11.1.2不等式的性质 教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十一章 不等式与不等式组 人教版(2024) 11.1.2 不等式的性质（第2课时） 一、教学目标 1.进一步理解不等式的性质，会用不等式的性质解简单的不等式； 2.知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时实心圆点与空心圆圈的区别； 3.利用不等式的性质解决实际问题，感受数学建模思想． 二、教学重点及难点 重点：能利用不等式的性质解简单的不等式. 难点：利用不等式的性质解决实际问题. 三、教学过程 【复习引入】 问题：上节学习了不等式的性质，那么同学们还记得不等式的性质是什么吗？ 答：不等式性质1：不等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，不等号的方向不变. 不等式性质2：不等式两边乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变. 不等式性质3：不等式两边乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变. 问题：解方程的依据是什么？ 答：等式的性质. 问题：解方程依据等式的性质，将方程逐步化为x＝a为形式．类比解方程，如何解不等式呢？答：解不等式要依据不等式的性质，将不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式． 设计意图：通过学生对以前学过的不等式的性质的复习，为本节利用不等式的性质解不等式等打下基础. 【探究新知】 探究1：利用不等式的性质解不等式并用数轴表示不等式的解集 【典型例题】例3 （教材P126） 【师生活动】学生独立完成，最终教师展示答题过程. 教师用课件展示例题答案. 教师再次总结：用数轴表示不等式的解集时，若解集不包含“边界点”，则用空心圆圈.大于“边界点”向右画，小于“边界点”向左画. 设计意图：在认识不等式性质的基础上，通过4个简单的例题，巩固对不等式性质的理解，体会其在解不等式中的作用.通过数轴的直观让学生对不等式的解集进一步加深理解，渗透数形结合思想．培养学生的思考问题，动手操作能力，增强合作交流意识. 探究2：符号“≥”和“≤”的意义 问题：像“a≥b”和“a≤b”也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式. 符号“≥”与“＞”的含义有什么区别？“≤”与“＜”呢？ 答：“≥”是“＞”与“=”的合写形式，读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”. “≥”比“＞”多了一层相等的含义. 同理“≤”是“＜”与“=”的合写形式，读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. “≤”比“＜”多了一层相等的含义. 追问：“a≥b”和“a≤b”形式的不等式，是否具有与前面所说的不等式类似的性质呢？ 答：若a≥b，则a±c≥b±c. 若a≥b，c＞0，则ac≥bc (或). 若a≥b，c＜0，则ac≤bc (或)． 归纳：常见的不等号（见课件） 常见的不等式基本语言及其符号表示（见课件） 问题：生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示. 如图所示的高速公路的限速标志，表示在快车道上行驶的汽车的最低车速应为100 km/h，最高车速应为120 km/h. 如果用v (单位：km/h) 表示汽车的速度，则v应满足： 答：v应该满足：v≥100且v≤120，或表示为100≤v≤120. 【师生活动】学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示. 设计意图：以一个问题串的形式引导学生自主构建对“不等符号(≥和≤)”的认识，培养学生自主学习的能力，通过将不等式与生活中的实际例子联系起来，进一步体会数学源于生活并服务于生活. 【典型例题】例4 （教材P127） 【师生活动】学生独立完成，在小组讨论，最终以小组为代表汇报展示. 注意：在表示0和210的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个点所对应的数． 教师用课件展示例题答案. 设计意图：通过例题进一步巩固学生用不等式的性质解不等式的理解和认识. 能够利用不等式解决实际问题，进一步体会数学源于生活并服务于生活. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带领学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.利用不等式的性质解不等式 2.利用不等式解决实际问题 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 人教版(2024) 11.1.2 不等式的性质（第1课时） 一、教学目标 1.通过类比、猜测、探究、验证、归纳出不等式性质，理解并掌握不等式的性质； 2.能利用不等式的性质解决简单的数学问题，培养应用意识. 二、教学重点及难点 重点：理解并掌握不等式的性质. 难点：能利用不等式的性质解决数学问题. 三、教学过程 【复习引入】 问题：请同学们回忆一下，等式性质有哪些？ 答：等式性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等. 若，则； 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 若，则或. 师：类比等式性质，猜想不等式是否也有类似性质？ 【师生活动】教师提问，学生举手回答. 设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，尤其是关于等式的相关知识，带着问题开始本节课的学习，更能激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫. 【探究新知】 探究1：不等式的性质1 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实. (1) 对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变. 如果a＞b，那么b＜a. 例如，由5＞x，可得x＜5. (2) 传递性：不等关系可以传递. 如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 例如，由y＞x，x＞－3，可得y＞－3. 可以借助数轴理解这两个基本事实. (1) 假设a＞0，b＜0，在数轴上大致表示为： 根据数轴右边的数总比左边的数大可得：b＜a，a＞b (2) 假设a＞0，b＝0，c＜0，在数轴上表示为： 根据数轴右边的数总比左边的数大可得：a＞b，b＞c，并且a＞c. 问题：（教材P124探究） 用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： ①5＞3 5＋2____3＋2，5＋0____3＋0，5＋(－2)____3＋(－2)； ②－1＜3 －1＋4____3＋4，－1＋0____3＋0，－1＋(－7)____3＋(－7)． 答：5＋2＞3＋2，5＋0＞3＋0，5＋(－2)＞3＋(－2) －1＋4＜3＋4，－1＋0＜3＋0，－1＋(－7)＜3＋(－7) 规律：当不等式两边加同一个数时，不等号的方向不变． 由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立. 追问：换一些其他的数，结论还成立吗？把数换成式子，结论还成立吗？(学生自行验证，结论成立） 不等式的性质1：不等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，不等号的方向不变. 符号语言：如果a＞b，那么a±c＞b±c. 设计意图：通过让学生尝试去探索，并展开讨论，归纳出不等式性质1，让学生初步感知不等式的性质.经历思考，猜想，验证的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力. 探究2：不等式的性质2 问题：（教材P124探究） 用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： ①6＞2 6×5____2×5，6÷2____2÷2； ②－2＜3 －2×2____4×2，－2÷2____4÷2； ③－4＜－2 －4×2____－2×2，－4÷2____－2÷2. 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论. 答：6×5＞2×5，6÷2＞2÷2； －2×2＜4×2，－2÷2＜4÷2； －4×2＜－2×2，－4÷2＜－2÷2. 规律：当不等式两边乘 (或除以) 同一个正数时，不等号的方向不变. 追问：换一些其他的正数，结论还成立吗？（成立，学生自行验证） 追问2：如果不等式两边乘0，结果又如何呢？相等. 不等式的性质2：不等式两边乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变. 符号语言：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (或). 设计意图：通过学生尝试去探索，并展开讨论，归纳出不等式性质2，让学生初步感知不等式的性质2. 探究3：不等式的性质3 问题：用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： ①6＞2 6×(－5)____2×(－5)，6÷(－2)____2÷(－2)； ②－2＜4 －2×(－2)____4×(－2)，－2÷(－2)____4÷(－2)； ③－4＜－2 －4×(－2)____－2×(－2)，－4÷(－2)____－2÷(－2). 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空，然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论. 答：6×(－5)＜2×(－5)，6÷(－2)＜2÷(－2)； －2×(－2)＞4×(－2)，－2÷(－2)＞4÷(－2)； －4×(－2)＞－2×(－2)，－4÷(－2)＞－2÷(－2). 规律：当不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变. 追问：换一些其他的负数，结论还成立吗？（学生自行验证，成立） 不等式的性质3：不等式两边乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变. 符号语言：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc (或). 设计意图：通过学生尝试去探索，并展开讨论，归纳出不等式性质3，让学生初步感知不等式的性质3，培养学生分析问题，解决问题的能力. 提问：比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同？ 【典型例题】例2 （教材P125） 【师生活动】学生独立完成，教师点评，规范格式. 教师用课件展示例题答案. 设计意图：通过例题，让学生加深对不等式的性质的理解并且能够简单运用. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带领学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.不等式的基本事实：对称性、传递性 2.不等式的性质 学科网（北京）股份有限公司 $