专题02 函数的图象与性质（课件）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 函数的图象与性质 函数的图像与性质（基础篇） 函数的图像与性质（压轴篇） 14 5 12 命题透视 命题形式：呈现 “数形结合、多函交汇、情境创新” 的特点，以函数图像、表格数据、实际场景为载体，兼顾选择填空的基础考查与解答题的综合探究，突出对运算求解、逻辑推理及数形转化能力的考查。 命题内容：侧重基础性质的灵活应用与综合压轴的分层突破，基础层聚焦三类函数的解析式、图像特征及与方程不等式的关联，压轴层深挖面积最值、特殊图形存在性、动点动态分析、含参分类讨论及新定义创新应用。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 函数定义与自变量取值范围 江苏・T13：函数定义判定（图像类） 浙江・T15：分式与根式混合型取值范围 山东・T12：表格型函数判定 河南・T14：实际情境下自变量取值 北京・T11：关系式型函数判断 广西・T13：二次根式分式混合型取值 点与函数图像的关系 广东・T16：点在函数图像上的判定（含参） 山西・T12：根据函数值求自变量 湖南・T14：双函数图像上公共点判定 四川・T15：已知点坐标求函数参数 江西・T12：判断多点是否在反比例函数图像上 云南・T14：二次函数上点的坐标特征应用 一次函数解析式与图像性质 江苏・T18：待定系数法求解析式（平行条件） 浙江・T19：k、b 符号与象限互判 河北・T15：一次函数增减性应用（比较函数值） 陕西・T16：与坐标轴交点及面积计算 广西・T16：一次函数与方程组的解关联 广东・T17：两直线交点与不等式解集 考点 2025年 2024年 2023年 热考角度 反比例函数解析式与k的几何意义 安徽・T15：面积法求 k 值 福建・T16：k 的几何意义综合（矩形面积） 重庆・T17：反比例函数与一次函数交点问题 天津・T18：双曲线上点的坐标特征应用 辽宁・T15：反比例函数增减性判断 吉林・T16：k 的几何意义与面积综合 二次函数的图像特征与性质 江苏・T21：a、b、c 及 Δ 符号判断 浙江・T22：三种解析式互化与顶点坐标求解 山东・T19：二次函数对称轴与最值计算 河南・T20：图像平移后解析式求解 北京・T18：二次函数与 x 轴交点个数判断 湖北・T19：实际情境下二次函数最值应用 函数综合应用 广东・T23：一次与反比例函数综合（比较大小） 山西・T22：二次函数与方程、不等式关联 湖南・T21：函数图像与实际情境匹配（行程） 四川・T22：二次函数与几何图形基础综合 江西・T19：一次函数与几何面积计算 云南・T20：反比例函数与一次函数交点面积 热考角度 二次函数与几何综合 广东・T25：二次函数背景下等腰三角形存在性探究 湖南・T25：二次函数与矩形存在性及面积最值 北京・T26：二次函数与动点形成的特殊四边形 函数动点与最值 浙江・T24：二次函数上单动点面积最值（铅垂高法） 山东・T24：双动点运动下的线段最值问题 湖北・T24：函数动点与相似三角形存在性 函数含参与新定义 江苏・T26：含参二次函数的定点与分类讨论 四川・T25：新定义 “伴随函数” 的图像与性质探究 河南・T23：含参一次函数与几何图形的综合 命题预测 .函数图像与性质（核心模块） 核心考点： 一次函数：k、b符号与图像象限、增减性、与坐标轴围成三角形面积； 反比例函数：k的几何意义、双曲线上点的坐标特征； 二次函数：a、b、c及Δ符号判断、对称轴与顶点坐标、最值计算、与x轴交点及根的分布。 综合趋势： 函数（一次/二次/反比例）+方程/不等式+几何图形（三角形、四边形）的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力； 函数动点问题、特殊图形存在性问题（等腰三角形、平行四边形等）是高频压轴方向。 备考建议（函数图像与性质） 夯实基础：熟练掌握三类函数的图像特征、性质及解析式求解方法，确保基础题不丢分； 突破中档：重点训练数形结合思想、参数讨论、整数解问题，总结函数与面积、线段长的解题模板； 强化综合：针对“函数+方程/不等式+几何”综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力； 关注创新：熟悉新定义函数、函数图像变换、动点探究题型，培养迁移与推理能力。 考点一：函数的图像与性质（基础篇） 考点二：函数的图像与性质（压轴篇） 考点一：函数的图像与性质（基础篇） 题型一：函数自变量取值范围求解 题型二：直接/间接代入求函数值/自变量 题型三：待定系数法求函数解析式 题型四：根据函数解析式判断其性质 题型五：比较函数值的大小 题型六：一次函数k、b符号与图像象限判断 题型七：函数图像的判断 题型八：反比例函数k的几何意义应用 题型九：函数与不等式 题型十：二次函数a、b、c及判别式符号判断 题型十一：函数最值问题（增减性） 题型十二：多函数综合问题 题型十三：函数图像平移规律应用 题型十四：函数图像翻折、旋转、折叠变换 必备知识 知识1 一次函数的图像与性质 知识2 反比例函数的图像与性质 知识3 二次函数的图像与性质 知识4 二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 知识5 函数的平移 命题预测 ►题型一 函数自变量取值范围求解 类型 取值范围 整式型 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方数大于或等于零 负整数（零）指数幂型 底数不能为零 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为零 ►题型一 函数自变量取值范围求解 1．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴．解得， 故自变量的取值范围是， D 2．（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：根据题意得：， 解得： A ►题型一 函数自变量取值范围求解 3．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 解：由题可得， 解得且， 故答案为：且． 且 ►题型二 直接/间接代入求函数值/自变量 4．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， D 5．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线 的交点在轴上，则的值是 ． 解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． ►题型二 直接/间接代入求函数值/自变量 6．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 或 ►题型三 待定系数法求函数解析式 设：根据函数类型，设出含未知系数的解析式 列：把已知条件（点坐标、交点、最值等）代入，得到方程 / 方程组 解：解出所有未知系数 回代：把系数代回原式，写出最终解析式 ►题型三 待定系数法求函数解析式 7．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 解：∵，∴， ∵，∴， ∴为等边三角形， ∴，过点作轴， 则：， ， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 或 ►题型三 待定系数法求函数解析式 8．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于 ，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数， A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，，∴， 把代入，得， 解得， 9 ►题型三 待定系数法求函数解析式 9．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， （答案不唯一） ►题型三 待定系数法求函数解析式 10．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大， 当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； D ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； ►题型四 根据函数解析式判断其性质 11．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 解 、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； D ►题型四 根据函数解析式判断其性质 12．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． B ►题型四 根据函数解析式判断其性质 13．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 解：∵二次函数， 当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵，即，∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为， 即， ∵，∴ ∵，∴， ∴∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； ►题型四 根据函数解析式判断其性质 13．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的 ， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； D ►题型五 比较函数值的大小 代入求值法：直接算 y，再比大小（最稳） 图像法：画草图，看高低 作差法：−>0⇒> ►题型五 比较函数值的大小 14.（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C ►题型五 比较函数值的大小 15．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线 上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 解：，， 随的增大而增大，， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点， 但不经过故该选项A不符合， ►题型五 比较函数值的大小 16．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． A ►题型五 比较函数值的大小 17．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入， 得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时， （因时抛物线在x轴上方）， 故，此时 A 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即，故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大，即， 故D选项的结论错误； ►题型五 比较函数值的大小 18．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 解：∵，∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 小于到对称轴的距离， ∴； A ►题型六 一次函数k、b符号与图像象限判断 19．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， ►题型六 一次函数k、b符号与图像象限判断 20．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数 的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵，∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴，∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， D ►题型六 一次函数k、b符号与图像象限判断 21．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 解:∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大，． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得， 不满足，舍去． 选项B：点，代入 得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入 得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入 得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， ►题型七 函数图像的判断 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. ►题型七 函数图像的判断 22．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 解： 由题意得，当时，， 则此时图象分布在第四象限； 当时，， 则此时图象分布在第三象限； C ►题型七 函数图像的判断 23．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 解：由在同一个函数图象上， 可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由在同一个函数图象上， 可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意，选项D符合题意； D ►题型七 函数图像的判断 24．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下， 与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， D ►题型八 反比例函数k的几何意义应用 25．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， D 解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等，∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴，∴， ∵，∴， ►题型八 反比例函数k的几何意义应用 26．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． ∴， ∵，， ►题型八 反比例函数k的几何意义应用 26．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． ∴， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴， ∵轴，∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， C ►题型八 反比例函数k的几何意义应用 27．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴，∴， ∴， ►题型九 函数与不等式 28．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________， 点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为 ； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． （1）解：联立方程组得， 解得 或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为： 或． 或 ►题型九 函数与不等式 28．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________， 点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为 ； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为，由题意知， ， 解得， 当时， 解得， 当时， 解得， ∴点C的坐标为或． 或 ►题型九 函数与不等式 29．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． （1）解：把代入 得， ∴点A的坐标为， 把代入得： ， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； ►题型九 函数与不等式 29．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． （2）解：由作图可得， 即， 设点D的坐标为， 则：， 解得：， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． ►题型九 函数与不等式 30．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围 ； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． （1）解：将、代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则 ， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时， x的取值范围为， ►题型九 函数与不等式 30．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得，∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． ►题型十 标题 31．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 解： 二次函数图象中，开口向上， ．对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴，． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴， 由图象知对称轴，即， 又，两边乘得， ，该选项错误． 选项C：当时，， 即；当时， ， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 32.（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点 、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①； ②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，，∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； 32.（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点 、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①； ②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴，∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为 ，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个 A 33．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意；   33．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 如图，为等边三角形， ∴，，，，∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当， 则，， ∴， ∴ ， ∵，∴， ∴， ∴， 故④符合题意；故选： D ►题型十一 函数最值问题（增减性） 34．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 35．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 解：将反比例函数代入中， 可得：， ，当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算，得，故答案为：． ►题型十一 函数最值问题（增减性） 36．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （1）解： 把点代入得： ►题型十一 函数最值问题（增减性） 36．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． （3）解：根据题意得： 平移后的抛物线解析式为 ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，， 当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， ►题型十一 函数最值问题（增减性） 36．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 当平移后抛物线的对称轴 在y轴和直线左侧时， 此时最小值为， 当时，取得最大值， 最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时， 此时最小值为 当时，取得最大值， 最大值为， ►题型十一 函数最值问题（增减性） 36．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． ►题型十二 多函数综合问题 37．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． （1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． ►题型十二 多函数综合问题 37．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 则，解得， ∴， 令，则， ∴，∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， ►题型十二 多函数综合问题 38．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． （1）解：∵二次函数图象的对称轴为轴，过坐标原点及点 ∴∴ ∴二次函数解析式为： （2）解：如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵，点坐标为， ∴， ∴， ， ∴ ►题型十二 多函数综合问题 38．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． ∵轴，∴ ∵射线平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， 设直线的解析式为， 代入，， ∴，解得：， ►题型十二 多函数综合问题 38．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． ∴直线的解析式为 ， 联立， 消去得，， ∵， ∴直线与二次函数的图象的公共点的个数为 （3）解：设直线的解析式为，代入，， ∴，解得：， ►题型十二 多函数综合问题 38．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． ∴直线的解析式为， 联立， 解得： 或 ∴ 当在之间时，即在圆内， 此时： 如图，当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形， ►题型十二 多函数综合问题 38．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． ∵，，， ∴， 当时，时， ∴ 解得：， ∴当为钝角时， ． 39．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．(1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． ►题型十二 多函数综合问题 （1）解：当时， ， 解得，∴， 将代入， 得，∴， 将，分别代入 ，得， 解得：． 答：点的坐标为，的值分别为． 39．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．(1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． ►题型十二 多函数综合问题 （2）①证明：如图，设直线的 解析式为， 将，分别代入，得，解得， ∴直线的解析式为，设点E的坐标为∵，∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ 39．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．(1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． ►题型十二 多函数综合问题 ②如图，当时， ， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． 39．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．(1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． ►题型十二 多函数综合问题 （3）∵次函数 与二次函数 组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． 且当时，取得最小值． ∵当时， 函数的最小值为，最大值为， 39．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．(1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． ►题型十二 多函数综合问题 ∴当时， 取得最小值为， 即，解得． ∵时， 函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为， 即，解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵，∴， 解得，． ►题型十三 函数图像平移规律应用 40．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得，∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为 ， 当时， 则， 即在直线上， 故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时， 则， 即在直线上， 故D选项不符合题意； 当时， 则， 即在直线上， 故C选项不符合题意； B ►题型十三 函数图像平移规律应用 41．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点， 且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得， 解得； 把代入得， 解得； 则， D ►题型十三 函数图像平移规律应用 42．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是 ； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述： （a）随的增大而增大； （b）随的增大而减小； （c）随的增大先增大后减小； （d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 解：（1）由“左加右减”的原则可知， 将函数的图象向右平移2个单位长度， 所得函数的解析式为， 令，则， 即平移后的图象与轴交点的坐标为． （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ►题型十三 函数图像平移规律应用 42．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是 ； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述： （a）随的增大而增大； （b）随的增大而减小； （c）随的增大先增大后减小； （d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大，故可能的序号是(a)(b)． (a)(b) ►题型十四 函数图像翻折、旋转、折叠变换 43．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ）  A．1 B．2 C．3 D．4 解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ►题型十四 函数图像翻折、旋转、折叠变换 43．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ）  A．1 B．2 C．3 D．4 ②令则，解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示：  ∵，，， 则， ， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ►题型十四 函数图像翻折、旋转、折叠变换 43．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ）  A．1 B．2 C．3 D．4 ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上， 则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上， 则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；过程如下：  ∴，此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，故③不符合题意； ►题型十四 函数图像翻折、旋转、折叠变换 43．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ）  A．1 B．2 C．3 D．4 ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． B ►题型十四 函数图像翻折、旋转、折叠变换 44．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．  (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． （1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为， 反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵，∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置；∴， ∵的对应点在的图象上， ∴，∴， 由旋转可得：，∴. ►题型十四 函数图像翻折、旋转、折叠变换 45．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．  (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （1）解：∵ ∴， ∵，∴， ∵将沿直线折叠， 点B恰好落在点处， ∴，∴， ∴，∴； （2）设，根据折叠的性质，得 ，， 由（1）得， ∵，∴， 解得，∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． ►题型十四 函数图像翻折、旋转、折叠变换 45．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．  (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示：当时， ，∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为．   k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0             趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行= 2）直线与直线垂直 知识01 一次函数的图像与性质 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 知识02 反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像     图像位置 图像分别位于第一、第三象限 （x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限 （x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 知识02 反比例函数的图像与性质 【易错易混】 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提． 当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小． 当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 基本形式 图像 a>0           a<0           知识03 二次函数的图像与性质 知识03 二次函数的图像与性质 基本形式 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识04 二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下   b b=0 对称轴是y轴，即=0   左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即   c c=0 图像过原点   c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点  的正负决定抛物线与x轴交点个数 知识05 函数的平移 1. 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式     向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 【总结】 一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 知识05 函数的平移 2. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）. 1．（2025·陕西西安·一模）已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解：∵点在反比例函数的图象上． ∴． ∴交点坐标为． ∵正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称． ∴另一个交点的坐标为． D 2．（2025·湖北襄阳·一模）当自变量时，下列函数随的增大而增大的是(   ) A． B． C． D． 解:A．，， 随增大而减小； B．，， 开口向下，对称轴为直线，当时， 随增大而减小； C．，， 随增大而增大； D．，， 开口向下，对称轴，当时， 随增大而减小． C 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 解：由题意得： 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ，， ， 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点间的距离为3 D．当时，的值随值的增大而增大 解：∵二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故A、B错误，D正确； ∵，对称轴为直线，点， ∴，∴，故C错误． D 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 解：A、∵抛物线开口向上，∴， ∵抛物线对称轴， ∴，故选项不符合题意； B、抛物线与轴交点在轴的下方，∴， 故选项不符合题意； C、从图象可知当时，， ∴， 故选项不符合题意； D、 ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故选项符合题意． D 6．（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 解：由二次函数图象可知， 二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， A 7．（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么；②如果，那么或； ③如果，那么；④如果，那么．则（    ） A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④ 解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④正确． B 8．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 解:∵抛物线可由平移得到， 又∵顶点坐标为， ∴抛物线为． 展开得： ， A 9．（2025·四川绵阳·一模）将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（   ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 解：∵ 的顶点为， 而的顶点为， ∴ 需向右平移5个单位，再向下平移1个单位． D 10．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 解：∵四边形是矩形，， ∴， ，， ∵的图象经过点， ∴当时，， ∴点，∴， 由折叠可得： ，， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，∴点， C 11．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为 ． 解：连接，设反比例函数的解析式为， ∵轴，∴轴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，∴， ∴反比例函数的解析式为， 12．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 解： ∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴，故答案为：． 13．（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是 ． 解：∵二次函数的图象，与轴只有一个交点， 其中， ∴ ∴， 结合图象，抛物线的对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数对称轴公式为：， ∴， 故． 14．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 解: ∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等， 即， 解得，，故答案为． 15．（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 解：根据图表，和时，，则抛物线对称轴为直线， 当，，根据抛物线的对称性， 当时，， 即抛物线与轴的交点为和； 根据表中数据得到抛物线的开口向下， 当时，函数有最大值，即最大值大于6， ①③④ 并且在直线的左侧， 随增大而增大． 所以①③④正确，②错． 16．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （1）解： 由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； （2）解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； 16．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）解：由题意，将 代入抛物线， ∴ ， 又将代入抛物线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ∴ ， 17．（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． （1）解：点在一次函数 图象上 ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为 （2）解：四边形为平行四边形，， 轴，轴， 点，点A的纵坐标为2， 当时，，， ，点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ，解得，平移的距离为． 18．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数 ． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． （1）解：把点代入，得，解得， ∴， 把，代入，得，解得， ∴； ∵反比例函数 经过A点， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴直线经过点， ∵点关于的对称点为， 18．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数 ． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线， ∴直线过点和， ∴ ， 解得 ， ∴， 由（1）可知：，， ∴ 18．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数 ． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． ①当经过点时，如图， 则：； ②当直线与只有一个交点时，满足题意，如图， 令， 整理，得， 则， 解得：； 综上：或； 18．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数 ． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． （3）由（2）可知： ， 当与恰好有3个公共点时， 则与有一个交点， 与有两个交点，如图， 令，则，即， 令，整理， 得：， 由题意，方程的两个根为， 故 ：， ∵， ∴，解得． 考点二：函数的图像与性质（压轴篇） 题型一：动点问题的函数图像问题（识别图像） 题型二：动点问题的函数图像问题（计算问题） 题型三：线段最值问题 题型四：周长最值问题 题型五：特殊三角形存在性问题 题型六：特殊四边形存在性问题 题型七：线段、面积存在性问题 题型八：角度存在性问题 题型九：函数含参问题 题型十：函数整点问题 题型十一：函数新定义问题 题型十二：函数与几何图形综合 命题预测 ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ，此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； A ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示，设交于点，  ∵菱形，，∴ 又∵，∴是等边三角形， ∵，，∴ ∴ ∴ ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 当时，重合部分为，如图所示，依题意， 为等边三角形，运动时间为，则， ∴ ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 当时，如图所示，依题意，， 则 ∴ ∴ ∵∴当时， ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 当时，同理可得， 当时，同理可得， ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 综上所述， 当时，函数图象为开口向上的一段抛物线， 当时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当时，函数图象为一条线段， 当时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； D ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 解：当点在上时（）： 过点作于点． ， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处， 但此阶段，函数在上图象不断上升， 当时，． ►题型一 动点问题的函数图像问题（识别图像） 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ， 点从到用时秒， 此时在上的运动距离为， 方向上的高与上的高相同， 即（当时，后续在上时，到的距离不变）．， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小， 当时，．综上，当时， 是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升； 当时，是一次函数，图象不断下降． A ►题型二 动点问题的函数图像问题（计算问题） 4．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 解：由的运动可知， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图：则， 由题意得， ∵，∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形，∴， ∵，∴， ∴，故A、B正确，不符合题意； 等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变．记中点为， ►题型二 动点问题的函数图像问题（计算问题） 4．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； ►题型二 动点问题的函数图像问题（计算问题） 4．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 由函数图象可得，当时运动停止， 那么的顶点从点运动到点用时，如图：∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为 ，故D错误，符合题意， D ►题型二 动点问题的函数图像问题（计算问题） 5．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C ．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小， 即：，，  在中，由勾股定理，得： ， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴，∵，∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点， 则：，∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； D ►题型二 动点问题的函数图像问题（计算问题） 6．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①；②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 解：由图知当动点 沿匀速运动到点时， ， 作于点， 是等边三角形， 点在边上，， ，， ， ， ， ， 故①正确； ►题型二 动点问题的函数图像问题（计算问题） 6．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①；②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 当时， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故②正确； 当时， 且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； ►题型二 动点问题的函数图像问题（计算问题） 6．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①；②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ；故④正确； 综上所述，正确的有①②④， D ►题型三 线段最值问题 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时 点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． （1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为： ； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转，∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称，∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ►题型三 线段最值问题 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 当点在轴下方时， 如图，作对称轴于点， 则：，  ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入， 得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； ►题型三 线段最值问题 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． （3）存在；在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴，∴， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ►题型三 线段最值问题 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． ∵，∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：， 的最小值为． ►题型三 线段最值问题 8．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． （1）解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ►题型三 线段最值问题 8．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵，∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点， 使，连接． ►题型三 线段最值问题 8．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理， ， ．∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． ►题型三 线段最值问题 8．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 在 中，， ． 将代入，得 ． 解得（舍）． ∴．点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则 ．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． ►题型三 线段最值问题 9．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．  (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． （1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为： ， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ； ►题型三 线段最值问题 9．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．  (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． ②设直线的解析式为， 将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点， 过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴ ， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ►题型三 线段最值问题 9．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．  (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为： ， ∵点是线段上的动点，∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴ ， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． ►题型三 线段最值问题 10．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． （1）解：把， 代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ►题型三 线段最值问题 10．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． ∵点C关于直线l的对称点为点D， 点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时， 最大， 即当点P在点时， 最大， ∴最大值为： ． ►题型三 线段最值问题 10．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． （3）解：过点M作轴， 过点C作于点D， 过点N作于点E， 如图所示：∵， ∴，∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，∴， ∴，∴， ►题型三 线段最值问题 10．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，， 则：， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，， 则：， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：；综上分析可知： 点M坐标为:或或或． ►题型四 周长最值问题 11．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． （1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴ 解得 ∴一次函数解析式为； ►题型四 周长最值问题 11．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为 ； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为: ， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长 ， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ►题型四 周长最值问题 12．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． （1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：，∴抛物线的解析式为： ，即； （2）解：∵抛物线的解析式为： ， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴，∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵，∴当时，四边形的周长最大， 则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； ►题型四 周长最值问题 12．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H， 过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵．∴， ∴， ∵对称轴于H，∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ►题型四 周长最值问题 12．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． ∴， ∴，∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴，设， ∴， ， ， ►题型四 周长最值问题 12．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 分两种情况： ①当时， ， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． ►题型五 特殊三角形存在性问题 13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．  (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． （1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当，∴， 设直线表达式为：， 则，解得：， ∴直线：， ∵，∴，， ∴， ∴ ►题型五 特殊三角形存在性问题 13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．  (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． ②存在， ， 而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； ►题型五 特殊三角形存在性问题 13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．  (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴，综上：是等腰三角形时， 或或； （3）解：在轴负半轴取点， 连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ►题型五 特殊三角形存在性问题 13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．  (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． ►题型五 特殊三角形存在性问题 14．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．  (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________ ； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 解得: ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令， 则: ， 解得: 或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时， x的取值范围为， （1）解：将、代入得， ， ►题型五 特殊三角形存在性问题 14．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．  (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________ ； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得，∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得，∴． 综上所述，存在符合条件的P点: ，． ►题型五 特殊三角形存在性问题 15．（2025·黑龙江绥化·中考真题） 综合与探究:如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴，解得， ∴； ►题型五 特殊三角形存在性问题 15．（2025·黑龙江绥化·中考真题） 综合与探究:如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （2）解：∵中， 当时，，∴， ∴设直线的解析式为， ∵，∴， ∴，∴， 设，则， 当时， ，， ∵，∴， ∴点P不存在； 当时 ，∴， 解得解得，或（舍去）， ∴，∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴，解得，或（舍去）， ∴，∴， 故点坐标为， 解得（舍去），或（舍去） ►题型五 特殊三角形存在性问题 15．（2025·黑龙江绥化·中考真题） 综合与探究:如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形．∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ►题型五 特殊三角形存在性问题 15．（2025·黑龙江绥化·中考真题） 综合与探究:如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或． ►题型五 特殊三角形存在性问题 16．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的 图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵，∴点A的坐标为， ►题型五 特殊三角形存在性问题 16．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ►题型五 特殊三角形存在性问题 16．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． ∴， ∴， 当轴时， ， ， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； （3）解： ∵为等边三角形， 点C与点B关于原点对称， ∴， ， ►题型五 特殊三角形存在性问题 16．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 当时， ， ， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴，∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． ►题型六 特殊四边形存在性问题  (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：将代入得， ，解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称，， 综上，， 反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则，， ， 解得：或（舍去）， ，则， 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． ►题型六 特殊四边形存在性问题  (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧，  此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线，此时点与点关于轴对称，则 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． ►题型六 特殊四边形存在性问题  (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点，设， 则， 在中，，解得， ，， 综上，点坐标为或或或． 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． ►题型六 特殊四边形存在性问题 ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴，∴； （1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （2）当时， 解得：，∴， ∵，∴设直线的解析式为： ，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则： 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． ►题型六 特殊四边形存在性问题 ∴， 即：， ∵，∴， ∴， ， ∴， ∵与的面积相等， 解得：或（舍去）； ∴； 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． ►题型六 特殊四边形存在性问题 则有与都为等腰直角三角形， ，由（2）可知， 直线的解析式为， 设， 直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴， 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． ►题型六 特殊四边形存在性问题 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形，∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． ►题型六 特殊四边形存在性问题 19．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．  (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵， 对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为: ， ∴， ∴； ►题型六 特殊四边形存在性问题 19．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．   (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在；∵， ∴当时，， ∴，设，， 由（1）知：；当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形， ，即轴，， ∴轴，∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴， 解得； ∴； ►题型六 特殊四边形存在性问题 19．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．  (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． ►题型六 特殊四边形存在性问题 20．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．  (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． （1）解；把 代入到中得： ，∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示， 当点P在下方时，∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； ►题型六 特殊四边形存在性问题 20．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．  (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． ∵，∴， ∴ 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， 设， ∴， 解得，∴； 设直线解析式为 ， ∴，∴， ∴直线解析式为， ►题型六 特殊四边形存在性问题 20．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．  (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 联立， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为；综上所述， 点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线，∵， ∴由对称性可得，∴， ∵，∴， ∴； ►题型六 特殊四边形存在性问题 20．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．  (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为 ， 当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴，∴， ∴ ． ∴此时点E的坐标为； ►题型六 特殊四边形存在性问题 20．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．  (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴，∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴，∴， ∴． ∴此时点E的坐标为；综上所述， 点E的坐标为或或． ►题型七 线段、面积存在性问题 21．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．  (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴，∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为: ， ∵， ∴，∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， ►题型七 线段、面积存在性问题 21．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．  (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 设， 则， ∴ ； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵， ， ∴当，即时，有最大值， 最大值为，∴的最大值为； ►题型七 线段、面积存在性问题 21．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．  (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ∵，∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； ►题型七 线段、面积存在性问题 21．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．  (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，∵抛物线解析式 为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，∴； ∵，∴； 设点Q的坐标为，则； ∴，∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． ►题型七 线段、面积存在性问题 21．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．  (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上，∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． ►题型七 线段、面积存在性问题 22．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． （1）∵抛物线顶点横坐标为，∴由顶点公式，其中 即∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时， 即解得或（舍去），故．当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后， 直线方程为． 与抛物线 联立： 整理得：，抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． ►题型七 线段、面积存在性问题 22．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． （3）抛物线对称轴为． 直线当时， 故．顶点当 故．点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. ►题型七 线段、面积存在性问题 22．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. ►题型七 线段、面积存在性问题 23．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．  (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为： ． （1）解：∵二次函数 的图像与x轴交于两点， ►题型七 线段、面积存在性问题 23．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．  (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 为二次函数 图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ，∴不存在实数m使得． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一： ►题型七 线段、面积存在性问题 23．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．  (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得 ． （3），或．解答如下： 如图，作轴， 交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴， 交于点，则． ►题型七 线段、面积存在性问题 23．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．  (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 当时， ． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ►题型七 线段、面积存在性问题 23．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．  (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ， 即． 解得或． ►题型八 角度存在性问题 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．  (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值；②当时，求原抛物线平移的距离． （1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得，解得， ∴抛物线的表达式， ►题型八 角度存在性问题 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (2)问在抛物线上是否存在点，使得？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （2）∵，∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接， 则：，∴， ∴， ∵，∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得 ，解得， ∴，设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点， 则：， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得或，∴； ►题型八 角度存在性问题 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (2)问在抛物线上是否存在点，使得？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ∵， ∴当时，， ∴，作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 解得 或 ， ∴； 综上：或； 联立， ►题型八 角度存在性问题 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． （3）①∵，∴， ∵，同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点， 作于点，则：， 作点关于轴的对称点，连接，则： ，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，，∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，∴， ∵， ∴， ∴； 同法可得：直线的解析式为， ►题型八 角度存在性问题 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵，∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等，设将抛物线向右和向上分别平移个单位， 得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为 ， ∴， 联立， 解得：，∴， ►题型八 角度存在性问题 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为．①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 作轴，交的延长线于点，∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为： ； 综上：抛物线的平移距离为． ►题型八 角度存在性问题 25．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．  (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． （1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中， 当时， 解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ►题型八 角度存在性问题 25．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．  (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合，∴ 当在的上方时， 作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上， ►题型八 角度存在性问题 25．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．  (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 同理可得直线解析式为 联立 解得： 或 ∴ 综上所述，抛物线上存在点， 使， 的坐标为， ►题型八 角度存在性问题 25．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．  (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． （3）解：如图， 在上取一点， 使得 ∴ 设， 则在中， ∴， 即 解得：∴ ∴ ∵， 在上取一点，使得，垂足为， ∴∴ 即, ►题型八 角度存在性问题 25．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．  (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 如图，作关于的对称点， 连接交于点  ∴ ∴当在上时取得最小值， 最小值为的长，在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． ►题型八 角度存在性问题 26．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．  (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：∵抛物线 过点， 且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴当，， 当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ►题型八 角度存在性问题 26．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．  (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． ∴联立， 整理，得： ， ∴当， 即：时，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，∴当过点时，， 解得：或， ∴当时， 抛物线与线段有公共点； ►题型八 角度存在性问题 26．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．  (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线 与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直，∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点， 在上取点，使，作轴， 轴，则： ， ， ►题型八 角度存在性问题 26．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．  (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为： ，即：， 联立， 整理，得：， ∴， ， ∵为的中点，∴， ►题型八 角度存在性问题 26．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．  (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 联立， 同理可得：， 假设存在点，使得总是平分， 如图，作， ∵平分，∴ ∴，∴， 设，则：，解得： ∴抛物线的对称轴上存在， 使得总是平分． ►题型九 函数含参 问题 27．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______；(2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． （1）解：∵， ∴当时，， ∴，∴； （2）解：∵， 点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，，∴； ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ►题型九 函数含参 问题 27．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． （3）解：∵，， 二次函数 （a，b，c是常数，且） 的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入， 得：，∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ►题型九 函数含参 问题 27．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． ►题型九 函数含参 问题 28．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． （1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴，解得； （2）解：由（1）可得函数 的解析式为 ， 函数的解析式为， 当时，则， 当，时，和恒成立， 故符合题意； 当时，则且， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得， 解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且，∴， ►题型九 函数含参 问题 29．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记， ． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． （1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴，∴． 设直线的解析式为 ， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； ►题型九 函数含参 问题 29．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记， ． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． （2）解：设直线的解析式为 ， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为 ， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； ►题型九 函数含参 问题 29．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记， ． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． （3）解：∵，∴ 由（2）得，∴ ∵，∴． ∴，，∴， ∵， ∴的解析式为， 的解析式为． ∴， 又∵， ∴ ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为： ，即 ． ►题型九 函数含参 问题 30．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．(1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． （1）解：把代入抛物线， 得解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4，∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； ►题型九 函数含参 问题 30．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．(1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由 得， 即． 解得．又当时， ， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． ►题型十 函数整点问题 31．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ）  A． B． C． D． 解：设直线的解析式为， 代入 ∴∴ ∴直线的解析式为 ∵，A. 当为时， 平移方式为向右平移个单位， 向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为 ，此时经过原点， 对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，∴直线平移后的解析式为 ， 此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， ►题型十 函数整点问题 31．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ）  A． B． C． D． C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为， 此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位， 向上平移个单位，∴直线平移后的解析式为： ， 此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， A ►题型十 函数整点问题 32．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．(1)求t的值；(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． （1）解：∵曲线过点．∴； （2）解：由（1）得，故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； ►题型十 函数整点问题 32．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．(1)求t的值；(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． ►题型十 函数整点问题 33．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：  (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数；②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． ►题型十 函数整点问题 33．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：  (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为 ______． （1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． ►题型十 函数整点问题 33．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． ►题型十 函数整点问题 33．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数；②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：， ： 联立解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ►题型十 函数整点问题 33．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数；②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． ②∵的顶点为，∴的解析式为 ， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时， 其它个“整点”是对关于点对称的点， 即和，和，和，和， ►题型十 函数整点问题 33．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数；②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 此时，当过时，满足题意， 即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时， 其它个“整点”是对关于点对称的点， 在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时，如图， 的取值范围是． ►题型十一 函数新定义问题 34．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． ►题型十一 函数新定义问题 34．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． 解：（1）①对于，由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得，解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． ③ ►题型十一 函数新定义问题 34．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线 得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； ►题型十一 函数新定义问题 34．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为： 在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． ►题型十一 函数新定义问题 35．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．  (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． （1）解：把代入， 得：，∴； ►题型十一 函数新定义问题 35．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （2）由（1）可知： ，∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴， ， ∴； ►题型十一 函数新定义问题 35．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式；②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 由（2）可知：，， 对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限，∴， 当时， 抛物线弧的最高点为，最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； 当时， 抛物线弧的最高点为，最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ，∴； （3）①当时，， 当时， ，∴，， ►题型十一 函数新定义问题 35．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． 当时，抛物线弧的最高点为， 最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； 综上：； ②∵轴，∴关于对称轴对称， ∴，当时， 抛物线弧的最高点为，最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； ∵，∴， 解得：（舍去）或； ①求关于的函数解析式；②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． ►题型十一 函数新定义问题 35．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式；②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． ∴； 当时， 抛物线弧的最高点为，最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； ∵，∴， 解得：或（舍去）； ∴； 当时， 抛物线弧的最高点为，最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为 ：， ∴； ∵， ►题型十一 函数新定义问题 35．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式；②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． ∴， 解得：（舍去） 或； ∴ 综上：或． ►题型十一 函数新定义问题 36．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． ►题型十一 函数新定义问题 36．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点___是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； （1）解：①根据定义可得：当在上时， 不存在都有， 当在内部时，过的直径使得的关联角度为， 当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于， 与的关联角度为， 与的关联角度大于，  ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴∴， 即与的关联角度为 ►题型十一 函数新定义问题 36．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴ ， ∴的最小值为， ►题型十一 函数新定义问题 36．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵，∴当时， 由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点， 线段上所有的点都是的关联点， 则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ►题型十一 函数新定义问题 36．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时， 如图，∴ （不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部， 此时 ►题型十一 函数新定义问题 36．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、角或平角） (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． ④当在半径为的圆， 如图，设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述， 或或． ►题型十二 函数与几何图形综合 (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； 37．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为_____ ； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． （1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ►题型十二 函数与几何图形综合 (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； 37．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为_____； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． （2）①∵平移， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时， 此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ►题型十二 函数与几何图形综合 (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； 37．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为_____； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． ②当时， 则重叠的部分为四边形， 如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴ ， ∴当时，的值最小，为； ∴；设交轴于点 则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为，∴； ►题型十二 函数与几何图形综合 (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； 37．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为_____； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 当， 随着的增大而减小， ∴当时，有最小值， 此时点轴，如图：此时重叠部分为五边形， ， ∵， ，∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ►题型十二 函数与几何图形综合 (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； 37．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为_____； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． ∴， 同法可得： ， ∴ ； 综上：． ►题型十二 函数与几何图形综合 38．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． （1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上， 则 ，解得， ∵点在反比例函数 的图象上， ∴，解得，则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，  则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ►题型十二 函数与几何图形综合 38．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． ∵，∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ►题型十二 函数与几何图形综合 38．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． ∴， ∵，∴， 过点C作交于点P， 过点P作轴于点K， 过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴，则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ►题型十二 函数与几何图形综合 38．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 设直线的解析式为 ， 则， 解得，∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴， 解得，或， ∵D的横坐标大于1，∴， ∴， 故点． ►题型十二 函数与几何图形综合 39．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．  (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． （1）解：当重合时，如下图： ， 以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， 7 ►题型十二 函数与几何图形综合 39．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．  (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 7 （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时， 即点在线段上运动，如下图： ， ，， ，， ，解得：， ， ； ►题型十二 函数与几何图形综合 39．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．  (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 7 ， ， 即， 解得：， ， ． ►题型十二 函数与几何图形综合 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点． (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为． 设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． （1）解：∵，，， ∴四边形的面积 ； （2）∵在中，分别是的中点，∴是的中位线， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴当四边形的面积最大时，的面积最大， ►题型十二 函数与几何图形综合 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点． (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为． 设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 过点作，过点作， 则：，  ∵四边形的面积 ∴四边形的面积最大， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，最大为； ►题型十二 函数与几何图形综合 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点． (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为． 设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． （3）直线是过定点： 由（2）知：， ∴ ， ∴， 设， ∵，∴为的中点， ∵过点的直线与直线交于点， ∴，∴， ∴， 设， ►题型十二 函数与几何图形综合 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点． (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为． 设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． ∴ ， 解得：， ∴直线：， 即：， ， ∴当， 即：时，， ∴直线过定点． 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．  (1)求证：；(2)若点C的坐标为，求直线的解析式． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．  (1)求证：；(2)若点C的坐标为，求直线的解析式． （2）解：∵，∴， 设直线的解析式为：， 把A，C坐标代入得： 解得， ∴直线的解析式为， 令，可求得， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，把和的坐标代入得： 解得：， ∴直线的解析式． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为．  (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． （1）解：如图，过点B作于H，  ∵，，， ∴，由题意可知，， 当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， ∴； 当时，， 当时， ， ∴综上所述：； ； 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为．  (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． （2）解：图象如图所示，即为所求：  函数的性质： 当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小； （3）解：根据图象可得： 当或时， ． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．  (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． （1）解：过点作轴于，对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， 当时， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； ， 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； （2）解：设，则， ，， ， ， 解得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时， ， ； 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． （3）解：所有符合条件的点的坐标 为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形 是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得，； 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得，； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． 解： （1）将点代入一次函数，得，解得， ∴一次函数的表达式为． 点在反比例函数的图象上，∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）联立，解得， ∴， 令，由得，∴， 令，由得，∴， 设，①当为对角线时，的中点重合，∴ 解得， 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． ②当为对角线时， 的中点重合， ∴，解得， 经检验，符合题意． 此时点的坐标为； 经检验，符合题意， 此时点的坐标为； ③当为对角线时， 的中点重合， ∴，解得， ∴这种情况不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． （3）解：设， ①如图1，当时， ， ∴，∴， 作轴，作轴， 则， ∴， ∴，∴， ，∴，， ∴，∴， 即，∴ ∴，∴， ∴ ③如图3，当时， ， 过点作轴于点Q，如图， ， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴点的坐标为， ∴． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． ②如图2，当时，同①可得： ． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． ④当时， ，  同③可得： ． 综上所述，线段的长为或． 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． （1）解：抛物线与x轴交于、， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为： ； 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； （2）解：如图，过P作轴交于交于F，延长交于G，  ∴轴，∴， 当时，，∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴，， ∴，∴， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； 设， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ， ∴，∴， ∴，∴， ∴ ， ∴ ， 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； ∴ ， ∵， 当时， 取最大值， 此时， ∴， 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； 如图，过轴，过P作， 过K作轴交于H， 作交于， ∴轴，四边形、、均是矩形， ∴， ，∴， 在中， ， ∴∴， ∴， ∴， 如图，当P、K、三点共线时，的值最小，此时， ∴的最小值为3； （3）解：∵， 该抛物线沿射线方向平移个单位， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位长度， ， ∴平移后的对称轴为直线， 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． ①当E在x轴上方时，如图， 过E作轴交于N， 过A作轴交于T，交于S， ∴， 四边形、、是矩形， ，， ∴， ，，， 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． ∴，∴， 设，则， ∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，∴， 解得：，（舍去）， ∴，设，， ∴， 在中，， 即， （舍去），∴； 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． ②当E在x轴下方时，如图，   同理可求：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述， E的坐标为或． 6．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． （1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为 ； ∵， ∴点； 6．（2025·黑龙江·模拟预测） 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； （2）解：如图， ∵在中，，  ∴当点A，D，P在同一条直线上时， ，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得， ∴解得， ∴点； 6．（2025·黑龙江·模拟预测） 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； （3）解：∵，，， ∴， ， ∵点E在第二象限抛物线上， 且， ∴为的平分线， ∴， 如图，过点D作交的延长线于点F，  ∴， ∴， 则为等腰三角形， ∴, ∴， 设直线的解析式为， ∴将，代入得， 6．（2025·黑龙江·模拟预测） 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； ，解得：， ∴， 联立， 解得：（与点B重合，舍去）， 或 ， ∴； 6．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； 4）解： 存在点M，使得为等腰三角形， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ①当时， 此时， ∴， ∴； 6．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； ∵， 即 ， 解得：； ③当时， 此时点M与点B重合， ∴不符合题意，∴此情况不存在； ∴的长为1或． ②当时， ∴， ∴， ∴，解得：， 6．（2025·黑龙江·模拟预测） 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． （5）解：如图： ∵点F在x轴下方，， ∴点F在上，过点A，O， 且始终为，设圆心，半径为r， ∴点Q在的垂直平分线上， ∴，即， ∵，∴，， ∴为等腰直角三角形，即 ， 解得：或（不合题意舍去）， ∴， ， ∵最小值为， ∴， ∴最小值为． 7．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作 轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：∵， ∴当时，， 当时， ， 解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：，∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； 7．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作 轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在，设点， ∵ ， ∴， ∵，∴ ； ①当点为直角顶点时： ， 解得：，∴； ②当点为直角顶点时， ， 解得：，∴； ③当点为直角顶点时 ：， 解得：或，∴或； 综上：或或或． 8．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空： ①点的坐标是 ； ②点的坐标是 ； ③点的坐标是 ； ④点的坐标是 ； （结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果， 发现规律，求点的坐标． （1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是 8．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空： ①点的坐标是 ； ②点的坐标是 ； ③点的坐标是 ； ④点的坐标是 ； （结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果， 发现规律，求点的坐标． （2）解：由（1）知，， 且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 9．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）存在，理由如下：由（1）知： 点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时， 点的坐标为，； ②如图，当时， 过点作轴于点，易证四边形为矩形， （1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上，， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； 则， ， 点的坐标为， 综上所述， 存在满足要求的点，点的坐标为： ，，．   9．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 则， ， 点的坐标为， 综上所述， 存在满足要求的点，点的坐标为： ，，．   $