第09讲 一次函数的应用（知识详解+6典例分析+习题巩固） 2025-2026学年（沪教版五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦一次函数的实际应用，系统梳理核心步骤（审、设、列、定、解、验），并详解行程、计费、方案选择、工程等常考模型，搭建从基础方法到具体应用的学习支架。 资料通过6类题型（含分配方案、最大利润等）的典例与变式题，培养学生用数学思维分析问题（如方案选择中推理临界值）、用数学语言表达现实关系（如分段计费模型），课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升，弥补知识盲点。

第09讲 一次函数的应用（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数实际应用核心步骤 1. 审：读懂题意，找出两个变量（自变量 、因变量 ），明确其实际意义。 2. 设：设函数解析式 （正比例函数为 ）。 3. 列：根据题目等量关系，列出 与 的关系式，确定 。 4. 定：关键！ 结合实际意义确定自变量取值范围（如时间、数量、金额 ）。 5. 解：利用函数性质（增减性）、图象交点、方程/不等式求解。 6. 验：检验结果是否符合实际背景，作答。 【知识点02】一次函数常考实际模型 1. 行程问题（路程、速度、时间） 基本公式： 一次函数关系：匀速运动时，（ 为初始距离）。 考点：相遇/追及（求交点）、距离计算、时间范围。 2. 计费/梯度计价问题（话费、水费、电费、打车费） 单一计费：（ 为单价， 为基础费）。 分段计费（重点）： 不同区间自变量对应不同解析式。 例：起步价内（）；超出后（）。 注意：定义域分段、表达式分段、图象为折线。 3. 方案选择/决策问题（工资、利润、用料） 步骤： 1. 分别写出两种方案的函数。 2. 求交点：，得临界值 。 3. 比较： 时，选函数值小的方案； 时，选另一个方案。 典例：工资方案（底薪+提成）、购物优惠。 4. 工程/用料问题（工作量、效率、总量） 关系：（ 为日工作量， 为剩余量/初始量）。 考点：求完成时间、剩余量、效率范围。 【题型一】分配方案问题(一次函数的实际应用) 例1．（23-24八年级下·上海·期中）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 例2．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 变式1．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 变式2．（23-24八年级下·上海普陀·期末）随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示． （1）非节假日门票定价是 元/人； （2）当时，与之间的函数关系式_ （3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？ 【题型二】最大利润问题(一次函数的实际应用) 例3．（2023·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 例4．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 变式2．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 变式3．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【题型三】行程问题(一次函数的实际应用) 例5．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 例6．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量=____________（升）． 例7．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 变式1．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 变式3．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【题型四】一次函数与几何综合 例8．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像交轴于点A，交轴于点．点在坐标轴上，且使得是等腰三角形，符合题意的点有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 例9．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 例10．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）已知：在平面直角坐标系中，直线，直线解析式，直线解析式，两条直线均不与坐标轴平行．求证： 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，直线：与x轴交于点A，与经过点的直线m交于第一象限内点C，点E为直线上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接、、，若，，则的值为_____． 变式3．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【题型五】其他问题(一次函数的实际应用) 例11．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 例12．（24-25八年级下·上海·期中）某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________． 例13．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 变式1．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 变式2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是_________码． 变式3．（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 【题型六】梯度计价问题 例14．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 变式1．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 变式2．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 一、单选题 1．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表中的数据： 鸭的质量/千克 1 2 … 烤制时间/分钟 40 50 60 70 80 … 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，当千克时，的值为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 2．周末，小辰从家出发，步行前往距家的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小辰从超市出来后的速度变为原来的倍，到达集合地，小辰与家的距离与所用时间的关系如图，那么小辰在超市购物用了（   ） A． B． C． D． 3．一蓄水池有水，按一定的速度放水，水池里的水量与放水时间t（分）有如下关系： 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 38 36 34 32 … 下列结论中正确的是（    ） A．y随t的增加而增大 B．放水时间为15分钟时，水池中水量为 C．每分钟的放水量是 D．y与t之间的关系式为 4．张先生开车从甲地前往乙地，到达后立即返回．去时以40千米/小时的速度匀速行驶，3小时到达乙地，返回时以60千米/小时的速度匀速行驶，设张先生开车时间为（小时），汽车离乙地的距离为（千米）．下列图象中表示与之间函数关系正确的是（    ） A．    B．  C．   D．   5．如图，把放在直角坐标系内，其中．，点的坐标分别为、．将沿轴向右平移．当点落在直线上时，线段扫过的面积为（　　）    A．4 B．8 C．16 D．82 6．正方形，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点、、，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点的坐标是（    ）． A．（31，32） B．（32，33） C．（63，32） D．（63，64） 二、填空题 7．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快______里/日． 8．已知汽车油箱内有油40，汽车每行驶100耗油10，如果不再加油，则该汽车在行驶过程中油箱内剩余的油量()与行驶路程（）之间的函数解析式为_________． 9．已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为______千克． 10．首条贯通丝绸之路经济带的高速铁路的全线拉通试验阶段，试运行期间，一列动车匀速从西安开往西宁，一列普通列车匀速从西宁开往西安，两车同时出发（中途均不停车），设普通列车行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，请根据图写出一条你发现的信息（只写出O，A，B，D其中一个点的坐标不给分）______． 11．已知一次函数的图像经过点和，那么的值为____________． 12．、两地相距千米，一艘轮船从地顺流行至地，又立即从地逆流返回地，共用小时，已知水流速度为千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程为__________． 13．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地已接种疫苗的人数为______万人． 14．如图，购买一种商品，付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次性购买50千克这种商品要付款_____元． 15．在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，，点在边上，为的中点，为边上的动点（不与重合）．下列说法正确的是________（填写所有正确的序号）． ①当点运动到中点时，点到和的距离相等； ②当点运动到中点时，； ③当点从点运动到点时，四边形的面积先变大再变小； ④四边形的周长最小时，点的坐标为． 16．如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接；以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接；以为边作正方形，……，则的长为______． 三、解答题 17．新冠疫情全球爆发，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为9元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）成一次函数关系，且10≤x＜16．当每包售价为11元时，日均销售量是48包，当每包售价为15元时，日均销售量是16包． (1)求y关于x的函数表达式； (2)要使日均利润达到128元，每包售价应定为多少元？ 18．汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，耗油量为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子______；自变量x的取值范围是______： (2)汽车油箱中还有汽油时，汽车行驶的路程是多少？ 19．已知函数． (1)求函数的图象经过定点的坐标； (2)若点，在该函数的图象上，且，．求证：； (3)在平面直角坐标系中，函数图象与轴交于点，与轴交于点，连接，，，若，求该函数的解析式． 20．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位、时间的数据，得到表格． t（min） … 1 2 3 4 … h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 … 为了描述水位与时间的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．    (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象． (2)当水位高度h为时，求对应的时间t的值． 21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．若以（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额． (1)就两家书店的优惠方式，请直接写出，关于的函数表达式； (2)少年正是读书时，“世界读书日”这一天，八年级学生小明计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？请通过计算说说你的理由． 22．随着信息技术的快速发展，“互联网”渗透我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦想，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h） A 5 20 0.6 B m n 0.6 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为． (1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：_____；_____； (2)求出与x之间的函数关系式，并在规划图中画出函数的图象，根据图象请你选择哪种方式上网学习能节省上网费用？ 23．甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工，甲机器在加工过程中工作效率保持不变，甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（时）之间的函数图象为折线．如图所示． (1)这批零件一共有______个，甲机器每小时加工______个零件； (2)在乙提高工作效率后，求y与x之间的函数解析式； (3)乙机器排除故障后，直接写出甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相差10个． 24．如图，直线与轴、轴分别交于点，．以为边在第一象限内作正方形，是轴上一动点，设点坐标为，连接交于点，作直线与轴相交于点．    (1)填空：点的坐标是______，点的坐标是______； (2)求证：； (3)是否存在这样的值，使轴？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 一次函数的应用（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数实际应用核心步骤 1. 审：读懂题意，找出两个变量（自变量 、因变量 ），明确其实际意义。 2. 设：设函数解析式 （正比例函数为 ）。 3. 列：根据题目等量关系，列出 与 的关系式，确定 。 4. 定：关键！ 结合实际意义确定自变量取值范围（如时间、数量、金额 ）。 5. 解：利用函数性质（增减性）、图象交点、方程/不等式求解。 6. 验：检验结果是否符合实际背景，作答。 【知识点02】一次函数常考实际模型 1. 行程问题（路程、速度、时间） 基本公式： 一次函数关系：匀速运动时，（ 为初始距离）。 考点：相遇/追及（求交点）、距离计算、时间范围。 2. 计费/梯度计价问题（话费、水费、电费、打车费） 单一计费：（ 为单价， 为基础费）。 分段计费（重点）： 不同区间自变量对应不同解析式。 例：起步价内（）；超出后（）。 注意：定义域分段、表达式分段、图象为折线。 3. 方案选择/决策问题（工资、利润、用料） 步骤： 1. 分别写出两种方案的函数。 2. 求交点：，得临界值 。 3. 比较： 时，选函数值小的方案； 时，选另一个方案。 典例：工资方案（底薪+提成）、购物优惠。 4. 工程/用料问题（工作量、效率、总量） 关系：（ 为日工作量， 为剩余量/初始量）。 考点：求完成时间、剩余量、效率范围。 【题型一】分配方案问题(一次函数的实际应用) 例1．（23-24八年级下·上海·期中）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 变式1．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 变式2．（23-24八年级下·上海普陀·期末）随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示． （1）非节假日门票定价是 元/人； （2）当时，与之间的函数关系式_ （3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？ 【答案】（1）30；（2）；（3）团人，团人 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450，即可得非节假日门票的定价； （2）利用待定系数法即可求解； （3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450， 450÷15=30（元）， 故答案为：30； （2）当x＞15时，设y2=kx+b， ∵函数图象经过点（15，750）和（30，1350）， ∴， ∴， ∴y2=40x+150（x＞15）， 故答案为：y2=40x+150（x＞15）； （3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人， 当n＞15时，（40n+150）+30（50-n）=1900， 解得n=25， ∴50-n=50-25=25（人）， 答：A团有25人，B团有25人． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息是解题的关键． 【题型二】最大利润问题(一次函数的实际应用) 例3．（2023·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 【答案】6600 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 【详解】解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 例4．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 【答案】(1)； (2)为使每日净收益W最大，处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨 【知识点】函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨可得；然后根据处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元可表示出W； （2）根据题意求出自变量x的取值，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∵每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元 ∴； （2）解：根据题意，x应满足， 解得． ∵，， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， ∴为使每日净收益W最大，应处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【知识点】列一次函数解析式并求值、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 变式2．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双， ∴， 又∵， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 变式3．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题． （1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多． （3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解. 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 【题型三】行程问题(一次函数的实际应用) 例5．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，由时，，可判断；由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， 可判断，综上即可求解，看懂表格数据的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵时，， ∴该车的油箱容量为，故选项正确，不合题意； 由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， ∴该车每行驶耗油，故选项正确，不合题意； ∵景点离家， ∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余，故选项错误，符合题意； ∵轿车每行驶，耗油， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． 例6．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量=____________（升）． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据汽车油箱原有油、行驶距离及剩余油量，可计算出每千米耗油量，用油箱原有减去行驶千米耗油量，即可得到剩余油量． 【详解】∵原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升 ∴每千米耗油量：（升/千米） ∴行驶(千米)后油箱中的剩余油量为：（升） 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的知识点，解题的关键是一次函数与实际问题的联系． 例7．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】(1) (2)6分钟 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 设线段的表达式为：， 把，代入得： ， 解得：， 即线段的表达式为：， （2）解：线段可知：甲的速度为：（米/分）， 乙的步行速度为：（米/分）， 在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：（米）， 与终点的距离为：（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：（分），（分）， 答：乙比甲早6分钟到达终点． 变式1．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由函数图象可直接判断； （2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断； （3）由山的高度及甲的登山速度分析求解； （4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间； （5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算． 【详解】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意； （2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，    由图象可得，， ∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意； （3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米， ∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分， 又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶， ∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分， （分钟）， （分钟）， ∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意； （4）由图象可得乙的登山速度为米/分 ∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意； （5）设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得 ∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意， 正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是准确识图． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【答案】(1)270千米 (2) (3)2.1小时或2.7小时 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）由图象易得货车的速度为60千米/小时，然后问题可求解； （2）设线段对应的函数表达式是，然后把点，点代入求解即可； （3）由题意易得当时，两车之间的距离为70千米，由图象可得，线段对应的函数解析式为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可得， 货车的速度为（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （2）解：设线段对应的函数表达式是， ∵点，点， ∴， 解得， 即线段对应的函数表达式是； （3）解：当时，两车之间的距离为：， ∵， ∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 则， 解得或， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时）， ∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 变式3．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【答案】(1) (2)B品牌 (3)10或30 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出的函数解析式，然后把代入、，求出、，最后比较即可求解； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， （2）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得，， ∵， ∴小明选择B品牌的共享单车更省钱； （3）解：当时， 根据题意，得， 解得， 当时， 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时， 根据题意，得， 解得， 综上，当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元 【题型四】一次函数与几何综合 例8．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像交轴于点A，交轴于点．点在坐标轴上，且使得是等腰三角形，符合题意的点有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的判定、一次函数的有关知识等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、、三种情况分别作图找到点C，然后统计即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像交轴于点A，交轴于点．点在坐标轴上， ∴， 如图：当时，是等腰三角形； 当时，是等腰三角形； 当时，是等腰三角形． 综上，符合题意的点有7个． 故选C． 例9．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】求出点B和点C的坐标，进而可求出点A的坐标，则可求出直线的解析式，再分两种情况：点在点下方和点在点上方，过点作交直线于，可证明是等腰直角三角形，通过一线三垂直模型构造全等三角形讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ， ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作于点F，过点H作交直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，，， ． 设，则， ， ， 解得， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作交直线于点F，过点H作于点E， 同理可证明， ， ∵点M是的中点，，， ． 设． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 例10．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）已知：在平面直角坐标系中，直线，直线解析式，直线解析式，两条直线均不与坐标轴平行．求证： 【答案】见解析 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】设直线与的交点为，则，，在直线上取点，根据一次函数的性质可得，即，同理在直线上取点，由可得是直角三角形，再利用勾股定理得到，列出关于的等式，整理式子即可证明结论． 【详解】证明：设直线与的交点为， 则，， 在直线上取点， 代入解析式得， 即， ∴， 同理在直线上取点，可得， 即， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 整理得：． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据点运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积与的关系式是解题的关键，也是本题的难点． 分点在边、、、上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出与的关系式，再根据一次函数图象解答． 【详解】解：如图： ①点在边上时，即，； ②点在边上时，点到的距离为， 即， ③点在边上时，点到的距离不变为， ， ④点在边上时，点到的距离为， ， 纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，直线：与x轴交于点A，与经过点的直线m交于第一象限内点C，点E为直线上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接、、，若，，则的值为_____． 【答案】或 【知识点】二次根式的混合运算、一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】过点D作于点F，延长交y轴于点G，求出的解析式，联立方程组，求出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可． 【详解】解：过点D作于点F，延长交y轴于点G， ∵点，且点D为点B关于y轴的对称点， ∴， ∴； 又， ∴， 设直线l：交轴于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴； 设直线所在直线解析式为 ， 把，代入得 解得； ∴直线所在直线解析式为； 联立， 解得， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； ①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，， ∴； ②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 变式3．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据题意可求出的面积，由此可确定的面积，如图所示，过点作轴于点，根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）根据题意，先求出所在直线的解析式，设，则，图形结合，分类讨论：①，；②，；③，；根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 【题型五】其他问题(一次函数的实际应用) 例11．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象看两个函数的交点所对应的自变量的取值是多少即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】解：根据图象可知：相交于，当时，的图象在的图象上方，当时，的图象在的图象上方， A、每月行驶1500千米时，两家公司的租车费用相同，正确，故选项不符合题意； B、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为（元）， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为150元，正确，故选项不符合题意； C、每月行驶超过1500千米时，租用甲公司的费用比乙公司低，故选项不符合题意； D、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶3000千米时， ， ， （元）， ∴租用乙公司的租车费用比甲公司多100元，故选项符合题意； 故选：D． 例12．（24-25八年级下·上海·期中）某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握函数的概念并找出相应的等量关系是解题的关键． 由题意可直接列出车费与行驶路程x千米之间的函数关系式，化简即可． 【详解】解：由题意可知，当行驶路程千米时，车费与行驶路程x千米之间的函数关系式为：， 故答案为：． 例13．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 变式1．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象读取相关信息，一次函数的应用，求函数解析式，观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设，代入，得，故B不符合题意； C、将，代入，，，故C不符合题意； D、将时，代入，得，，故D符合题意， 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是_________码． 【答案】38 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数关系；设，代入得出，再把代入计算即可． 【详解】解：设， 代入得： ， 解得：， 所以 ∴当时，， 解得：， 故答案为：38． 变式3．（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 【答案】(1)； (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式和时x的取值范围，再分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：设， 将，和，代入，得， 解得， ． 设， 将，和，代入，得， 解得， ． （2）解：8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由如下： 由题意得，． 当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 【题型六】梯度计价问题 例14．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 变式1．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 变式2．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 一、单选题 1．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表中的数据： 鸭的质量/千克 1 2 … 烤制时间/分钟 40 50 60 70 80 … 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，当千克时，的值为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 根据题意，运用待定系数法得到一次函数解析式，再把代入解析式得到函数值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，鸭子的质量逐渐增大，烤制时间也随之增大， ∴设一次函数解析式为， 把，，，代入得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，， ∴的值为（分钟）， 故选：D ． 2．周末，小辰从家出发，步行前往距家的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小辰从超市出来后的速度变为原来的倍，到达集合地，小辰与家的距离与所用时间的关系如图，那么小辰在超市购物用了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，正确从函数图象获取信息是解题的关键． 先根据图象计算出小辰去超市前的速度，再计算出小辰出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时25分钟，可以计算出小辰在超市购物用的时间即可． 【详解】解：小辰从家出发，到达集合地，则总用时， 由图象可知，小辰去超市前的速度为， 小辰出超市后到社区所用的时间为， ∴小海在超市购物用的时间为． 故选：C． 3．一蓄水池有水，按一定的速度放水，水池里的水量与放水时间t（分）有如下关系： 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 38 36 34 32 … 下列结论中正确的是（    ） A．y随t的增加而增大 B．放水时间为15分钟时，水池中水量为 C．每分钟的放水量是 D．y与t之间的关系式为 【答案】C 【分析】根据表格内的数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，由此可得出D选项错误；由可得出随的增大而减小，A选项错误；代入求出值，由此可得出：放水时间为15分钟时，水池中水量为，B选项错误；由可得出每分钟的放水量是，C选项正确．综上即可得出结论． 【详解】解：设与之间的函数关系式为， 将、代入， ， 解得：， 与之间的函数关系式为，D选项错误； ， 随的增大而减小，A选项错误； 当时，， 放水时间为15分钟时，水池中水量为，B选项错误； ， 每分钟的放水量是，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 4．张先生开车从甲地前往乙地，到达后立即返回．去时以40千米/小时的速度匀速行驶，3小时到达乙地，返回时以60千米/小时的速度匀速行驶，设张先生开车时间为（小时），汽车离乙地的距离为（千米）．下列图象中表示与之间函数关系正确的是（    ） A．    B．  C．   D．   【答案】B 【分析】由题意可知，张先生开车从甲地前往乙地，，可排除A、D选项，从乙地返回甲地时，所有时间为小时，可排除C选项，即可选得答案． 【详解】解：由题意可知，张先生开车从甲地前往乙地，所用时间为小时 ，故排除A、D选项； 从乙地返回甲地时，所有时间为小时， 即张先生开车从甲地前往乙地，到返回甲地所用时间为5小时，故排除C选项， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．如图，把放在直角坐标系内，其中．，点的坐标分别为、．将沿轴向右平移．当点落在直线上时，线段扫过的面积为（　　）    A．4 B．8 C．16 D．82 【答案】C 【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可． 【详解】解：如图所示．   点、的坐标分别为、， ． ，， ． ． 点在直线上， ，解得． 即． ． （面积单位）． 即线段扫过的面积为16面积单位． 故选：C． 【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积． 6．正方形，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点、、，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点的坐标是（    ）． A．（31，32） B．（32，33） C．（63，32） D．（63，64） 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，求出点，再根据正方形的性质可得＝1，进一步可得（1，2），同理可得（3，4），按照此规律可得点的坐标． 【详解】解：∵点、、…和点、、…分别在直线y＝x+1和x轴上， ∴当x＝0时，y＝0+1＝1， ∴点坐标为（，），即点（0，1）， ∴＝1， ∴正方形的边长为1， ∴＝1， 当x＝1时，y＝1+1＝2， ∴点坐标为（，），即点（1，2）， ∴＝2， ∴正方形的边长为2， ∴＝3， 当x＝3时，y＝3+1＝4， ∴点坐标为（，），即点（3，4）， 按照上述规律，可得点（，），即点（31,，32）， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与正方形的综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征并找出点坐标之间的规律是解题的关键． 二、填空题 7．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快______里/日． 【答案】90 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象特殊点的坐标解答即可． 【详解】解：由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日， 当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日， 良马行走4800里用了20日，故速度为里/日，劣马行走4800里用了32日，故速度为里/日， 所以良马的速度比劣马的速度快里/日 故答案为： 8．已知汽车油箱内有油40，汽车每行驶100耗油10，如果不再加油，则该汽车在行驶过程中油箱内剩余的油量()与行驶路程（）之间的函数解析式为_________． 【答案】Q=40-0.1s/Q=40-s/ Q=-0.1s+40/Q=-s+40 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.1升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=40-0.1s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.1升， ∴s（km）耗油=0.1s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=40-0.1s． 故答案为：Q=40-0.1s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 9．已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为______千克． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象，根据题意设出一次函数表达式，然后把代入到表达式，求出k和b，即可求出函数表达式，最后把，代入到表达式，求出x即可． 【详解】解：设一次函数表达式为：， ∵把两点坐标代入表达式，得： ， 解得， ∴， 把，代入到，解得： 故答案为：． 10．首条贯通丝绸之路经济带的高速铁路的全线拉通试验阶段，试运行期间，一列动车匀速从西安开往西宁，一列普通列车匀速从西宁开往西安，两车同时出发（中途均不停车），设普通列车行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，请根据图写出一条你发现的信息（只写出O，A，B，D其中一个点的坐标不给分）______． 【答案】西安与西宁的距离为1000千米，两车出发3小时相遇或普通列车到达终点共需12小时，普通列车的速度为千米/时或动车的速度为250千米/小时，动车行完全程用4小时（答案不唯一）． 【分析】①由时，及时，的实际意义可得答案； ②根据时的实际意义结合速度=路程÷时间可得答案； ③设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列车3小时行驶的路程=1000”列方程求解；用总路程÷动车的速度可求得动车行完全程的时间． 【详解】 解：观察函数图像可知： ①因为时，，所以西宁到西安两地相距1000千米， 因为时，，两车出发后3小时相遇， 所以西安与西宁的距离为1000千米，两车出发3小时相遇； ②由图像知时，动车到达西宁，时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需12小时， 普通列车的速度是千米/时； 所以普通列车到达终点共需12小时，普通列车的速度为千米/时； ③设动车的速度为x千米/小时， 根据题意，得：， 解得， （小时）， 所以动车的速度为250千米/小时，动车行完全程用4小时． 故答案为：西安与西宁的距离为1000千米，两车出发3小时相遇或普通列车到达终点共需12小时，普通列车的速度为千米/时或动车的速度为250千米/小时，动车行完全程用4小时（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图像中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键． 11．已知一次函数的图像经过点和，那么的值为____________． 【答案】-9． 【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点P（a，b）和Q（c，d）代入一次函数的解析式，求出a−b、c−d的值，然后整体代入所求的代数式并求值． 【详解】解：∵一次函数y＝x＋3的图象经过点P（a，b）和Q（c，d）， ∴点P（a，b）和Q（c，d）满足一次函数的解析式y＝x＋3， ∴b＝a＋3，d＝c＋3， ∴b−a＝3，c−d＝−3； ∴＝（b−a）（c−d）＝3×（−3）＝-9； 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，并且一定满足函数的解析式． 12．、两地相距千米，一艘轮船从地顺流行至地，又立即从地逆流返回地，共用小时，已知水流速度为千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则一艘轮船从A地顺流航行至B地，已知水流速度为4千米/时，所花时间为；从B地逆流返回A地，水流速度为4千米/时，所花时间为根据题意列方程即可． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度为x千米时，根据题意列方程得： 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，关键是正确列出分式方程，找出题干中等量关系式即可． 13．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地已接种疫苗的人数为______万人． 【答案】36 【分析】由题意可得，甲乙两地速度相同求得a=50，然后用待定系数法求出一次函数表达式，然后甲地已接种疫苗的人数． 【详解】解：乙接种速度为40 80=0.5（万人/天） 0.5a=30-5 解得a=50 设 ，将（50，30），（100，40）代入解析式得 解得   一次函数表达式为 当x=80时，y=36 故答案为：36． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 14．如图，购买一种商品，付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次性购买50千克这种商品要付款_____元． 【答案】420 【分析】当x＞10时，用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：当x＞10时，付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数为y＝kx+b(k≠0)， ∵图象过点(10，100)和(20，180)， ∴， 解得：， ∴y与x的函数解析式为y＝8x+20， ∴当x＝50时，y＝8×50+20＝420， 一次性购买50千克这种商品要付款420元． 故答案为：420． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出射线AB段的函数解析式． 15．在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，，点在边上，为的中点，为边上的动点（不与重合）．下列说法正确的是________（填写所有正确的序号）． ①当点运动到中点时，点到和的距离相等； ②当点运动到中点时，； ③当点从点运动到点时，四边形的面积先变大再变小； ④四边形的周长最小时，点的坐标为． 【答案】①④ 【分析】①根据等腰直角三角形的性质可得BP是∠ABO的平分线，从而可得结论； ②可判断出∠DPO=45゜，∠，进而可得结论； ③设P点坐标为，得出，再根据一次函数的性质进行判断即可； ④作点关于的对称点M，连接MC，交OA于P，可知当且仅当三点共线时四边形的周长最小，求出直线MC和OA的交点坐标即可解决问题． 【详解】解：①当点运动到中点时，连接BP，如图所示， ∵ ∴BP平分∠ABO ∴点到和的距离相等， 故①正确 ②当点运动到中点时， ∵ ∴∠ ∵点D是OB的中点 ∴ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ 故②错误； ③∵ ∴ ∴ ∴ ∵点从点运动到点 ，平分第一象限角 ∴设P点坐标为 ∴ = ∵ 可以发现当点从点运动到点时，四边形的面积一直变小，故③错误． ④作点关于的对称点M，连接MC，交OA于P， 此时 ∴ ∴当且仅当三点共线时四边形的周长最小， ∵OA平分第一象限角 ∴点关于OA的对称点M落在y轴上，M点坐标为（0，5） 设直线MC的解析式为，则有 ，解得， ∴ ∵直线OA的解析式为y=x 联立，解得，即 故四边形的周长最小时，点的坐标为，故④正确． ∴正确的是①④， 故答案为：①④． 【点睛】此题考查了三角形与一次函数的综合题，熟练掌握角平分线的性质以及一次函数的性质是解答此题的关键． 16．如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接；以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接；以为边作正方形，……，则的长为______． 【答案】 【分析】先求出、的长，再根据规律可得的长． 【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，则M点坐标为（-1,0），A点坐标为（0,1），即OM=OA=1, ∴∠AMO=45°， ∵， ∴△ME是等腰直角三角形，△BC是等腰直角三角形， ∵M=1+1+1=3， ∴，，, ， 点的坐标为，可知第二个正方形的边长是3，M=9， 同理，，, ， 同理第三个正方形的边长是9，M=27，，，,， …… 依次类推，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律． 三、解答题 17．新冠疫情全球爆发，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为9元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）成一次函数关系，且10≤x＜16．当每包售价为11元时，日均销售量是48包，当每包售价为15元时，日均销售量是16包． (1)求y关于x的函数表达式； (2)要使日均利润达到128元，每包售价应定为多少元？ 【答案】(1)y=-8x+136（10≤x＜16）； (2)要使日均利润达到128元，每包售价应定为13元． 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式； （2）利用日均利润=每包的销售利润×日均销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b（k≠0）， 将（11，48），（15，16）代入y=kx+b得：， 解得， ∴y关于x的函数表达式为y=-8x+136（10≤x＜16）； （2）解：依题意得：（x-9）（-8x+136）=128， 整理得：（x-13）2=0， 解得：x1=x2=13， ∴要使日均利润达到128元，每包售价应定为13元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 18．汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，耗油量为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子______；自变量x的取值范围是______： (2)汽车油箱中还有汽油时，汽车行驶的路程是多少？ 【答案】(1)， (2)汽车行驶的路程是 【分析】本题考查一次函数解实际应用题， （1）根据油箱中的油量耗油量列函数关系式即可； （2）令，代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：y与x的函数关系为 解得 ∴x的取值范围是； （2）解：当时，即， 解得：． 答：汽车行驶的路程是． 19．已知函数． (1)求函数的图象经过定点的坐标； (2)若点，在该函数的图象上，且，．求证：； (3)在平面直角坐标系中，函数图象与轴交于点，与轴交于点，连接，，，若，求该函数的解析式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据一次函数的图象和性质，令，求得，即可； （2）根据点在函数图象上，把点，代入函数上，再根据，，即可； （3）根据当，则，求出点的坐标，根据，则，求出点的坐标，根据，，，即可求出函数解析式． 【详解】（1）令， ∴， ∴当时，无论取任何值，均经过点， ∴定点． （2）证明，如下： ∵点，在该函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如下图： ∵函数图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， ∴点， ∵当时，， ∴点， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，函数；当时，函数．    【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 20．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位、时间的数据，得到表格． t（min） … 1 2 3 4 … h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 … 为了描述水位与时间的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．    (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象． (2)当水位高度h为时，求对应的时间t的值． 【答案】(1)，见解析 (2)9 【分析】（1）从表中数据可知，水位与时间满足一次函数关系式，设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式即可； （2）利用（1）的关系式令，求解t值即可． 【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位与时间满足一次函数关系式． 设水位与时间的一次函数关系式为， 代入表中任意两组数据得： ， 解得：， ， ∴水位与时间的一次函数关系式为； 画出的函数图像如下：    （2）由（1）可知，水位与时间的一次函数关系式为， 当时， 解得：． 答：当水位h为时，对应的时间为． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． 21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．若以（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额． (1)就两家书店的优惠方式，请直接写出，关于的函数表达式； (2)少年正是读书时，“世界读书日”这一天，八年级学生小明计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？请通过计算说说你的理由． 【答案】(1)， (2)当时，去甲书店省钱；当时，去甲乙两家书店购书支付金额相同；当时，去乙书店省钱，计算见解析 【分析】（1）根据支付金额=标价总额×0.8求出关系式，再根据支付金额=100+（标价总额-100）×0.6得出关系式即可； （2）先令两个书店的支付金额相等，求出x，进而判断得出答案． 【详解】（1），； （2）令，解得. ∴当时，去甲书店省钱， 当时，去甲乙两家书店购书支付金额相同， 当时，去乙书店省钱． 【点睛】本题主要考查了列一次函数关系式，掌握一次函数与不等式的关系是解题的关键． 22．随着信息技术的快速发展，“互联网”渗透我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦想，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h） A 5 20 0.6 B m n 0.6 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为． (1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：_____；_____； (2)求出与x之间的函数关系式，并在规划图中画出函数的图象，根据图象请你选择哪种方式上网学习能节省上网费用？ 【答案】(1)8 ，40 (2)，画图见解析；当时，选择A方式上网学习省钱；当时，选择两种方式上网学习同样省钱；当时，选择B方式上网学习省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据已知条件即可求得与x之间的函数关系式；进而画出函数图象，观察图象，分段求出哪种方式上网学习合算即可． 【详解】（1）解：由图象知：； （2）解：根据题意得：方案A的月使用费为5元，包时上网时间， 当时，， 当时，， 综上，， 函数图象为： 时，则， 解得：， 当时，选择A方式上网学习省钱；当时，选择两种方式上网学习同样省钱；当时，选择B方式上网学习省钱． 23．甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工，甲机器在加工过程中工作效率保持不变，甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（时）之间的函数图象为折线．如图所示． (1)这批零件一共有______个，甲机器每小时加工______个零件； (2)在乙提高工作效率后，求y与x之间的函数解析式； (3)乙机器排除故障后，直接写出甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相差10个． 【答案】(1)， (2) (3)乙机器排除故障后，甲加工4小时或5小时时，甲与乙加工的零件个数相差10个 【分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到这批零件一共有多少个零件，再根据段即可计算出甲每小时加工的零件数； （2）根据函数图象中的数据，可以用待定系数法求出对应的函数解析式； （3）根据函数图象中的数据，可以计算乙开始和后来的速度，然后即可得到相应的方程，从而可以求得乙机器排除故障后，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相差10个． 【详解】（1）解：由函数图象可知，共用6个小时加工完这批零件，一共有270个， 段为甲机器单独加工，每小时加工个数为， （个）， 故答案为：，； （2）段为乙提高工作效率后的函数，设函数解析式为， 由函数图象可知，， ，解得：， 函数解析式为； （3）乙开始的加工速度为：（个/小时）， 乙排除故障后加工速度为：（个/小时）， 设乙机器排除故障后，甲加工a小时，甲与乙加工的零件个数相差10个， ， 解得：或， 答：乙机器排除故障后，甲加工4小时或5小时时，甲与乙加工的零件个数相差10个． 24．如图，直线与轴、轴分别交于点，．以为边在第一象限内作正方形，是轴上一动点，设点坐标为，连接交于点，作直线与轴相交于点．    (1)填空：点的坐标是______，点的坐标是______； (2)求证：； (3)是否存在这样的值，使轴？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在，此时的值为 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，在中，令，，即可，，证明，可得，，即可得点、的坐标； （2）由四边形是正方形，可证，得，即； （3）先求得直线解析式，即可求得点的坐标，再求得直线解析式，把代入求解即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图：    在中，令得，令得， ，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ，即； （3）解：存在这样的值，使轴，理由如下： 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得：， 直线解析式为， 若轴，则， 在中，令，则， 解得：， ， 设直线解析式为，将，代入得：， 解得：， 直线解析式为， 把代入得：， 解得：， 存在这样的值，使轴，此时的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，正方形性质及应用等，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $