精品解析：山西晋中市榆次区第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

榆次二中高一年级期中考试试题（数学） （考试时间：120分钟，分值：150分，考试范围：6.1-8.3） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 3. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理求解. 【详解】还原四边形，如图所示， 依题意可得． 取的中点，连接，则，且， 故． 故选：C 4. 设为所在平面内一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法公式，结合条件，即可求解. 【详解】由可知，, 整理为：. 故选：C 5. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 6. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，求最短路径. 【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90， 所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2， 所以小虫爬行的最短距离为2. 故选：A 7. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状. 【详解】因为，所以由余弦定理得， 所以，所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 8. 已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 若复数，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，复数的虚部为，故A正确； 对于B，两个复数不能比较大小，故B错误； 对于C，设，则， ，所以，故C正确； 对于D，当时,，故D正确. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据为的中点，即可根据数量积的定义求解A，根据余弦定理即可求解B，根据圆的性质以及弧长公式即可求解C，根据勾股定理即可求解D. 【详解】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确， 对于B，，则，由余弦定理可得，B正确， 对于C, 若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误， 对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，所以，所以. 13. 已知向量，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为向量，，则， 因此，. 故答案为：. 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由题意，设，选取为基底，将和用基底表示，然后根据向量数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】解：因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点， 所以设， 则,， 所以， 因为，所以， 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ∵向量，， ∴，解得. 【小问2详解】 ∵向量，∴. ∵， ∴，解得. 16. 已知复数，，且是实数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题中条件及复数的乘法法则、复数的分类即可求解的值，再根据共轭复数的定义即可求解； （2）由（1）知，根据复数的加法运算及复数的几何意义即可求解. 【小问1详解】 ∵，， ∴. ∵是实数，∴，解得. ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知，∴. ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得，即实数m的取值范围为. 17. 棱长为的正方体中，截去三棱锥，求： （1）求截去的三棱锥的表面积 （2）剩余的几何体的体积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析三棱锥各个面的特征，从而求出其面积，即可得解； （2）用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可得解. 【小问1详解】 由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形， 、、都是直角边为的等腰直角三角形， 所以截去的三棱锥的表面积 ； 【小问2详解】 正方体的体积为， 三棱锥的体积， 所以剩余的几何体的体积为. 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解； （2）根据同三角函数关系可求出，再根据正弦定理求出，根据二倍角公式求出； （3）根据三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 因为，则， 故． 【小问2详解】 ∵，且, ∴， ∵，， ∴，解得， ∵，∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 ∵，∴， 由余弦定理得， ∴， 又，∴，则， ∴， 于是的周长． 19. 如图所示，在中，，，，，． （1）求的值． （2）线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． （3）若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． 【小问3详解】 ， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆次二中高一年级期中考试试题（数学） （考试时间：120分钟，分值：150分，考试范围：6.1-8.3） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 4. 设为所在平面内一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 若复数，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则________． 13. 已知向量，，则__________． 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知复数，，且是实数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 17. 棱长为的正方体中，截去三棱锥，求： （1）求截去的三棱锥的表面积 （2）剩余的几何体的体积 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长． 19. 如图所示，在中，，，，，． （1）求的值． （2）线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． （3）若是内一点，且满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $