10.3 频率与概率讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3 频率与概率 目录 题型1：辨析概率与频率的关系 2 题型2：用频率估计随机事件的概率 3 题型3：用随机模拟估计概率 4 题型4：用频率估计概率的综合应用 5 1. 频率的稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率估计概率. 2. 频率与概率的区别与联系 区别 联系 频率 频率是利用频数除以总试验次数所得到的确定的数值，它会随着试验次数的变化而变化 概率可看作频率在理论上的期待值，它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率. 概率 概率是频率的稳定值，它是一个常数，与每次的试验无关. 3. 随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这种用计算机或计算器模拟试验的方法叫做随机模拟法．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 题型1：辨析概率与频率的关系 【例１.1】 （多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【例１.2】 根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 【例１.3】 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【例１.4】 某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 题型2：用频率估计随机事件的概率 方法提炼 求概率的一般步骤： (1) 确定随机事件的频数； (2) 由计算频率（为试验的总次数）; (3) 由频率估计概率. 【例２.1】 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（   ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51 【例２.2】 现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【例２.3】 某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 【例２.4】 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______． 题型3：用随机模拟估计概率 【例３.1】 （多选）下列关于随机数的说法，正确的是（    ） A．计算器只能产生(0，1)之间的随机数 B．计算机能产生指定两个整数之间的取整数值的随机数 C．计算器或计算机产生的随机数是完全等可能的 D．计算器或计算机产生的随机数是伪随机数 【例３.2】 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【例３.3】 已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例３.4】 在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 题型4：用频率估计概率的综合应用 【例４.1】 为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 频数 频率 120 0.24 160 155 0.31 35 30 0.06 合计 500 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率. 【例４.2】 某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：        景区限流情况 景区累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 天 天 天 乙景区累计天数 天 天 天 丙景区累计天数 天 天 天 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立. (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率； (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率； (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流. 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览 景区，下午游览 景区.（从“甲、乙、丙 ”中选择两个填写） 【例４.3】 运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【例４.4】 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【例４.5】 阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 频率与概率 目录 题型1：辨析概率与频率的关系 2 题型2：用频率估计随机事件的概率 5 题型3：用随机模拟估计概率 6 题型4：用频率估计概率的综合应用 9 1. 频率的稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率估计概率. 2. 频率与概率的区别与联系 区别 联系 频率 频率是利用频数除以总试验次数所得到的确定的数值，它会随着试验次数的变化而变化 概率可看作频率在理论上的期待值，它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率. 概率 概率是频率的稳定值，它是一个常数，与每次的试验无关. 3. 随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这种用计算机或计算器模拟试验的方法叫做随机模拟法．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 题型1：辨析概率与频率的关系 【例１.1】 （多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 【例１.2】 根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案. 【详解】由题意可知投篮命中的频率为， 而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的， 其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误， 故选：B 【例１.3】 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【详解】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D 【例１.4】 某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率和概率的关系即可判断. 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 题型2：用频率估计随机事件的概率 方法提炼 求概率的一般步骤： (1) 确定随机事件的频数； (2) 由计算频率（为试验的总次数）; (3) 由频率估计概率. 【例２.1】 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（   ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率和概率的定义即可求解. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，故有51次反面朝上，故“反面朝上”的频率为，“反面朝上”的概率为0.5， 故选：D 【例２.2】 现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解. 【详解】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 【例２.3】 某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】借助频率定义计算即可得. 【详解】设湖中有条鱼，则有，解得. 故选：C. 【例２.4】 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______． 【答案】0.44/ 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】由频率估计概率，得出所求概率. 【详解】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44 题型3：用随机模拟估计概率 【例３.1】 （多选）下列关于随机数的说法，正确的是（    ） A．计算器只能产生(0，1)之间的随机数 B．计算机能产生指定两个整数之间的取整数值的随机数 C．计算器或计算机产生的随机数是完全等可能的 D．计算器或计算机产生的随机数是伪随机数 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】利用计算器（机）产生整数值随机数 【分析】由计算器产生随机数的相关知识可得. 【详解】计算器也可以产生a～b上的整数随机数,故A错误，B正确；计算器或计算机产生的随机数是伪随机数，不能保证等可能，故C错误，D正确. 故选：BD 【例３.2】 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】整数值随机模拟问题、利用计算器（机）产生整数值随机数 【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率. 【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中， 至少有两天下雨有， 即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为． 故选：D． 【例３.3】 已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 【例３.4】 在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 题型4：用频率估计概率的综合应用 【例４.1】 为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 频数 频率 120 0.24 160 155 0.31 35 30 0.06 合计 500 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率. 【答案】(1)； (2)0.9小时 (3) 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布表、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由频率分布表，结合频率计算公式即可求解； （2）根据频率分布表，结合平均数计算公式即可求解； （3）根据分层抽样，可得组抽取3人，组抽取4人，利用列举法，可知7人中随机抽取2人，共有21种情况，其中这两人来自不同的组共有12种情况，即可求解. 【详解】（1）根据频率分布表，结合频率的计算，得，； （2）根据样本平均数公式可得 ， 所以估计该地区高中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时； （3）两组频率之比为，共抽取7人， 由分层抽样可知：组抽取3人，组抽取4人， 设组的3人分别为，，，组的4人分别为，，，， 从7人中随机抽取2人的所有基本事件有： ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，共21个， 其中两人来自不同组的基本事件有： ，，，，，，，，，，，共12个， 所以两人来自不同组的概率. 【例４.2】 某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：        景区限流情况 景区累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 天 天 天 乙景区累计天数 天 天 天 丙景区累计天数 天 天 天 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立. (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率； (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率； (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流. 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览 景区，下午游览 景区.（从“甲、乙、丙 ”中选择两个填写） 【答案】(1)； (2)； (3)甲，丙； 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）由表格中数据求出频率即可. （2）利用相互独立事件及对立事件的概率求解. （3）按上下午选择景区情况分类，利用相互独立事件及对立事件的概率求出概率并比较大小得解. 【详解】（1）由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是2，所以小明遇到完全限流的概率为. （2）由数表知，乙景区不限流的概率为，丙景区不限流的概率为， 所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率. （3）若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率； 若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率， 而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大. 【例４.3】 运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)丙 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）由频率计算公式即可求解； （2）分别计算乙丙获得优胜奖的概率，再计算乙丙都没获得优胜奖的概率，再由对立事件计算公式即可求解； （3）结合甲乙丙高分段的数量（频率）和最大值即可判断. 【详解】（1）由甲：181   180   179   178   173   172   170   168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； （2）由乙：180   179   175   171   170   169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖的概率为； 由丙：183   176   165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； （3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 【例４.4】 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【答案】(1) (2) (3)青年人 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率、分层抽样的概率 【分析】（1）由题干可知总人数为，对酸奶满意的人数为，由此可得结果； （2）用样本频率估计总体概率，可得该地区青年人对酸奶满意的概率.青年人共人，满意的人数为，即可得结果； （3）根据消费群体中满意的人数与总人数的比值，计算出各人群的满意度，再计算提高后各个群体增加的满意人数，增加的人数更多的即为所选. 【详解】（1）设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A， 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为， 所以． （2）用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率． （3）青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大. 【例４.5】 阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)3轮后，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】决策中的概率思想、利用互斥事件的概率公式求概率 【详解】（1）设表示该队第n轮后所处的阶梯，． 要使，需满足3轮中胜场数等于负场数，即1胜2负或2胜1负（因为3轮总比赛场次为3）． 计算1胜2负的路径：—（概率：）—（概率：）—（概率：）—（概率：） 计算2胜1负的路径：—（已计算）（概率：）—（概率：）—（已计算） 注意：部分路径重复计算，实际不同路径为：—— 每条路径概率均为，共有6条路径，因此： （2）要使，需满足3轮中至少2胜且路径不违反阶梯边界． 可能路径：—（3胜，但第3轮在5阶胜后仍为5阶）：概率—（2胜1负）：概率—（2胜1负）：概率， 因此：， （3）设从k开始，3轮后位于5阶的概率为． 对于—必须3连胜：，概率， 对于—3连胜：，概率—2胜1负（不影响最终到5阶）：（无法到5阶）（无法到5阶）（无法到5阶）（已计入3连胜）因此，， 对于—如（2）所计算，， 对于—至少1胜：（概率）—1胜2负：（概率）—2胜1负：（无法到5阶）（概率）（已计入）因此，，对于—无需胜场：（概率1） 比较：， 因此，从5阶开始比赛，3轮后位于5阶的概率最大（为1）.这符合直观，因为高阶梯起点意味着离目标更近，且5阶胜者保持5阶的规则使得从5阶开始的队伍不会下降． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $