数学（贵州卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1[√1[/1 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 11.[A1[B1[CJ[D] 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 12.[A][B][C1[D] 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 14. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共98分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分) 18.(12分) 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 A人数 抽取学生每周锻炼时间的扇形统计图 20----- 口七年级 18 ■八年级 16 12 0 8 642 20% B 组别 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) D O E C 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) y B支 22.(12分) M B F K 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A F E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) y B 0 C 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 图3 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣0.5 D．0.1 2．据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特≈1.2517×10﹣5兆字节，则1.2517×10﹣5这个数对应的原数是（　　） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 4．估算的结果（　　） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 5．若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 6．若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个三角形的斜边长是（　　） A． B．7 C．5 D．12 8．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　） A．米 B．米 C．50sin24°米 D．50cos24°米 9．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．6 C．4 D．4 10．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用160元购买定价分别为16元/件、24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（　　） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 11． 如图，有一格点△ABC，现要找一点P，使得BP平分∠ABC，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（　　） A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 12．如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．分解因式：　 ． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AC，BC．若△ABC的面积为8，则k的值为　 ． 15．如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 ． 16．如图，将正方形纸片ABCD对折得到折痕EF，连接线段CE，点M为AD上一点，沿折痕CM折叠，使CD落在线段CE上，点D的对应点为点N，连接线段MN．若AB长为2，则MN的长为　 　 ． 三、解答题(本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P ﹣3 例如：所给数字为“5”，按P→Q→K的顺序运算，列得算式： （5﹣3）×（﹣2）+4 计算：原式＝2×（﹣2）+4 ＝（﹣4）+4 ＝0 Q ×（﹣2） K +4 （1）所给数字为“﹣4”时， ①按Q→K→P的顺序列式并计算； ②按K→P→Q的顺序列式并计算． （2）若给出某个数，按K→P→Q的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 18．（12分）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了　　名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为　　°，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共600名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠BAE＝30°，求OF的长． 20．（10分）2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武BOT》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用800万元购进A种机器人的数量是用500万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 21．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数的图象交于点A（﹣3，m），且点B，C分别为一次函数与x轴，y轴的交点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点D为该反比例函数图象上的一点，连接AO，，求点D的坐标． 22．（12）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC，AC于点D，F，过点D作DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （3）若AF＝2DE，，求图中阴影部分的面积． 24．（12分）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即AO＝BC≈160m，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径OC约为1400m，它的中点是点Q，PQ≈20m，且PQ⊥OC；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆PQ）．现以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，索塔OA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题： （1）求缆索所在抛物线的解析式； （2）花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔BC的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 25．（12分）【问题情境】如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门PQ（虚线部分为△PQC的外接圆），当他带球冲到A点时，同伴乙和丙分别已冲到B点和C点，甲是自己射门好，还是将球传给乙或者丙，让乙或者丙射门好？ 图1 图2 【问题探究】（1）对于这个问题，小明结合图1判断得出，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．以下给出了证明的部分过程，请继续完成证明过程： 如图2，设AQ与圆交于点M，连接PM，设PB延长线交圆与点N，连接QN 则== ∵MQ=PAM +________，∴MQ＞________，∴CQ＞AQ ∵BQ=BNQ +________，∴BQ＞________，∴BQ＞CQ ∴. 【问题应用】（2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图3，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与l相切于点C时，∠ACB最大．请直接根据这一结论解决问题：如图4，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，DE，当∠AED取得最大值时，求tan∠AED的值． 图3 图4 图5 【问题拓展】（3）如图5，∠MPN＝30°，点A，B是边PM上两点，AB＝6，点C是边PN上一动点． 若∠ACB最大不超过60°，求PA的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣0.5 D．0.1 【答案】C 【解答】解：由数轴可得：手掌遮挡住的数大于﹣1且小于0， ∴只有C选项中的数﹣0.5符合题意， 故选：C． 2．据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特≈1.2517×10﹣5兆字节，则1.2517×10﹣5这个数对应的原数是（　　） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 【答案】B 【解答】解：根据科学记数法书写规则可知：1.2517×10﹣5＝0.000012517， 故选：B． 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：“斗”的俯视图的是： ． 故选：C． 4．估算的结果（　　） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】C 【解答】解： ＝6， ∵，又∵， ∴，∴， 即，即估算的结果在9和10之间， 故选：C． 5．若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 【答案】B 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b，∴a+1＝3b． 故选：B． 6．若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3 【答案】D 【解答】解：根据已知得，x+1≠0且x﹣3≠0且x﹣2≠0， 所以x≠﹣1且x≠2且x≠3． 故选：D． 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个三角形的斜边长是（　　） A． B．7 C．5 D．12 【答案】C 【解答】解：x2﹣7x+12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 故可得斜边长5． 故选：C． 8．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　） A．米 B．米 C．50sin24°米 D．50cos24°米 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴BC＝AB•sin24°＝50•sin24°（m）． 故选：C． 9．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．6 C．4 D．4 【答案】C 【解答】解：∵BC＝8，∴CD＝4， 在△CBA和△CAD中， ∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD，∴， ∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4； 故选：C． 10．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用160元购买定价分别为16元/件、24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（　　） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 【答案】A 【解答】解：设购买A奖品x件，B奖品y件，其中x、y为正整数． 根据总费用为160元，可列方程：16x+24y＝160， 将方程变形为用y表示x的形式：． 因为x为正整数，所以20﹣3y必须是正偶数： 当y＝2时，，符合条件； 当y＝4时，，符合条件； 当y＝6时，，符合条件； 当y≥7时，3y≥21＞20，x为负数，不符合条件； 综上，共有3种不同的购买方案， 故选：A． 11．如图，有一格点△ABC，现要找一点P，使得BP平分∠ABC，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（　　） A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 【答案】A 【解答】解：设每个单元格的边长为1，根据甲同学的作法，AP＝5． 在Rt△ABC中，AB5．∴AB＝AP．∴∠ABP＝∠APB． ∵AP∥BC，∴∠APB＝∠CBP．∴∠ABP＝∠CBP． 故甲同学的作法是对的． 对于乙同学的作法，如图， ∵tan∠BAC＝tan∠CDP，∴∠BAC＝∠CDP， ∴∠BAC+∠ABC＝∠CDP+∠ABC＝90°，∴∠BED＝90°， ∴BE＝BD•sin∠BDE＝BD•sin∠BAC＝54．∴BE＝BC． 连接BP，对于Rt△BEP和Rt△BCP， ，∴Rt△BEP≌Rt△BCP（HL）．∴∠EBP＝∠CBP． ∴乙同学的作法也是对的． 故选：A． 12．如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示， ∵OA＝8，∠OBA＝30°，∴点B在以△AOB的外接圆⊙N上运动， 在x轴上截取AE＝OA，则AMBE， 所以当BE取最小值时，AM取最小值， 连接NE，与x轴的交点为B′，此时AM的长度最小， ∵OA＝8，∠OBA＝30°，∴∠ONA＝60°， ∴△ONA为等边三角形，过点N作NC⊥OA， ∴∠ANC＝30°，∴NC＝AN×cos30°＝84， 在Rt△NCE中， NE8，B′E＝NE﹣NB′＝88， ∴AM的最小值为（88）＝44． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．分解因式：　 ． 【答案】 【解答】解： 14．如图，点A在反比例函数的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AC，BC．若△ABC的面积为8，则k的值为　 ． 【答案】 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB⊥x轴，∴OC∥AB， ∴S△OAB=S△ABC=8， 而S△OAB=|k|，∴|k|=8， ∵k＞0，∴k=16． 15．如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，在图中标注C，D， 设NC＝x， ∵AD∥NB，∴∠MAD＝∠ANC， ∵∠MDA＝∠ACN，∴△ANC∽△MAD， ∵AC＝AD＝1，∴， ∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1， ∴S△AMD+S△ANC＝3﹣1＝2， ∴MD×ADNC×AC＝2，即2，∴x4， 解得x1＝2，x2＝2（舍去）， ∵AN2＝AC2+NC2＝1+4+43＝8+4， ∴AN， ∴sin∠MNB＝sin∠ANC． 16．如图，将正方形纸片ABCD对折得到折痕EF，连接线段CE，点M为AD上一点，沿折痕CM折叠，使CD落在线段CE上，点D的对应点为点N，连接线段MN．若AB长为2，则MN的长为　 　 ． 【答案】1. 【解答】解：如图，延长CM，交BA的延长线于点R， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， ∴∠R＝∠DCM，△CDM∽△RAM，∴， 由折叠得，DM＝MN，∠NCM＝∠DCM， ∴∠R＝∠NCM，∴ER＝EC， ∵AB＝BC＝CD＝AD＝2，∴BE＝AE＝1 ER＝CE， ∴AR＝ER﹣AE1， ∴，∴1， ∴，∴DM1，∴MN1. 三、解答题(本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P ﹣3 例如：所给数字为“5”，按P→Q→K的顺序运算，列得算式： （5﹣3）×（﹣2）+4 计算：原式＝2×（﹣2）+4 ＝（﹣4）+4 ＝0 Q ×（﹣2） K +4 （1）所给数字为“﹣4”时， ①按Q→K→P的顺序列式并计算； ②按K→P→Q的顺序列式并计算． （2）若给出某个数，按K→P→Q的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 【答案】（1）①9；②6；（2）﹣8． 【解答】解：（1）①所给数字为“﹣4”时， ﹣4×（﹣2）+4﹣3＝8+4﹣3＝9； ②所给数字为“﹣4”时， （﹣4+4﹣3）×（﹣2）＝﹣3×（﹣2）＝6； （2）设这个数为x，由题意得（x+4﹣3）×（﹣2）＝14， （x+1）×（﹣2）＝14，x+1＝﹣7，解得x＝﹣8， 即符合条件的数为﹣8． 18．为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 　　 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 　　 °，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共600名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【答案】（1）80；162； （2）估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约210人； （3）． 【解答】解：（1）该校此次调查共抽取了（10+6）÷20%＝80（名）学生． 扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为360°162°． 故答案为：80；162； C组中八年级的学生人数为80﹣10﹣6﹣16﹣20﹣6﹣8﹣4＝10（人）． 补全条形统计图如图①所示． （2）600210（人）． ∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约210人； （3）将七年级的2名同学分别记为a，b，将八年级的2名同学分别记为c，d， 列表如下： a b c d a （a，b） （a，c） （a，d） b （b，a） （b，c） （b，d） c （c，a） （c，b） （c，d） d （d，a） （d，b） （d，c） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有：（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（d，a），（d，b），共8种， ∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为． 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠BAE＝30°，求OF的长． 【答案】（1）见解答； （2）OF． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝6， ∵EC＝4，∴BE＝CF＝2，∴BF＝8， Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°∴AB＝2BE＝4， ∴DF＝AE， ∴BD2， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD， ∴OFBD． 20．2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武BOT》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用800万元购进A种机器人的数量是用500万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】购买一个A种机器人需20万元，购买一个B种机器人需25万元． 【解答】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要（x+5）万元， ，解得：x＝20， 经检验x＝20是原方程的解， ∴x+5＝20+5＝25， 答：购买一个A种机器人需20万元，一个B种机器人需25万元． 21．如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数的图象交于点A（﹣3，m），且点B，C分别为一次函数与x轴，y轴的交点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点D为该反比例函数图象上的一点，连接AO，，求点D的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由条件可得m＝3+1＝4，∴A（﹣3，4）， 把A（﹣3，4）代入得，，∴k＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图，设点D的横坐标为n（n＜0）， ∵， ∴，解得， 把代入得，， ∴． 22．在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 【答案】（1）60； （2）FK的长约为11.1cm； 【解答】解：（1）延长HG交BT于点X， 由题意得：∠ECF＝90°，EF∥HG， ∵∠CEF＝15°，∴∠EFC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠HXF＝∠EFC＝75°， ∵∠GHK＝15°，∴∠HKF＝75°﹣15°＝60°， 故答案为：60； （2）延长NK交HG于点Y，则∠HKY＝90°， 由题意得：∠FGX＝90°，FG＝4cm，HK＝26cm， ∵∠HXF＝75°，∴∠KXY＝75°，∴FX4.12cm， ∵∠GHK＝15°，∴YK＝26×tan15°≈7.02cm，∠Y＝75°， ∴∠Y＝∠KXY，∴XK＝KY＝7.02cm，∴FK＝FX+XK≈11.1（cm）， 答：FK的长约为11.1cm； 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC，AC于点D，F，过点D作DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （3）若AF＝2DE，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠DEC＝∠DEF＝90°，AB＝AC，∴∠C＝∠B， ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE， 又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，过点O作OM⊥AF于点M，连接OF，∴AM＝MF． ∵∠ODE＝∠DEC＝∠DEF＝90°， ∴四边形OMED是矩形，∴OM＝DE，OD＝ME． ∵AF＝2DE，∴AM＝MF＝OM＝DE， ∴∠FOM＝45°，∴∠FOD＝45°， 设DE＝x，∴MF＝x，， ∵在Rt△MOF中，， ∴，∴x＝1，半径， ∴， ∴． 24．如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即AO＝BC≈160m，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径OC约为1400m，它的中点是点Q，PQ≈20m，且PQ⊥OC；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆PQ）．现以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，索塔OA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题： （1）求缆索所在抛物线的解析式； （2）花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔BC的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 【答案】（1）抛物线解析式为y（x﹣700）2+20； （2）①更换工作需要准备灯管长约为46米；②缆索与该光线的最大竖直距离为26米． 【解答】解：（1）由题意可知，抛物线顶点P的坐标为（700，20）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣700）2+20， 把A（0，160）代入抛物线得：160＝a×490000+20，解得a， ∴抛物线解析式为y（x﹣700）2+20； （2）①当x＝700﹣100＝600时，y10000+20， ∴更换工作需要准备灯管长为246（米）； ②设直线BQ的解析式为y＝kx+b， 把Q（700，0），B（1400，160）代入解析式得：，解得， ∴直线BQ的解析式为yx﹣160， ∴缆索与该光线的竖直距离dx﹣160﹣[（x﹣700）2+20] x﹣160（x2﹣1400x+490000）﹣20 x﹣160x2x﹣140﹣20 x2x﹣320 （x2﹣2200x）﹣320 （x﹣1100）2， ∵0，∴当x＝1100时，d有最大值，最大值为26． ∴缆索与该光线的最大竖直距离为26米． 25．【问题情境】如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门PQ（虚线部分为△PQC的外接圆），当他带球冲到A点时，同伴乙和丙分别已冲到B点和C点，甲是自己射门好，还是将球传给乙或者丙，让乙或者丙射门好？ 图1 图2 【问题探究】（1）对于这个问题，小明结合图1判断得出，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．以下给出了证明的部分过程，请继续完成证明过程： 如图2，设AQ与圆交于点M，连接PM，设PB延长线交圆与点N，连接QN 则== ∵MQ=PAM +________，∴MQ＞________，∴CQ＞AQ ∵BQ=BNQ +________，∴BQ＞________，∴BQ＞CQ ∴. 【问题应用】（2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图3，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与l相切于点C时，∠ACB最大．请直接根据这一结论解决问题：如图4，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，DE，当∠AED取得最大值时，求tan∠AED的值． 图3 图4 图5 【问题拓展】（3）如图5，∠MPN＝30°，点A，B是边PM上两点，AB＝6，点C是边PN上一动点． 若∠ACB最大不超过60°，求PA的取值范围． 【答案】（1）APM，PAQ，BQN，PNQ． （2） tan∠AED＝． （3） PA≥4． 【解答】解：（1）APM，PAQ，BQN，PNQ， （2）如图，过A、D两点的⊙O与BC相切，连接AO，EO， EO的延长线交AD于点F，AO的延长线交CD于点H． 设正方形ABCD边长为2a，⊙O半径为R． ∴AF＝a，AO＝R，FO＝EF﹣OE＝2a﹣R． 同理（1），在Rt△AFO中，AO2＝AF2+FO2， 即R2＝a2+（2a﹣R）2，解得Ra．∴FOa． 易知FO为△ADH的中位线，则DHa， ∴tan∠AED＝tan∠AHD． （3）当∠ACB＝60°时，如图，连接OA，O，OC，则：OA＝OB＝OC， 由题意：PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC． 过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BEAB＝3， ∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°． ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA30°， ∴OA＝2OE，∴AEOE， ∴OE＝3，∴OE，∴OA＝2． ∵∠OAB＝∠P＝30°，∴OA∥PC， ∴∠AOC+∠OCP＝180°，∴∠AOC＝90°． 过点A作AF⊥PC于点F，则∠AFC＝90°， ∴四边形AFCO为矩形， ∵OA＝OC，∴矩形AFCO为正方形，∴AF＝OA＝2． ∵∠P＝30°，∴PA＝2AF＝4． 由题意可知：∠ACB越大，PA的值越短， ∵∠ACB最大不超过60°， ∴PA≥4． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C C B D C C C A A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14． 15． 16．1 三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分） 【解答】解：（1）①所给数字为“﹣4”时， ﹣4×（﹣2）+4﹣3＝8+4﹣3＝9； ②所给数字为“﹣4”时， （﹣4+4﹣3）×（﹣2）＝﹣3×（﹣2）＝6； （2）设这个数为x，由题意得（x+4﹣3）×（﹣2）＝14， （x+1）×（﹣2）＝14，x+1＝﹣7，解得x＝﹣8， 即符合条件的数为﹣8． 18.（12分） 【解答】解：（1）该校此次调查共抽取了（10+6）÷20%＝80（名）学生． 扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为360°162°． 故答案为：80；162； C组中八年级的学生人数为80﹣10﹣6﹣16﹣20﹣6﹣8﹣4＝10（人）． 补全条形统计图如图①所示． （2）600210（人）． ∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约210人； （3）将七年级的2名同学分别记为a，b，将八年级的2名同学分别记为c，d， 列表如下： a b c d a （a，b） （a，c） （a，d） b （b，a） （b，c） （b，d） c （c，a） （c，b） （c，d） d （d，a） （d，b） （d，c） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有：（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（d，a），（d，b），共8种， ∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为． 19.（10分） 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝6， ∵EC＝4，∴BE＝CF＝2，∴BF＝8， Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°∴AB＝2BE＝4， ∴DF＝AE， ∴BD2， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD， ∴OFBD． 20.（10分） 【解答】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要（x+5）万元， ，解得：x＝20， 经检验x＝20是原方程的解， ∴x+5＝20+5＝25， 答：购买一个A种机器人需20万元，一个B种机器人需25万元． 21.（10分） 【解答】解：（1）由条件可得m＝3+1＝4，∴A（﹣3，4）， 把A（﹣3，4）代入得，，∴k＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图，设点D的横坐标为n（n＜0）， ∵， ∴，解得， 把代入得，， ∴． 22. （12分） 【解答】解：（1）延长HG交BT于点X， 由题意得：∠ECF＝90°，EF∥HG， ∵∠CEF＝15°，∴∠EFC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠HXF＝∠EFC＝75°， ∵∠GHK＝15°，∴∠HKF＝75°﹣15°＝60°， 故答案为：60； （2）延长NK交HG于点Y，则∠HKY＝90°， 由题意得：∠FGX＝90°，FG＝4cm，HK＝26cm， ∵∠HXF＝75°，∴∠KXY＝75°，∴FX4.12cm， ∵∠GHK＝15°，∴YK＝26×tan15°≈7.02cm，∠Y＝75°， ∴∠Y＝∠KXY，∴XK＝KY＝7.02cm，∴FK＝FX+XK≈11.1（cm）， 答：FK的长约为11.1cm； 23.（10分） 【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠DEC＝∠DEF＝90°，AB＝AC，∴∠C＝∠B， ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE， 又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，过点O作OM⊥AF于点M，连接OF，∴AM＝MF． ∵∠ODE＝∠DEC＝∠DEF＝90°， ∴四边形OMED是矩形，∴OM＝DE，OD＝ME． ∵AF＝2DE，∴AM＝MF＝OM＝DE， ∴∠FOM＝45°，∴∠FOD＝45°， 设DE＝x，∴MF＝x，， ∵在Rt△MOF中，， ∴，∴x＝1，半径， ∴， ∴． 24.（12分） 【解答】解：（1）由题意可知，抛物线顶点P的坐标为（700，20）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣700）2+20， 把A（0，160）代入抛物线得：160＝a×490000+20，解得a， ∴抛物线解析式为y（x﹣700）2+20； （2）①当x＝700﹣100＝600时，y10000+20， ∴更换工作需要准备灯管长为246（米）； ②设直线BQ的解析式为y＝kx+b， 把Q（700，0），B（1400，160）代入解析式得：，解得， ∴直线BQ的解析式为yx﹣160， ∴缆索与该光线的竖直距离dx﹣160﹣[（x﹣700）2+20] x﹣160（x2﹣1400x+490000）﹣20 x﹣160x2x﹣140﹣20 x2x﹣320 （x2﹣2200x）﹣320 （x﹣1100）2， ∵0，∴当x＝1100时，d有最大值，最大值为26． ∴缆索与该光线的最大竖直距离为26米． 25.（12分） 【解答】解：（1）APM，PAQ，BQN，PNQ， （2）如图，过A、D两点的⊙O与BC相切，连接AO，EO， EO的延长线交AD于点F，AO的延长线交CD于点H． 设正方形ABCD边长为2a，⊙O半径为R． ∴AF＝a，AO＝R，FO＝EF﹣OE＝2a﹣R． 同理（1），在Rt△AFO中，AO2＝AF2+FO2， 即R2＝a2+（2a﹣R）2，解得Ra．∴FOa． 易知FO为△ADH的中位线，则DHa， ∴tan∠AED＝tan∠AHD． （3）当∠ACB＝60°时，如图，连接OA，O，OC，则：OA＝OB＝OC， 由题意：PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC． 过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BEAB＝3， ∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°． ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA30°， ∴OA＝2OE，∴AEOE， ∴OE＝3，∴OE，∴OA＝2． ∵∠OAB＝∠P＝30°，∴OA∥PC， ∴∠AOC+∠OCP＝180°，∴∠AOC＝90°． 过点A作AF⊥PC于点F，则∠AFC＝90°， ∴四边形AFCO为矩形， ∵OA＝OC，∴矩形AFCO为正方形，∴AF＝OA＝2． ∵∠P＝30°，∴PA＝2AF＝4． 由题意可知：∠ACB越大，PA的值越短， ∵∠ACB最大不超过60°， ∴PA≥4． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[AJ[B][C]ID] 5[AJ[B][C][D] 9[AJ[B][CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBI[C]ID] 11[AJ[B]ICIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 12[AJ[B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 14 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共98分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分) 18.(12分) 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 本人数 抽取学生每周锻炼时间的扇形统计图 20 口七年级 18 ☐八年级 16 14 12 10 D 8 C 642 20% 0 A B D 组别 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) O B E C 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(12分) G 图 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A F C D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) VAMN6A02077440744473 y B 0 0 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 公 图3 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣0.5 D．0.1 2．据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特≈1.2517×10﹣5兆字节，则1.2517×10﹣5这个数对应的原数是（　　） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 4．估算的结果（　　） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 5．若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 6．若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个三角形的斜边长是（　　） A． B．7 C．5 D．12 8．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　） A．米 B．米 C．50sin24°米 D．50cos24°米 9．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．6 C．4 D．4 10．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用160元购买定价分别为16元/件、24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（　　） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 11． 如图，有一格点△ABC，现要找一点P，使得BP平分∠ABC，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（　　） A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 12．如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．分解因式：　 ． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AC，BC．若△ABC的面积为8，则k的值为　 ． 15．如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 ． 16．如图，将正方形纸片ABCD对折得到折痕EF，连接线段CE，点M为AD上一点，沿折痕CM折叠，使CD落在线段CE上，点D的对应点为点N，连接线段MN．若AB长为2，则MN的长为　 　 ． 三、解答题(本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P ﹣3 例如：所给数字为“5”，按P→Q→K的顺序运算，列得算式： （5﹣3）×（﹣2）+4 计算：原式＝2×（﹣2）+4 ＝（﹣4）+4 ＝0 Q ×（﹣2） K +4 （1）所给数字为“﹣4”时， ①按Q→K→P的顺序列式并计算； ②按K→P→Q的顺序列式并计算． （2）若给出某个数，按K→P→Q的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 18．（12分）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了　　名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为　　°，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共600名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠BAE＝30°，求OF的长． 20．（10分）2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武BOT》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用800万元购进A种机器人的数量是用500万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 21．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数的图象交于点A（﹣3，m），且点B，C分别为一次函数与x轴，y轴的交点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点D为该反比例函数图象上的一点，连接AO，，求点D的坐标． 22．（12分）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC，AC于点D，F，过点D作DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （3）若AF＝2DE，，求图中阴影部分的面积． 24．（12分）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即AO＝BC≈160m，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径OC约为1400m，它的中点是点Q，PQ≈20m，且PQ⊥OC；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆PQ）．现以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，索塔OA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题： （1）求缆索所在抛物线的解析式； （2）花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔BC的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 25．（12分）【问题情境】如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门PQ（虚线部分为△PQC的外接圆），当他带球冲到A点时，同伴乙和丙分别已冲到B点和C点，甲是自己射门好，还是将球传给乙或者丙，让乙或者丙射门好？ 图1 图2 【问题探究】（1）对于这个问题，小明结合图1判断得出，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．以下给出了证明的部分过程，请继续完成证明过程： 如图2，设AQ与圆交于点M，连接PM，设PB延长线交圆与点N，连接QN 则== ∵MQ=PAM +________，∴MQ＞________，∴CQ＞AQ ∵BQ=BNQ +________，∴BQ＞________，∴BQ＞CQ ∴. 【问题应用】（2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图3，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与l相切于点C时，∠ACB最大．请直接根据这一结论解决问题：如图4，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，DE，当∠AED取得最大值时，求tan∠AED的值． 图3 图4 图5 【问题拓展】（3）如图5，∠MPN＝30°，点A，B是边PM上两点，AB＝6，点C是边PN上一动点． 若∠ACB最大不超过60°，求PA的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $