2026年九年级中考数学复习圆的切线证明专项训练

2026年九年级中考数学复习圆的切线证明专项训练 1.如图，P是⊙0外一点，PA是⊙0的切线，A是切点，B是⊙0上一点，且PA=PB,延 长BO分别与O0、切线PA相交于C、Q两点. (1)求证：PB是O0的切线： (②)QD为PB边上的中线，若AQ=4,CQ=2,求QD的值. 2.如图所示，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点P. (I)仅用无刻度的直尺和圆规作图：过点P作⊙O的切线，并交AC于点D,(保留作图痕迹， 不写作法) (2)求证：所作切线与⊙0相切 (3)若AB=8,BC=12,利用相似的知识，求CD的值， 3.如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，点M是⊙0外一点，过点C作⊙0的切线 MN,交AB的延长线于点N,连接AM,AM=CM. (1)求证：AM是⊙0的切线； (②)点D是AM的中点，连接DN,若CN=4,BN=2,求DN的长. 4.如图，AB是⊙O的直径，AC是OO的切线，切点为A,BC交OO于点D,点E是AC 的中点，连接DE. 试卷第1页，共3页 A D B (1)求证：DE是O0的切线； (2)若00的半径为2，∠B=45°，AC=4,求图中阴影部分的面积. 5.如图，M4是⊙0的切线，点A为切点，连接OM交OO于点D,过点A作AB‖OM交 OO于点B,连接BO并延长交OO于点C,连接MC,BD,CD. B M C (1)求证：MC是⊙0的切线. (②若am∠CBD2CD=25,求线段cw的长. 6.如图，MA是⊙0的切线，点A为切点，连接OM交⊙O于点D,过点A作AB‖OM交 OO于点B,连接BO并延长交⊙O于点C,连接MC,BD,CD, (1)求证：MC是⊙0的切线. (2)若CD=2√5，BD=4V5,求CM的长. 7.如图，C是以AB为直径的O0上一点，F为BC的中点，过点C作⊙O的切线交OF的 延长线于点E,连接BE,BC,BC交OF于点D, 试卷第1页，共3页 (1)求证：BE是OO的切线： (2)若DF=2,∠EOB=60°，求线段OE的长； (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积. 8.如图，AB为OO的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C,过点 O作OE∥AD交CD于点E,连接BE. D (I)求证：直线BE是OO的切线； (2)若CA=2,CD=4,求O0的半径及DE的长 9.已知：如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，过O作OG⊥CD于点G,过点C作 OO的切线CP交OG的延长线于点P,连接PD. (1)求证：PD是⊙0的切线： 接AD、BC,若LDAB74，LCBA=46°，OB=,求O 10.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点F,过A点作⊙O的切线m,在m上取一点 P,使PA=PD,直线DP与BA的延长线交于点Q,QD=3√5，A=3. 试卷第1页，共3页 B D (1)求证：直线QD是⊙0的切线： (2)求00的半径和DC的长 11.如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，点D在BA延长线上，且∠DCA=∠ABC. B (1)求证：DC是O0的切线： (2)若00的半径是3，∠D=31°，求切线DC的长. (结果取整数，参考数据：sin31°≈0.52，c0s31°≈0.86，tan31°≈0.6) 12.如图，在O0中，直径BC=2,点D为AB与圆周的交点(A在C点左侧)，连接0D, OE平分∠COD,AC是O0O的切线，连接DE. B D A (1)求证：DE是O0的切线： ②若4B=5 3求BD的长 13.如图，点D在OO的直径AB的延长线上，点C在O0上，AC平分∠DAE,AE⊥CD于 点E. 试卷第1页，共3页 E F (1)求证：CD是O0的切线 (②)DF是⊙0的切线，F为切点，若BD=2,∠ADE=30°，求AF的长 14.如图，AB是00的切线，C是00上一点，且∠A0C=120°，AB=√5A0,D是⊙0上 的动点，连接OD,AD,BC,CD,BD.BD所在的直线与OA所在的直线相交于点E. E B A (1)求证：BC是O0的切线 (2)若⊙0的半径为2，当OD∥AB时，求OE的长. 15.如图，AC为OO的直径，CB是⊙O的切线，CB>AC,D为AB的中点，E在BC上， CE<BE,连接DE,DE=BC 2 D C E ()求证：DE为OO的切线： (2)若CE=2,EB=8,求O0的半径. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(①)见解析 (2)√73 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助 线是解题的关键 (1)连接OA,先证明a0BP≌a0AP(SSS),则∠OBP=∠0AP,继而求出∠OBP=90°， 可推导出PB是OO的切线，即可解答： (2)设0A=r,得到r2+42=(r+2)2,求出r=3,则OA=3,BC=6,设BP=x,则 AP=x,得到x2+(6+2)2=(x+4)2,解得x=6,则QD=VBQ+BD2=√73，即可解答. 【详解】(1)证明：连接0OA, ○ 在AOBP和△OAP中， PA=PB OB=OA, OP=OP .△0BP≌a0AP(SSS）, .∠OBP=∠OAP, :PA是⊙0的切线，A是切点， .∠0AP=90°， .∠0BP=90°， OB是半径， .PB是⊙O的切线； (2)A0=4,C0=2,∠0AP=90°， .∠OAQ=90°， 设00的半径为r, 则0A=r,Q0=OC+CQ=r+2, 答案第1页，共2页 .0A2+AQ2=0Q2, .r2+42=(r+2)2, 解得r=3, OA=3,BC=2r=6, .BO=BC+CO=8. 设BP=x,则AP=x, .PO=AP+AO=x+4, ∠0BP=90°， :BP2+BO2=PO2, .x2+(6+2)2=(x+4)2, 解得x=6, .BP=6, :QD为PB边上的中线， .BD=1BP=3. 2 .QD=VBQ+BD2=√73， 即QD的值是√3. 2.(1)作图见解析 (2)证明见解析 号 【分析】本题考查了切线的画法及证明，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟 练掌握知识点是解题的关键， (1)连接OP,过点P作OP的垂线1即可； (2)根据切线的判定定理即可求证： (3)证明△ABP∽△PCD,进而根据相似三角形的性质解答即可求解： 【详解】(1)解：如图所示，直线I即为所求： 答案第1页，共2页 (2)证明：：DP10P,OP是O0的半径， :直线1是⊙0的切线， 即直线1与00相切： (3)解：连接AP,如图， ○ B :AB为O0的直径， LAPB=90°， ∴.∠APC=90°， .∠APD+∠CPD=90°， :DP⊥OP, ∠0PD=90°， .∠APD+∠AP0=90°， .∠CPD=∠AP0, :0A=0P, :∠OAP=∠AP0, :∠OAP=∠CPD,即∠BAP=∠CPD, :AB=AC,AP⊥BC, BP=CP=BC=6,∠B=∠C, 2 .AABP∽aPCD, :AB、BP CP CD 即8、6 6CD’ 答案第1页，共2页 :.CD=9 2 3.(1)见解析 (2)√73 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的 关键 (1)OC,利用等腰三角形性质可知LOCA=∠0AC,∠ACM=∠AMC,因为MN是⊙0的 切线，所以∠0CM=90°，则可证∠0AM=90°，题目可解； (2)设半径为x,在RtaOCN中用勾股定理可求出半径，设AM=CM=a,在RtaAMN中 利用勾股定理求出AM,则AD可求，再利用勾股定理求出DN即可. 【详解】(1)解：连接0C, :0A=0C, .∠OCA=L0AC, AM =CM, LACM=∠AMC, :MN是⊙0的切线， .L0CM=90°， .L0CA+∠ACM=∠0AC+∠CAM=90°， 即∠0AM=90°， :A在00上， AM是O0的切线； (2)解：设0B=0C=x, :CN是⊙O的切线， ∠0CN=90°， 在RtAOCN中， OC2+CN2=ON2 答案第1页，共2页