第04讲 一元二次方程根与系数的关系和应用（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 一元二次方程根与系数的关系和应用（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系# 数学语言 如果,是一元二次方程 的两个根，那么+=−𝑏𝑎，⋅=𝑐𝑎 。 文字语言 一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 使用条件 （1）方程是一元二次方程，且要化为一般形式；（2）方程有实数根，即𝑏²−4𝑎𝑐≥0 。 示例 一元二次方程根与系数 的关系的推导 【知识点02】列一元二次方程解应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的数量关系。 等量关系往往体现在关键词句中。 ②设 设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法。 有单位的要带单位。 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据数量关系列出方程。 方程两边单位要统一。 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值。 一般不必写出解方程的过程。 ⑤验 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。 一般两个根中只有一个符合实际意义。 ⑥答 写出实际问题的答案。 注意语句完整。 2.常见实际问题中的数量关系及表示方法 常见问题 数量关系及表示方法 平均增长率（降低率）问题 𝑎为起始量，𝑏为终止量，𝑛 为增长（或降低）的次数。 平均增长率公式：𝑎(1+𝑥)=𝑏(𝑥为平均增长率) 。 平均降低率公式：𝑎(1−𝑥)=𝑏(𝑥为平均降低率) 。 传播问题 𝑎为传染源数，𝑥为每个传染源传播的个数，则传播𝑛 轮后感染的总个数为𝑎(1+𝑥) 。 几何图形的面积问题 涉及的知识点有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形（三角形、长方形、正方形、梯形、圆等）的面积或周长公式等。 当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形 数字问题 若一个两位数十位上的数字是𝑎,个位上的数字是𝑏 ，则这个数可以表示为10𝑎+𝑏 ；若一个三位数百位上的数字是𝑎,十位上的数字是𝑏，个位上的数字是𝑐 ，则这个数可以表示为100𝑎+10𝑏+𝑐 。 商品销售 利润问题 毛利润=售价-进价；毛利率=×100% ； 总毛利润=总销售额-总成本=单件毛利润× 总销量。 【题型一】一元二次方程的根与系数的关系 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系．根据完全平方公式可变形为，再利用完全平方公式可得，最后利用根与系数的关系即可解答． 【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得： ， 再利用完全平方公式可得， 故原式， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式， 故选：B． 例2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程中，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ，，， ； 故选：C． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了不等式的性质，一元二次方程根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，从而把用， 表示出来，最后利用不等式的基本性质求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 变式3．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知a、b是方程的两个根，求的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数c的最大值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟记根与系数的关系为，是解题的关键． （1）将进行整理得到，再根据根与系数的关系，得到的值，然后利用完全平方公式，即可解答； （2）进行变形可得，，逆用根与系数的关系，可得是的两个解，再利用根的判别式即可解答； 【详解】（1）解： 由a、b是方程的两个根， 可得，， ； （2）解：∵，， ∴，， 是的解， 根据根的判别式可得， 整理得, 解得， 正数的最大值为． 【题型二】传播问题(一元二次方程的应用) 例3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可． 【详解】解：设每人给y人发短信， 由题意得：， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）请根据图片内容，回答下列问题： (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ (2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？ 【答案】(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人 (2)第三轮将新增1210名感染者 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可； （2）根据（1）中的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了x个人． 则可列方程：． 解得，（舍去）． 答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人． （2）（名）． 答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键． 【题型三】增长率问题(一元二次方程的应用) 例4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年共植树400棵，第三年共植树676棵”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即x的值为． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）温州大力推进“以旧换新”政策，某店月销售额从一月份的万元增长到三月份的万元．设这两个月的月销额平均增长率为，根据题意可列出方程： ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个月的月销额平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两个月的月销额平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为万人，5月3月的游客人数为万人． (1)求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率； (2)5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？ 【答案】(1) (2)万人 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为，根据5月1日和5月3日的人数建立方程求解即可； （2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为， 由题意得， 解得：，（舍去） 5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为． （2）解：设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人， 由题意得， 解得：， 答：平均每天游客人数最多是万人． 【题型四】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 例5．（23-24八年级下·浙江金华·月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为（   ）． A．15 B．10 C．15或10 D．不能确定 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设长度为，则，根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设长度为，则，由题意，得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：长度为； 故选A． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设的长为米，则米，再根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：设的长为米，则米， 由题意得，， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：，不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 【题型五】数字问题(一元二次方程的应用) 例6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为， 根据题意，可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 【题型六】营销问题(一元二次方程的应用) 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每个电子产品降价x元，则销售量为件，每个的利润为元，根据每个的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了-元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润等于每箱的利润乘以平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价应定为8元或12元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握利润、进价、售价、销量的关系是解题的关键． （1）根据利润售价进价和“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”填空； （2）根据总利润等于每千克利润乘以销量，由此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：每千克水果的利润：（元）， 每天的销售量：（千克）， 故答案为：，； （2）解：由题意知，． 化简得：． 解得，． （元），（元）， 答：单价应定为8元或12元． 【题型七】动态几何问题(一元二次方程的应用) 例8．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式1．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)为5或7 (2)为或 (3)为4或8 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间节点． （1）分别用含的代数式表示，的长，利用面积公式列方程求解即可． （2）分别用含的代数式表示，的长，利用勾股定理列方程求解即可． （3）当，P，Q都没有返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示出，的长，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，，， ∴， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∴ 整理，得 解得， ∴当为5或7时，的面积等于； （2）根据勾股定理，得 整理，得 解得 故当为或时，的长度等于； （3）①当时， 由题意，得 ， 解得： ②当时，， 由题意，得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时，， 由题意，得， 整理得， ∴ ∴方程无解 综上所述，当为4或8时，的面积等于． 【题型八】行程问题(一元二次方程的应用) 例9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 变式1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 【答案】24 【知识点】用勾股定理解三角形、行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 变式2．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 【题型九】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 例10．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意，得，即， 故选C． 变式1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江温州·月考）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 【题型十】其他问题(一元二次方程的应用) 例11．（23-24八年级下·浙江温州·期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）某数学竞赛组，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张，则该组的人数是 ． 【答案】10 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设该组的人数是人，则每个人需要照张相片，根据“每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该组的人数是人，则每个人需要照张相片，根据题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 该组的人数是10， 故答案为：10． 变式2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 【答案】(1)10； (2)小哲说的有道理，理由见解析； (3)13． 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由见详解； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，符合题意， ∴共有13名参赛者报名本次比赛． 一、单选题 1．已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 2．一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ，． 故选：B． 3．使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的矩形，求这个矩形的两边长．设墙的对边长为，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据各边之间的关系，可得出墙的邻边长为，再利用矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵铁丝网的总长度为15m，墙的对边长为， ∴墙的邻边长为， 根据题意得： 故选：B． 4．已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ） A．6 B． C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入求解即可 【详解】解：∵实数满足， ∴、是方程的两个根， ∴， ∴ ∵，且， ∴的最小值是， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． 5．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 6．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利，即可得出方程． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 7．903班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2070张，如果设903班有x个学生，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人向本班其他同学各赠送一张，送出的相片总共2070张可列出方程． 【详解】解：设903班有x个学生，则每名同学要送出一寸相片张， 根据题意得． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，继而，那么，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 9．某药品原价每盒元，连续两次降价后售价为元，则该药品每次平均降价率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该药品每次平均降价率为，根据题意得 解得：或（舍去） 故选：C． 10．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 方程有两个实数根，且，可转化为二次函数与直线的交点问题，通过分析函数性质，由于，抛物线开口向下，且在和处函数值为负，两个根均位于区间内，因此满足． 【详解】解：对于二次函数，令得，， 由于，则令或， 解得或， 即二次函数与轴的交点坐标为和， 由于，在内，，且顶点在处，顶点值， 函数大致图象如下： 为使有两个实根，需二次函数顶点值大于， 即， 解得（满足）， 因此，一元二次方程的两个实数根在到之间，即， 故选：A． 二、填空题 11．利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？若设与墙垂直的边长为x米，由题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设与墙垂直的边长为x米，则长为，根据矩形的面积为，列方程求解． 【详解】解：设与墙垂直的边长为x米，则宽为， 由题意得，， 故答案为：． 12．已知关于的一元二次方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握韦达定理是解题关键． 利用韦达定理，先建立两根之间的数量关系，再代入已知根求解另一根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 已知方程的一个根为， 由韦达定理，可得， 解得． 故答案为：． 13．如图是第十四届国际数学教育大会（－）会徽，在其右下方的卦是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制数转换成十进制数的计算方式为：，十进制数 表示 －的举办年份，而十进制数正好是你进入初中的年份，请将十进制数换算成八进制数是 ．数学组设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值是 ．（已知 ） 【答案】 9 【分析】本题考查了有理数的运算以及利用平方根解方程等知识，根据题意列出关于n的方程是解答本题的关键．根据十进制换算成八进制的方法即可作答；根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， 十进制数换算成八进制数是． 根据题意：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故n的值为9． 故答案为：3751，9． 14．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得，， 故答案为：． 15．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系求代数式值．熟练掌握根与系数的关系，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程的两根分别为，，得，，变形，代入即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．某生物实验室培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个．则每轮培育平均每个有益菌可分裂成 个有益菌． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用．设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成个有益菌，则第一轮分裂后有个，第二轮分裂成个，第二轮后有24000个，建立方程求出其解就可以． 【详解】解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成个有益菌， 由题意，得 ， 解得，， ， ． 所以每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成20个有益菌． 故答案为：20． 三、解答题 17．一件商品原价为100元，经连续两次降价，现价为81元，每次降价的百分率均相同，求此百分率． 【答案】 【分析】设百分率为x，根据“原价为100元，经连续两次降价，现价为81元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设百分率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴百分率为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 18．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为18000个，1月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到21780个． (1)求口罩日产量的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 【答案】(1)口罩日产量的月平均增长率为10% (2)预计4月份平均日产量为23958个 【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解； （2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为21780个，即可预计4月份平均日产量． 【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x， 根据题意，得18000（1＋x）2＝21780， 解得x1＝−2.1（舍去），x2＝0.1＝10%， 答：口罩日产量的月平均增长率为10%； （2）解：21780×（1＋10%）＝23958（个）． 答：预计4月份平均日产量为23958个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 19．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握如果一元二次方程程的两个根分别是，那么是解题的关键． （1）直接根据公式求解即可； （2）先化为一般式，将化为，再求出值，代入即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解： ， 则， 而， ∴． 20．某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式． (2)该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)7元 【分析】（1）观察函数图象，根据各点的坐标，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式； （2）利用销售这种榴莲获得的总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，结合为了让顾客得到更大的实惠，即可确定x的值，再将其代入y=5x+50中即可求出销售这种榴莲的数量． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 将（2，60），（4，70）代入y=kx+b得： ，解得， ∴y关于x的函数解析式为y=5x+50（0＜x＜10）； （2）解：依题意，得（40-x-20）（5x+50）=1105， 整理得，解得，． 又∵要让顾客得到更大的实惠， ∴， 答：这种榴莲每千克应降价7元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 22．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)元 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元； （2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为，则： ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 23．某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． (1)若参加研学活动的学生共人，求学生人均研学费用； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 【答案】(1)学生人均研学费用为元 (2)学校这次到该景点参加研学活动的学生有人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列式计算即可； （2）设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，根据共支付给旅行社38940元其中随队的领队、教师共人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，（元）， 答：学生人均研学费用为元； （2）解：设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，则学生人均研学活动费用为： 元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：学校这次到该景点参加研学活动的学生有人. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元二次方程根与系数的关系和应用（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系# 数学语言 如果,是一元二次方程 的两个根，那么+=−𝑏𝑎，⋅=𝑐𝑎 。 文字语言 一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 使用条件 （1）方程是一元二次方程，且要化为一般形式；（2）方程有实数根，即𝑏²−4𝑎𝑐≥0 。 示例 一元二次方程根与系数 的关系的推导 【知识点02】列一元二次方程解应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的数量关系。 等量关系往往体现在关键词句中。 ②设 设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法。 有单位的要带单位。 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据数量关系列出方程。 方程两边单位要统一。 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值。 一般不必写出解方程的过程。 ⑤验 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。 一般两个根中只有一个符合实际意义。 ⑥答 写出实际问题的答案。 注意语句完整。 2.常见实际问题中的数量关系及表示方法 常见问题 数量关系及表示方法 平均增长率（降低率）问题 𝑎为起始量，𝑏为终止量，𝑛 为增长（或降低）的次数。 平均增长率公式：𝑎(1+𝑥)=𝑏(𝑥为平均增长率) 。 平均降低率公式：𝑎(1−𝑥)=𝑏(𝑥为平均降低率) 。 传播问题 𝑎为传染源数，𝑥为每个传染源传播的个数，则传播𝑛 轮后感染的总个数为𝑎(1+𝑥) 。 几何图形的面积问题 涉及的知识点有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形（三角形、长方形、正方形、梯形、圆等）的面积或周长公式等。 当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形 数字问题 若一个两位数十位上的数字是𝑎,个位上的数字是𝑏 ，则这个数可以表示为10𝑎+𝑏 ；若一个三位数百位上的数字是𝑎,十位上的数字是𝑏，个位上的数字是𝑐 ，则这个数可以表示为100𝑎+10𝑏+𝑐 。 商品销售 利润问题 毛利润=售价-进价；毛利率=×100% ； 总毛利润=总销售额-总成本=单件毛利润× 总销量。 【题型一】一元二次方程的根与系数的关系 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 例2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为 ． 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是 ． 变式3．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知a、b是方程的两个根，求的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数c的最大值． 【题型二】传播问题(一元二次方程的应用) 例3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 变式2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）请根据图片内容，回答下列问题： (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ (2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？ 【题型三】增长率问题(一元二次方程的应用) 例4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）温州大力推进“以旧换新”政策，某店月销售额从一月份的万元增长到三月份的万元．设这两个月的月销额平均增长率为，根据题意可列出方程： ． 变式2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为万人，5月3月的游客人数为万人． (1)求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率； (2)5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？ 【题型四】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 例5．（23-24八年级下·浙江金华·月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为（   ）． A．15 B．10 C．15或10 D．不能确定 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 变式2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【题型五】数字问题(一元二次方程的应用) 例6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【题型六】营销问题(一元二次方程的应用) 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为 ． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 【题型七】动态几何问题(一元二次方程的应用) 例8．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 变式1．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 【题型八】行程问题(一元二次方程的应用) 例9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 变式1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 变式2．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【题型九】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 例10．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 变式2．（24-25八年级下·浙江温州·月考）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【题型十】其他问题(一元二次方程的应用) 例11．（23-24八年级下·浙江温州·期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）某数学竞赛组，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张，则该组的人数是 ． 变式2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 一、单选题 1．已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的矩形，求这个矩形的两边长．设墙的对边长为，可得方程（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ） A．6 B． C．3 D．0 5．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 6．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 7．903班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2070张，如果设903班有x个学生，则可列方程（    ） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．某药品原价每盒元，连续两次降价后售价为元，则该药品每次平均降价率为（   ） A． B． C． D． 10．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？若设与墙垂直的边长为x米，由题意可列方程 ． 12．已知关于的一元二次方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 13．如图是第十四届国际数学教育大会（－）会徽，在其右下方的卦是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制数转换成十进制数的计算方式为：，十进制数 表示 －的举办年份，而十进制数正好是你进入初中的年份，请将十进制数换算成八进制数是 ．数学组设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值是 ．（已知 ） 14．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为： ． 15．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是 ． 16．某生物实验室培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个．则每轮培育平均每个有益菌可分裂成 个有益菌． 三、解答题 17．一件商品原价为100元，经连续两次降价，现价为81元，每次降价的百分率均相同，求此百分率． 18．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为18000个，1月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到21780个． (1)求口罩日产量的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 19．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 20．某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式． (2)该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？ 21．某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 22．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 23．某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． (1)若参加研学活动的学生共人，求学生人均研学费用； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $