专题10.3 频率与概率（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦频率与概率核心知识点，先明晰频率与概率的区别及频率稳定性原理，再延伸至生活应用如游戏公平性、天气预报概率解释，最后通过随机模拟实现概率估计，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以7类典型题型为载体，结合掷硬币、抽奖等现实实例，通过辨析题培养数学思维的逻辑性，随机模拟问题提升用数学语言解决实际问题的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习巩固，有效查漏补缺。

专题10.3 频率与概率（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 频率的计算】 2 【题型2 辨析概率与频率的关系】 3 【题型3 用频率估计概率】 4 【题型4 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 6 【题型5 其他问题中的概率解释】 6 【题型6 游戏的公平性问题】 7 【题型7 随机模拟问题】 9 知识点1 频率的稳定性 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【题型1 频率的计算】 【例1】（25-26高三上·湖南长沙·月考）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【变式1-2】（2025高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 【题型2 辨析概率与频率的关系】 【例2】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【变式2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【变式2-2】（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【变式2-3】（24-25高二上·广东佛山·期中）下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【题型3 用频率估计概率】 【例3】（24-25高一下·河南平顶山·期末）某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 5 7 24 35 19 则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【变式3-1】（2025高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏苏州·开学考试）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. 【变式3-3】（24-25高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【题型4 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 【例4】（24-25高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【变式4-1】（24-25高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【变式4-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【变式4-3】（24-25高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【题型5 其他问题中的概率解释】 【例5】（24-25高二·全国·课后作业）已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（    ） A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈 B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈 C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90% D．以上说法都不对 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（    ） A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道 C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80% D．以上解释都不对 【变式5-2】（24-25高二上·山东济宁·月考）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 【变式5-3】（24-25高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【题型6 游戏的公平性问题】 【例6】（24-25高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【变式6-1】（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【变式6-2】（24-25高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【变式6-3】（24-25高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 知识点2 随机模拟 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【题型7 随机模拟问题】 【例7】（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·河南·月考）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 【变式7-3】（24-25高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球. (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 频率与概率（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 频率的计算】 2 【题型2 辨析概率与频率的关系】 3 【题型3 用频率估计概率】 5 【题型4 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 8 【题型5 其他问题中的概率解释】 10 【题型6 游戏的公平性问题】 12 【题型7 随机模拟问题】 16 知识点1 频率的稳定性 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【题型1 频率的计算】 【例1】（25-26高三上·湖南长沙·月考）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【答案】B 【解题思路】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率. 【解答过程】第3组的频数，频率为. 故选：B. 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【答案】B 【解题思路】根据题意结合频率公式计算可得. 【解答过程】由题可知，样本在内的频率应为. 故选：B. 【变式1-2】（2025高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【解题思路】运用频率定义计算即可. 【解答过程】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 【答案】C 【解题思路】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解. 【解答过程】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率. 故选：C. 【题型2 辨析概率与频率的关系】 【例2】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【解题思路】根据概率与频率的关系判断. 【解答过程】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【解题思路】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【解答过程】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【解题思路】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【解答过程】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二上·广东佛山·期中）下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【答案】D 【解题思路】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【解答过程】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动， 并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05， 则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误； 对于B，100次并不是无穷多次， 只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误； 对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误； 对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确. 故选：D. 【题型3 用频率估计概率】 【例3】（24-25高一下·河南平顶山·期末）某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 5 7 24 35 19 则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【答案】C 【解题思路】由频率估计概率，得出所求概率. 【解答过程】因为前三年6月份各天最高气温小于的频率为， 因此估计今年6月份的某天最高气温小于的概率为0.4. 故选：C. 【变式3-1】（2025高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先设该校有a名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2 h的学生中近视人数；再用频率估计概率即可求解. 【解答过程】设该校有a名同学， 则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50% 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a， 则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为． 故选：B． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏苏州·开学考试）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. 【答案】(1) (2)，. 【解题思路】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率即可； （2）估计频率分布直方图的性质求. 【解答过程】（1）由已知，所选的名职工中有名职工一周内路边停车的时间少于8小时， 所以样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率为， 记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A， 则， 所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率为； （2）由频率分布直方图的性质可得， 所以，. 【变式3-3】（24-25高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【答案】(1)120 (2) 【解题思路】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可； （2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解. 【解答过程】（1）根据分层抽样的方法， 所以男生样本数据个数为； （2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率. 【题型4 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 【例4】（24-25高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【答案】D 【解题思路】根据概率的实际意义即可判断. 【解答过程】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【解题思路】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【解答过程】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 【变式4-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【解题思路】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【解题思路】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A. 【题型5 其他问题中的概率解释】 【例5】（24-25高二·全国·课后作业）已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（    ） A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈 B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈 C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90% D．以上说法都不对 【答案】C 【解题思路】根据概率的定义判断即可； 【解答过程】解：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是，故C正确； 如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为人，不一定必有人被治愈，故A错误； 如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为，也可能不被治愈，故B错误； 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（    ） A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道 C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80% D．以上解释都不对 【答案】C 【解题思路】根据概率的意义，反映一件事情发生的可能性. 【解答过程】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·山东济宁·月考）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 【答案】B 【解题思路】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案. 【解答过程】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【答案】D 【解题思路】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【解答过程】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D. 【题型6 游戏的公平性问题】 【例6】（24-25高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【解题思路】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【解答过程】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 【变式6-1】（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【答案】D 【解题思路】分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平. 【解答过程】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平； 对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平； 对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大. 故选D. 【变式6-2】（24-25高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【答案】（1）这个游戏公平的；答案见解析； （2）这个游戏不公平；答案见解析． 【解题思路】（1）根据题意，利用列举法结合古典概型的概率公式得到，即可得解； （2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解，即可得出结果. 【解答过程】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则， 这个游戏公平的． （2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”， 则，．这个游戏不公平． 【变式6-3】（24-25高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【解题思路】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【解答过程】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 知识点2 随机模拟 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【题型7 随机模拟问题】 【例7】（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【解答过程】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一下·河南·月考）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【解答过程】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有13组符合要求， 有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428， 故概率为． 故选：D． 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【解题思路】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”，进而分析可得取出的两球是相同颜色，则两球的颜色均为黑色或白色，由等可能事件的概率可得事件A的概率，由对立事件的概率性质可得答案; （2）根据模拟实验原则:必须保证实验在相同条件下进行，设计随机模拟即可. 【解答过程】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”. 则事件A的概率为：， 由于事件A与事件B是对立事件， 所以事件B的概率为； （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生和两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数． 用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球， 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n 第3步：计算的值,则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. 【变式7-3】（24-25高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球. (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【解题思路】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【解答过程】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $