重难点01 二次函数与几何的综合训练（重难专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

重难点01 二次函数与几何的综合训练 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 二次函数与图形的面积/周长问题 考向02 二次函数与特殊三角形的存在性问题 考向03 二次函数与特殊四边形的存在性问题 考向04 二次函数与图形变换的综合问题 考向05 二次函数与角度/线段数量关系的综合问题 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国各地区中考数学真题，二次函数与几何综合题的命题呈现出以下三个核心特点： 1. 稳中有变，分值权重居高不下：二次函数综合题通常以解答题压轴题（第2或第3小问）的形式出现，分值集中在10-15分，部分省市（如上海、广州）设置3个小问，呈现明显的“低起点、高落点”阶梯状难度分布。选择/填空中也会出现以二次函数图象性质为背景的中档题。 2. 深度融合，强调整体思想与代数推理：试题极少孤立考查二次函数，而是将其与一次函数、三角形（等腰、直角、相似）、四边形（平行四边形、菱形）、圆及勾股定理紧密结合。数形结合（坐标化）、分类讨论（存在性问题）、转化化归（几何条件翻译为代数方程）是解题的核心思想。 3. 情境创新，动态探究与新定义频发：近三年命题趋势显示，“动点问题”已是标配；2024、2025年多地（如深圳、上海）中考加大了“新定义”型二次函数题的考查力度，要求学生现场学习“伴随抛物线”“三倍点”等新规则，并迅速转化为常规的代数式进行推理运算。 二、 2026年考法预测 基于近三年的命题演变，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1) 设问更重“过程化”：将继续采用“求解析式（基础）→几何性质探究（中档）→动态存在性或最值（拔高）”的小步设问模式，层层递进。 (2) 运算偏向“含参化”：为了考察代数推理能力，题目中的动点坐标将更多地引入参数，要求学生具备较强的整式恒等变形和解方程（组）能力。 (3) 模型考查“隐形化”：经典的“胡不归”“阿氏圆”或“费马点”最值模型可能不会明说，而是伪装成普通的线段和差最值问题，要求学生具备敏锐的建系和构图能力。 2. 2026年备考策略建议 (1) 狠抓“坐标化”基本功：让学生养成“见几何条件，先想坐标表示”的习惯。平行、垂直、长度、面积都必须能迅速翻译为代数式。 (2) 固化“分类讨论”模板：针对特殊三角形、特殊四边形的存在性，要形成固定的分类逻辑（如“两圆一中垂”定等腰），避免漏解。 (3) 强化“含参运算”耐力：日常训练中应适量加入含字母系数的二次函数综合题，提升学生的代数变形和抗挫折能力。 重●难●要●点●剖●析 考向01 二次函数与图形的面积/周长问题 题型01 不规则三角形面积最值问题 通用思路：对于分散的不规则三角形，通常采用“补形”或“割形”将其转化为便于计算的直角三角形或矩形。其中最有效的是“铅垂高法”。 关键步骤： 1. 设点：通常设动点横坐标为x，代入解析式表示出纵坐标（如P）。 2. 求铅垂高：求出该点与直线交点（同横坐标）的纵坐标差值，即为铅垂高h。 3. 求水平宽：确定三角形在x轴上的投影长度，即为水平宽d。 4. 构建函数：利用公式建立关于x的二次函数，利用顶点式或配方法求最值。 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时． ①当点P在直线的上方时，求的面积最大值． ②作直线，交直线于点Q，若的面积是面积的4倍，求点P的横坐标． 【答案】(1)； (2)①；②点的横坐标为或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则，从而得出，利用二次函数的性质求最值即可； ②当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，证明，得到，结合已知条件，得出，设点，则点的坐标可表示为，再结合在上，求出的值，得到点P的坐标；当在轴下方时，同理①可求出点的横坐标为或，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：二次函数经过、， 代入得，解得， 二次函数的表达式为． （2）解：①如图，过点作轴交于点， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时， ②解：如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∴ ∴， ， ， ， ， 设点， ，， ，， ， ， 点的坐标可表示为， 由①可知，直线的解析式为， 在上， ， 解得或． 即此时点P的坐标为或； 如图所示，当在轴下方时， 同理①可求出点的横坐标为或， ， 当点横坐标为时，在抛物线的段，不合题意，舍去， 综上所述，点的横坐标为或或． 2．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 【答案】(1)； (2)； (3)P( ， )；． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． （1）运用待定系数法解答计算即可． （2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设， 作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可; （3）连接，，．设，结合的周长为，得当的值最大时，的周长最大，利用求得最值，代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， （2）∵， ∴二次函数表达式为：， 令，解得或， 令得， ∴，，． ∴， 设， 作轴于点H，如图， ∵， ∴，即， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴M的坐标为； （3）设直线的解析式为，， 则， 解得：． ∴直线的解析式为． 连接，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为， ∴当的值最大时，的周长最大， ∵ ， ∵， ∴时，的面积最大，面积的最大值为，，根据是定值，故此时的值最大， ∵， ∴， ∴的周长的最大值：，此时． 3．（2025·江苏盐城·三模）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点的坐标； (2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围； (3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为()． 求()与之间的函数关系式； 若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 【答案】(1)点，点； (2)，的取值范围为且； (3)；． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求解，平行四边形的判定与性质，二次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将抛物线的解析式，当,时，即可求出点的坐标； （）根据点的坐标求出直线的解析式，由是直线上方抛物线上的两点，确定，且，因为，得，将点，的坐标代入即可得出，并确定的取值范围为且； （）根据已知条件，易证四边形为平行四边形，由， ，求得由（）得，点的坐标为，过点作于点，易证，得，即 ，平行四边形的周长，当时，，当时，； 当时，，则，当时，， ，若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式 ，与轴交于，两点 (点在点的左侧)， 当时，得， 解得，， 当时，， ∴点，点； （2）解：的取值范围为且，理由如下： 设直线的解析式为将点点，点分别代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为 ∵，是直线上方抛物线上的两点， ∴，，且， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ， ∵， ∴， ∴，的取值范围为且； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴点的坐标为， ∴， 由（）得，点的坐标为， ∵， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， 当时， ， 当时，，， 综上所述 ； 此时四边形周长的取值范围为 ，理由如下： 当时， ， ∴， 当时，， ∴ ， 四边形的周长的图象为抛物线上的实线，如图， 若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标， ∴． 题型02 几何图形周长最值问题 通用思路：求多条线段和的最小值，核心是利用轴对称将“折线”转化为“直线”。 关键步骤： 1. 找定点：确定图形中不运动的固定顶点。 2. 作对称：将动点所在直线作为对称轴，作出其中一个定点关于该直线的对称点。 3. 连线段：连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为使周长最小的动点位置（两点之间线段最短）。 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． (1)填空：_________，点的坐标是 _________； (2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在(2)中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 ，，， 【分析】本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题． （1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令可求出点B的坐标； （2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接交y轴与点J，利用的面积计算求出； （3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，分四种情况进行求解． 【详解】（1）解：将点代入中得，， 解得，，即， 当时，， 解得，，， ∴点B的坐标是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点，点， 设直线的表达式为，且经过点，点， ∴， 解得，， ∴， ∵点在直线的图象上，点在抛物线上， ∴设点，， ∵，轴， ∴，（对顶角相等）， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，最大，此时，， 如图所示，在轴上取点，过作的垂线段交轴于点，连接，交轴于点， 在中，， 则 ∴， ∵，即， ∴在中，， ， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴点，， ∴，即， ∴， ∴当的周长取得最大值时， 的最小值即为的值，即． （3）解：存在， 由（2）可知，，即点， 将点向下平移个单位得到点， ∴点 ， 在 中, 则， 取的中点G，则有， ∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足， 如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴，即点， 同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点， 当点在轴负半轴上时，点， 当点在轴负半轴上时，点， 综上，点的坐标为，，，． 2．（2022·山东济南·一模）如图，抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)如图，连接，过点作的平行线交抛物线于点，为线段上一动点，连接交抛物线于点，连接交于点，连接，的面积是否有最大值，若有，求出最大值，若无，请说明理由． (3)如图，以为直角顶点，为直角边边向右作等腰直角，将沿射线线平移得到，连接、，的周长是否有最小值，若有，求的周长的最小值，若无，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为 (2)有， (3)有， 【分析】由且，得，抛物线的表达式为：，将代入可解得，从而可得抛物线的解析式及其对称轴； 过P作轴，交于点，先由已知求出坐标，再根据与同底等高求出，设，用含的代数式表示的面积，即可求出的面积有最大值是； 连接，过作交轴于，沿射线线平移得到，由四边形是平行四边形，可得CT=EF=OC=3，CE=TF，，且等腰直角，，，有CE=BE=TF，要使最小，只需最小，此时、、三点共线，而，，即可求出的周长的最小值为． 【详解】（1）∵OB=OC，C(0,3)， ∴点B(3,0)，即抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点， ∴抛物线的表达式为：； ∵C(0,3)， ∴，解得a=-1； ∴ 抛物线的表达式为：，且函数的对称轴为：x=1； （2）过P作轴，交AH于点Q，如图： ∵C(0,3)，B(3,0)， ∴直线BC解析式为y=−x+3， ∵， ∴设直线AH解析式为， 再将A(−1,0)代入得：0=1+m，解得m=−1， 直线AH解析式为； 由得，， ∴H(4,-5)， ∵， ∴与同底等高， ∴与面积相等， 则有：， 设，根据轴，则有：， 则有：， ∴， ∴代入相应的数值，化简得：， 则有：, 配方得：， 可知当时，有最大值，且最大值为， （3）连接CE，过F作交y轴于T，如图： ∵沿射线线OD平移得到， ∴，即轴， ∴四边形是平行四边形， ∴CT=EF=OC=3，CE=TF， ∴， ∵等腰直角，，， ∴OC=OB，∠DOC=∠DOB=45°， 又∵OE=OE， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使l最小，则有最小， 当T、F、B三点共线时，最小值即是的长度， 而，， ∴，即最小值是， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数解析式、对称轴、三角形面积的最大值、周长最小值等，解题的关键是熟练应用二次函数的相关性质，用含未知数的代数式表示相关线段的长度． 3．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1)，D点坐标为； (2)点Q的坐标为； (3)，四边形的最短周长为． 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； （2）解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； （3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法． 考向02 二次函数与特殊三角形的存在性问题 题型03 等腰三角形存在性问题 通用思路：在抛物线上（或平面内）寻找一点，使其与已知两定点构成等腰三角形。需按顶角的顶点进行分类。 关键步骤： 设已知两定点为A、B，动点为P。 1. 若A为顶点（AB＝AP）：以A为圆心，AB长为半径作圆，联立抛物线解方程组。 2. 若B为顶点（BA＝BP）：以B为圆心，BA长为半径作圆，联立抛物线解方程组。 3. 若P为顶点（PA＝PB）：P落在AB的垂直平分线上，求出中垂线解析式，联立抛物线解方程组。 答题模板：先分类，再设坐标，后根据距离公式列方程求解。 1．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．（2024·甘肃嘉峪关·三模）如图，已知点，，在抛物线上． (1)求抛物线解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使面积为1； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)Q的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质等知识，等腰三角形的判定，勾股定理，一元二次方程，解题关键是准确计算． （1）把A、B、C的坐标代入求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，当的面积为1时，则，然后解方程即可求解． (3)分类讨论：①当时，②当时， ③当时，逐一求解即可． 【详解】（1）解：∵点，，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∴， 当的面积为1时，， 解得，， ∴或， ∴存在点使得的面积为1． （3）抛物线对称轴为， 设，由，，得 由是等腰三角形，则 ①当时， ， 即， 解得， 即或． ②当时，， 即， 解得或， 即或． ③当时， ， 即， 解得， 即． 综上，Q的坐标为． 3．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 题型04 直角三角形存在性问题 通用思路：抓住“直角”这一核心条件，将其转化为三边关系或斜率关系。 关键步骤： 1. 定直角：明确哪个点是直角顶点（若未明确则需分类讨论）。 2. 列方程：利用勾股定理逆定理（两短边的平方和等于最长边的平方）或者利用初等方式“竖平横直”构造K字型相似来证明垂直。若用代数法，直接根据勾股定理列方程。 3. 解方程：代入坐标，去根号（平方）求解。 1．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，已知抛物线（，为常数）的图象与轴交于，两点，与轴相交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)若点为抛物线对称轴上一点，是否存在点使得值最小，若存在请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)若点为该抛物线上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，锐角三角函数，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）连接，过作抛物线的对称轴垂直轴于点，求出顶点坐标，表示出相关角的三角函数值，得到，过作于点，连接，得出的最小值为，然后利用锐角三角函数进行求解即可； （3）分别过，作垂线，交抛物线于点，利用待定系数法求出，分两种情况进行求解，求出相关点的坐标，利用待定系数法，求出， ，然后联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中， 得 ， 解得， 二次函数解析式为 ； （2）解：由及顶点坐标公式得： ，连接，过作抛物线的对称轴垂直轴于点， 由，得：，， 由勾股定理得， ，， 设， ，要使最小，必须使最小， 过作于点，连接， ， ， ， ， 当点在同一条直线上时，值最小， 即最小， 最小，最小值为， 在中，，， ， ，即的最小值为， 的最小值为， 即：存在使得最小，最小值为； （3）解：如图所示， ，，理由如下： 由得，当时，， ∴， 假设直线的解析式为， ，，代入得， ， 解得， ， ①过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点， 由，得，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，将，代入得： ， 解得， ∴， 将与联立方程组， 得：， 解得：或， 所以：（舍去）， ②过点作的垂线，交抛物线于点， 结合①得，两垂线平行，设， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 将与联立方程组， 得 ， 解得：或 ， 所以，（舍去），， 综上所述：存在点，为，使是以为直角边的三角形． 2．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 3．（2025·四川南充·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据图象顶点为点，设抛物线解析式为，再代入求出即可解答； （2）将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，则，求出，，证明，求出，求出的直线解析式，联立即可求解． （3）分为①当时，②当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点， 故设抛物线解析式为， ∵抛物线图象经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且， ， 令，解得：， ， 当时，， ， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ， 设的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理的， 解得：， 当时，， ∴； （3）解：①当时， 设的直线方程为， 设的直线方程为， ∴， 整理得， ∴， ∴， ， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ， ∴直线与轴夹角的正切值直线与轴夹角的正切值的倒数， ∴，即， ， ∴， 即， ∵， 设的直线解析式为， ， 整理得：， ， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理得， 解得：， ∵当在的左侧时， ， ， ， ∵当在的右侧时， ， ； ②由（1）知，顶点， ， ， ， ， ∴此时为直角三角形，即， 若，此时与重合，与题意不合，应舍去． 综上，或时，以为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是运用分类讨论思想解决问题． 题型05 相似三角形存在性问题 通用思路：二次函数中的相似多为“A字型”或“K字型”，核心是找到一组相等的角（通常是不变量），再分两种情况讨论夹这个角的两边成比例。 关键步骤： 1. 找不变角：观察图形中是否有直角、抛物线上固定点的视角等不变量作为公共角。 2. 列比例式：根据对应边成比例列出分式方程。 3. 转化为距离公式：将线段比例转化为坐标差的绝对值形式，去绝对值符号求解。 1．（2021·四川泸州·一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， G点坐标为或或或 (3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 2．（2026·山东东营·一模）如图，抛物线经过点，点．连接．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值是 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）用待定系数法将点，点代入抛物线，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点和点的坐标，从而得出，再根据解直角三角形求得，根据二次函数的最值即可得出答案； （3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线， 得， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：令得， ， 设直线的表达式为， 将，代入直线：， 得， ∴， 直线的表达式为：， 的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴， ， ， ， ， 当时，有最大值； （3）解：存在， ，，的坐标为，， ①当时，， 即，解得， 此时的坐标为； ②当时，， 即，解得， 此时的坐标为， 点坐标为或． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，， 把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示， 根据轴对称可知：， ， 两点之间线段最短， 当共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 顶点坐标， 的最小值为：； 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， （3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下： 设 ，则， ，，，， ①当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； ②当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 考向03 二次函数与特殊四边形的存在性问题 题型06 平行四边形存在性问题 通用思路：已知三个定点，求抛物线上第四个点构成平行四边形。此法比向量法更契合初中生认知，且不易漏解。 关键步骤： 1. 设已知三点为A，B，C，抛物线上动点P。 2. 分类讨论：分别以AB、AC、BC作为平行四边形的对角线。 3. 套用中点公式：若AB为对角线，则A、B的中点也是C、P的中点。 4. 求解验证：解出 x,y，并代入抛物线检验是否满足解析式。 1．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）设出点P的坐标，分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 2．（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； （2）解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； （3）解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 3．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 题型07 菱形/矩形存在性问题 通用思路：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，解题时采用“两步法”更为清晰。 关键步骤： 1. 第一步（定类型）：先用中点坐标公式求出所有可能的平行四边形顶点。 2. 第二步（筛特例）： (1) 若为菱形：加上“邻边相等”条件，利用距离公式筛选。 (2) 若为矩形：加上“对角线相等”条件，或利用“斜率乘积为-1”验证垂直。 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 2．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是_； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)12； (3)存在，或． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 3．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 考向04 二次函数与图形变换的综合问题 题型08 抛物线平移与几何图形翻折 通用思路：抛物线的变换遵循严格的解析式加减法则；几何图形的翻折则意味着“折痕是对称点连线的垂直平分线”。 关键步骤： 1. 抛物线平移：牢记“左加右减自变量，上加下减常数项”。若是含参平移，注意符号变化。 2. 点/线翻折：找出对应点，计算中点（该中点在折痕上），计算对应点连线斜率（与折痕斜率乘积为-1），从而求出折痕解析式。 1．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①平移次数为3；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出b，进而可求解； （2）①由题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，平移后的抛物线的顶点坐标为，进而可求得，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标即可求解； ②根据题意，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为，则平移后的抛物线的解析式为，求出时的函数值即可求解； （3）先求出抛物线的解析式，抛物线Q的解析式，进而得到新函数L，可画出草图，然后利用二次函数的性质，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ∴ ∴P的解析式为，对称轴为直线； （2）解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为， 当时，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴将代入中，得， 解得， ∴， 当时，由得，， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为和，又， 故平移的次数为3； ②由得，，则抛物线P与坐标轴的交点为和 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 故； （3）解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线Q恰好经过抛物线与x轴的左交点， ∴，解得， ∴抛物线Q的解析式为， ∴抛物线Q的开口向上，对称轴为直线， 对于抛物线与抛物线组成新函数L，如图， 当时，，此时L取得最小值， ∵对于当时，L的最小值为，最大值为， ∴，解得，则最大值为， 由得， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，解得． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图1，将一张平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，在轴上，点，点在第一象限，且． (1)如图1，点的坐标为_______，点的坐标为_______． (2)如图2，若为轴的正半轴上的一个动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①若直线与边相交于点，将纸片折叠，当四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； ∵ ∴， ∴； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合，， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作， 由（1）得出， ∴，， ∴， 当时，， ∴，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大， ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值为， ∴在时，， ∴， 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小， ∴在时，则把分别代入， 得出，， ∴在时，， 综上：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2026·天津·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)已知，，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下， ①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______． (3)已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； ②先求得直线的函数表达式为，进而可设直线的函数表达式为，由折叠性质，可画图分析，当时，只有当直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，联立方程组，令求得m值即可解答； （3）如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则，利用等腰直角三角形的判定与性质，结合平行线的性质得到，则可得，当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为；求得，则有，，再求得直线的函数解析式为，设，求得直线的函数解析式为，设直线的函数解析式为，联立方程组推导出，进而利用二次函数的性质求得的最大值，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中，得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为H，    令，解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②对于函数，图象开口向下，对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵直线， ∴设直线的函数表达式为， 由折叠性质，画图如下， 由图知，当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象在C处相交，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，但直线 与直线重合，不满足直线； 当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象无交点； 当时，只有直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点， 联立方程组，得， 由得， ∴直线的函数表达式为， 故当与函数w图象只有两个公共点时，直线的函数表达式为； （3）解：如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则， ∵，，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为； 由得， ∴， ∵，， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∵，， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为， 设，代入中，得， ∴直线的函数解析式为， ∵， ∴设直线的函数解析式为， 联立方程组，整理得， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴时，取最大值， ∴， 解得或（不符题意，舍去）． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、坐标与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合和转化的思想方法求解是解答的关键． 题型09 旋转综合问题 通用思路：图形绕某点旋转一定角度，本质是构造旋转全等（或相似）。 关键步骤： 1. 找不变量：旋转中心不变，对应线段长度相等。 2. 作辅助线：连接旋转中心与对应点，通过作垂线（构造K字型），利用三角函数或全等三角形求出新坐标。 3. 核心公式（拓展）：若绕原点逆时针旋转90°，变为。 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：∵函数与互为“旋转函数”， ∴， ∴， ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 2．（2026·辽宁·模拟预测）已知二次函数，因为，所以我们把一次函数和叫做它的两个分解函数，例如：的两个分解函数是和，若抛物线关于直线对称，它的一个分解函数经过点． (1)求，的值； (2)二次函数为，它的两个分解函数分别为和，这三个函数组成一个新函数记作． ①当时，，求的值； ②将射线绕原点旋转，当旋转后的射线与直线所夹锐角为时，请直接写出旋转后的射线与新函数的图象的交点坐标． 【答案】(1)，； (2)①；②，，． 【分析】（1）由题意将点代入，得，由对称轴可得联立求解即可； （2）①先确定，画出图象，结合图象分当时，当时，当时，三种情况讨论最大值，即可求解；②射线绕原点旋转后有两种情况，分别是射线和射线，设两射线分别交直线于点和，作轴于点C，轴于点D，设直线与y轴交于点E，证明，设，得出，，，，利用列式求出m，求出和坐标，求出直线解析式，联立，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的分解函数为和， 将点代入，得， ∵抛物线关于直线对称， ∴， ∴，解得； （2）解：①由（1）得， ∴，，， ∴，其图象如图， 当时，时，取得最大值， ∴，解得（舍）； 当时，时，取得最大值， ∴，解得； 当时，时，取得最大值， ∴，解得（舍）； 综上，； ②如图，射线绕原点旋转后有两种情况，分别是射线和射线，设两射线分别交直线于点和， 作轴于点C，轴于点D，设直线与y轴交于点E， 由题意可得， ∴是等腰直角三角形，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时，， ∴， 设， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴，， ∴，， 设直线解析式为，代入， 得，得， ∴设直线解析式为， 联立， 解得，， ∴射线与新函数的图象的交点坐标为，； 射线与新函数的图象的交点坐标为， 综上，与新函数的图象的交点坐标为，，． 3．（2025·湖南怀化·二模）在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”． (1)抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____； (2)如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（）根据“旋转抛物线”的定义解答即可； （）分别求出点的坐标，根据四边形的对角线互相平分即可求解； （）利用中心对称轴图形可得，设，过点作轴于，过点作于，由相似三角形的判定和性质得，即得，进而得到，解得，即得，，连接，作于，根据三角形的面积可得，最后根据正弦的定义计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的“旋转抛物线”的表达式为， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由，解得或， ∴，， ∵点关于原点对称，点关于原点对称， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点作轴于，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴，， 连接，作于， ∵，， ∴，，，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的新定义，二次函数的性质，二次函数的几何应用，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，两点间距离公式，正确作出辅助线是解题的关键． 考向05 二次函数与角度/线段数量关系的综合问题 题型10 角度相等与定值问题 通用思路：证明两个角相等或具有倍数关系，通常转化为证明这两个角的正切值相等，或者构造相似三角形。 关键步骤： 1. 化角为弦：若涉及二次函数背景下的角度问题，优先考虑构造直角三角形，用铅垂线与水平线表示出两边的线段长度。 2. 列等式：根据等角，列出正切值相等的方程，或者根据余弦定理列出边的关系。 3. 整体代换：将二次函数解析式代入分式，通过约分、合并同类型求解。 1．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①假设能相等，求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立后求出交点坐标，进而代入抛物线进行判断即可；②求出点坐标，进而求出直线的解析式，作轴，交的延长线于点，作轴，交于点，设设，则：，求出，证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）①存在，理由如下： 假设存在， ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，，代入，得： ，解得：， ∴； 同法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 对于，当时，， 故两条直线的交点在抛物线上， ∴存在，； ②令，解得：， ∴， 同①法可得：直线的解析式为直线， 作轴，交的延长线于点，作轴，交于点， 则：， ∵， ∴当时，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 2．（2026·安徽·三模）已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)是， 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）根据题意列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：已知、在抛物线上，且，则： ，， ， ， 由，得， 代入得：， ∴ ， ∴h是定值，． 3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线经过的三个顶点，其中为原点，，，点在线段上运动，点在直线上方的抛物线上，，于点，交于点，平分，，于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)是定值，定值为． 【分析】（1）利用待定系数法可得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：（1）设抛物线的解析式为． 将，代入，得， 解得：， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线． 当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3， 则， 即． 如图1，连接、，    由点，得点与点关于原点对称， 点、、三点共线，且为的中点． ， ， ． 平分， ， ， ， 与间的距离为， 点到的距离为． ，， ． 当点运动至抛物线的对称轴上时，的面积为3； （3）解：的值为定值；理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点．    由题意得，， ． ， 在中，， ， ， ，即为等腰直角三角形． 设，则， 在和中， ， ， ， 即， ， ． 又， ， 即， ， ． 的值是定值，定值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，相似三角形判定和性质，解直角三角形等，添加适当的辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 题型11 隐性线段最值问题（胡不归/阿氏圆模型） 通用思路：当问题出现k·PA＋PB（0＜k＜1）或PA＋k·PB的形式时，属于隐性的“胡不归”或“阿氏圆”模型。 关键步骤： 1. 识别模型：观察系数是否为特殊角（如30°，45°，60°）的正弦/余弦值，或者是否存在动点在一个定圆上运动。 2. 构造辅助线： (1) 胡不归：过动点作系数所对角所在直线的垂线，将k·PA转化为垂线段长度。 (2) 阿氏圆：利用母子相似三角形，将k·PB转化为另一条定线段。 3. 化归求最值：转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”进行最终计算。 1．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 2．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 3．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．    (1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式； （2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，或， ∴，， 将点代入，得： ∴， 则直线的解析式为：， 当时，， ∴， 将点代入，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）由题意得：点的运动时间为， 过点作轴于点，    ∵，， ∴，，， ∴， 过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，此时， ∴与直线的交点即为所求点， ∵， ∴当时，， ∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·二模）如图，已知二次函数的图象经过，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图象得出的符号，再结合对称轴位置可得，过点可得，然后根据不等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ， ， ∴A错误； 由图象经过，可得， ， ， ， ，即， ∴B正确； 由图象得，， ， ， ∴C错误； ， ， ， ∴D错误． 2．（2026·辽宁营口·一模）如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】过F作于H，设，证明，得出，，在中，根据勾股定理求出，然后根据二次函数的性质求出的最小值，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 过F作于H，设， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值为72， ∴的最小值为． 3．（2026·山东滨州·一模）关于抛物线（m是常数），下列说法正确的是（   ） A．当时，抛物线的对称轴是 B．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则 C．若点在抛物线上，则 D．无论m为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先将抛物线配方为顶点式，再逐个验证选项，用到二次函数对称轴、一元二次方程根的判别式、二次函数增减性、平行线间距离等知识点． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对选项A∵当时，抛物线对称轴为直线 ∴A错误． 对选项B∵抛物线与轴只有一个公共点 ∴一元二次方程的判别式 令，解得 ∴B错误． 对选项C∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大 ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴ ∴C错误． 对选项D∵抛物线顶点坐标为， 所有顶点都在直线上 ∵平行于直线 ∵设与轴的交点分别为 当时，；当时， ∴，，则 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∵经过原点，如图，过点作于点，则 ∴到的距离为， 即抛物线的顶点到直线的距离都等于 ∴无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 ∴D正确． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，①当时，过点作，交于点，得到，，推出，为二次函数；②当时，过点作，交于点，过点作，交于点，得到，高为，推出，为一次函数；③当时，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到，，，，，根据，得到，为二次函数． 【详解】解：①当时，过点作，交于点， ∴，， ∴，为二次函数； ②当时，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵, ∴高为， ∴，为一次函数； ③当时，如图所示，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，，，，， ∴， ， ， ， ∴，为二次函数，开口向下． 二、填空题 5．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 6．（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 7．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 8．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 三、解答题 9．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图象交于点，点的坐标为，连接，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点作轴，分别交，于点，． (1)求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)点是线段上一动点（点不与点，重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为 (2) (3)36 【分析】（1）把点A的坐标代入正比例函数的表达式中求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，把分别代入和中，求出对应的x的值即可得到点M和点N的坐标，进而可求出； （3）根据（2）所求可得，设，则，则可求出，进而可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：由题意得，， ∴； 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴； （3）解：由（2）可得，，， ∴当时，，， 如图所示，设，则 ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为36． 10．（2026·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． (1)____________，____________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 【答案】(1)， (2) (3)①p=4，；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）①根据题意得出抛物线的顶点坐标为，根据平移的性质即可求解； ②根据平移的性质可得平移后的解析式为，联立二次函数解析式，结合一元二次方程根与系数的关系即可求得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ，； （2）当时，， ， 设直线解析式为，则，解得， ； （3）①∵抛物线的顶点与点恰好关于原点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵作关于x轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到， ∴抛物线解析式的二次项系数为，， ∴抛物线解析式为；             ②∵直线l沿y轴向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 联立方程组，化简得， ， 又，， 11．（2026·西藏·一模）如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为m． (1)的长为_，的取值范围是_； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)当为何值时，矩形花园的面积取得最大值，并求出此时面积的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，矩形花园的面积为 (3)当时，面积取得最大值，此时 【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式组求解； （2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可； （3）根据矩形花园面积列二次函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：根据题意得 整理得 解得（舍）， 答：当时，矩形花园的面积为 （3）解：依题意， ∵ ∴当时，面积取得最大值，此时 12．（2026·江苏扬州·一模）项目背景：扬州某物流园区引入智能分拣系统，该系统通过摄像头识别货物轮廓，并借助直角坐标系确定货物形状“最小包围矩形”（即目标矩形）的尺寸．该系统中目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于坐标轴，货物形状近似图形的所有点都在矩形内部或边上，且矩形面积最小．设目标矩形的竖直边长与水平边长的比为k，称k为目标矩形的形态比． 例如：某货物形状近似图形为圆形，识别后如图1，则其目标矩形形态比为． (1)如图2，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为线段，端点坐标为，，则其目标矩形的形态比_． (2)如图3，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为抛物线，其表达式为，该抛物线经过点，且其目标矩形的形态比，水平边长为8个单位．求该抛物线的表达式，并求出目标矩形的面积． (3)如图4，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为反比例函数的一支．过曲线上两点、分别作坐标轴的平行线，围成目标矩形．设该目标矩形的面积为S． 求证：该目标矩形形态比； 若，是否存在目标矩形，使其同时满足面积且形态比？若存在，请直接求出满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)见解析，存在；， 【分析】（1）根据目标矩形的形态比的定义即可求解； （2）由目标矩形定义可得点是抛物线的顶点，即可求解； （3）根据目标矩形的形态比的定义即可求解； 由目标矩形的面积且形态比，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：将代入，得， ∴抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴结合目标矩形定义可得，点是抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴， 解得， ∴抛物线表达式为：， 矩形面积． （3）① 证明：∵、，， ∴， ， ∴， ∴． ② 存在． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 把代入，得， ∵， ∴， 联立， 由得， 把代入得，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴，． 13．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重难点01二次函数与几何的综合训练 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读考向预测 第二部分重难要点賠剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知★技巧点拨 ★类题夯基 考向01二次函数与图形的面积/周长问题 考向02二次函数与特殊三角形的存在性问题 考向03二次函数与特殊四边形的存在性问题 考向04二次函数与图形变换的综合问题 考向05二次函数与角度/线段数量关系的综合问题 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 ---◆》00◆- 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国各地区中考数学真题，二次函数与几何综合题的命题呈现出以下三个核心特点： 1.稳中有变，分值权重居高不下：二次函数综合题通常以解答题压轴题（第2或第3小问）的形式 出现，分值集中在10-15分，部分省市（如上海、广州）设置3个小问，呈现明显的“低起点、高落点” 阶梯状难度分布。选择/填空中也会出现以二次函数图象性质为背景的中档题。 2.深度融合，强调整体思想与代数推理：试题极少孤立考查二次函数，而是将其与一次函数、三角 形（等腰、直角、相似）、四边形（平行四边形、菱形）、圆及勾股定理紧密结合。数形结合（坐标化）、 分类讨论（存在性问题）、转化化归（几何条件翻译为代数方程）是解题的核心思想。 3. 情境创新，动态探究与新定义频发：近三年命题趋势显示，“动点问题”已是标配；2024、2025年 多地（如深圳、上海）中考加大了“新定义”型二次函数题的考查力度，要求学生现场学习“伴随抛物线” “三倍点”等新规则，并迅速转化为常规的代数式进行推理运算。 二、2026年考法预测 基于近三年的命题演变，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1.命题趋势展望 (1)设问更重“过程化”：将继续采用“求解析式（基础）一几何性质探究(（中档)→动态存在性或最值 (拔高)”的小步设问模式，层层递进。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)运算偏向“含参化”：为了考察代数推理能力，题目中的动点坐标将更多地引入参数，要求学生具 备较强的整式恒等变形和解方程（组）能力。 (3)模型考查“隐形化”：经典的“胡不归阿氏圆”或“费马点”最值模型可能不会明说，而是伪装成普通 的线段和差最值问题，要求学生具备敏锐的建系和构图能力。 2.2026年备考策略建议 (1)狠抓“坐标化”基本功：让学生养成“见几何条件，先想坐标表示”的习惯。平行、垂直、长度、面积 都必须能迅速翻译为代数式。 (②)固化“分类讨论”模板：针对特殊三角形、特殊四边形的存在性，要形成固定的分类逻辑（如“两圆 一中垂”定等腰)，避免漏解。 (3)强化“含参运算”耐力：日常训练中应适量加入含字母系数的二次函数综合题，提升学生的代数变 形和抗挫折能力。 重●难●要●点●剖●析 考向01二次函数与图形的面积/周长问题 。题型01不规则三角形面积显值问题 包锦豪妙什 通用思路：对于分散的不规则三角形，通常采用“补形”或“割形”将其转化为便于计算的直角三角形 或矩形。其中最有效的是“铅垂高法”。 关键步骤： 1.设点：通常设动点横坐标为x,代入解析式表示出纵坐标（如Px,ax2+bx+c)。 2. 求铅垂高：求出该点与直线交点（同横坐标）的纵坐标差值，即为铅垂高。 3. 求水平宽：确定三角形在x轴上的投影长度，即为水平宽d。 4. 构建函数：利用公式S=dh建立关于x的二次函数，利用顶点式或配方法求最值。 (2023江苏无锡模拟预测)如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与 y轴交于点C,连接BC,点P是抛物线上一动点. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ① ② (1)求二次函数的表达式 (2)当点P不与点A、B重合时. ①当点P在直线BC的上方时，求△BPC的面积最大值. ②作直线AP,交直线BC于点Q,若△ABQ的面积是BPQ面积的4倍，求点P的横坐标， 2.(2025湖南娄底一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与 y轴交于点C. (1)求a的值： (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB=∠AC0,求点M的坐标： (3)在直线BC上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF∥AB交BC于点F.当 PEF的周长有最大值时，求点P的坐标和PEF的周长 3。(205江苏盐城三德)已知抛物线y=+号+3与维交于水B两点（点4在点8的左》，与 y轴交于点C,M(m,y,N(n,2)(m≠n是直线BC上方抛物线上的两点，且MN∥BC. M (1)求点B、C的坐标； (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)过点M作MD∥y轴交BC于点D,过点N作NE∥y轴交BC于点E,设四边形MDEN的周长为f (m). ①求f(m)与m之间的函数关系式： ②若恰好存在四个M点，使四边形MDEN的周长相等，请直接写出此时四边形MDEN周长的取值范围. 。题型02几何图形周长最值问题 回棉豪妙竹 通用思路：求多条线段和的最小值，核心是利用轴对称将“折线”转化为“直线”。 关键步骤： 1.找定点：确定图形中不运动的固定顶点。 2. 作对称：将动点所在直线作为对称轴，作出其中一个定点关于该直线的对称点。 3. 连线段：连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为使周长最小的动点位置（两点之间线段最短） 1. (2024山东临沂模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A, B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,点A的坐标为(-1,0)，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交 于点E. EI H 图1 图2 (1)填空：a= ，点B的坐标是 (2)连接BD,点M是线段BD上一动点（点M不与端点B,D重合），过点M作MN⊥BD,交抛物线于 点N(点N在对称轴的右侧)，过点N作NH⊥x轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段OC上一动 点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP+2PC的最小值； (③)在2)中，当。MNF的周长取得最大值时，FP+PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移25个 3 单位得到点Q,连接AQ,把△AOQ绕点0顺时针旋转一定的角度α(0°<a<360),得到△AOQ,其中 边AQ'交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得GQ=OG？若存在，请直接写出所有 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 2.(2022山东济南一模)如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-1,0),点C(0,3),且0B=0C. 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式及其对称轴： (2)如图2，连接BC,过点A作BC的平行线交抛物线于点H,M为线段BC上一动点，连接AM交抛 物线于点P,连接PH交BC于点N,连接AN,△PAN的面积S是否有最大值，若有，求出S最大值， 若无，请说明理由， (3)如图3，以C为直角顶点，0C为直角边边向右作等腰直角△COD,将△COD沿射线线0D平移得到 △FEG,连接BE、BF,△BEF的周长I是否有最小值，若有，求△BEF的周长I的最小值，若无，请说 明理由。 3.(2025·内蒙古包头三模)己知，如图二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4与x轴 交于点A、B,点B(4,0),抛物线的对称轴为直线x=1,直线AD交抛物线于点D(2,m, VA 图1 图2 (I)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E,连接DQ,当DQE的面积最大时，求 点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上， 当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值， 考向02二次函数与特殊三角形的存在性问题 。题型03等腰三角形存在性问题 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 回锦豪妙什 通用思路：在抛物线上（或平面内）寻找一点，使其与已知两定点构成等腰三角形。需按顶角的顶点进 行分类。 关键步骤： 设已知两定点为A、B,动点为P(x,y)。 1.若A为顶点(AB=AP):以A为圆心，AB长为半径作圆，联立抛物线解方程组。 2.若B为顶点(BA=BP):以B为圆心，BA长为半径作圆，联立抛物线解方程组。 3.若P为顶点(PA=PB)：P落在AB的垂直平分线上，求出中垂线解析式，联立抛物线解方程组。 答题模板：先分类，再设坐标，后根据距离公式d=Vx-x)+(2-y)2列方程求解。 1. (2026河南周口一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于 点C (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不 存在，请说明理由 2.(2024甘肃嘉峪关三模)如图，己知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1在抛物线y=ax2+bx+c上. (1)求抛物线解析式： (2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1： (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q,使△BQC是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标； 若不存在，请说明理由 3.(2026广东汕头·一模)2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢 运动轨迹可以近似看作一条抛物线y=-x2+10x-21,第二个机器入花绢运动轨迹同样是抛物线如图①， 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线x=3对称. 图① 图② (I)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A,B,C三点的坐标， (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为等腰三角形，若存在，请求 出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. (3)如图②，在平面内有一点P,使得LAPB=90°，在x轴上有一点E(-3,0),连接CP和EP,请求出 CP+二EP的最小值. 。题型04直角三角形宦在性的题 回棉素妙竹 通用思路：抓住“直角”这一核心条件，将其转化为三边关系或斜率关系。 关键步骤： 1.定直角：明确哪个点是直角顶点（若未明确则需分类讨论）。 2. 列方程：利用勾股定理逆定理（两短边的平方和等于最长边的平方）或者利用初等方式“竖平横直” 构造K字型相似来证明垂直。若用代数法，直接根据勾股定理列方程。 3. 解方程：代入坐标，去根号（平方）求解。 (2024甘肃定西模拟预测)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c(b,C为常数)的图象与x轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴相交于点C,顶点为D VA (1)求抛物线的表达式 (2)若M点为抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得√5AM+DM值最小，若存在请求出最小值；若 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不存在，请说明理由； (3)若点P为该抛物线上的一个动点，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，请直接写出P点的坐 标 2.(2025湖北襄阳.一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,C（点 A在点C的右边)，与y轴交于点B,直线y=c+b经过点A,B (I)求A,B,C三点的坐标及直线AB的函数解析式. (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q,设点P的横坐标为m (m<0),PQ的长为L·求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； (3)设抛物线的顶点为M,问在y轴上是否存在一点N,使得NAM为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(2025·四川南充二模)在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A和B(1,0)两点，与y轴相 交于C,且顶点D(-1,4),P是抛物线上一动点. 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (2)如图1，连接BC,若∠PBC=45°，求P的坐标； (3)如图2，过P作PQ∥AC交抛物线于Q,以P、Q、D为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在， 求出P的坐标；若不存在，通过计算说明 。题型05相心似三角形存在性▣题 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 回佛豪妙什 通用思路：二次函数中的相似多为“A字型”或“K字型”，核心是找到一组相等的角（通常是不变量）， 再分两种情况讨论夹这个角的两边成比例。 关键步骤： 1.找不变角：观察图形中是否有直角、抛物线上固定点的视角等不变量作为公共角。 2. 列比例式：根据对应边成比例列出分式方程。 3.转化为距离公式：将线段比例转化为坐标差的绝对值形式，去绝对值符号求解。 1. (2021四川泸州一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛 物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接AC,PB. M (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N,在对称轴上是否存在点G,使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？ 如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请 说明理由 2.(2026山东东营一模)如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A-2,0),点B(4,0).连接AC,BC.D为 OB上的动点，过点D作ED⊥x轴，交抛物线于点E,交BC于点G. (1)求这条抛物线的表达式： (2)过点E作EF⊥BC,垂足为点F,设点D的坐标为m,O),请求出当m为何值时EF有最大值，最大 值是多少？ (3)点D在运动过程中，是否存在这样的点G,使得以O,D,G为顶点的三角形与△AOC相似.若存在， 请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(2025湖南永州模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,-3),与x轴相交于点 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A-2,0),B(6,0),点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数表达式.。 (2)在y轴上有一点P,求出PB+PD的值最小时点P的坐标，及此时PB+PD的值. (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点E,过点E作EF⊥x轴交x轴于点F,使△OEF与△OBC相 似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。 考向03二次函数与特殊四边形的存在性问题 。题型06平行四边形存在性▣题 回棉豪妙竹 通用思路：己知三个定点，求抛物线上第四个点构成平行四边形。此法比向量法更契合初中生认知，且 不易漏解。 关键步骤： 1. 设已知三点为Ax,B:),C),抛物线上动点px)。 2. 分类讨论：分别以AB、AC、BC作为平行四边形的对角线。 x+x2,+ 3. 套用中点公式22 若AB为对角线，则A、B的中点也是C、P的中点。 4. 求解验证：解出xy,并代入抛物线检验是否满足解析式。 (2026云南昭通模拟预测)如图，二次函数y=ax2+4x+的图象与x轴交于点A-2,0,与y轴交于 点B(0,4. (1)求该二次函数的解析式. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)过点B作直线BC平行于x轴，交抛物线于点C,求四边形OACB的面积. (3)是否存在点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条 件的点P的坐标，若不存在，请说明理由 2.(2026黑龙江绥化二模)如图，抛物线y=ax2+2x-3a经过A1,0),B(b,0),C(0,c)三点，交y轴于点C. V 备用图 (I)求a,b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小时，求△OPC的面积： (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边 形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(2026陕西一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C,连接 AC,点P为抛物线上一动点（不与点A,C重合），图中虚线是抛物线的对称轴。 (1)求该二次函数的表达式： (2)若点M在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使得以点P,A,M,C为顶点的四边形是以AC为边的平 行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 《◆题型07菱形矩形存在性问题 回棉豪妙计 通用思路：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，解题时采用“两步法”更为清晰。 关键步骤： 1.第一步（定类型）：先用中点坐标公式求出所有可能的平行四边形顶点。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.第二步（筛特例）： ()若为菱形：加上“邻边相等”条件，利用距离公式筛选。 (2)若为矩形：加上“对角线相等”条件，或利用“斜率乘积为-1”验证垂直。 1. (2026江苏无锡一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+8经过点A(4,0),与 y轴交于点B,且关于直线x=1对称. 1 (1)则抛物线解析式中a= ,b= (2)当31+2≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤6t+3,求t的值： (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存 在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理 由. 2.(2024浙江·模拟预测)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上， 且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点” y A 3 1 -4-3-210124 B -2 -3 B 11111111111 -4 图① 图② (1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A-1,2),B(-1,-1),C(3,-1,D(3,2),在点M,1,1, M,(2,2),M,(3,3)中，是矩形ABCD“梦之点的是； 9 ②)如图②，已知点4，B是抛物线y三)+x+上的梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC AB,BC,求ABC的面积； (3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q,使得以AB为对角 线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2025山东烟台二模)如图，抛物线C,:y=ar2+4 +c的图像经过点D(1,-1,与x轴交于点A,点B ，抛物线对称轴为x=一2 5 备用图 (1)求抛物线C的表达式： (2)将抛物线C向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C,,求抛物线C,的表达式，并判断 点D是否在抛物线C2上； (3)在抛物线C,的对称轴上是否存在一点P,使PB-PD最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由； (④)点F是平面内的一点，在抛物线C,和抛物线C上是否存在一点E,使以点B,D,E,F为顶点的四边 形是以BD为边的正方形.若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由. 考向04二次函数与图形变换的综合问题 。题型08抛物线平移与几何图形翻蚯 回棉豪妙竹 通用思路：抛物线的变换遵循严格的解析式加减法则；几何图形的翻折则意味着“折痕是对称点连线的 垂直平分线”。 关键步骤： 1. 抛物线平移：牢记“左加右减自变量，上加下减常数项”。若是含参平移，注意符号变化。 2.点线翻折：找出对应点，计算中点（该中点在折痕上），计算对应点连线斜率（与折痕斜率乘积为 -1),从而求出折痕解析式。 (2026河北唐山一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线P:y=-x(x+b)(b是常数)经过点 A4,0),抛物线Q:y=a(x-3)2-8(a>0) / 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求P的解析式及对称轴： (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后 抛物线的最高点与x轴的距离为d ①当d=25时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d(用含n的式子表示). (3)将P按照(2)中的平移方式向上平移一次得到抛物线P,Q恰好经过P与x轴的左交点， P1≤智）与Q-组度新函数工，当s-≤x号时，工的最小值为s号最大值为，真接 写出t的取值范围， 2.(2025·湖南模拟预测)如图1，将一张平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点0与原点重 合，OA在x轴上，点A6,0),点B,C在第一象限，且AB=4,∠AOC=60° 0 图1 图2 (1)如图1，点B的坐标为 ,点C的坐标为 (2)如图2，若P为x轴的正半轴上的一个动点，过点P作直线11x轴，沿直线1折叠该纸片，折叠后点 O的对应点O落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C.设OP=t. ①若直线1与边BC相交于点Q,将纸片折叠，当四边形POCQ与口OABC重叠部分为五边形时，O'C'与 AB相交于点E,试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S,当1≤号时，求S的取值范围（直接写出结果即可）。 3 3.(2026天津一模)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于 点C (1)已知B(1,0),C0,4,求抛物线的解析式： (2)在(1)的条件下， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①点D是线段OC上的一动点，连接AD,BD,将△ABD沿直线AD翻折，得到AB'D,当点B恰好 落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标： ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数州，过点C作直线L,∥x轴，将原抛物线位于y轴右侧 的部分沿直线L翻折，翻折后的部分记为函数%，函数%和函数%形成新的函数w,在%上任取点Q, 过点Q作直线L,∥AC,当L2与函数w只有两个公共点时，直接写出L的解析式 (3)已知A-c,0),c>0,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，交抛物线于点 下，点F在第一象限，过点F作FG上x轴，垂足为G,当反rG+2P的最大值为是万时，求b的值 。题型09旋转综合间题 回棉豪妙计 通用思路：图形绕某点旋转一定角度，本质是构造旋转全等（或相似）。 关键步骤： 1.找不变量：旋转中心不变，对应线段长度相等。 2.作辅助线：连接旋转中心与对应点，通过作垂线（构造K字型），利用三角函数或全等三角形求出 新坐标。 3. 核心公式（拓展）：若绕原点逆时针旋转90°，(x,y)变为(-少，x。 1.(24-25九年级上广西南宁.期中)阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y=a1x2+bx+G(a1≠0，a1,b,C是常数)与y=a2x2+bx+c2(a2≠0,42， b2,c2是常数)满足a1+42=0,b=b2,C1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数 y=2x2-3x+1的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，4，=2，b=-3,℃1=1， 根据a1+a2=0,b,=b2,G+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的“旋转函数”. 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数y=x2-4x+3的“旋转函数”； (2)若函数y=5x2+(m+)x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”，求(m+n)2025的值； (3)已知函数y=2(x-1)(x+3的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A,B,C关于原点的 对称点分别是A,B,G,试证明：经过点A,B,G的二次函数与y=2(x-1)x+3)互为“旋转函数” 2.(2026辽宁模拟预测)已知二次函数y=ax2+bxa≠0)，因为ax2+bx=xax+b),所以我们把一次函 数y=x和y=ax+b(a≠0)叫做它的两个分解函数，例如：y=3x2+5x的两个分解函数是y=x和 =3+5,若揽物线，=ar2+x口≠0)关于直线x=弓对称，它的一个分解函数经过点L,4, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求a,b的值； (2②)二次函数为%=ax2+bx0<x≤-b, a) 它的两个分解到数分为方≤0和5=a+(>名)】 这三个函数组成一个新函数记作Y. ①当-1≤x≤n时，-1≤Y≤2n+2,求n的值； ②将射线y,=xx≤0)绕原点旋转，当旋转后的射线与直线y2=ax+b所夹锐角为45°时，请直接写出旋 转后的射线与新函数Y的图象的交点坐标. 3.(2025·湖南怀化·二模)在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系 数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”.例 如：抛物线y1=2x2-5x+1与y2=-2x2-5x-1互为“旋转抛物线”. D O y 图1 图2 (1)抛物线y=-x2+2x+4的“旋转抛物线”的表达式为； (2)如图1，若(1)中的抛物线y与的顶点分别为点A,C,它们的交点分别为B,D.分别连接AB, BC,CD,AD,试判断四边形ABCD的形状，并说明理由： (3)在(2)的条件下，如图2，连接BD.若M为抛物线y位于第四象限的图象上一动点，作直线M0, 与抛物线片交于另一点P,与抛物线2依次交于点N,2（点Q位于第二象限)，若MQ=4NP,求 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sin∠BOM的值. 考向05二次函数与角度/线段数量关系的综合问题 ◆题型10角度相等与定值问题 回棉豪妙计 通用思路：证明两个角相等或具有倍数关系，通常转化为证明这两个角的正切值相等，或者构造相似三 角形。 关键步骤： 1.化角为弦：若涉及二次函数背景下的角度问题，优先考虑构造直角三角形，用铅垂线与水平线表示 出两边的线段长度。 2. 列等式：根据等角，列出正切值相等的方程，或者根据余弦定理列出边的关系。 3. 整体代换：将二次函数解析式代入分式，通过约分、合并同类型求解。 (2025江苏苏州二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴分别交于 A-1,0),B两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点D1,4),对称轴交x轴于点G 图1 图2 (1)求抛物线解析式： (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接PC、PA,分别交对称轴于点E、F. ①在点P的运动过程中，DE、EF、FG这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等， 请说明理由； ②如图2，连接AC、BC,AP与BC相交于点H,若△PCH的面积为S,△4CH的面积为S,求令的最 S 大值. 2.(2026安微·三模)己知，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标 为1,0)，对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M,交抛物线于点 N (1)求这个二次函数的解析式： (2)若点P在线段A0上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点P的坐标； (3)若点P(山)、Q(x2”2)为该抛物线上不同的两点，且满足x+=-1，设h=(以-当2+)2-4y,请 判断h是否为定值.若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由 3.(2024福建厦门模拟预测)如图，抛物线经过△A0D的三个顶点，其中0为原点，A(2,4),D(6,0), 点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥AO,GE⊥DO于点E,交AD于点I, AH平分∠OAD,C(-2,4),AH⊥CH于点H,连接FH. A (1)求抛物线的解析式： (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积； 深究的值是香为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明西 ②题型11隐性线段晶值问题（胡不归阿氏圆模型） 回绵豪妙社 通用思路：当问题出现k·PA十PB(0<k<1)或PA十k·PB的形式时，属于隐性的“胡不归”或“阿 氏圆”模型。 关键步骤： 1.识别模型：观察系数是否为特殊角（如30°，45°，60°）的正弦/余弦值，或者是否存在动点在一 个定圆上运动。 2. 构造辅助线： (I)胡不归：过动点作系数所对角所在直线的垂线，将k·PA转化为垂线段长度。 (2)阿氏圆：利用母子相似三角形，将k·PB转化为另一条定线段。 3. 化归求最值：转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”进行最终计算。 (2024·安微模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于 A-1,0,B两点，AB=4,C为抛物线顶点。 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求b,c的值： (2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q,交AC于点M,是否存在 QM=3PM?若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+二AN的最小值， 2.(2026重庆一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0) ,点B(3,0),与y轴交于点C,连接AC、BC. O A N B A B D D M 图1 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)如图1，若点P为线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D,过点P作 PE⊥AC交直线AC于点E,M、N为y轴上的动点（点M在点N的下方）且MN=I,连接PM、 BN.当3PD-√OPE最大时，此时点P的坐标及PM-BN的最大值： (3)在(2)的条件下，将该抛物线沿射线AC方向平移√10个单位长度得到新抛物线y,点F在新抛物 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线y上，连接PF.若LFPD+∠ABC=∠ACB,请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点 F的坐标的其中一种情况的过程 2023福建泉州模拟预测)如图，已知搅物线y二8x+2x-4(k为常数，且k>0)与X轴 右依次交于1，B两点，与》轴交于点C,经过点8的直线)=-。x+b与抛物线的另一交点为D. B C 备用图 (I)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式： (2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标 是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1.(2026安徽芜湖·二模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(-1,0)，则下列结论中正 确的是() A.abc>0 B.a+b<c C.2a+b<0 D.3a+c<0 2.(2026辽宁营口一模)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,点E是CD边上任意一个点，连接AE, 将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接CF,则线段CF最小值为() 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F、 C B A.62 B.4V5 C.42 D.8 3.(2026山东滨州一模)关于抛物线y=x2-2mx+m2+m-4(m是常数)，下列说法正确的是() A.当m=1时，抛物线的对称轴是x=2 B.若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=-4 C.若点A(m-2,y),B(m+1,y2在抛物线上，则<y2 D.无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于2√2 4.(2026安徽合肥一模)如图，口ABCD中，AB=3,AD=4,P,Q两点同时从点A出发，均以1个单 位每秒的速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是 () B B 34 VA D 349 349 二、填空题 5.(2026四川广安·二模)如图，一次函数y=2x-3的图象与二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象交于 点A、B,且点A在x轴上，点B在y轴上，则关于x的不等式ax2+(b-2)x+c+3>0的解集为· 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(2026江苏连云港一模)如图，抛物线y=ax2+c与直线y=c+b交于A(-3,m),B(1,n)两点，则不 等式ax2+r+c<b的解集是 7.(2026江苏无锡一模)在平面直角坐标系中，若点A(0,4),B(m,0),C(m+3,0,则AB2+2AC2的 最小值为 8.（2026上海松江·二模)联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦.如果抛物线的一条弦AB与抛物 线的对称轴垂直，垂足为点C,抛物线的顶点为D,当AB=4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值. 我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y=3x2-2x+1的特征值是 三、解答题 9.(2026辽宁沈阳一模)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=4x与反比例函数y=”图象交于 点A2,,点B的坐标为(6,0)，连接AB,动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运 动，设运动的时间为t秒(0<t<8),过点P作PN∥x轴，分别交A0,AB于点M,N. B\3 (1)求反比例函数的表达式和直线AB的函数表达式； (2)求MN的长（用含t的代数式表示）； / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)点E是线段MN上一动点（点E不与点M,N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S,和S2, 当t=4时，请直接写出S·S2(即S,与S2的积)的最大值为 0,2026安徽滁州一模)加图，在平面直角坐标系中，摄物线乙y三2+bx+c的顶点为2.-4，雪 y轴交于点N,直线I:y=kx+n经过M,N两点. (1)b= (2)求直线1的解析式： (3)先作L关于x轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移(p>0)个单位长度得到L2,使得抛物线 L的顶点与点M恰好关于原点对称. ①求出P的值及抛物线L的解析式； ②若将直线1沿y轴向下平移q(q>0)个单位长度后，与抛物线L交于P,Q两点，P,Q两点的纵坐 标分别为yp,yo,设t=yp+yo,直接用含q的式子表示t. 11.(2026西藏一模)如图，某中学准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一 个矩形花园ABCD(其中墙CD留宽2m的入口)，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完)， 设AB的长为xm (1)BC的长为m,x的取值范围是； (2)当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为336m2? (3)当x为何值时，矩形花园ABCD的面积S取得最大值，并求出此时面积S的最大值， 12.(2026江苏扬州一模)项目背景：扬州某物流园区引入智能分拣系统，该系统通过摄像头识别货物轮 廓，并借助直角坐标系确定货物形状“最小包围矩形”（即目标矩形）的尺寸.该系统中目标矩形定义 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如下：矩形的两组对边分别平行于坐标轴，货物形状近似图形的所有点都在矩形内部或边上，且矩形 面积最小.设目标矩形的竖直边长与水平边长的比为k,称k为目标矩形的形态比. 例如：某货物形状近似图形为圆形，识别后如图1，则其目标矩形形态比为k=4 AD =1 图1 (1)如图2，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为线段AB,端点坐标为A(-1,-2),B(2,2),则 其目标矩形的形态比k=_· 图2 (②)如图3，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为抛物线，其表达式为y=-}x+bx+c,该抛物 线经过点P(Q,4,且其目标矩形的形态比=】，水平边长BC为8个单位。求该抛物线的表达式，并 求出目标矩形的面积. A 图3 (③)如图4，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为反比例函数y=m(x>0,m>0)的一支.过曲线 上两点P(a,”)、Qb,)(0<a<b)分别作坐标轴的平行线，围成目标矩形ABCD.设该目标矩形的面 积为S. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P(D) C ①求证： 该目标矩形形态比k=” A.- O(B) 0 图4 ②若m=6,是否存在目标矩形A8CD,使其同时满足面积S=8且形态比太=？若存在，请直接求出 满足条件的α、b的值；若不存在，请说明理由 13.(2026辽宁沈阳一模)如图1，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点B, 与y轴交于点C,经过B、C两点的二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于另一点A. 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点D、E在直线y=-x+3上，点F是第二象限位于抛物线上一点，点G在x轴上若四边形DEFG是 正方形，求点F的坐标； (3)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使得LCBP+∠AC0=45°，若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由，