专题14 几何最值问题（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题14 几何最值问题 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 将军饮马问题 题型二 造桥选址问题 题型三 隐圆模型 题型四 胡不归模型 题型五 阿氏圆模型 题型六 费马点模型 题型七 瓜豆模型 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 几何最值是中考数学核心高频考点，分值约 8～12 分，多以选择、填空压轴题出现，少数结合解答题压轴设问，整体以中高档题为主，侧重考查模型识别、转化思想与计算能力，是拉开分差的关键板块。 基础知识必备：掌握两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、圆的性质四大核心原理；熟练识别将军饮马、隐圆、胡不归、阿氏圆、造桥选址、等模型；能将几何最值转化为线段、周长、面积最值问题；形成 “找模型→作辅助线→算结果” 的解题思路。 2026中考预测： 题型稳定：选择填空压轴必考几何最值，解答题常结合圆、二次函数、折叠、旋转综合考查； 难度平稳：基础模型题占比 60%，综合模型题占比 40%，无超纲偏题； 命题趋势：贴近教材母题，多结合动态几何（动点、动直线、动图形），注重数形结合与转化思想，模型嵌套考查频率提升。 ◆◆重难知识汇总： 1.核心原理：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；圆上点到定点距离最值 = 半径 ± 圆心距。 2.核心模型：将军饮马（和最小 / 差最大）、造桥选址、隐圆（定角对定边、定长对定角、定点定长）、胡不归（系数不为 1 的线段和）、阿氏圆（带系数的圆上动点线段和）、费马点模型、瓜豆模型 。 3.核心转化：动态最值→静态定点定长；不规则线段和→共线线段；带系数线段→相似 / 三角函数转化。 ◆◆常用技巧方法： 1.对称法：将军饮马、折叠最值必用轴对称转化定点。 2.定圆法：动点满足定角、定长、到定点定距，先找隐圆再算最值。 3.旋转法：分散线段共点，用旋转转化为三角形三边关系。 4.函数法：设动点坐标，用二次函数 / 一次函数求最值。 5.垂线段法：点到直线最短距离直接用垂线段。 ◆◆易错避坑提效： 1.对称时找错对称轴，导致转化后不共线。 2. 隐圆模型漏判圆心、半径，算错最值。 3.胡不归 / 阿氏圆系数处理错误，未正确构造相似。 4.忽略动点范围，最值取到无效点。 5.计算时符号、长度单位出错。 题型一 将军饮马问题 【典例01】（22-23九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值， 根据对称性的性质，可知：， 在中，， ， 根据对称性的性质，可知：， ， 即， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【变式01】如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 【变式02】如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 【变式03】（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式04】（2024四川成都中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 题型二 造桥选址问题 【典例01】（2024四川泸州一模）如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考常见题型．连接，根据、的坐标先确定和的长，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当、、在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 是的中点， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 要使的值最小，只需、、三点共线即可， 点是点关于点的对称点， ， 又点， 根据勾股定理可得， 此时，， 即的最小值，6； 故答案为：6 【变式01】如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______． 【答案】16 【分析】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的长；易证四边形ABCP是平行四边形，由平行四边形的性质及勾股定理可求得结果． 【详解】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D． 在Rt△PQD中，∵∠D=，PQ=，PD=18， ∴DQ= =， ∵AB=PC=8，ABPC， ∴四边形ABCP是平行四边形， ∴PA=BC， 又CD=10， ∴PA+BQ=CB+BQ=QC= ==16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识． 【变式02】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 【变式03】（2025四川宜宾二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，把向右平移个单位长度，使点与点重合，得到，作点关于的对称点，连接，则有，当点、、三点共线时最短，利用勾股定理求出的长度，即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，把向右平移个单位长度，使点与点重合，得到，延长交于M，则四边形是矩形， ∴，； 四边形是正方形， ，， 则， 由平移的性质可知， ， 作点关于的对称点，连接， 则， ， ， 当点、、三点共线时最短， ∵，， ，， ， 在中，， 的最小值是． 故答案为： ． 【变式04】在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法．请结合几何图形的特征继续深入探究以下问题：已知，如图1，、都是等边三角形，是的中点，建立如图平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为． (1)求点、的坐标； (2)如图2，点为轴上一点，连接、，求的最小值； (3)如图3，点为中点，线段在轴上滑动，且，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为； (2)； (3)． 【分析】（）过作轴于，由是的中点，则，可得点坐标为，因为、都是等边三角形，所以，从而证明，所以，，则，故点坐标为； （）作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、，此时，即的最小值为，过作轴于，证明，所以，在中，，从而可得的最小值； （）连接、相交于点，同理可得：，，，所以，所以，即点向下平移单位到点，此时． 【详解】（1）解：过作轴于， ∵是的中点， ∴， ∵点坐标为， ∴点坐标为， ∵、都是等边三角形， ∴（三线合一）， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、， 此时，即的最小值为， 过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值； （3）解：连接、与相交于点， 同理可得：，，， ∴，所以， 即点向下平移单位到点， 此时， 所以． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型三 隐圆模型 【典例01】（2024·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解． 【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知， 点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆）， 点E的对称点为，连接,则， ∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，在中，，， ， 又， ，即的最小值为8， 故选：A． 【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键． 【变式01】如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________． 【答案】2 【分析】由题意易得点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆问题可进行求解． 【详解】解：由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧， 连接BD，交圆弧于点H，如图所示： ∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短， ∵四边形ABCD是矩形，，BC=2， ∴， ∴， ∴，即点D到点F的最短距离为2； 故答案为2． 【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运动轨迹． 【变式02】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【变式03】如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（    ） A． B．       C．        D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 【变式04】已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键． 题型四 胡不归模型 【典例01】如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 【变式01】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 【变式02】如图平行四边形中，，，为边上一点，则的最小值为______ ． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 【变式03】如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于， ，，， ， ，， ， ， 当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小， 当，，三点共线时，有最小值， 此时， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换． 【变式04】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为__________． 【答案】4 【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论． 答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D， ∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点， 令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3， ∴A（0，﹣3），B（3，0）， ∴AO＝BO＝3， 又∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∴PDPB， ∴PC+PB（PCPB）（PC+PD）， 当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长， 此时，△ACD是等腰直角三角形， 又∵点C（0，1）在y轴上， ∴AC＝1+3＝4， ∴CDAC＝2， 即PC+PD的最小值为， ∴PC+PB的最小值为4， 故答案为：4． 题型五 阿氏圆模型 【典例01】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 【变式01】如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 【答案】5 【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5． 详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图， ∵，， ∴， ∵∠PBG＝∠PBC， ∴△PBG∽△CBP， ∴， ∴PG＝PC， 当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5． 故答案为5 点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 【变式02】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP，    ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． 【变式03】如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【变式04】如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得 ，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得 ， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 题型六 费马点模型 【典例01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 【变式01】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上． 【变式02】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 【答案】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式03】（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 【变式04】阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由全等三角形和旋转的性质可得为等边三角形，即得， ，进而由勾股定理的逆定理可得，进而可得，即可求解； （）把绕点逆时针旋转得到，可证，得到，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理求出的长即可求解； （）在内部任取一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值为，过点作的垂线交延长线于点，分别求出和的长，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转得，，，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，在内部任取一点，连接， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转得，，，， ， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取最小值，最小值为， 如图，过点作的垂线交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型七 瓜豆模型 【典例01】（2019江苏宿迁中考真题）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， 则. 故答案为． 【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 【变式01】（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 【变式02】（2024四川宜宾中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，    ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 【变式03】（2024山东济南一模）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，所以当时，最小，利用三角函数和相似比列式可表示出、，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，确定点G的运动路径是本题的难点． 【变式04】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． （限时训练：60分钟） 1．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 2．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 3．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴ ， 又， ∴， ∴， 故选D． 4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 6．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．    【答案】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．    ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 7．如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 【答案】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 9．（2025四川眉山一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点Q为抛物线上的点且在第三象限，当时，请求出点Q的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴交x轴于点N，点P是抛物线的顶点，连接，请求出的最小值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，点 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）过点B作交抛物线于点Q，则有，利用待定系数法分别求直线、的解析式，再联立方程组即可求解； （3）根据题意得出顶点，将顶点向下平移6个单位得到点，连接交x轴于点N，连接，得出，设，利用平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，，由作图知当Q、N、D三点共线时，取最小值，由待定系数法确定直线的解析式为，过点Q作轴交延长线于点F，利用各点坐标及勾股定理结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，， ∴， 解得：， ∴． （2）解：由（1）得， 当时，， ∴， 设直线解析式， 将点， 代入，得：， 解得：， 则直线解析式为 ， 过点B作交抛物线于点Q，则有， 则直线的解析式为， 将点 代入，得：，解得：， ∴直线解析式为， 由， 解得：或 ， ∵点Q为抛物线上的点且在第三象限， ∴点Q坐标为． （3）解：由（1）得， ∴顶点， 将顶点向下平移6个单位得到点，连接交x轴于点N，连接， 则， 设， ∴轴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由作图知当Q、N、D三点共线时，取最小值， 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，即， 此时过点Q作轴交延长线于点F， ∵，， ∴，   ∴， ∴， ∴当时，的最小值为， 此时，点． 10．如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值，此时四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是定点， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆周角定理、勾股定理、动点轨迹问题，添加适当的辅助线构造相似三角形，探究出点的运动轨迹是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 几何最值问题 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 将军饮马问题 题型二 造桥选址问题 题型三 隐圆模型 题型四 胡不归模型 题型五 阿氏圆模型 题型六 费马点模型 题型七 瓜豆模型 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 几何最值是中考数学核心高频考点，分值约 8～12 分，多以选择、填空压轴题出现，少数结合解答题压轴设问，整体以中高档题为主，侧重考查模型识别、转化思想与计算能力，是拉开分差的关键板块。 基础知识必备：掌握两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、圆的性质四大核心原理；熟练识别将军饮马、隐圆、胡不归、阿氏圆、造桥选址、等模型；能将几何最值转化为线段、周长、面积最值问题；形成 “找模型→作辅助线→算结果” 的解题思路。 2026中考预测： 题型稳定：选择填空压轴必考几何最值，解答题常结合圆、二次函数、折叠、旋转综合考查； 难度平稳：基础模型题占比 60%，综合模型题占比 40%，无超纲偏题； 命题趋势：贴近教材母题，多结合动态几何（动点、动直线、动图形），注重数形结合与转化思想，模型嵌套考查频率提升。 ◆◆重难知识汇总： 1.核心原理：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；圆上点到定点距离最值 = 半径 ± 圆心距。 2.核心模型：将军饮马（和最小 / 差最大）、造桥选址、隐圆（定角对定边、定长对定角、定点定长）、胡不归（系数不为 1 的线段和）、阿氏圆（带系数的圆上动点线段和）、费马点模型、瓜豆模型 。 3.核心转化：动态最值→静态定点定长；不规则线段和→共线线段；带系数线段→相似 / 三角函数转化。 ◆◆常用技巧方法： 1.对称法：将军饮马、折叠最值必用轴对称转化定点。 2.定圆法：动点满足定角、定长、到定点定距，先找隐圆再算最值。 3.旋转法：分散线段共点，用旋转转化为三角形三边关系。 4.函数法：设动点坐标，用二次函数 / 一次函数求最值。 5.垂线段法：点到直线最短距离直接用垂线段。 ◆◆易错避坑提效： 1.对称时找错对称轴，导致转化后不共线。 2. 隐圆模型漏判圆心、半径，算错最值。 3.胡不归 / 阿氏圆系数处理错误，未正确构造相似。 4.忽略动点范围，最值取到无效点。 5.计算时符号、长度单位出错。 题型一 将军饮马问题 【典例01】（22-23九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式01】如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【变式02】如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 【变式03】（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式04】（2024四川成都中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 题型二 造桥选址问题 【典例01】（2024四川泸州一模）如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为______． 【变式01】如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______． 【变式02】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025四川宜宾二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为______． 【变式04】在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法．请结合几何图形的特征继续深入探究以下问题：已知，如图1，、都是等边三角形，是的中点，建立如图平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为． (1)求点、的坐标； (2)如图2，点为轴上一点，连接、，求的最小值； (3)如图3，点为中点，线段在轴上滑动，且，连接、，请直接写出的最小值． 题型三 隐圆模型 【典例01】（2024·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【变式01】如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________． 【变式02】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式03】如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（    ） A． B．       C．        D． 【变式04】已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 题型四 胡不归模型 【典例01】如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式01】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 【变式02】如图平行四边形中，，，为边上一点，则的最小值为______ ． 【变式03】如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______． 【变式04】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为__________． 题型五 阿氏圆模型 【典例01】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.    【变式01】如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 【变式02】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【变式03】如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________． 【变式04】如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 题型六 费马点模型 【典例01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【变式01】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 【变式02】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 【变式03】（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 【变式04】阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 题型七 瓜豆模型 【典例01】（2019江苏宿迁中考真题）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【变式01】（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2024四川宜宾中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________．    【变式03】（2024山东济南一模）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______． 【变式04】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． （限时训练：60分钟） 1．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 3．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 6．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．    7．如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为_______． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 9．（2025四川眉山一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点Q为抛物线上的点且在第三象限，当时，请求出点Q的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴交x轴于点N，点P是抛物线的顶点，连接，请求出的最小值及此时点M的坐标． 10．如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $