系统沉淀训练15直线和圆-2026届高三数学三轮冲刺

系统沉淀训练15直线和圆——2026届高三数学三轮冲刺（详解版） 主要考点：【1】直线和方程；【2】圆与方程；【3】直线和圆的位置关系；【4】圆和圆的位置关系. 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 2．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 3．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． 4．（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【详解】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以， 圆心到直线的距离，且易知， ，所以， 所以． 5．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的弦长与中点弦 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 6．（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】由题意得直线过定点，圆心为，所以与垂直时，最小，以此求解即可. 【详解】由题意得，则直线过定点，圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点， 且与垂直时，最小，此时，且，则. 7．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 8．（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 二、多选题 9．（2026·安徽滁州·二模）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、圆的公切线条数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】将代入直线计算可得A；结合两直线位置关系及所过定点计算可得B；利用圆的性质及点到直线距离公式计算可得C；求出两圆圆心距离及半径之和可得两圆位置关系，即可得D. 【详解】对A：将代入，可得， 故直线必过点，故A正确； 对B：对，令，则，故过点， 又，故与垂直， 结合直线过点，可得点在以为直径的圆上， 圆心为，半径， 故点在圆上，故B正确； 对C：由B知，点在圆上， 由斜率存在，故的轨迹不过点， 故点的轨迹方程为，且不过点， 的轨迹所在圆的圆心为，半径， 到直线距离， 则点到直线距离最小值为， 由图可得，此时点不为，故C错误； 对D：圆的圆心为，半径， 则，， 故圆与圆相外切， 即有三条公切线，故D正确. 10．（2023·湖南·模拟预测）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BD 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、圆的公切线条数 【分析】判断出两圆的位置关系即可判断A，由两圆的方程作差，即可判断B，由圆的弦长公式即可判断C，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 对于B，做差可得与相交弦的方程为，故B正确； 对于C，到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为，故C错误； 对于D，若，分别是圆，上的动点， 因为， 则，故D正确. 故选：BD 11．（2025·福建厦门·三模）过点的直线交圆于点P，Q，交圆于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、圆的弦长与中点弦 【分析】根据图形特征计算判断A，B，根据向量数量积公式计算判断C，D. 【详解】A选项：，，均为钝角， 因为，则，故，A选项正确. B选项：同上述分析可知，所以. 因为，所以，，B选项正确. C选项：取中点，则 ，C选项错误. D选项：因为，所以. 由B选项的分析可知，， 所以，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 【答案】/ 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由求得的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值. 【详解】设， 由题意得， 整理得， 所以的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为在直线上， 所以与相切或相交， 则到的距离， 解得， 故c的最大值是. 13．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系内，圆，若直线绕原点逆时针旋转后与圆恰有两个交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先求旋转后的直线，再根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】直线的斜率为1，过点， 绕原点逆时针旋转后，斜率为，过点， 得到直线，若该直线与圆存在两个公共点， 则圆心到直线的距离， 解得，即的取值范围是． 14．（2026·湖北宜昌·二模）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 15．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出圆的圆心和半径，由已知可得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，并求出的范围，再结合圆的性质建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交， 则，即，令圆心到直线的距离为， 于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点， 使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 16．（2026·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，______. 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、求平面轨迹方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出点的轨迹方程，判断出当取最大值时点的位置，结合直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】设. 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 则当取最大值时，与圆相切，则. 在中，， 所以. 17．（2026·四川·二模）若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】利用点到直线的距离公式求出弦心距，结合题意和直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】依题意，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点，是圆与到直线距离为的两条平行直线的交点， 圆心到直线的距离， 则圆心到的距离分别为和， 因为交点刚好有个，所以其中一条直线与圆相切，另一条与圆相交， 故半径应等于中较大的一个，即， 所以直线被圆截得的弦长为. 18．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为__________. 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标与准线方程，从而确定圆的圆心与半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意得的焦点为，准线为， 故圆的圆心为，则半径， 则圆的标准方程为. 故答案为：. 19．（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为_______. 【答案】 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解. 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 20．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为__________. 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、已知切线求参数 【分析】求出过点且与直线垂直的直线方程，再令求出，即可得解. 【详解】设过点且与直线垂直的直线为， 则，解得， 所以，即圆心在直线，又圆心在轴上， 令，可得，所以圆心坐标为. 故答案为： 21．（2025·浙江·二模）已知P是直线上的任意一点，若过点P作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为_____. 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】画出图形并根据所求角的范围可知当时，劣弧最小，即可得出劣弧长度的最小值. 【详解】如下图所示： 易知圆心到直线的距离为， 在直角三角形中，，， 所以，所以； 因此可知当时，劣弧最小， 此时，即可得； 所以劣弧AB长度的最小值为. 故答案为： 22．（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为__________． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】由直线的方向向量设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】因为直线的方向向量为，所以设直线方程为，即， 又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以直线方程为. 故答案为： 23．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 系统沉淀训练15直线和圆——2026届高三数学三轮冲刺（学生版） 主要考点：【1】直线和方程；【2】圆与方程；【3】直线和圆的位置关系；【4】圆和圆的位置关系. 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·安徽滁州·二模）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 10．（2023·湖南·模拟预测）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 11．（2025·福建厦门·三模）过点的直线交圆于点P，Q，交圆于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 13．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系内，圆，若直线绕原点逆时针旋转后与圆恰有两个交点，则的取值范围是___________． 14．（2026·湖北宜昌·二模）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 15．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 16．（2026·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，______. 17．（2026·四川·二模）若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 18．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为__________. 19．（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为_______. 20．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为__________. 21．（2025·浙江·二模）已知P是直线上的任意一点，若过点P作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为_____. 22．（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为__________． 23．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $