作，与的延长线交于点，由相似三角形的性质求得与，进而确定与的大小关系，便可判断本结论正误；过作于点，则，由求得，进而求得的面积，便可判断本结论正误． 【详解】解：由折叠知，，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，故正确； 过作于，与交于点，则四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， 由①可知，， ∴， ∴， ， ， 由折叠知，，， ， ，， ， ，即， ， ，故正确； 过点作，与的延长线交于点， 由折叠知，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不平分，故错误； 过作于点，则， ， ， ， ， ， ，故正确； 综上，结论正确的有． 二、填空题 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为______：若（为常数），则_____（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，则，得出，进而得出；作，交于点J，交于点K，根据求出，得出，再证明，得出，证明，得出，设，则，解方程求出结论即可． 【详解】解：， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； 作，交于点J，交于点K， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：（不合题意舍去）， 故． 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在菱形中，，，点E在边上，且，交的延长线于点F，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用菱形的性质，推导出与的长度，以及的度数，再计算出和的长度． 过作，交延长线于，构造直角三角形，先求出、的长度，再利用平行证明，最后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解： ∵菱形，，， ∴，． ∵，， ∴，． 过作，交延长线于， ∴． 在中，， ∴ ， ， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得． 7．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作轴于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：过点作轴于，如图： ∵矩形的面积为24， ∴， ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 8．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，延长，交于点G，首先求出，设，则，勾股定理表示出，然后证明出，得到，代入表示出，，然后表示出，，然后利用得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形 ∴， ∵E为的中点 ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 三、解答题 9．（2026·山东枣庄·一模）探究解题： (1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 (3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用证明，得； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分两种情况，即点在线段上和点在线段的延长线上，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：相等，理由如下： 是等腰直角三角形， ，， ， 即， ， ， ； （2）解：成立，理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）解：如图2，当点在线段上， 根据（2）可得， ， ，， ， ． 如图3，当点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 综上所述，为或． 10．（2026·福建厦门·一模）如图1，在中，为直径，C为上的点，且在直径上方，D为上的点，且在直径下方，C，D不与A，B重合，交于点E． (1)若，，求； (2)当时． ①如图2，试探究，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，过C作，交于点F，过F作，交于点G，当时，求证：F，G，D三点共线． 【答案】(1)； (2)①；②证明见详解． 【分析】（1）由题意得，，根据计算即可； （2）①由（1）得，，证垂直平分，得，证得，代入化简即可；②连接，，，证为直角三角形，求得，，进而证明是等边三角形，证明，根据平行公理即可解答． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵C，D为上的点，，， ∴， ∴； （2）①解：； 理由：由（1）得，， ∴， ∵， ∴，为直径， ∴垂直平分，即，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②连接，，， 由①得，， ∵， ∴，即为直角三角形，， 为直径， ∵， ∴，， ， 是等边三角形， ， ∵， ， 同理可得， ， ， ， ∴F，G，D三点共线． 11．（2026·河南郑州·二模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] (2)如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] (3)在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)菱形 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由矩形的性质可得，，则，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则．由折叠的性质可得，，，，则，从而证明，因此，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明结论； （3）分类讨论，当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，容易证明四边形是矩形，．由平行四边形的性质可得，从而证明，则．利用勾股定理可得，容易证明，则，利用，求得；当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，同理可得，进而证明，则．由折叠的性质可得，，，从而求出，因此． 【详解】（1）解：∵由沿折叠得到， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得； ②当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点， 同理①可得，点为的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 12．（2026·安徽六安·二模）如图，在矩形中，的平分线交于点P，过点D作交的延长线于点E，与的延长线交于点F，且 (1)如图1，当时，与的数量关系为__________ (2)如图2，连接，，与相交于点G，求证：． (3)如图3，当时，其他条件不变，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意和相似三角形判定定理可得，从而可得，求解即可； （2）根据角平分线性质和矩形性质，可知，从而得知，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，从而可证，得到，根据两角分别相等的两个三角形相似即可证得结论； （3）利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，得到，再利用线段关系，求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴． （2）证明：是的平分线， ， ∵在和中， ， ， ∴， 在中，， ， ， 即， 四边形是矩形， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． （3）解： 在和中， ， ， ， ， ， ． 13．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先利用等边对等角和角平分线的定义得到，则，进而可得，利用切线的判定可得结论； （2）先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． / 学科网（北京）股份有限公司 $