8.3平行线的证明 同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

8.3 平行线的证明 同步训练 一、单选题 1．下列命题为真命题的有（    ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．⑤有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线，直线分别与直线交于点A、B，点C在直线n上，且在点B的右侧，连接．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，为的延长线．①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一段弧于点；④过点作射线．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，平分，，且，则____°． 9．如图，直线，，，则____． 10．如图，将一副直角三角板如图所示放置（点、、在同一直线上），点在上，其中，，，，则的度数为___________． 11．如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 12．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．若____________（添加一个条件即可），则能得到． 三、解答题 13．如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若是的角平分线，，求的度数． (3)同学们，在（2）的条件下，你还可以求出哪些角的度数？（写出一个即可）___________． 14．已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴， ∴． 15．阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图是一个“互”字． 如图是由图抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（______）， 又∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）， ∴______ （两直线平行，同旁内角互补）， 又∵______（已知）， ∴（______） ∴（______）． 16．填空，完成下面的证明． 如图，，，，求证：． 证明：，（已知）， （______）， ， （______）（______）， （已知）， （______）（______）， （______）（______）（______）． 17．已知：如图，于点，于点，且． 求证：． 下面是推理过程，请你填空或填写理由． 证明：于点，于点（______）， （______）， （______）， （______）， （已知）， （等量代换）， ， ______（两直线平行，同位角相等）． ____________（等量代换）． 学科网（北京）股份有限公司 《8.3 平行线的证明 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学七年级下册》参考答案 1．B 【分析】根据平行线性质、对顶角性质、平面内垂直与平行公理、实数与数轴的对应关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：内错角相等只有在两直线平行的条件下成立，故①为假命题； 对顶角相等是对顶角的固有性质，故②为真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③为真命题； 平行公理要求点在已知直线外，若点在已知直线上，不存在直线与已知直线平行，故④为假命题； 只有实数与数轴上的点一一对应，有理数不能与数轴上的点一一对应，故⑤为假命题； 综上可知，②和③为真命题，真命题共2个． 2．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由平分可得，再由可得即可得结论． 【详解】解：平分， （角平分线的性质）， ， （两直线平行，内错角相等）． 故选：D． 3．B 【详解】解：A、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； B、可以得到，故本选项符合题意； C、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意． 4．B 【分析】利用两直线平行同旁内角互补和角平分线的定义，先求得，再根据两直线平行内错角相等，可知，进而求得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．D 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和平角定义即得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．C 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，由等腰三角形的性质得到，由全等三角形的性质推出，判定，推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了平行线的判定、尺规作图作一个角等于已知角．由作图可得，利用平行线的判定得到，再利用平行线的性质得到，由题意无法证明，结合选项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可得，， 故A选项正确； ， （同位角相等，两直线平行）， 故B选项正确； （两直线平行，内错角相等）， 故C选项正确； 由题意无法证明， 故D选项错误； 故选：D． 8．35 【分析】由得到，再根据平分得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴. 9．/度 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 10．/15度 【分析】先利用三角板固定角度得到和，再通过两直线平行同位角相等将转化为，最后用角的差算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ． 11．，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 12．（答案不唯一） 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则． 13．(1)，见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线性质将转化为，再结合得到同旁内角互补，从而判定； （2）先由求出，再利用角平分线的性质得到，最后根据平行线同位角相等求出； （3）利用邻补角或平行线性质推导其他相关角的度数． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ． （2）解： ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可知， ． 14． 角平分线的定义；等量代换； ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义． 根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，即可求解． 【详解】证明：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴． 15．两直线平行，内错角相等； ；等量代换；同位角相等，两直线平行； ； ；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【分析】延长交于点，然后根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）． 16．垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】由，，得到一对直角相等，进而确定出一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到，再由已知同位角相等得到，利用平行于同一条直线的两直线平行即可得证． 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 17．已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；； ； 【分析】根据垂直的定义得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，由平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】证明：于点，于点（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， ， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 学科网（北京）股份有限公司 $