专题03 图形的基本性质与三角形综合（复习讲义）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 图形的基本性质与三角形综合 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 图形的基本性质（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：几何图形初步 题型二：相交线平行线 题型三：尺规作图 必备知识 知识1 相交线与平行线 知识2 尺规作图 命题预测 考点二 三角形（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：三角形与全等三角形 题型二：全等三角形综合 必备知识 知识1 全等三角形综合 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题” 特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1）相交线与平行线：侧重运算工具性，常与圆结合，以角度计算为主。 2）尺规作图：侧重实际应用与分析作图类型，作角平分线、中垂线为核心考点。 3）三角形：侧重中点与旋转构造全等的方法解题，构造辅助线出全等解题为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 几何图形初步 T1：轴对称图形与中心对称图形 T1：轴对称图形与中心对称图形 T2：轴对称图形与中心对称图形 T1：立体图形圆锥 T7：轴对称图形 T4：圆柱展开图 相交线与平行线 T14：平行线性质 T2：垂直定义，平角定义 T3：直角定义 T3：对顶角相等 T3：垂直定义，平角定义 尺规作图 T7：作线段相等；全等三角形的判定与性质 T7：作等角；全等三角形的判定 T20：垂直平分线；作线段相等 三角形与全等三角形 T8：反比例函数与三角形综合 T14：三角形内角和定理的应用 T8：全等三角形综合问题 T8：全等三角形的性质；用勾股定理解三角形 T14：角平分线的性质；与三角形的高有关的计算 全等三角形综合 T27：全等的性质和SAS综合（SAS） T27：全等三角形综合问题 T27：全等三角形的性质和SAS综合（SAS） T27：全等三角形的性质和SAS综合（SAS） T27：全等三角形综合 命题预测 1. 考情预测 · 几何图形初步： · 基础题：识别轴对称与中心对称图形，平行线相关的简单计算。 · 三角形与全等三角形： · 核心考点：三角形全等综合压轴。 · 综合趋势：旋转与全等三角形结合，强调中点建模与分析能力。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线与垂直平分线的性质，确保基础题不失分。 · 强化综合：重点训练旋转倍长、斜边中线取中点、垂直倍长等辅助线，总结解题模板。 · 关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。 考点一 几何图形初步 题型一 几何图形初步 1）轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，两侧能够完全重合的图形； 2）中心对称图形：旋转180°能够与原图形完全重合的图形； 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 2．(25-26九下·北京十三中分校·零模)下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 3．(25-26九下·北京二中教育集团·零模)下列几何体中；主视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看到的图形即为主视图求解即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意； C、三棱柱的主视图是长方形，不符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意． 题型二 相交线与平行线 1．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行同位角相等，可求得的度数，再由邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ． 2．(2024九下·北京海淀区·一模)如图，已知，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2024年北京市海淀区九年级中考一模数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再结合即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．(24-25九下·北京海淀清华附中外籍人员子女学校·月考)如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角、邻补角，由垂直的定义得到，由平角定义求出，由角平分线定义得到，由对顶角相等得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型三 尺规作图 1．(25-26九下·北京昌平区·一模)如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 无法判断， 故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 2．(25-26九·北京第八中学·月考)如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，逐一进行判断即可． 【详解】解：甲：如解图①， ∵， ∴， ∴，由甲的作法可知，， 故和不可能全等， 故甲的作法错误； 乙：如解图②， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴乙的作法是正确的． 3．(25-26九下·北京三帆中学·零模)如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 4．(25-26九下·北京师达中学·月考)如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 知识1 相交线与平行线 1.相交线 对顶角相等，邻补角互补；知90°得垂直，知垂直得90°. 2.平行线 判定（由角推线） 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 性质（由线推角） 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线时，所解得得对应线段长度成比例 知识2 尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 步骤： 1）画射线AP； 2）以已知线段端点为圆心，半径画弧； 3）在AP上截AB=已知长. 依据：圆的半径相等 2.作一个角等于已知角（2024/2025真题） 步骤： 1）已知∠AOB； 2）画射线 O'A'； 3）以 O 为圆心，任意长画弧交 OA、OB 于 C、D； 4）以 O' 为圆心，同半径画弧交 O'A' 于 C'； 5）以 C' 为圆心，CD 长画弧交前弧于 D'； 6）作射线 O'B'，∠A'O'B'=∠AOB. 依据：SSS 全等→对应角相等 3.作已知角得平分线 步骤： 1） 已知∠AOB； 2） 以 O 为圆心，任意长画弧交 OA、OB 于 C、D； 3） 分别以 C、D 为圆心，>½CD 长画弧，交于 P； 4） 作射线 OP，即为平分线。 依据：SSS 全等→角相等；等腰三角形三线合一 4.过线段得垂直平分线  步骤： 1） 已知线段 AB； 2） 分别以 A、B 为圆心，>½AB 长画弧，交于 M、N； 3） 作直线 MN，即为垂直平分线。  依据：到线段两端等距的点在垂直平分线上；两点确定直线。 1．(25-26九下·北京三帆中学·零模)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； 2．(25-26九·北京清华大学附属中学数学·零模)窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握两种图形的定义：轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形.根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 3．(25-26九·北京西城区德胜中学·模拟)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 4．(24-25九下·北京顺义区·一模)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 5．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的度数，得到的度数，由对顶角相等得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 6．(24-25九上·北京清华大学附属中学·期末)如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，可得，进而可得，则，即，从而可得答案． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 即， 故C选项正确，符合题意； 根据已知条件不能得出A、B、D选项， 故A、B、D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 7．(2025九下·北京大兴区·二模)如图，平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再根据角平分线得到，由求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．(2025九下·北京石景山区·二模)如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂直的定义． 由及，可求得，再由即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B 9．(25-26九上·北京·期末)如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（    ） A．的长有限制，的长无限制 B．的长无限制，的长有限制 C．，的长均无限制 D．，的长均有限制 【答案】D 【分析】本题考查的是尺规作图作垂线，灵活运用圆与直线的位置关系、两圆相交的条件是解题的关键．根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【详解】1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 故选：． 10．(2025九下·北京海淀区·二模)下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定．根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 11．(25-26九上·北京海淀区理工附南校区·期中)下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．根据作图痕迹，结合全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：由作图痕迹，得，，， ∴， 故选：C． 12．(2026九下·北京一零一集团·月考)如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（   ）． A．是的平分线 B． C． D．点在线段的垂直平分线上 【答案】C 【分析】由尺规作图的流程可判断是的平分线；根据角平分线和直角三角形的性质可计算出；利用三角函数计算出，则错误；容易证明，则点在线段的垂直平分线上． 【详解】解：对于A：由题干的尺规作图操作流程可知，是的平分线，故A正确； 对于B：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确； 对于C：在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，故C错误； 对于D：∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，故D正确． 13．(2026九下·北京二中教育集团·月考)在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（   ） A．小海作图判定的依据是 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了用圆规作图，全等三角形的判定，根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：、小海作图判定的依据是，该选项正确，不符合题意； 、小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，该选项正确，不符合题意； 、小华作图判定的依据是，该选项正确，不符合题意； 、小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，该选项错误，符合题意； 故选：． 考点二 三角形 题型一 三角形与全等三角形 1．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下面四个结论： ①平分；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】设正方形边长为，先根据中点和线段比例求出各线段长度，再用勾股定理算出；接着通过延长构造全等三角形，证明平分，验证结论①；再代入勾股定理验证，确认结论②；然后计算与的长度，判断二者不相等，结论③错误；最后计算并与比较，验证结论④成立，最终得出正确结论为①②④． 【详解】解：设正方形边长为， ∵是中点，， ∴，，，， 由勾股定理得：， ， ，即， 延长交的延长线于点， ∵是中点，平行， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴平分，①正确； 结论②， 即：，符合勾股定理，②正确； 结论③， ，，显然不相等，③错误； 结论④， ，等式成立，④正确； 综上，正确结论为． 2．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M，N不重合）．给出四个结论： ①与的面积一定相等； ②可能是等边三角形； ③若点M是边的中点，则点N一定为的中点； ④在点A，点B的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据四边形是矩形，得出，根据值的几何意义得出，则与的面积一定相等，故①正确；根据等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，得出当且对称轴都为直线可能是等边三角形，故②正确；根据点是中点，得出，则，结合，和矩形的性质得出，即点一定为的中点，故③正确；设点坐标为，则点，表示出，即可得④不正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线可能是等边三角形，故②正确； 是中点， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即点一定为的中点，故③正确； 设点坐标为， 则点， ， ∴，故④不正确． 3．(25-26九·北京第八中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，存在点使得； ④的形状不可能为等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据反比例函数值的几何意义可得，根据矩形的性质得出，则；当是的中点时，，根据，得出，根据矩形的性质得出，即可得出；根据点坐标为，得出点，，表示出，即可得出；若为等边三角形，则，令，得出，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ， ∵四边形为矩形， ， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， 即点是边的中点时，点一定为的中点，故②符合题意； ∵点坐标为， 则点，， ∴， ∴，即，故③不符合题意； 若为等边三角形，则， 令，得，解得， 此时，， 此时都与重合，不符合题意，故不存在等边三角形，故④正确． 4．(25-26九下·北京大兴区第七中学·零模)如图，在中，，，（其中）．于点D，点E在边上，．设，，，给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于x的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据勾股定理得到，，可知，即可判断①；根据勾股定理得到，，可知，进而得到，即，根据完全平方公式得到，可知，即可判断②；求出的长，求出的解，即可判断③． 【详解】解：∵在中，，即， 在中，，即， ∴， 即，故①正确； ∵在中，，在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 解得：， ∴的长是关于x的方程的一个实数根，故③正确； 综上①③正确． 题型二 全等三角形综合 常见全等SAS旋转全等，8字全等（倍长中线），手拉手全等（等边/等腰直角旋转）. 1．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)在等边中，是边上的高，为边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交的延长线于． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，过作于点，若，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【来源】北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年下学期九年级4月阶段学情自测数学试题 【分析】（1）根据题意求出，再由三角函数得到，，根据三线合一得到，即可得到，即可得到结论； （2）在上截取，连接，先证明与，再通过线段和差关系以及含的直角三角形得到，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：，等边，射线绕点逆时针旋转交的延长线于， ，故， ， ，在中， ， ， 在中，， ， ， 由于是边上的高， 是的中点，即 ， ， 故； （2）解：，证明如下： 在上截取，连接， 等边， ，， ，， 是边上的高， ，， ， ∵将射线绕点逆时针旋转交的延长线于， ∴， ∴为等边三角形，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴，， ∴． 2．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，在中，，，D是边上一点，记．平分交于点F，取线段的中点E，过点E作交于点G． (1)依题意补全图形，求；（用含α的式子表示） (2)探究线段，，的数量关系并证明． 【答案】(1)补全图形见详解， (2)，证明见详解 【分析】（1）先根据题目要求画出对应的图形，再利用角平分线定理得出，结合已知条件利用三角形外角的性质得出的度数，并最终利用三角形外角的性质求得结果； （2）过点D作于点H，连接、，利用直角三角形斜边上的中线定理推出，从而利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质推出，进而通过角度和差关系得到，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得出，从而证得最终结论． 【详解】（1）解：如图所示： ∵，平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：， 证明：如图，过点D作于点H，连接、， ∵点E是的中点， ∴， ∴是斜边上的中线，是斜边上的中线， ∴， ∴，， 由（1）知，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 3．(25-26九·北京第五中学分校·零模)如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据题意得出，，，再由直角三角形两锐角互余即可证明； （2）延长至点H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）①解：如图，即为所求； ； ②证明：连接， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明如下： 延长至点H，使得，连接，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识1 全等三角形综合 考法：证线段关系（相等/倍长一半/垂直/和等于最长）、角度关系、最值、线段长度 核心思想：全等变换+中点结构构造 必考知识点： 1）旋转三大性质：①旋转前后全等、线段长度相等②对应点到旋转中心距离相等③旋转角相等 2）中点四大模型：①三角形中位线：平行且等于第三边一半②直角三角形斜边中线③倍长中线④中点+等腰 1．(2025九下·北京东城区·一模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ，则扇形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，扇形的面积计算等知识点，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键． 连接，根据勾股定理求出，，，得到，，，推出是直角三角形，，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， 故答案为：． 2．(2025·北京中考真题)如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 3．(2024·北京中考真题)如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 4．(2025九下·北京门头沟区·一模)如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 故结论①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论③正确； 如图，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，结论正确的是①③④， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．(2025九下·北京密云区·一模)如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质求解，解题关键是理解“洛尔三角形”的定义． 根据的圆心与的中心不同，可判断①；根据各条弧绕点O按逆时针方向旋转后，找到旋转后的弧即可判断②；分别求出“洛尔三角形”的周长和长为半径的半圆的周长，就可判断③；根据“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离可判断④． 【详解】解：∵是以点C为圆心，的中心为O， ∴点O为的垂直平分线上的点与点C为不同的点， ∴上的点到点O的距离不相等，故①错误； ∵绕点O按逆时针方向旋转后与重合， 绕点O按逆时针方向旋转后与重合， ∴将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合，故②正确； ∵“洛尔三角形”的周长等于，长为半径的半圆的周长为， ∴“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，AB长为半径的半圆的周长，故③正确； ∵，，都是以a为半径的圆弧，P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点， ∴“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离为a， ∴的最大值是a，故④正确． 综上所述，正确说法的序号是②③④． 故选： C． 6．(2025九下·北京顺义区·一模)如图，在菱形中，，连接，将绕点A逆时针旋转得到，与菱形的交点为E，F，G，H，将绕点C逆时针旋转得到，与菱形的交点为K，L，M，N．对于八边形给出下面四个结论：①该八边形是轴对称图形；②该八边形各内角都相等；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，轴对称的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，是解题的关键． 根据四边形是菱形，菱形本身就是轴对称图形，绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转，可判断①；求出， ，得该八边形各内角不都相等，可判断结论②；根据与关于直线对称，与关于直线对称，得，同理，进而得，可判断结论③正确；设，分别求出、可判断④即可得解。 【详解】解：四边形是菱形，菱形本身就是轴对称图形． 又绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转，旋转后的图形与原菱形的组合八边形依然保持轴对称性．该八边形是轴对称图形，结论①正确． 与关于直线对称， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， 是对称点， ， 是等边三角形， ， ，该八边形各内角不都相等，结论②不正确； 与关于直线对称，与关于直线对称， ，同理， ，结论③正确； 设， 都是等边三角形，， ， ，， ，， ， ，， 同理，不正确，结论④不正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：A． 7．(2025九下·北京石景山区·一模)如图，矩形中，．点E在边上，以为边作正方形，点F恰好落在边上，与交于点H．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明可判断①，连接，可得，根据垂线段最短即可判断②，证明可判断③，熟练运用上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，, ， ， ， ，故①正确； 如图，连接， 为等腰三角形， ， 根据垂线段最短，可得，即，当点与点重合时，取等号， ， 点不可能与点重合，（否则可知） ，故②正确； ， ， 由题意可知：， ， ， ， ， ，即， ，故③正确， 综上所述，正确的为①②③， 故选：D． 8．(2025九下·北京西城区·一模)如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【来源】2025年北京市西城区九年级数学中考一模试卷 【分析】连接、、，根据旋转和等边三角形的性质可证明，得到，，进而证明，得到，即可判断①，根据三角形外接圆的性质可判断②，连接，当时，、、共线，、、共线，，求出，，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据勾股定理求出，，即可判断③． 【详解】解：如图，连接、、， 是等边三角形， ，， 由旋转可得：，，，， ，，即， ， ，， ，即， ， ， ， 对任意都有是等边三角形，故①正确； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，的外接圆的圆心到点，，的距离相等，且外接圆的圆心是唯一的， 存在唯一一点（的外接圆的圆心）到点，，的距离相等，故②正确； 如下图，连接，当时，、、共线，、、共线，， ，， ， ， ， ， ， 的周长是，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 9．(2025·北京中考真题)在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 10．(2024·北京中考真题)已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 11．(24-25九下·北京东城区·一模)如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键， （1）根据题意补全图形即可； （2）证明即可得到结论； （3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论， 【详解】（1）解：补全图形如图． （2）证明：在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴ 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 12．(2025九下·北京门头沟区·一模)如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． (1)求证：； (2)过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析  ②；证明见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意， ，，由，得到即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②延长到，使，连接，则， 由（1）得 ，可证 ，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：①依题意补全图形，如图： ②与之间的数量关系是， 证明：延长到，使，连接， ， ， 又∵由（1）得， ， ∵以为圆心，长为半径作弧，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．(2025九下·北京顺义区·一模)在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）先得出，结合，，故，再整理得的度数， （2）延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．结合，得证是的中位线，平分．由角平分线的性质得，，运用三角形内角和得出，再根据等角对等边，则，然后证明，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，． ∴是的中位线，平分． ∴，． ∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．(2025九下·北京密云区·一模)如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键； （1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）如图2，连接交于点，延长交于点，证明，得出，可得，、是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：补全图形，如图1， （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，连接交于点，延长交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， 、、是等腰直角三角形， ∴，，， 设，， ，， ， ． 15．(2025九下·北京石景山区·一模)如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． (1)求的大小； (2)连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的定义即可解答； （2）连接，连接，可得点在以点为圆心，以为半径的圆上，再连接并延长交于点，证明即可解答． 【详解】（1）解：F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段， ，， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接，连接， ，D是的中点， ， F是的中点， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上，如图，连接并延长交于点， ， ∵， ， ， ，，D是的中点， ， ， ， ，即． 16．(2025九下·北京西城区·一模)在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)． 【来源】2025年北京市西城区九年级数学中考一模试卷 【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【详解】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2） 证明：同②的方法． 【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的基本性质与三角形综合 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 图形的基本性质（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：几何图形初步 题型二：相交线平行线 题型三：尺规作图 必备知识 知识1 相交线与平行线 知识2 尺规作图 命题预测 考点二 三角形（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：三角形与全等三角形 题型二：全等三角形综合 必备知识 知识1 全等三角形综合 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题” 特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1）相交线与平行线：侧重运算工具性，常与圆结合，以角度计算为主。 2）尺规作图：侧重实际应用与分析作图类型，作角平分线、中垂线为核心考点。 3）三角形：侧重中点与旋转构造全等的方法解题，构造辅助线出全等解题为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 几何图形初步 T1：轴对称图形与中心对称图形 T1：轴对称图形与中心对称图形 T2：轴对称图形与中心对称图形 T1：立体图形圆锥 T7：轴对称图形 T4：圆柱展开图 相交线与平行线 T14：平行线性质 T2：垂直定义，平角定义 T3：直角定义 T3：对顶角相等 T3：垂直定义，平角定义 尺规作图 T7：作线段相等；全等三角形的判定与性质 T7：作等角；全等三角形的判定 T20：垂直平分线；作线段相等 三角形与全等三角形 T8：反比例函数与三角形综合 T14：三角形内角和定理的应用 T8：全等三角形综合问题 T8：全等三角形的性质；用勾股定理解三角形 T14：角平分线的性质；与三角形的高有关的计算 全等三角形综合 T27：全等的性质和SAS综合（SAS） T27：全等三角形综合问题 T27：全等三角形的性质和SAS综合（SAS） T27：全等三角形的性质和SAS综合（SAS） T27：全等三角形综合 命题预测 1. 考情预测 · 几何图形初步： · 基础题：识别轴对称与中心对称图形，平行线相关的简单计算。 · 三角形与全等三角形： · 核心考点：三角形全等综合压轴。 · 综合趋势：旋转与全等三角形结合，强调中点建模与分析能力。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线与垂直平分线的性质，确保基础题不失分。 · 强化综合：重点训练旋转倍长、斜边中线取中点、垂直倍长等辅助线，总结解题模板。 · 关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。 考点一 几何图形初步 题型一 几何图形初步 1）轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，两侧能够完全重合的图形； 2）中心对称图形：旋转180°能够与原图形完全重合的图形； 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26九下·北京十三中分校·零模)下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26九下·北京二中教育集团·零模)下列几何体中；主视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 相交线与平行线 1．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．(2024九下·北京海淀区·一模)如图，已知，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九下·北京海淀清华附中外籍人员子女学校·月考)如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型三 尺规作图 1．(25-26九下·北京昌平区·一模)如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 2．(25-26九·北京第八中学·月考)如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 3．(25-26九下·北京三帆中学·零模)如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26九下·北京师达中学·月考)如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识1 相交线与平行线 1.相交线 对顶角相等，邻补角互补；知90°得垂直，知垂直得90°. 2.平行线 判定（由角推线） 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 性质（由线推角） 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线时，所解得得对应线段长度成比例 知识2 尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 步骤： 1）画射线AP； 2）以已知线段端点为圆心，半径画弧； 3）在AP上截AB=已知长. 依据：圆的半径相等 2.作一个角等于已知角（2024/2025真题） 步骤： 1）已知∠AOB； 2）画射线 O'A'； 3）以 O 为圆心，任意长画弧交 OA、OB 于 C、D； 4）以 O' 为圆心，同半径画弧交 O'A' 于 C'； 5）以 C' 为圆心，CD 长画弧交前弧于 D'； 6）作射线 O'B'，∠A'O'B'=∠AOB. 依据：SSS 全等→对应角相等 3.作已知角得平分线 步骤： 1） 已知∠AOB； 2） 以 O 为圆心，任意长画弧交 OA、OB 于 C、D； 3） 分别以 C、D 为圆心，>½CD 长画弧，交于 P； 4） 作射线 OP，即为平分线。 依据：SSS 全等→角相等；等腰三角形三线合一 4.过线段得垂直平分线  步骤： 1） 已知线段 AB； 2） 分别以 A、B 为圆心，>½AB 长画弧，交于 M、N； 3） 作直线 MN，即为垂直平分线。  依据：到线段两端等距的点在垂直平分线上；两点确定直线。 1．(25-26九下·北京三帆中学·零模)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26九·北京清华大学附属中学数学·零模)窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．(25-26九·北京西城区德胜中学·模拟)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九下·北京顺义区·一模)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九下·北京海淀第二十九中·模拟)将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京清华大学附属中学·期末)如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(2025九下·北京大兴区·二模)如图，平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．(2025九下·北京石景山区·二模)如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．(25-26九上·北京·期末)如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（    ） A．的长有限制，的长无限制 B．的长无限制，的长有限制 C．，的长均无限制 D．，的长均有限制 10．(2025九下·北京海淀区·二模)下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 11．(25-26九上·北京海淀区理工附南校区·期中)下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 12．(2026九下·北京一零一集团·月考)如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（   ）． A．是的平分线 B． C． D．点在线段的垂直平分线上 13．(2026九下·北京二中教育集团·月考)在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（   ） A．小海作图判定的依据是 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 考点二 三角形 题型一 三角形与全等三角形 1．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下面四个结论： ①平分；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M，N不重合）．给出四个结论： ①与的面积一定相等； ②可能是等边三角形； ③若点M是边的中点，则点N一定为的中点； ④在点A，点B的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．(25-26九·北京第八中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，存在点使得； ④的形状不可能为等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 4．(25-26九下·北京大兴区第七中学·零模)如图，在中，，，（其中）．于点D，点E在边上，．设，，，给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于x的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 题型二 全等三角形综合 常见全等SAS旋转全等，8字全等（倍长中线），手拉手全等（等边/等腰直角旋转）. 1．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)在等边中，是边上的高，为边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交的延长线于． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，过作于点，若，用等式表示与的数量关系，并证明． 2．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，在中，，，D是边上一点，记．平分交于点F，取线段的中点E，过点E作交于点G． (1)依题意补全图形，求；（用含α的式子表示） (2)探究线段，，的数量关系并证明． 3．(25-26九·北京第五中学分校·零模)如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 知识1 全等三角形综合 考法：证线段关系（相等/倍长一半/垂直/和等于最长）、角度关系、最值、线段长度 核心思想：全等变换+中点结构构造 必考知识点： 1）旋转三大性质：①旋转前后全等、线段长度相等②对应点到旋转中心距离相等③旋转角相等 2）中点四大模型：①三角形中位线：平行且等于第三边一半②直角三角形斜边中线③倍长中线④中点+等腰 1．(2025九下·北京东城区·一模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ，则扇形的面积为________． 2．(2025·北京中考真题)如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．(2024·北京中考真题)如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．(2025九下·北京门头沟区·一模)如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 5．(2025九下·北京密云区·一模)如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．(2025九下·北京顺义区·一模)如图，在菱形中，，连接，将绕点A逆时针旋转得到，与菱形的交点为E，F，G，H，将绕点C逆时针旋转得到，与菱形的交点为K，L，M，N．对于八边形给出下面四个结论：①该八边形是轴对称图形；②该八边形各内角都相等；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．(2025九下·北京石景山区·一模)如图，矩形中，．点E在边上，以为边作正方形，点F恰好落在边上，与交于点H．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．(2025九下·北京西城区·一模)如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．(2025·北京中考真题)在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 10．(2024·北京中考真题)已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 11．(24-25九下·北京东城区·一模)如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 12．(2025九下·北京门头沟区·一模)如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． (1)求证：； (2)过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 13．(2025九下·北京顺义区·一模)在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 14．(2025九下·北京密云区·一模)如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 15．(2025九下·北京石景山区·一模)如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． (1)求的大小； (2)连接，判断与的位置关系，并证明． 16．(2025九下·北京西城区·一模)在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $