数学终极押题猜想（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数综合应用 1 押题猜想二 几何压轴综合应用 4 押题猜想三 二次函数的实际应用 8 押题猜想四 二次函数的最大利润问题 11 押题猜想五 圆的综合应用 14 押题猜想六 反比例函数的综合应用 16 押题猜想七 几何综合应用（填空） 17 押题猜想八 二次函数各项系数关系 18 押题猜想一 二次函数综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 小容利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出的值为；输入的值为3时，输出的值为4，输入的值为4时，输出的值为7． (1)填空：____________，____________，____________； (2)小易在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2），当随的增大而增大时，求的取值范围； (3)小聪发现直线（为实数）与（2）中的图象最多有三个交点，设这三个交点从左至右依次为，，，如果规定：在线段上有一点到该线段两个端点的距离存在2倍的关系，则称这个点为该线段的“平均点”．若点为线段的“平均点”，试求的取值； (4)若在函数图象上有点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为，小明对，之间（含，两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 分析有理·押题有据 从近两年来教改后的中考命题情况来看，最后一题大概率考查二次函数框架下的代数与几何综合应用。 预测2026年中考二次函数综合应用题将设置三个难易梯度： 1. 基础考查：聚焦新定义情境下二次函数基础知识的掌握与理解应变能力，涉及二次函数的性质与图像； 2. 深入探究：侧重二次函数框架下几何与函数的融合，涵盖全等三角形、相似三角形、平行四边形的性质，同时考查二次函数的最值问题； 3. 拓展思考：将考查二次函数含参问题，涉及函数交点、二次函数与不等式的取值范围，难度较大，重点考查学生的综合思维能力与运算能力。 终极猜想·精练通关 1．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 2．已知抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式为___________； (2)若抛物线的顶点也落在直线上，其对称轴为直线，点在上，点在上，设， ①当时，取点关于直线对称的点，判断线段的中点是否落在直线上？并说明理由； ②当，时，求的取值范围； ③当的最小值大于或等于6时，求的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 4．如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 押题猜想二 几何压轴综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 点点同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为，，，，平分交于点．求的长． 分析有理·押题有据 几何综合应用压轴题通常以三角形为载体，综合考查多种几何知识点的运用。题目可能涉及三角形的边角关系、相似性、全等性及辅助线构造，还需灵活运用勾股定理、角平分线定理、中位线定理等平面几何重要定理，解决复杂情境下的问题。这类题型既考查学生对基础知识的掌握程度，又强调逻辑推理能力与空间想象能力的综合体现。 解题秘笈：题目一般从易到难逐层递进，整体围绕核心考点展开。解题时需抓住考点，结合已知条件逐步推导，构造出相应的几何模型。 终极猜想·精练通关 1．问题提出】 （1）如图①，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点，若，试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）某校计划扩建劳动实践基地，以满足学生劳动教育实践需要．如图③，菱形是原有的劳动实践基地，，基地的出入口点在边上，且，为基地的一条小路，按照规划要求，将绕点顺时针旋转得到，交于点，在点处再设置一个出入口，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，规划四边形区域为幼苗种植区，已知，求幼苗种植区四边形的面积． 2．（1）已知点为等边边所在直线上一点，连，以为边作等边，连． ①如图，点在线段上，求证：；             图1 ②如图，点在的延长线上，，分别是的中点，连，求的值；            图2 （2）如图，点为等腰直角直角边所在直线上任意一点，连，以为斜边作等腰直角，连，当的长最小时，直接写出的值，不需要说明理由．                  图3 3．在中，． (1)如图1，D为上一点，，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至G，使得，连接，过C作交延长线于E，若，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 4．【问题引入】 （1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，． ①如图1，直接写出与之间的数量关系 ； ②如图2，若，求证： 【变式研探】 （2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接， ①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，若请直接写出线段的长度 ． 押题猜想三 二次函数实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处． (1)求抛物线的关系式； (2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 分析有理·押题有据 考察二次函数及抛物线的实际应用，利用顶点式求解析式，结合题目中的已知条件，可以确定抛物线的顶点坐标以及经过的特定点。通过将这些点代入顶点式方程，进一步求解出二次函数的具体参数。在计算过程中，需注意水流运行路线的几何特性，确保解析式的准确性和实际意义相符。此外，还需验证所得结果是否满足题设中关于最大高度和落点位置的要求，以保证解答的完整性与合理性。 终极猜想·精练通关 1.综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 2．综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 3．【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)当时，求和的长； (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 4．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 押题猜想四 二次函数最大利润问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； (2)任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． (3)任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 分析有理·押题有据 在实际应用中，二次函数常用于描述销售利润与价格之间的关系。通过分析售价、销量和成本的相互作用，可以建立一个关于利润的二次函数模型。此模型的核心在于确定利润的最大值及其对应的售价。为了实现这一目标，通常需要结合具体的市场数据，例如初始销量、价格弹性系数以及固定成本等信息。通过对函数进行求解，可以找到使利润达到峰值的最佳定价策略，同时验证该策略是否满足其他约束条件，如库存限制或市场需求上限。这种分析方法不仅适用于枕头销售问题，还可以推广到其他商品的定价优化场景中。 终极猜想·精练通关 1. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式． (2)求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 2.．端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒． (1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价； (2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式； (3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价． 3．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 4．综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 押题猜想五 圆的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接，若，，求阴影部分的面积． 分析有理·押题有据 圆的综合应用在这一部分中，我们将深入探讨圆的各种性质及其在实际问题中的应用。首先，通过分析圆的基本定义和相关定理，结合具体的几何图形，揭示其在不同场景中的灵活运用。接着，进一步讨论如何利用圆的切线、弦、弧等元素解决复杂的几何证明与计算问题。此外，还会涉及圆与其他几何图形的结合，例如三角形、四边形等，展示其在综合题目中的关键作用。通过实例解析，帮助理解如何将理论知识转化为解题技巧，从而提升解决实际问题的能力。 终极猜想·精练通关 1．如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 2．如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 3．如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 4．如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 押题猜想六 反比例函数综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 分析有理·押题有据 反比例函数在实际问题中具有广泛的应用价值，尤其是在涉及面积、体积以及变化率的相关情境中。通过分析点与线之间的几何关系，可以进一步挖掘其潜在的数学规律。结合已知条件，能够推导出满足特定要求的点的坐标，并通过建立适当的方程解决问题。此外，利用图像的对称性及函数性质，可简化复杂的计算过程，从而提升解题效率。这种综合应用不仅考察了基础知识的掌握程度，还强调了逻辑推理能力的重要性。 终极猜想·精练通关 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 2．如图，正方形对角线交点O与平面直角坐标系的原点重合，顶点和C在反比例函数的图象上，顶点B和D在反比例函数的图象上． (1)求和的值； (2)点E是线段与x轴的交点，请写出点E的坐标． 3．小军在研究三角板时发现，一副三角板中，含角的三角板的斜边与含角的三角板的长直角边长度相等．他将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 4．已知正比例函数与反比例函数相交于，B两点． (1)求的值； (2)若，交第一象限反比例函数图象于点C，连接，平分，与直线相交于点D，求的长． 押题猜想七 几何综合应用（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是_____ ． 分析有理·押题有据 在几何综合压轴填空题中，通常需要结合多种几何知识进行分析。这类题目往往涉及图形的性质、点线面的关系以及动态变化中的不变量。解题时，可以从已知条件出发，逐步推导出关键结论，并注意挖掘隐藏的几何特性。通过构造辅助线或引入适当的变量，能够简化复杂问题，从而找到最优解法。 终极猜想·精练通关 1．如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为__________． 2．如图，在中，，以为腰，C为顶点在其右侧作等腰直角，当取最大值时，则的长为________．    3．如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 4．如图，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段．当的最小值为时，n的值为_______． 押题猜想八 二次函数各项系数的关系（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析有理·押题有据 在二次函数中，各项系数之间存在密切的联系。通常，二次项系数决定了抛物线的开口方向和宽窄程度，若系数为正，则开口向上；若为负，则开口向下。一次项系数与二次项系数共同影响抛物线的对称轴位置，通过对称轴公式可以清晰地看到它们的关系。常数项则决定了抛物线与y轴的交点位置。 终极猜想·精练通关 1．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④当时，随增大而增大，其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②函数的最大值为； ③当时，； ④． 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数综合应用 1 押题猜想二 几何压轴综合应用 16 押题猜想三 二次函数的实际应用 35 押题猜想四 二次函数的最大利润问题 45 押题猜想五 圆的综合应用 53 押题猜想六 反比例函数的综合应用 64 押题猜想七 几何综合应用（填空） 72 押题猜想八 二次函数各项系数关系 78 押题猜想一 二次函数综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 小容利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出的值为；输入的值为3时，输出的值为4，输入的值为4时，输出的值为7． (1)填空：____________，____________，____________； (2)小易在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2），当随的增大而增大时，求的取值范围； (3)小聪发现直线（为实数）与（2）中的图象最多有三个交点，设这三个交点从左至右依次为，，，如果规定：在线段上有一点到该线段两个端点的距离存在2倍的关系，则称这个点为该线段的“平均点”．若点为线段的“平均点”，试求的取值； (4)若在函数图象上有点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为，小明对，之间（含，两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，1， (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据程序运算法则，利用待定系数法进行求参数即可； （2）利用一次函数和二次函数的性质进行求自变量的取值范围； （3）根据函数解析式表示出各点的横坐标，然后分两种情况进行讨论求解； （4）根据点的横坐标特征得出点关于直线对称，然后分两种情况进行求的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， 当时，， ∴ 解得； （2）解：由（1）得， ∵， ∴当时，随的增大而增大； 由（1）得， 对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大； 综上，的取值范围为或； （3）解：根据题意得，，，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上，或； （4）解：∵， ∴， ∴点到直线的距离相等， 在自变量范围内，当时，， 当时，， ∵当图象对应的函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，而当时，，时，； ∴①当，如图， 由题意得，， ∴； ②当，如图， 由题意得，， ∴； 综上，或． 分析有理·押题有据 从近两年来教改后的中考命题情况来看，最后一题大概率考查二次函数框架下的代数与几何综合应用。 预测2026年中考二次函数综合应用题将设置三个难易梯度： 1. 基础考查：聚焦新定义情境下二次函数基础知识的掌握与理解应变能力，涉及二次函数的性质与图像； 2. 深入探究：侧重二次函数框架下几何与函数的融合，涵盖全等三角形、相似三角形、平行四边形的性质，同时考查二次函数的最值问题； 3. 拓展思考：将考查二次函数含参问题，涉及函数交点、二次函数与不等式的取值范围，难度较大，重点考查学生的综合思维能力与运算能力。 终极猜想·精练通关 1．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)－6 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，乘积常数实质上是函数解析式联立得到的一元二次方程的两根积，解（3）关键是根据点D和点F的位置不同画图讨论． （1）联立直线与抛物线解析式，可得一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系和乘积常数的定义可得； （2）联立直线与抛物线解析式，乘积常数的定义可得 ，由此得出，再根据二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线，可得顶点坐标为，故设二次函数的顶点式为，根据二次函数的图象经过，可得，由此可得，进而解得，即可得二次函数的解析式． （3）根据点D和点F的位置不同画图讨论，即可求出取值范围． 【详解】（1）解：当时，得， 整理，得， 一次函数与二次函数的乘积常数是－6． （2）当时，得， 整理，得， ， 二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线， 顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得，， 二次函数的解析式为． （3）当时，， 解得，，， 抛物线与轴的交点坐标为， ①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，得， ②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，解得， 当时，则， 此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3， 时，， 此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4， 综上所述，的取值范围是或． 2．已知抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式为___________； (2)若抛物线的顶点也落在直线上，其对称轴为直线，点在上，点在上，设， ①当时，取点关于直线对称的点，判断线段的中点是否落在直线上？并说明理由； ②当，时，求的取值范围； ③当的最小值大于或等于6时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①是，见解析；②；③或 【分析】（1）先求得顶点坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）①求得，根据中点坐标公式计算即可判断； ②求得，根据二次函数的性质求解即可； ③求得，即最小值为，根据题意得到，分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，则，顶点坐标为，代入得，即， ∴抛物线的解析式为； ①线段的中点落在直线上，理由如下： 当时，则顶点坐标为， ∴， 依题意知：点，点， 点与点关于直线对称， 点 ， 即中点为， 线段的中点落在直线上； ② ， ∴的最小值为0， 当时，设， 这是一个开口向上的二次函数，且对称轴为直线， ∴当，取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴最大值为， ∴的范围是； ③∵，， ∴， 其对称轴为，开口向上， 当时，的最小值为， 由题意得， 分两种情况讨论：或， 当， 整理得，解得或； 当时，整理得， ，此情况无解； ∴当时， 的取值范围为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①平移次数为3；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出b，进而可求解； （2）①由题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，平移后的抛物线的顶点坐标为，进而可求得，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标即可求解； ②根据题意，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为，则平移后的抛物线的解析式为，求出时的函数值即可求解； （3）先求出抛物线的解析式，抛物线Q的解析式，进而得到新函数L，可画出草图，然后利用二次函数的性质，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ∴ ∴P的解析式为，对称轴为直线； （2）解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为， 当时，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴将代入中，得， 解得， ∴， 当时，由得，， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为和，又， 故平移的次数为3； ②由得，，则抛物线P与坐标轴的交点为和 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 故； （3）解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线Q恰好经过抛物线与x轴的左交点， ∴，解得， ∴抛物线Q的解析式为， ∴抛物线Q的开口向上，对称轴为直线， 对于抛物线与抛物线组成新函数L，如图， 当时，，此时L取得最小值， ∵对于当时，L的最小值为，最大值为， ∴，解得，则最大值为， 由得， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，解得． 4．如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 (3)①；②线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将二次函数的一般式化为顶点式，找出对称轴，结合自变量的取值范围求出最大值与最小值； （3）①，去绝对值，得到关于m的一次函数，根据“线段的长度随的增大而减小”即可求解；②分，，，几种情况，画出图形，即可判断交点个数． 【详解】（1）解：将点，点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为4． ， ∴当时，取最小值，最小值． ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：①， 当时，即，，的长度随的增大而减小， 当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意． 的取值范围为． ②线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时，． ， ． 解得：． 如图①，当时，点在最高点，与图象有1个交点 如图②，增大过程中，当时，点与点在抛物线对称轴右侧，与图象只有1个交点 直线关于抛物线对称轴直线对称后的直线为． 时，与图象有2个交点，如图③， 当时，与图象有1个交点，如图④， 综上所述，线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时，． 押题猜想二 几何压轴综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 点点同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为，，，，平分交于点．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）方法一：根据全等三角形的判定求出，根据全等三角形的性质得出，，求出，，即可得出答案； 方法二：由得，根据三角形的内角和外角的关系推出，进而推出，即可证得； （2）作交的延长线于点，则，所以，则，再证明，得，由，得； （3）延长至，使，连接，过作于点，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：方法一：如图1（1）：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 方法二，如图1（2）：延长至点，使，连接， ， ， 是的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，作交的延长线于点，则， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至，使，连接，过作于点， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即的长为． 分析有理·押题有据 几何综合应用压轴题通常以三角形为载体，综合考查多种几何知识点的运用。题目可能涉及三角形的边角关系、相似性、全等性及辅助线构造，还需灵活运用勾股定理、角平分线定理、中位线定理等平面几何重要定理，解决复杂情境下的问题。这类题型既考查学生对基础知识的掌握程度，又强调逻辑推理能力与空间想象能力的综合体现。 解题秘笈：题目一般从易到难逐层递进，整体围绕核心考点展开。解题时需抓住考点，结合已知条件逐步推导，构造出相应的几何模型。 终极猜想·精练通关 1.【问题提出】 （1）如图①，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点，若，试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）某校计划扩建劳动实践基地，以满足学生劳动教育实践需要．如图③，菱形是原有的劳动实践基地，，基地的出入口点在边上，且，为基地的一条小路，按照规划要求，将绕点顺时针旋转得到，交于点，在点处再设置一个出入口，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，规划四边形区域为幼苗种植区，已知，求幼苗种植区四边形的面积． 【答案】（1）；（2）线段与的数量关系为，位置关系为；（3） 【分析】（1）根据，可得，，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）延长交于．证明，可得，即可求解； （3）连接并延长交于点，交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点．证明，可得，，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图②，延长交于． 由折叠得，点与点关于对称， ，即． ． 在和中， ， ， ， ， ． 四边形为矩形， ，，． ， ． 综上所述，线段与的数量关系为，位置关系为． （3）如图③，连接并延长交于点，交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点． 由旋转的性质得，，，， ． ． ，． 在和中， ， ． ， ． ，， ，． ，， ，． ， ． ，． ． ， ． ， ． ， ． ，即， ． ． ． 即幼苗种植区四边形的面积为． 【点睛】本题考查了四边形的综合，矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是本题的解题关键． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）（1）已知点为等边边所在直线上一点，连，以为边作等边，连． ①如图，点在线段上，求证：；             图1 ②如图，点在的延长线上，，分别是的中点，连，求的值；            图2 （2）如图，点为等腰直角直角边所在直线上任意一点，连，以为斜边作等腰直角，连，当的长最小时，直接写出的值，不需要说明理由．                  图3 【答案】（1）①见解析；②；（）． 【分析】（1）①由和都是等边三角形，得，，，从而得，进而证（）得，即可利用平行线的判定证明结论成立；在线段上取，连接，证明（）得，，进而得，从而证明是等边三角形，得，再证是的中位线，利用三角形的中位线性质即可得解； （2）连接，证明，得，，从而证明点在的角平分线上运动，进而得当时，最小，然后利用勾股定理得，从而即可得解． 【详解】（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（） ∴， ∴； ②在线段上取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（） ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）连接， ∵和是分别以和为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上运动， ∴如图，当时，最小， ∵，， ∴，， ∴，此时重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 3．（24-25九年级下·重庆·月考）在中，． (1)如图1，D为上一点，，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至G，使得，连接，过C作交延长线于E，若，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过B作延长线于E，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，进而可得， ，然后解直角三角形求解，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）延长交于H，在射线上截取，连接，根据三角形的中位线性质得到，，进而推出，从而证明得到，，可推出，进而可得结果； （3）以为直角边作等腰三角形，，，证明四边形是平行四边形得到，证明得到，由，当F、C、G共线时取等号， 进而可得解． 【详解】（1）解：如图1，过B作延长线于E， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：． 理由：如图2，延长交于H，在射线上截取，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，以为直角边作等腰三角形，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由旋转和折叠性质得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，当F、C、G共线时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、折叠与旋转性质、三角形的三边关系等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，构造相似三角形是解答的关键． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）【问题引入】 （1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，． ①如图1，直接写出与之间的数量关系 ； ②如图2，若，求证： 【变式研探】 （2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接， ①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，若请直接写出线段的长度 ． 【答案】（1）①；②证明见详解； （2）①，理由见详解；② 【分析】（1）①利用三角形外角的性质，将拆分为和，结合已知的等量关系，直接推导出； ②由得到等腰三角形底角相等，结合已知代换得到，再结合公共角，利用两角分别相等的三角形相似完成证明． （2）①先由和判定为等边三角形，结合求出的度数，利用旋转构造全等三角形，推导出为等边三角形并证得、、三点共线，结合是中点，利用三角形中位线定理推导出； ②则用倍长中线法构造全等三角形，结合旋转性质代换得到，通过角的和差计算证得，进而证出，得到与相关角的度数，延长交于，推得为等腰直角三角形，得出，作构造特殊直角三角形，设，用表示和，结合的等量关系建立方程，求解即可得到的长度． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， 故答案为：； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 由旋转的性质得，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，如图， ， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 、、三点共线，即是的中点， 又是的中点， 是的中位线， ， ， ，即； ②解：延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 延长交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点，则是等腰直角三角形，， 设，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，解得， 即． 【点睛】本题考查三角形外角性质、等腰与等边三角形的判定和性质、相似与全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、倍长中线法及含和特殊角的直角三角形边角关系，关键是巧用旋转、倍长中线的几何变换构造全等三角形，结合特殊三角形性质完成角与线段的等量代换，灵活运用相似、全等判定定理和三角形中位线定理，搭建已知条件与所求线段的数量关系． 押题猜想三 二次函数实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处． (1)求抛物线的关系式； (2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）延长交x轴于点H，求出点坐标，推出点B为抛物线的顶点，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，将转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点H，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵水路到达的最大高度是6米，且恰好经过小树的顶端点B，则点B为抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 将代入得，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）知，，设直线的解析式为，则， 解得：， ∴， 如图2，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值， 答：的最大值为． 分析有理·押题有据 考察二次函数及抛物线的实际应用，利用顶点式求解析式，结合题目中的已知条件，可以确定抛物线的顶点坐标以及经过的特定点。通过将这些点代入顶点式方程，进一步求解出二次函数的具体参数。在计算过程中，需注意水流运行路线的几何特性，确保解析式的准确性和实际意义相符。此外，还需验证所得结果是否满足题设中关于最大高度和落点位置的要求，以保证解答的完整性与合理性。 终极猜想·精练通关 1.综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①圆形校徽的直径为；② 【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设对应的函数表达式为，将点、代入求解即可； （2）①令对应的函数表达式为，由，可得方程，由点坐标可得，结合求解出对应的、，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出当时，对应的值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离的最小值，故求解值即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上， 且点、、、、， 故假设对应的函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， 故对应的函数表达式为． （2）解：①令对应的函数表达式为， 当时，对应的函数值为． ∴， 结合点，得， 故可得方程组，解得， ∴对应的函数表达式为， 故点， ∴． ②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过， 即， 当时，得， 解得， ∴两个摄像头之间水平距离的最小值为． 2．综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出点M的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出，，即可得出答案； （3）令求出x的值，令，求出x的值，然后求出沙发的最大宽度即可． 【详解】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为， ∴点M的坐标为， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合， ∴抛物线的解析式为： ， 令， 解得：，， ∴，， ∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度； （3）解：令， 解得：，， 令， 解得：，， ∴该沙发的长度最大值为： ． 3．【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)当时，求和的长； (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 【答案】(1) (2)米，米 (3)米 【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）由题意设，则点F的坐标为，再代入，求得，据此求解即可； （3）设，则矩形所需的木质框架总长度，求得当，矩形所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形和正方形的边长为n，得到，代入，求得n的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：坐标系如图所示， 由题意得，，． 则抛物线的顶点坐标为，， 则设抛物线的函数表达式为，将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得四边形为矩形，设， ， ． ，． ∵点在抛物线上， ，解得或（舍去）． 米，米； （3）解：如图，设，， 四边形为矩形，且点E和F在抛物线上， ， ． 矩形所需的木质框架总长度， 当，矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5． 此时， ． 设正方形和正方形的边长为n，则，，将代入， 得， 整理得， 解得或 (舍去)． ． 封闭区域内木质框架的总长度米． 即封闭区域内木质框架的总长度为米． 4．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 押题猜想四 二次函数最大利润问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； (2)任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． (3)任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 【答案】(1)，； (2)每月利润能达到3750元，枕头的售价为元； (3)40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”，代入相应数据，列出方程，求解即可； （3）列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：枕头的实际售价为元； 枕头的销售量为个； （2）解：根据题意得，， 整理得，， 解得，，， ∵进货不超过200个， ∴， 解得，， ∴， ∴此时枕头的售价为元； （3）解：设利润为元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，为4000元； ∴当降价10元时，每月利润达到最大值，此时售价为元． 分析有理·押题有据 在实际应用中，二次函数常用于描述销售利润与价格之间的关系。通过分析售价、销量和成本的相互作用，可以建立一个关于利润的二次函数模型。此模型的核心在于确定利润的最大值及其对应的售价。为了实现这一目标，通常需要结合具体的市场数据，例如初始销量、价格弹性系数以及固定成本等信息。通过对函数进行求解，可以找到使利润达到峰值的最佳定价策略，同时验证该策略是否满足其他约束条件，如库存限制或市场需求上限。这种分析方法不仅适用于枕头销售问题，还可以推广到其他商品的定价优化场景中。 终极猜想·精练通关 1. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式． (2)求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 【答案】(1) (2)该商品日销售利润的最大值为6250元 (3) 【分析】（1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出w的解析式，再根据抛物线的图像和性质作答即可； （3）设利润为元，根据题意得的解析式，再求出对称轴，再根据抛物线的图像和性质作答即可． 【详解】（1）解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数解析式为，把，代入得：， 解得：，， 解析式为； （2）解：由题意得该商品的成本单价是 元． ， ， 当时，最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元； （3）解：设利润为元，根据题意可得： ， 对称轴为． ∵销售单价不低于68元，即， ∵日销售量， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴，且开口向下， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 2．端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒． (1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价； (2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式； (3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价． 【答案】(1)海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元 (2) (3)最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为65元 【分析】（1）设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，根据用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可； （2）分为当时及当时，两种情况分类讨论，列出关系式即可； （3）分两种情况，分别求出一次函数及二次函数的最值，再进行比较即可求出该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润． 【详解】（1）解：设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则， 答：海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； （2）解：当时，此时销量固定为100盒．单盒利润为元． 则总利润： 当时，售价比50元提高了元，销量减少盒．此时销量为：（盒）．单盒利润为元． 则总利润： ； ∴与之间的关系式 （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，， 因为， 所以随的增大而增大． 当时，取得最大值，为：， 当时： ∵ ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，y取得最大值，， ∵， 该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为元，此时海鲜粽每盒售价为65元． 3．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 【答案】(1) (2)第天利润最大，最大利润为元 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的最值求解以及分段函数的利润分析，熟练掌握一次函数解析式的求法、二次函数的性质及利润计算公式是解答本题的关键． （1）根据表格中销售量与天数的线性变化规律，设一次函数解析式，代入两组数据求出关于的函数表达式； （2）根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”，结合已知的单价函数与成本价，构建关于的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解最大利润及对应的天数； （3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，判断在区间内利润随的变化趋势，确定利润最大值对应的； ②将①中求得的代入利润表达式，结合已知的最大利润值，建立关于的方程并求解． 【详解】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：设总利润为元，则 ， 当时，取得最大值，最大值为25000， 答：第天利润最大，最大利润为元； （3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为元，则 ， ， 且， 随的增大而减小， 当时，利润取到最大值； ②当时，利润取到最大值， ， 解得：． 4．综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元 【分析】（1）设与的函数关系式为，把，代入即可求解； （2）设每天获取的利润为元，由题意可得，，根据二次函数图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为． （2）解：设每天获取的利润为元， 由题意得，， ∵该茶叶的日销售量不低于80千克， ∴， 解得， ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ∴时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元． 押题猜想五 圆的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，得出，根据，得出，则，证出，则，结合是的半径，即可证明是的切线． （2）根据，，，得出，，结合，证出是等边三角形，则，，求出，，勾股定理求出，即可求出，，再求出，结合即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：，，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 分析有理·押题有据 圆的综合应用在这一部分中，我们将深入探讨圆的各种性质及其在实际问题中的应用。首先，通过分析圆的基本定义和相关定理，结合具体的几何图形，揭示其在不同场景中的灵活运用。接着，进一步讨论如何利用圆的切线、弦、弧等元素解决复杂的几何证明与计算问题。此外，还会涉及圆与其他几何图形的结合，例如三角形、四边形等，展示其在综合题目中的关键作用。通过实例解析，帮助理解如何将理论知识转化为解题技巧，从而提升解决实际问题的能力。 终极猜想·精练通关 1．如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线的性质得，进而得出，再结合已知条件可得，则此题可解； （2）先根据直径所对的圆周角得，再根据“同弧所对的圆周角相等”得，接下来说明，进而得出，然后化成乘积式可得答案； （3）先根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后说明，接下来根据同弧所对的圆周角相等，再根据圆周角定理得，即可根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：连接, ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接, 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】求不规则图形的面积的常用方法是转化为求规则图形的面积差，如题目中，弓形的面积等于扇形面积减去三角形的面积即可． 2．如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接 ，利用切线性质得 ，结合 证 ，再通过等腰三角形导角证 平分 ； （2）设 ，利用 平分 得 ，在 和 中分别用三角函数表示边，再由 列方程求 ； （3）在 中由 设 ，，求 ，再在 中求 ，结合 求 ． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 直线 与圆 相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ，即 平分 ； （2）解：设 ， ， ， 由（1）知 平分 ， ， ， ， ， 在 中，， 即 ，解得 ， ， 在 中，； （3）解：如图，过点 作 于点 ， ，， ， ， 又 ，，且 ， ， 在 中，， 设 ，则 ， ，， ， 在 中，，设 ， ， ， 由 得 ， ，即 ， ， 在 中，， ， 3．如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得到，根据等腰三角形等边对等角得到，结合等量代换得到，即，即可证明结论； （2）根据证明，结合，推出，求出，，即可得到，半径为，由是的垂线，证明，求出，连接，根据圆周角定理得，证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂线，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，直径． 4．如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先由圆周角定理得，结合已知等量代换得，即可证明，则，即可得出结论； （2）连接，延长交于点F，连接，由圆周角定理得，结合已知得，由是的直径，得，进而推出，即，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F，连接， ∵和都是弧所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． 押题猜想六 反比例函数综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； （3）解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 分析有理·押题有据 反比例函数在实际问题中具有广泛的应用价值，尤其是在涉及面积、体积以及变化率的相关情境中。通过分析点与线之间的几何关系，可以进一步挖掘其潜在的数学规律。结合已知条件，能够推导出满足特定要求的点的坐标，并通过建立适当的方程解决问题。此外，利用图像的对称性及函数性质，可简化复杂的计算过程，从而提升解题效率。这种综合应用不仅考察了基础知识的掌握程度，还强调了逻辑推理能力的重要性。 终极猜想·精练通关 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)点在反比例函数的图象上，理由见解析． 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2) 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，.进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． 【详解】（1）解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ∴． 把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为 （2）解：点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 2．如图，正方形对角线交点O与平面直角坐标系的原点重合，顶点和C在反比例函数的图象上，顶点B和D在反比例函数的图象上． (1)求和的值； (2)点E是线段与x轴的交点，请写出点E的坐标． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）先将代入，求得，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则，证明，进而得出，代入，即可求解． （2）先待定系数法求得所在的一次函数解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则． ∵四边形是正方形， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴ ∴和的值分别为10和； （2）解：设点A、B所在的直线解析式为， 把和分别代入中， 得， 解得， ∴所在的一次函数解析式为， 当时，解得， ∴点E的坐标为． 3．小军在研究三角板时发现，一副三角板中，含角的三角板的斜边与含角的三角板的长直角边长度相等．他将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）旋转到的位置，D点对应G点，根据旋转的性质，以及双曲线上的点的特征，求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C， ， 反比例函数的表达式为：； （2）解：， ， 含角的三角板为等腰直角三角形，， ，， 如图，旋转到的位置，D点对应G点， ，， D的对应点G在的图象上，， ， ， 由旋转可得：， ． 4．已知正比例函数与反比例函数相交于，B两点． (1)求的值； (2)若，交第一象限反比例函数图象于点C，连接，平分，与直线相交于点D，求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别过点B，点C作轴平行线，与过点A作轴平行线相交于点F，点E， 过点D作，垂足为G，设，则，，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，得到，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， 即， 把代入得； （2）解：分别过点B，点C作轴平行线，与过点A作轴平行线相交于点F，点E， 过点D作，垂足为G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴，，， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 押题猜想七 几何综合应用（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理及点到直线的距离．先利用菱形的性质和已知条件推导出三角形关系，再构造辅助线并分析三角形关系，利用三角形中位线定理建立与的关系，最后求的最小值进而求的最小值． 【详解】解：如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接， 在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值即为， 在菱形中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为9， ∴的最小值为， 故答案为：． 分析有理·押题有据 在几何综合压轴填空题中，通常需要结合多种几何知识进行分析。这类题目往往涉及图形的性质、点线面的关系以及动态变化中的不变量。解题时，可以从已知条件出发，逐步推导出关键结论，并注意挖掘隐藏的几何特性。通过构造辅助线或引入适当的变量，能够简化复杂问题，从而找到最优解法。 终极猜想·精练通关 1．如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作 于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，， 平分， ， ， 四边形是正方形， 设，则， ， ， ，即， 解得：， ， 由勾股定理得：， 故答案为：． 2．如图，在中，，以为腰，C为顶点在其右侧作等腰直角，当取最大值时，则的长为________．    【答案】 【分析】将绕点C旋转得，连接，则，当取最大值时，则A、D、E、三点共线，可求；过点D作，根据勾股定理进而即可求解； 【详解】解：如图，将绕点C旋转得，连接，则． 当A、D、E、三点共线时，取最大值； ∴， ∵， ∴， ∴， 过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 3．如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，根据三角形的三边关系得出当点在的延长线时，的长度取得最大值，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点在的延长线时，的长度取得最大值， 由题意得，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 4．如图，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段．当的最小值为时，n的值为_______． 【答案】4 【分析】将绕点B顺时针旋转得到，连接，证明，得到，，进而得到，勾股定理得到，设，将转化为二次函数求最值，即可． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， 则：， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 令，则， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴， ∴（负值舍去） 故答案为：4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数求最值，解题的关键是利用旋转构造特殊图形和全等三角形．难度较大，属于选择题中的压轴题． 押题猜想八 二次函数各项系数的关系（填空） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，二次函数图象向下，与轴交于正半轴，得到，由二次函数的对称轴为直线， ，可判断①，由二次函数图象经过点，可判断②，由，得到，代入，可判断③，求得由二次函数图象与轴的另一个交点为，可得到，根据关于的方程无实数根，可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵二次函数图象经过点，二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴可分解因式为， ∴，即， ∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：B． 分析有理·押题有据 在二次函数中，各项系数之间存在密切的联系。通常，二次项系数决定了抛物线的开口方向和宽窄程度，若系数为正，则开口向上；若为负，则开口向下。一次项系数与二次项系数共同影响抛物线的对称轴位置，通过对称轴公式可以清晰地看到它们的关系。常数项则决定了抛物线与y轴的交点位置。 终极猜想·精练通关 1．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．根据抛物线开口向下即可判断①，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位与轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 关于直线对称的点为， 又， ，故②正确， 方程的解可看作抛物线向上平移一个单位， 由图象可知抛物线与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， 关于直线对称的点为， 的取值范围为，故④正确． 故正确的有①②④； 故选：C． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了的图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a符号，然后根据抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与x轴没有交点， ∴，，故①正确，②错误； 把点代入，得： ， ∴，即，故③正确； ∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④错误； 如图， 设过点的直线的解析式为， ∴，解得：， ∴过点的直线的解析式为， 观察图象得：当时，抛物线的图象位于直线的下方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，正确个数为3个， 故选：B 3．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④当时，随增大而增大，其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是解题的关键． 根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标等知识，逐个判断即可． 【详解】解：由已知条件可知，该抛物线开口向下，，故①错误， 由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则；故②正确； 由图象可知抛物线与轴的交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点也在抛物线上， ∴方程有两个不相等的实数根分别为，； 故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随增大而增大， 故④正确； 综上可知，②③④正确， 故选：C 4．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②函数的最大值为； ③当时，； ④． 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．利用抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用二次函数的最值问题可对②进行判断；利用抛物线与轴的交点与图象可对③进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，得到当时，，可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的交点坐标在轴上方， ∴，所以①正确； 当时，函数的最大值为：，故②正确； 由对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，所以时，，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴当时，，故④错误， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $