8.3 平行线的证明 培优作业 2025-2026学年鲁教版 （五四制）数学七年级下册

第八章证明巧练 3 平行线的证明 第 1课时 平行线的判定定理 夯基础 1.如图，小明在地图上量得∠1=∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是 ( ) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等 2.如图，下列条件中，不能判断c∥d的是( ) A.∠1=∠2 B.∠3+∠5=180° C.∠2+∠5=180° D.∠4=∠5 3.如图，直线a，b被直线c所截，在下列条件中，不能判定直线a 与b平行的是 ( ) A.∠1=∠3 B.∠2=∠5 C.∠3=∠4 D.∠4+∠5=180° 4.在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB，CD，如图是小曼的作法，则她作法的依据是 . 5.如图,AE 平分∠BAC,CE 平分∠ACD,要使AB∥CD,则∠1 和∠2 应满足的条件是 6.如图，点E 是 AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 .(任意添加一个符合题意的条件即可) 7.如图，将一张四边形纸片沿 EF 折叠,以下 条件: ①∠2 =∠4②∠2+∠3=180° ③∠1=∠6 ④∠4=∠5.其 中 能 得 出 AD ∥BC 的 条 件 是 .(填序号) 8.如图,点 O 为直线AB 上一点,OF⊥OE,∠DOE = 55°,OF 平分∠AOD,∠D =110°.证明:CD∥AB. 9.科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线.如图1所示，图2是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图.如图2,∠EOF+∠OFC=180°,OE 平分∠AOC,CF 平分∠OCD.求证:AB∥CD. 练能力 10.实践操作 【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的(如图1~4，虚线部分表示折痕). 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图2 所示，得到的折痕 PQ 与直线 AB 之间的位置关系是 ; 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图3所示，得到的折痕 CD 与第一次折痕 PQ 之间的位置关系是 ； 发现三：再将正方形纸展开，如图4 所示，可得第二次折痕 CD 所在的直线即为过点P 所作的已知直线AB 的平行线.从图中可知，小明画平行线的依据有 ； ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③同位角相等，两直线平行 ④内错角相等，两直线平行 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解决问题】 保持图4中 AB 与 CD 的位置关系不变，直线 PQ 与直线AB，CD 相交，交点分别为 P, Q, PM 平分 ∠CPQ, QN 平分∠PQB,PM 和QN 平行吗?为什么? 第2课时 平行线的性质定理 夯基础 1. 如图所示,直线a,b被直线c所截.若a∥b,∠1=91°,则 ( ) A.∠2=91° B.∠3=91° C.∠4=91° D.∠5=91° 2.将一个含 30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是 ( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 3.如图是一款儿童小推车的示意图,若AB∥CD,∠1=30°,∠2=70°,则∠3的度数为 ( ) A.40° B.35° C.30° D.20° 4.一种路灯的示意图如图所示，其底部支架 AB 与吊线 FG平行，灯杆CD 与底部支架AB 所成锐角α=15°.顶部支架 EF 与灯杆 CD 所成锐角β=45°,则 EF 与 FG 所成锐角的度数为( ) A.60° B.55° C.50° D.45° 5.如图，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=135°,∠BED=85°,此时∠CDE的度数为 ( ) A.140° B.135° C.130° D.145° 6.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=102°，则∠2的度数为 . 7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的.如图,若∠2-∠1=75°,则∠3 与∠4 的度数和是 . 8.某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图，从点 O 照射到抛物线上的光线OA，OB 等反射后都沿着与POQ 平行的方向射出.若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC= °. 9. 如图,点 D,H 分别在AB,AC 上,点 E,F 都在BC 上,DE 交FH于点 G,AG 平分∠BAC,∠BED=∠C,∠1+∠2=90°. (1)求证:FH⊥DE; (2)若∠3=∠4,∠BAC=72°,求∠DFH的度数. 10. 如图,在三角形 ABC中,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,点 E 在AB 上,过点 E 作 FE⊥AB,交 AC 于点H,延长BC 至点G,连接FG,令∠ACD+∠F=180°. (1)AC 与 FG 平行吗?请说明理由; (2)若∠F=3∠G,∠BCD:∠ACD=2:3,求∠BCD 的度数. 练能力 11.综合与探究 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动.如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A 重合,其中∠BAC=∠DAE =90°,∠C=60°,∠D=45°,然后三角板ABC不动,三角板ADE 绕点 A 旋转. 【操作探究】 (1)图 1中,若∠DAB=45°,判断线段 !)ド与AC 的位置关系，并说明理由； (2)当三角板 ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置,DE∥BC,求∠DAC的度数; 【深入思考】 (3)在三角板 ADE 绕点A 旋转的过程中，当∠DAB 为多少度时,DE∥AB? 请直接写出∠DAB 的度数. 第1 课时 平行线的判定定理 1. B 2. C 3. B 4.内错角相等，两直线平行 5.∠1+∠2=90° 6.∠C=∠CDE(答案不唯一) 7.①②③④ 8.证明:∵OF⊥OE, ∴∠FOE=90°. ∵∠DOE=55°, ∴∠DOF=35°. ∵OF 平分∠AOD, :°, ∴CD∥AB. 9.证明:∵∠EOF+∠OFC=180°,∴OE∥CF, ∴∠COE=∠OCF. ∵OE 平分∠AOC,CF平分∠OCD, ∴∠AOC=2∠COE,∠OCD=2∠OCF, ∴∠AOC=∠OCD, ∴AB∥CD. 10.解:【操作发现】AB⊥PQ;PQ⊥CD;C; 【解决问题】PM∥QN,理由如下: 由操作发现得CD∥AB， ∴∠CPQ=∠BQP. ∵PM平分∠CPQ,QN 平分∠PQB, ∴∠MPQ=∠PQN,∴PM∥QN. 第 2课时平行线的性质定理 1. B 2. C 3. A4. A 5. A 6.78° 7.105° 8.60 9.解:(1)证明:∵AG平分∠BAC, ∴∠1=∠HAG, ∵∠1+∠2=90°,∴∠HAG+∠2=90°, ∵∠BED=∠C,∴DE∥AC, ∴∠DGF=∠AHG=90°, ∴FH⊥DE; (2)∵AG平分∠BAC,∠BAC=72°, ∴∠1=∠HAG=36°. ∵DE∥AC,∴∠3=∠HAG. ∵∠3=∠4,∴∠1=∠4, ∴DF∥AG, ∴∠DFH=∠2. ∵∠HAG+∠2=90°, 10.解:(1)AC∥FG,理由如下: ∵CD⊥AB,FE⊥AB.,∴CD∥EF, ∴∠ACD=∠FHC. ∵∠ACD+∠F=180°, ∴∠FHC+∠F=180°,∴AC∥FG; (2)∵AC∥FG,∴∠ACB=∠G. ∵∠BCD:∠ACD=2:3, ∠ACB=∠BCD+∠ACD, ∵∠F=3∠G, ∵∠ACD+∠F=180°, ∴∠BCD=20°. 11.解:(1)DE∥AC,理由如下: ∵∠DAB=45°,∠BAC=90°, ∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=135°. 又∵∠D=45°, ∴∠D+∠DAC=180°,∴DE∥AC; (2)如图2,过点 A 作AM∥DE, ∴∠1=∠D=45°. ∵AM∥DE,DE∥BC, ∴AM∥BC, ∴∠DAC=∠1+∠2=105°; (3)如图3,当∠DAB=135°时,DE∥AB,理由如下： ∵∠DAB=135°,∠DAE=90°, ∴∠EAB=45°. ∵∠E=45°, ∴∠EAB=∠E, ∴DE∥AB; 如图4,当∠DAB=45°时,DE∥AB, 理由如下： ∵∠DAB=45°,∠D=45°, ∴∠BAD=∠D, ∴DE∥AB, 综上所述,当∠DAB 为135°或45°时,DE∥AB. 学科网（北京）股份有限公司 $