第十章 概率（思维导图+知识清单+四大易错点总结）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

该高中数学概率单元复习讲义以思维导图统领知识体系，结合知识清单系统梳理随机事件、古典概型、相互独立性等核心内容，通过对比表格明晰互斥与对立、独立事件等易混概念，用树状图、列表法呈现样本点列举方法，构建逻辑递进的知识脉络。 讲义亮点在于四大易错点精准突破，如典例1通过骰子试验辨析互斥与对立事件，配套跟踪训练强化推理意识，培养学生用数学思维分析问题。分层练习设计兼顾基础与提升，助力不同层次学生掌握概率计算方法，为教师实施精准教学提供有力支持。

第十章 概率（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 10.1 随机事件与概率 【知识点1 有限样本空间与随机事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【知识点2 事件的关系和运算】 1．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 2．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 3．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识点3 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【知识点4 概率的基本性质】 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 10.2 事件的相互独立性 【知识点1 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. 性质：若事件A与B相互独立，则 则与B，A与，与也相互独立 (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 10.3 频率与概率 【知识点1 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【知识点2 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【易错点1 混淆了互斥事件与对立事件的区别】 易错点分析：混淆了互斥事件与对立事件的定义和区别，求解问题时对事件进行了错误的判断，导致结果错误. 【注】：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. 【典例1】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【解题思路】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【解答过程】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D. 【跟踪训练1.1】（24-25高二上·山东淄博·月考）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【解题思路】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【解答过程】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A. 【跟踪训练1.2】（24-25高一下·河北唐山·期末）从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（    ） A．“至少有1名女生”与“都是女生” B．“至少有1名女生”与“至少有1名男生” C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生” D．“至少有1名女生”与“至多有1名男生” 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件的定义判断ABD都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C. 【解答过程】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A错； “至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错； “至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D错； “恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确. 故选：C. 【跟踪训练1.3】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【解题思路】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 【跟踪训练1.4】（24-25高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【解题思路】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【解答过程】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 【易错点2 混淆了互斥事件与相互独立事件】 易错点分析：混淆了互斥事件与相互独立事件的定义和区别，求解问题时对事件进行了错误的判断，导致结果错误. 【注】：互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 【典例2】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【解答过程】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C. 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【解题思路】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【解答过程】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【跟踪训练2.2】（2025高三·全国·专题练习）羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局比赛中，甲先发球．则比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率为（    ） A．0.144 B．0.336 C．0.304 D．0.216 【答案】B 【解题思路】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立，记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，则事件发生表示事件或或发生，利用事件的独立性和互斥事件即可求解. 【解答过程】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立． 记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件， 则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥． 又，， ． 由互斥事件概率加法公式可得 ． 综上，3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336， 故选：B． 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【解题思路】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【解答过程】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 【跟踪训练2.4】（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【解答过程】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立， ， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， ， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 【易错点3 古典概型的基本事件列举时出现重复或遗漏】 易错点分析：对于古典概型的概率问题，在列举基本事件时出现了重复或遗漏，导致基本事件列举错误，导致结果出错. 【注】：古典概型的基本事件列举时要做到不重不漏. 【典例3】（24-25高一下·河南平顶山·期末）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】我们需要先求出从这6名男志愿者中随机抽取的2人的所有情况数，再求出抽取的2名志愿者中有一男一女的情况数，利用古典概型公式即可求出. 【解答过程】4名男志愿者用表示，2名女志愿者用表示， 从这6名男志愿者中随机抽取的2人的基本事件有：共15种情况， 其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有：共有8个基本事件， 抽取的2名志愿者中有一男一女的概率. 故选：D. 【跟踪训练3.1】（24-25高一下·云南保山·期末）一个盒子中装有6个除颜色外都相同的小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球．若从中任取2个球，那么至少取到1个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用，，表示3个白球，用，表示2个红球，用c表示黑球，列举法求解古典概型的概率. 【解答过程】用，，表示3个白球，用，表示2个红球，用c表示黑球， 则该试验的样本空间可表示为 ，共有15个样本点． 其中至少取到1个红球包含9个样本点，分别为 ， 故所求概率为， 故选：D． 【跟踪训练3.2】（24-25高一下·广东广州·期末）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意先求样本空间，令事件表示所取的2道题都是同一类题，再求，最后由古典概型计算公式即可求解. 【解答过程】设4道甲类题为，2道乙类题为，则共有15种情况， 令事件表示所取的2道题都是同一类题，所以共有7种情况，所以， 故选：D. 【跟踪训练3.3】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【解答过程】（1）由图知，可得； （2）由图，， ， 所以； （3）由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 【跟踪训练3.4】（24-25高一下·天津南开·期末）现有男生和女生各3人，从中任选2人参加一项测试，求： (1)恰有一名参赛学生是男生的概率； (2)至少有一名参赛学生是男生的概率； (3)至多有一名参赛学生是男生的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）根据古典概型公式结合互斥事件和概率公式计算即可； （3）根据古典概型公式结合互斥事件和概率公式计算即可. 【解答过程】（1）设男生为，女生为， 从6人中任选2人共有15种情况． 恰有一名参赛学生是男生的基本事件有9种， 所以这一事件的概率． （2）至少有一名参赛学生是男生即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生，基本事件有12种， 所以所求事件的概率． （3）至多有一名参赛学生是男生即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都不是男生，基本事件有12种， 所以所求事件的概率． 【易错点4 混淆有放回与无放回问题，致错】 易错点分析：处理概率问题时，混淆了有放回与无放回问题的区别，没有考虑元素是否放回对求解概率的影响，导致结果错误. 【注】：处理概率问题，切记要先考虑元素是否放回，再求解. 【典例4】（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【解答过程】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为 ，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C. 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·广东中山·月考）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【解题思路】应用古典概型计算各个选项即可. 【解答过程】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：C. 【跟踪训练4.2】（24-25高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【解答过程】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【跟踪训练4.3】（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【解答过程】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 【跟踪训练4.4】（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【解答过程】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，， ， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，，， ， ； （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，，， ，. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 10.1 随机事件与概率 【知识点1 有限样本空间与随机事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【知识点2 事件的关系和运算】 1．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 2．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 3．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识点3 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【知识点4 概率的基本性质】 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 10.2 事件的相互独立性 【知识点1 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. 性质：若事件A与B相互独立，则 则与B，A与，与也相互独立 (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 10.3 频率与概率 【知识点1 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【知识点2 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【易错点1 混淆了互斥事件与对立事件的区别】 易错点分析：混淆了互斥事件与对立事件的定义和区别，求解问题时对事件进行了错误的判断，导致结果错误. 【注】：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. 【典例1】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【跟踪训练1.1】（24-25高二上·山东淄博·月考）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【跟踪训练1.2】（24-25高一下·河北唐山·期末）从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（    ） A．“至少有1名女生”与“都是女生” B．“至少有1名女生”与“至少有1名男生” C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生” D．“至少有1名女生”与“至多有1名男生” 【跟踪训练1.3】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【跟踪训练1.4】（24-25高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【易错点2 混淆了互斥事件与相互独立事件】 易错点分析：混淆了互斥事件与相互独立事件的定义和区别，求解问题时对事件进行了错误的判断，导致结果错误. 【注】：互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 【典例2】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【跟踪训练2.2】（2025高三·全国·专题练习）羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局比赛中，甲先发球．则比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率为（    ） A．0.144 B．0.336 C．0.304 D．0.216 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【跟踪训练2.4】（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【易错点3 古典概型的基本事件列举时出现重复或遗漏】 易错点分析：对于古典概型的概率问题，在列举基本事件时出现了重复或遗漏，导致基本事件列举错误，导致结果出错. 【注】：古典概型的基本事件列举时要做到不重不漏. 【典例3】（24-25高一下·河南平顶山·期末）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（24-25高一下·云南保山·期末）一个盒子中装有6个除颜色外都相同的小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球．若从中任取2个球，那么至少取到1个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（24-25高一下·广东广州·期末）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.3】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【跟踪训练3.4】（24-25高一下·天津南开·期末）现有男生和女生各3人，从中任选2人参加一项测试，求： (1)恰有一名参赛学生是男生的概率； (2)至少有一名参赛学生是男生的概率； (3)至多有一名参赛学生是男生的概率． 【易错点4 混淆有放回与无放回问题，致错】 易错点分析：处理概率问题时，混淆了有放回与无放回问题的区别，没有考虑元素是否放回对求解概率的影响，导致结果错误. 【注】：处理概率问题，切记要先考虑元素是否放回，再求解. 【典例4】（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·广东中山·月考）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【跟踪训练4.2】（24-25高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【跟踪训练4.4】（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $