第25章 一次函数 章节（14知识详解+38典例分析） 2025-2026学年（沪教版五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第25章 一次函数 章节（14知识详解+38典例分析） 【知识点01】常量和变量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量. 说明： (1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的 量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量. (3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x²中，x是变量，而不能说x²是变量. 【知识点02】函数的概念 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 说明： (1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量； (2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一； (3)函数中两个变量具有相对性，如y＝x＋3表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数. 【知识点03】函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 (1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. (2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义. (3)不同类型的函数自变量取值范围的确定 类型 特征 举例 取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x²＋3x－1 全体实数 分式型 等号右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数 根式型 二次根式 等号右边是关于自变量的二次根式 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数 三次根式 等号右边是关于自变量的三次根式 y＝ 全体实数 幂型 等号右边是关于自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)0 或y＝2(x－3) 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分 2. 函数值 (1)定义：如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b 叫作当自变量的值为a时的函数值. (2)求函数值及自变量值的方法 ①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值. ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x²－1中，当y＝0时，x＝±1. 【知识点04】函数解析式 1. 定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 2. 特点：(1)函数解析式是等式. (2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数. (3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式. 【知识点05】函数的图象 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．通过图象可以数形结合地研究函数 拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 描点法画函数图象的一般步骤 步骤 描述 注意 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点 【知识点06】从函数图象中获取信息 审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义. 【知识点07】函数的表示方法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表： 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的等式叫作函数解析式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数解析式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来 列表法 通过列出自变量的值与函数的对应值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 【知识点08】一次函数的概念 1. 定义 一般地，形如 （、 是常数，）的函数，叫做一次函数。 自变量 的次数是 1。 系数 不为 0（若 ，则 为常值函数，不属于一次函数）。 表达式右边是关于 的一次整式。 2. 正比例函数（特殊的一次函数） 当 时，一次函数 变为 （），叫做正比例函数。 正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。 3. 自变量取值范围 一般情况下，一次函数自变量 的取值范围是全体实数。 实际问题中，取值范围需结合实际意义确定（如非负数、整数等）。 【知识点09】一次函数的图像与画法 1. 图像形状 一次函数 （）的图像是一条直线，也称为“直线 ”。 正比例函数 的图像是经过原点的一条直线。 2. 简易画法（两点法） 选取直线与坐标轴的两个交点，连线即可： （1）与 轴交点： （2）与 轴交点： 【知识点10】一次函数的性质（由 k、b 决定） 1. 系数 的作用（斜率） 增减性： ：直线上升， 随 增大而增大。 ：直线下降， 随 增大而减小。 倾斜程度： 越大，直线越陡峭； 越小，直线越平缓。 2. 系数 的作用（截距） 决定直线与 轴的交点 ： ：交 轴正半轴； ：过原点（正比例函数）； ：交 轴负半轴。 3.图像经过的象限（总结） 一次函数的图象和性质如下表: 一次函数 y=kx+b(k≠0) k ，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 y 的值随着 x 值的增大而增大 y 的值随着 x 值的增大而减小 与 y 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 【知识点11】待定系数法求一次函数解析式 1. 适用条件 已知函数图像上两个点的坐标，或已知一组 、 的对应值。 2. 一般步骤 设：设函数解析式为 （）。 代：将两点坐标 、 代入解析式，得到二元一次方程组。 解：解方程组，求出 、 的值。 写：将 、 代回，写出函数解析式。 3. 正比例函数特例 已知一个点坐标即可，设 ，代入求解 。 【知识点12】一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程 方程 的解，就是直线 与 轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式 的解集 直线在 轴上方部分对应的 取值范围。 的解集 直线在 轴下方部分对应的 取值范围。 3. 与二元一次方程组 两个一次函数 与 的交点坐标，就是对应方程组 的解。 【知识点13】一次函数实际应用核心步骤 1. 审：读懂题意，找出两个变量（自变量 、因变量 ），明确其实际意义。 2. 设：设函数解析式 （正比例函数为 ）。 3. 列：根据题目等量关系，列出 与 的关系式，确定 。 4. 定：关键！ 结合实际意义确定自变量取值范围（如时间、数量、金额 ）。 5. 解：利用函数性质（增减性）、图象交点、方程/不等式求解。 6. 验：检验结果是否符合实际背景，作答。 【知识点14】一次函数常考实际模型 1. 行程问题（路程、速度、时间） 基本公式： 一次函数关系：匀速运动时，（ 为初始距离）。 考点：相遇/追及（求交点）、距离计算、时间范围。 2. 计费/梯度计价问题（话费、水费、电费、打车费） 单一计费：（ 为单价， 为基础费）。 分段计费（重点）： 不同区间自变量对应不同解析式。 例：起步价内（）；超出后（）。 注意：定义域分段、表达式分段、图象为折线。 3. 方案选择/决策问题（工资、利润、用料） 步骤： 1. 分别写出两种方案的函数。 2. 求交点：，得临界值 。 3. 比较： 时，选函数值小的方案； 时，选另一个方案。 典例：工资方案（底薪+提成）、购物优惠。 4. 工程/用料问题（工作量、效率、总量） 关系：（ 为日工作量， 为剩余量/初始量）。 考点：求完成时间、剩余量、效率范围。 【题型一】函数的概念 1．（2025八年级·上海·专题练习）某地进入5月份后，温度随着日期的变化而逐渐升高，在这个过程中，自变量是________． 【题型二】用关系式表示变量间的关系 2．（22-23八年级下·上海·期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ） A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100 【题型三】用图象表示变量间的关系 3．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【题型四】求自变量的值或函数值 4．当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）已知，那么__________． 【题型五】函数解析式 6．银行存款，一年定期年利率为r，取款时还要上交的利息税，某人存一年定期x元，到期后所得本金与利息之和为y元，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·上海·单元测试）某城市出租汽车收费标准为：千米以内（含千米）收元，超出千米的部分，每千米收费元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________． 8．（2023八年级下·上海·专题练习）小明使用的练习本均可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． (1)写出在两个商店中，收款y（元）与购买数量x（本）（的整数）的关系式． (2)小明在哪家商店买本较便宜？ 【题型六】函数图象识别 9．（25-26八年级下·上海·期中）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【题型七】从函数的图象获取信息 10．（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 11．（23-24八年级下·上海金山·期末）甲、乙两人在公路上练习竞走和长跑，竞走、长跑的距离与时间的关系如图所示，那么在30千米的休息处，乙比甲早到了_______小时． 12．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）一辆货车从甲地出发运送物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地运送乘客到乙地，货车行驶的平均速度是千米时，两车行驶了千米之后同时进入加油站，从甲地到加油站这段路程中，两车离甲地的路程（千米）与时间（小时）的函数图象如图所示：    (1)的值为______； (2)轿车的速度为______千米/小时； (3)加完油后，货车和轿车按照各自原来的行驶速度同时从加油站出发前往乙地，轿车比货车早个小时到达乙地，求加油站和乙地之间的距离． 【题型八】正比例函数的定义 13．（22-23八年级下·上海嘉定）如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是（    ） A． B． C．一切实数 D． 14．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）若是关于的正比例函数，则_______． 【题型九】求自变量的取值范围 15．（22-23八年级下·上海青浦·期中）一次函数的定义域为______． 16．（22-23八年级·上海·暑假作业）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十】正比例函数的图象 17．（2023·上海虹口·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 _______． 【题型十一】正比例函数的性质 19．（2023八年级下·上海·专题练习）正比例函数的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是______________________． 20．（2023八年级下·上海·专题练习）已知y与x成正比例，且当时， (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【题型十二】识别一次函数 21．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·上海·期中）下列关系式中，y不是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型十三】根据一次函数的定义求参数 23．（23-24八年级下·上海宝山·月考）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·上海·月考）若关于x的函数是一次函数，则的值为_______． 【题型十四】求一次函数自变量或函数值 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）下列各点中，在直线上的点是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·上海闵行·月考）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是_______． 【题型十五】列一次函数解析式并求值 27．汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是______． 【题型十六】求一次函数解析式 28．已知直线y＝2x＋b过点（0，﹣5），确定该直线l的表达式是（    ） A．y＝x﹣5 B．y＝x＋5 C．y＝2x＋5 D．y＝2x﹣5 29．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线经过，且这条直线与坐标轴所围成的三角形面积为10，则直线的解析式为_______． 30．（24-25八年级下·上海崇明·期中）新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求b的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图像过A、B两点的一次函数的关联数． 【题型十七】判断一次函数的图象 31．（2024八年级下·上海徐汇·期中）一次函数，y随着x的增大而减小，且，则该函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限． 【题型十八】根据一次函数解析式判断其经过的象限 32．（24-25八年级下·上海·月考）一次函数一定经过（　　） A． B． C． D． 33．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数，如果随的增大而增大，那么它的图像不经过第________象限． 【题型十九】已知函数经过的象限求参数范围 34．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）直线的图像经过第一、二、四象限，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围是______． 【题型二十】一次函数图象与坐标轴的交点问题 36．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）直线在y轴上的截距是________． 37．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知直线与直线交于． (1)求直线的表达式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积． 【题型二十一】画一次函数图象 38．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图象经过点且平行于直线． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象． 【题型二十二】一次函数图象平移问题 39．（23-24八年级下·上海·月考）要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 40．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数图像所对应的函数解析式为______． 【题型二十三】判断一次函数的增减性 41．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）在一次函数中，y随x的增大而减小，那么常数m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 42．（24-25八年级下·上海·月考）一次函数，当时，函数值的范围是，那么代数式的值是_____________． 【题型二十四】根据一次函数增减性求参数 43．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数，根据下列条件，求的取值范围． (1)函数值随的值的增大而减小； (2)图象经过一、三、四象限； (3)图象不经过第二象限． 【题型二十五】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 45．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）点，点都在直线上，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 46．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 【题型二十六】比较一次函数值的大小 47．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知点、、是一次函数的图像上的三点，则在、、中最小的是（   ） A． B． C． D．无法确定 48．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，如果点和点在直线l的图象上，那么m、n的大小关系是：m_______n．（用“”、“”或“”表示） 【题型二十七】一次函数的规律探究问题 49．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是_________． 【题型二十八】已知直线与坐标轴交点求方程的解 50．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，那么这个函数图像在轴上的截距是______． 【题型二十九】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 51．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 【题型三十】利用图象法解一元一次方程 52．（23-24八年级下·上海·月考）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 53．在正比例函数中，当时，，那么______． 【题型三十一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 54．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；②当时；③；④不等式的解集是． x … 0 2023 … y … … A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）一次函数（k，b为常数，）的图像如图所示，那么关于x的不等式的解集是______． 【题型三十二】根据两条直线的交点求不等式的解集 56．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 57．（2023八年级下·上海·专题练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，求关于x的不等式的解集． 【题型三十三】两直线的交点与二元一次方程组的解 58．（22-23八年级下·上海·单元测试）如图，一次函数和交于点，则关于x的一元一次方程的解是__． 59．（2023八年级下·上海·专题练习）已知两个一次函数和； (1)、为何值时，两函数的图像重合? (2)、满足什么关系时，两函数的图像相互平行? (3)、取何值时，两函数图像交于轴上同一点，并求这一点的坐标． 【题型三十四】求直线围成的图形面积 60．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标． 【题型三十五】分配方案问题(一次函数的实际应用) 61．（2024八年级下·上海·期末）学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表： 标准型 舒适性 载客量（单位：人/辆） 40 28 租金（单位：元/辆） 500 350 （1）求一共需租多少辆客车？说明理由； （2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金． 【题型三十六】最大利润问题(一次函数的实际应用) 62．（2024八年级下·上海·期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量． （2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域． 【题型三十七】行程问题(一次函数的实际应用) 63．（2024八年级下·上海崇明·期末）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是__________分钟． A．4 B．6 C．16 D．10 64．（24-25八年级下·上海崇明·期中）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图像． (1)当_______分钟时，小明爸爸正好回到家； (2)与之间的函数表达式为_______； (3)当___________分钟时，小明和爸爸第一次相遇．（第（3）需要写出过程） 【题型三十八】一次函数与几何综合 65．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 66．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是___________． 67．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一次函数 章节（14知识详解+38典例分析） 【知识点01】常量和变量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量. 说明： (1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的 量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量. (3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x²中，x是变量，而不能说x²是变量. 【知识点02】函数的概念 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 说明： (1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量； (2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一； (3)函数中两个变量具有相对性，如y＝x＋3表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数. 【知识点03】函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 (1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. (2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义. (3)不同类型的函数自变量取值范围的确定 类型 特征 举例 取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x²＋3x－1 全体实数 分式型 等号右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数 根式型 二次根式 等号右边是关于自变量的二次根式 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数 三次根式 等号右边是关于自变量的三次根式 y＝ 全体实数 幂型 等号右边是关于自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)0 或y＝2(x－3) 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分 2. 函数值 (1)定义：如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b 叫作当自变量的值为a时的函数值. (2)求函数值及自变量值的方法 ①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值. ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x²－1中，当y＝0时，x＝±1. 【知识点04】函数解析式 1. 定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 2. 特点：(1)函数解析式是等式. (2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数. (3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式. 【知识点05】函数的图象 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．通过图象可以数形结合地研究函数 拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 描点法画函数图象的一般步骤 步骤 描述 注意 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点 【知识点06】从函数图象中获取信息 审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义. 【知识点07】函数的表示方法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表： 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的等式叫作函数解析式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数解析式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来 列表法 通过列出自变量的值与函数的对应值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 【知识点08】一次函数的概念 1. 定义 一般地，形如 （、 是常数，）的函数，叫做一次函数。 自变量 的次数是 1。 系数 不为 0（若 ，则 为常值函数，不属于一次函数）。 表达式右边是关于 的一次整式。 2. 正比例函数（特殊的一次函数） 当 时，一次函数 变为 （），叫做正比例函数。 正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。 3. 自变量取值范围 一般情况下，一次函数自变量 的取值范围是全体实数。 实际问题中，取值范围需结合实际意义确定（如非负数、整数等）。 【知识点09】一次函数的图像与画法 1. 图像形状 一次函数 （）的图像是一条直线，也称为“直线 ”。 正比例函数 的图像是经过原点的一条直线。 2. 简易画法（两点法） 选取直线与坐标轴的两个交点，连线即可： （1）与 轴交点： （2）与 轴交点： 【知识点10】一次函数的性质（由 k、b 决定） 1. 系数 的作用（斜率） 增减性： ：直线上升， 随 增大而增大。 ：直线下降， 随 增大而减小。 倾斜程度： 越大，直线越陡峭； 越小，直线越平缓。 2. 系数 的作用（截距） 决定直线与 轴的交点 ： ：交 轴正半轴； ：过原点（正比例函数）； ：交 轴负半轴。 3.图像经过的象限（总结） 一次函数的图象和性质如下表: 一次函数 y=kx+b(k≠0) k ，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 y 的值随着 x 值的增大而增大 y 的值随着 x 值的增大而减小 与 y 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 【知识点11】待定系数法求一次函数解析式 1. 适用条件 已知函数图像上两个点的坐标，或已知一组 、 的对应值。 2. 一般步骤 设：设函数解析式为 （）。 代：将两点坐标 、 代入解析式，得到二元一次方程组。 解：解方程组，求出 、 的值。 写：将 、 代回，写出函数解析式。 3. 正比例函数特例 已知一个点坐标即可，设 ，代入求解 。 【知识点12】一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程 方程 的解，就是直线 与 轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式 的解集 直线在 轴上方部分对应的 取值范围。 的解集 直线在 轴下方部分对应的 取值范围。 3. 与二元一次方程组 两个一次函数 与 的交点坐标，就是对应方程组 的解。 【知识点13】一次函数实际应用核心步骤 1. 审：读懂题意，找出两个变量（自变量 、因变量 ），明确其实际意义。 2. 设：设函数解析式 （正比例函数为 ）。 3. 列：根据题目等量关系，列出 与 的关系式，确定 。 4. 定：关键！ 结合实际意义确定自变量取值范围（如时间、数量、金额 ）。 5. 解：利用函数性质（增减性）、图象交点、方程/不等式求解。 6. 验：检验结果是否符合实际背景，作答。 【知识点14】一次函数常考实际模型 1. 行程问题（路程、速度、时间） 基本公式： 一次函数关系：匀速运动时，（ 为初始距离）。 考点：相遇/追及（求交点）、距离计算、时间范围。 2. 计费/梯度计价问题（话费、水费、电费、打车费） 单一计费：（ 为单价， 为基础费）。 分段计费（重点）： 不同区间自变量对应不同解析式。 例：起步价内（）；超出后（）。 注意：定义域分段、表达式分段、图象为折线。 3. 方案选择/决策问题（工资、利润、用料） 步骤： 1. 分别写出两种方案的函数。 2. 求交点：，得临界值 。 3. 比较： 时，选函数值小的方案； 时，选另一个方案。 典例：工资方案（底薪+提成）、购物优惠。 4. 工程/用料问题（工作量、效率、总量） 关系：（ 为日工作量， 为剩余量/初始量）。 考点：求完成时间、剩余量、效率范围。 【题型一】函数的概念 1．（2025八年级·上海·专题练习）某地进入5月份后，温度随着日期的变化而逐渐升高，在这个过程中，自变量是________． 【答案】日期 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了自变量的概念，熟练掌握 “在变化过程中，主动变化的量是自变量” 是解题的关键．根据自变量和因变量的定义，温度随日期的变化而变化，因此日期是自变量． 【详解】解：温度随着日期的变化而变化，自变量是日期． 故答案为：日期． 【题型二】用关系式表示变量间的关系 2．（22-23八年级下·上海·期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ） A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据“汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离”建立函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车的速度是平均每小时80千米， ∴它行驶x小时走过的路程是80x， ∴汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是y＝100﹣80x＝﹣80x+100， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离是解决问题的关键． 【题型三】用图象表示变量间的关系 3．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查函数图象的实际应用，结合图象得出从家直接去体育场，故第一段函数图象所对应的y轴最高点即为体育场离张强家的距离，进而得出锻炼时间以及整个过程所用的时间，由第三段函数图象可得体育场离开早餐店的距离，根据第五段函数图象求得张强从早餐店回家的距离及时间，再利用平均速度等于总路程除以总时间即可求张强从早餐店回家的平均速度． 【详解】解：由函数图象可得，体育场离张强家2.5千米，故A不符合题意； 由图象可得，张强在体育场锻炼了（分钟），故B不符合题意； 由图象可得，体育场离早餐店的距离为：（千米），故C不符合题意； 由图可得，张强从早餐店回家的距离是1.5千米，所需用的时间为（分）， 所以张强从早餐店回家的平均速度是（千米/小时），故D符合题意； 故选：D． 【题型四】求自变量的值或函数值 4．当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入中计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：D． 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）已知，那么__________． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查自变量和函数值；把时代入中计算即可． 【详解】解：把代入中得： ， 故答案为：． 【题型五】函数解析式 6．银行存款，一年定期年利率为r，取款时还要上交的利息税，某人存一年定期x元，到期后所得本金与利息之和为y元，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数解析式 【分析】本题主要考查列函数关系式，根据本息和=本金+利息=本金+本金×利率即可得出 【详解】解：根据题意得：， 故选：C 7．（23-24八年级下·上海·单元测试）某城市出租汽车收费标准为：千米以内（含千米）收元，超出千米的部分，每千米收费元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握函数的概念并找出相应的等量关系是解题的关键． 由题意可直接列出车费与行驶路程千米之间的函数关系式，化简即可． 【详解】解：由题意可知，当行驶路程千米时，车费与行驶路程千米之间的函数关系式为： ， 故答案为：． 8．（2023八年级下·上海·专题练习）小明使用的练习本均可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． (1)写出在两个商店中，收款y（元）与购买数量x（本）（的整数）的关系式． (2)小明在哪家商店买本较便宜？ 【答案】(1)； (2)见详解 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据总价等于单价乘以数量列出一次函数模型并用函数的知识解决问题． （1）利用两个商店的优惠方案分别表示出购买的练习本数与总钱数之间的函数关系即可； （2）根据小明所购买的练习本的本书分类讨论，当甲商店总钱数小于乙商店求得x的值，选择一个钱数小的商店即可． 【详解】（1）解：依题意得： ． （2）当时， 即：， 解得， ∴当购买20本练习本时，选择哪个商店均可； 当购买练习本小于20本时，选择乙商店； 当购买练习本大于20本时，选择甲商店． 【题型六】函数图象识别 9．（25-26八年级下·上海·期中）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 【题型七】从函数的图象获取信息 10．（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查实际问题的函数图象，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 根据图象中的信息逐项求解即可． 【详解】由图象可得，甲车的平均速度为，故A正确； 乙车的平均速度为，故B正确； 根据题意得， 解得， ∴在甲车出发2.5小时后两车相遇，故C错误； 由图象可得，乙比甲车先到达地，故D正确； 故选：C． 11．（23-24八年级下·上海金山·期末）甲、乙两人在公路上练习竞走和长跑，竞走、长跑的距离与时间的关系如图所示，那么在30千米的休息处，乙比甲早到了_______小时． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，从函数图象获得信息是解题的关键．由图象可求得甲乙两人的速度，则可分别求得在30千米的休息处两人行驶的时间，进而求得结果． 【详解】解：由图象知，甲2小时行驶了20千米，乙1小时行驶了20千米， 则甲的速度为：（千米/小时），乙的速度为：（千米/小时）， 甲行驶到30千米的休息处行驶的时间为：（小时）， 乙行驶到30千米的休息处行驶的时间为：（小时）， 则乙比甲早到了（小时）； 故答案为：． 12．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）一辆货车从甲地出发运送物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地运送乘客到乙地，货车行驶的平均速度是千米时，两车行驶了千米之后同时进入加油站，从甲地到加油站这段路程中，两车离甲地的路程（千米）与时间（小时）的函数图象如图所示：    (1)的值为______； (2)轿车的速度为______千米/小时； (3)加完油后，货车和轿车按照各自原来的行驶速度同时从加油站出发前往乙地，轿车比货车早个小时到达乙地，求加油站和乙地之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)加油站和乙地之间的距离为千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据货车行驶的路程为千米，平均速度是千米时，即可求得的值； （2）根据路程为千米，时间为小时，即可求得轿车的速度； （3）轿车到达乙地的时间为小时，则货车到达乙地的时间为小时，根据两车与乙地的距离相等，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：轿车的速度为千米/小时； 故答案为：． （3）设轿车到达乙地的时间为小时，则货车到达乙地的时间为小时．依题意，得 解得： ∴则加油站和乙地之间的距离为千米 答：加油站和乙地之间的距离为千米． 【点睛】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 【题型八】正比例函数的定义 13．（22-23八年级下·上海嘉定）如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是（    ） A． B． C．一切实数 D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如的形式，叫正比例函数． 14．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）若是关于的正比例函数，则_______． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、正比例函数的定义 【分析】先由正比例函数的定义得到，，再求解即可． 【详解】∵是y关于x的正比例函数， ∴，， 解得或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义和解一元二次方程，解题时注意． 【题型九】求自变量的取值范围 15．（22-23八年级下·上海青浦·期中）一次函数的定义域为______． 【答案】一切实数 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数的定义域，掌握一次函数的定义域是全体实数是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数是整式函数， ∴定义域为一切实数， 故答案为：一切实数． 16．（22-23八年级·上海·暑假作业）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)全体实数 (2) (3) (4) 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】（1）根据一次函数有意义的条件求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件求解即可； （3）利用分式有意义的条件求解即可； （4）利用二次根式及分式有意义的条件求解即可 【详解】（1）解：为任意值，都有意义，即函数定义域为全体实数； （2）； （3）； （4）． 【点睛】题目主要考查函数的定义域，即满足代数式有意义的条件，熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题关键． 【题型十】正比例函数的图象 17．（2023·上海虹口·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 18．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 _______． 【答案】6 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． 设解析式为，代入点求出值得到解析式，再代入点坐标求出值即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 在的图象上， ， ， 正比例函数解析式为：， 是直线上的点， ， ． 故答案为：6． 【题型十一】正比例函数的性质 19．（2023八年级下·上海·专题练习）正比例函数的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是______________________． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数时，图象在第一、三象限，呈上升趋势，当时，图象在第二、四象限，呈下降趋势．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 20．（2023八年级下·上海·专题练习）已知y与x成正比例，且当时， (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）将代入解析式，即可得解． 【详解】（1）∵y与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：把代入得：． 【点睛】本题考查正比例函数的定义．用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【题型十二】识别一次函数 21．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 22．（24-25八年级下·上海·期中）下列关系式中，y不是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题的关键．一般地，形如的函数叫做一次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．，是一次函数，故A不符合题意； B．，是一次函数，故B不符合题意； C．，不是一次函数，故C符合题意； D．，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【题型十三】根据一次函数的定义求参数 23．（23-24八年级下·上海宝山·月考）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 24．（24-25八年级下·上海·月考）若关于x的函数是一次函数，则的值为_______． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 【题型十四】求一次函数自变量或函数值 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）下列各点中，在直线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．分别把各点代入一次函数的解析式进行检验即可． 【详解】解：A．当 时，，故不合题意； B．当时，，故不合题意； C．当时，，故符合题意； D．当时，，故不合题意． 故选：C． 26．（24-25八年级下·上海闵行·月考）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是_______． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据加倍点的定义设出加倍点的坐标是解题的关键． 根据加倍点的定义，设出加倍点的坐标，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：设加倍点为：， 代入直线的解析式得：， ∴， ∴加倍点的坐标为：． 故答案为： ． 【题型十五】列一次函数解析式并求值 27．汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是______． 【答案】y=60-10x 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】由剩余油量=原有油量-耗油量可得解析式． 【详解】解：原有油量为60升，每小时耗油10升， ∴y=60-10x． 故答案为：y=60-10x． 【点睛】本题考查一次函数求解析式，解题关键是通过题意列出代数式． 【题型十六】求一次函数解析式 28．已知直线y＝2x＋b过点（0，﹣5），确定该直线l的表达式是（    ） A．y＝x﹣5 B．y＝x＋5 C．y＝2x＋5 D．y＝2x﹣5 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】直接把已知点的坐标代入y＝2x+b求出b的值，从而得到直线解析式． 【详解】解：把（0，﹣5）代入y＝2x+b得b＝﹣5， 所以直线l的解析式为y＝2x﹣5．故选：D． 【点睛】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 29．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线经过，且这条直线与坐标轴所围成的三角形面积为10，则直线的解析式为_______． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式：先设，再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．先根据三角形面积公式求出或，然后分类：当，则，把代入求出对应k的值；当，则，把代入求出对应k的值． 【详解】解：当时，，则直线与y轴的交点坐标为， 根据题意得， 解得或， 当，则，把代入得，解得； 当，则，把代入得，解得； 所以直线的解析式为或． 故答案为：或． 30．（24-25八年级下·上海崇明·期中）新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求b的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图像过A、B两点的一次函数的关联数． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的定义 【分析】本题考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，理解新定义是解题的关键； （1）由新定义及正比例函数知，，即可求得b的值； （2）利用待定系数法求出直线的函数解析式，即可求得“关联数”． 【详解】（1）解：∵“关联数”的一次函数为正比例函数， ∴， 解得； （2）解：将，代入中， 得，， 解得； 即图像过A、B两点的一次函数的关联数为． 【题型十七】判断一次函数的图象 31．（2024八年级下·上海徐汇·期中）一次函数，y随着x的增大而减小，且，则该函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】由y随x的增大而减小，可得k＜0，由kb＞0，可得b＜0，据此即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵kb＞0， ∴b＜0． ∴该函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是判断出k、b的正负情况． 【题型十八】根据一次函数解析式判断其经过的象限 32．（24-25八年级下·上海·月考）一次函数一定经过（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 本题令，求出的值，再求出的对应值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：C． 33．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数，如果随的增大而增大，那么它的图像不经过第________象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数图像与性质，由随的增大而增大，得到，进而确定一次函数图像过一、三、四象限，进而得到答案．熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解析：一次函数且随的增大而增大， 它的图像经过一、三、四象限， 不经过第二象限， 故答案为：二． 【题型十九】已知函数经过的象限求参数范围 34．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）直线的图像经过第一、二、四象限，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，熟练掌握一次函数的图像与系数的关系是解题的关键． 根据已知条件，结合一次函数的图像与系数的关系，列不等式组，求解即可． 【详解】解：∵直线的图像经过第一、二、四象限， ∴， 解得， 故选：C． 35．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数图象与性质，对于一次函数 (，k，b为常数），当，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 根据图像经过第二、三、四象限得到，据此得到一元一次不等式组，再求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型二十】一次函数图象与坐标轴的交点问题 36．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）直线在y轴上的截距是________． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】直线与轴交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，依据定义即可求解． 【详解】解：当时，， 直线在轴上的截距为 37．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知直线与直线交于． (1)求直线的表达式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)； (2)4． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求直线的解析式，点的坐标，直线的交点坐标以及三角形的面积． （1）根据的解析式求出P点的坐标，再代入的解析式，利用待定系数法就可以求出的解析式． （2）当时，设、分别交x轴于点B、C，求出、与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求出的面积． 【详解】（1）解：把代入中，，解得：， ， 把P代入中，， 解得：， ． （2）解：设交x轴，y轴分别于点A，B， 令，则， ， 令，则，解得：． ， ， ． 【题型二十一】画一次函数图象 38．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图象经过点且平行于直线． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，画一次函数的图象，对于（1），先求出k，再将点代入，即可求出答案； 对于（2），先求出另一个点，再过两个点画直线即可． 【详解】（1）∵一次函数平行于直线， ∴． 又∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）当时，， ∴这个一次函数的图象经过点，， 经过两点作直线，图象如图所示． 【题型二十二】一次函数图象平移问题 39．（23-24八年级下·上海·月考）要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数的图像平移变换，解题的关键是根据“左加右减、上加下减”的函数图像平移规律解答即可． 【详解】解：将直线的图像向下平移个单位即可得到直线的图像． 故选：A． 40．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数图像所对应的函数解析式为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图像的平移，解题关键是掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．据此解答即可． 【详解】解：将函数的图像沿y轴向下平移3个单位后， 得到的函数图像所对应的函数解析式为． 故答案为：． 【题型二十三】判断一次函数的增减性 41．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）在一次函数中，y随x的增大而减小，那么常数m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】先根据一次函数的增减性得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 42．（24-25八年级下·上海·月考）一次函数，当时，函数值的范围是，那么代数式的值是_____________． 【答案】/ 【知识点】判断一次函数的增减性、分式的求值 【分析】本题考查了代数式求值，一次函数的图象与性质，当时，，当时，，可得即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，当时，， 当时，， 得： ， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型二十四】根据一次函数增减性求参数 43．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：B． 44．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数，根据下列条件，求的取值范围． (1)函数值随的值的增大而减小； (2)图象经过一、三、四象限； (3)图象不经过第二象限． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． （）根据一次函数的性质列出关于的不等式求出的取值范围即可； （）根据一次函数的性质列出关于的不等式求出的取值范围即可； （）根据一次函数的性质列出关于的不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数值随的值的增大而减小， ∴， 解得：； （2）解：∵函数图象经过一、三、四象限， ∴， ∴； （3）解：∵函数图象不经过第二象限， ∴， ∴． 【题型二十五】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 45．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）点，点都在直线上，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵k=＞0 ∴y随x的增大而增大 ∵-3＜-1 ∴a＜b 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键． 46．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 【题型二十六】比较一次函数值的大小 47．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知点、、是一次函数的图像上的三点，则在、、中最小的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的增减性；根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而减小． ∵ ∴， ∴最小的值为， 故选：C． 48．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，如果点和点在直线l的图象上，那么m、n的大小关系是：m_______n．（用“”、“”或“”表示） 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数图象判断其增减性，再利用增减性比较函数值大小． 先根据直线的图象判断函数的增减性，再比较点、横坐标大小，进而得出、的大小关系． 【详解】解：从图象看，函数的值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【题型二十七】一次函数的规律探究问题 49．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是_________． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查一次函数；将整理为，根据题意得到，解二元一次方程即可． 【详解】解： 因为取什么值，该直线始终会经过同一个点 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 【题型二十八】已知直线与坐标轴交点求方程的解 50．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，那么这个函数图像在轴上的截距是______． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了截距，熟练掌握截距的定义是解题的关键．令求出y的值即可求解． 【详解】解：当时，， ∴这个函数图像在轴上的截距是． 故答案为：． 【题型二十九】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 51．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 【题型三十】利用图象法解一元一次方程 52．（23-24八年级下·上海·月考）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 53．在正比例函数中，当时，，那么______． 【答案】 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】直接把，代入正比例函数，求出的值即可． 【详解】解：正比例函数中，当时，， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【题型三十一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 54．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；②当时；③；④不等式的解集是． x … 0 2023 … y … … A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键． 认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】①由表格可知，时，，，即， 故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 故选∶ C． 55．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）一次函数（k，b为常数，）的图像如图所示，那么关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据直线与x轴的交点求不等式的解集， 先确定直线与x轴的交点坐标，再根据直线在x轴下方时函数值小于0可得答案. 【详解】解：一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【题型三十二】根据两条直线的交点求不等式的解集 56．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象即可确定不等式的解题． 【详解】解：函数和的图象相交于点， 根据图象可知，不等式的解集是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，用一次函数的图象的交点坐标解不等式是解题的关键． 57．（2023八年级下·上海·专题练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】观察函数图像，写出直线l2在直线l1上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】两条直线的交点坐标为（-1，3）， 当时，直线在直线的上方， 故不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键就在于从图像中获取信息，确定直线l2在直线l1上方所对应的自变量的范围． 【题型三十三】两直线的交点与二元一次方程组的解 58．（22-23八年级下·上海·单元测试）如图，一次函数和交于点，则关于x的一元一次方程的解是__． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据两一次函数图象的交点横坐标即可得出方程的解，此题得解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟练掌握两函数图象交点横坐标与方程解之间的关系是解题的关键． 59．（2023八年级下·上海·专题练习）已知两个一次函数和； (1)、为何值时，两函数的图像重合? (2)、满足什么关系时，两函数的图像相互平行? (3)、取何值时，两函数图像交于轴上同一点，并求这一点的坐标． 【答案】(1) (2)且 (3)，，坐标为（2，0） 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）因为两函数的图象重合，也就是两个函数的比例系数与常数项相等，由此建立关于a、b的方程组，求得a、b的数值； （2）根据“两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等”列式求解即可； （3）分别根据两函数与x轴相交于同一点，求出交点坐标即可得到结论． 【详解】（1）∵两函数的图像重合 ∴两个一次函数的比例系数和常数项都相等， ∴ 解得：； （2）∵两个一次函数的图像平行， ∴比例系数相等，常数不相等， ∴，且， 即，且； （3）∵两个一次函数的图像交于轴上一点，即两个一次函数与轴的交点重合， ∴两个一次函数与轴的交点重合； 对于，令，得， 对于，令，得， ∴， 即， ∴当，时，两函数图像交于轴上同一点，交点坐标为（-2，0）． 【点睛】本题考查了两条直线相交和平行问题，利用两个一次函数的交点坐标为两函数解析式所组成的方程组的解解决问题． 【题型三十四】求直线围成的图形面积 60．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)、 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、(等腰)梯形的定义 【分析】（1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求解； （2）作轴，垂足为H，根据点、、，得到，再利用求解； （3）根据梯形的一组对边平行，另一组对边不平行，分两种情况，结合一次函数求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点、分别代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：作轴，垂足为H，    ∵点、、， ∴ ∴； （3）解：、. ∵以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形， ∴四边形中有一组对边平行， ①当时，    ∵， ∴； ②当时，    设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，将代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 综上，符合条件的点F有两个：、． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数平行的性质，一次函数交点的问题，一次函数与图形面积，正确掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 【题型三十五】分配方案问题(一次函数的实际应用) 61．（2024八年级下·上海·期末）学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表： 标准型 舒适性 载客量（单位：人/辆） 40 28 租金（单位：元/辆） 500 350 （1）求一共需租多少辆客车？说明理由； （2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金． 【答案】（1）6辆．理由见解析；（2）y=150x+2100，3≤x≤，租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由师生总数为204名，根据“所需租车数=人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论； （2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆，根据师生总数为204人以及租车总费用不超过2800元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用=租标准型客车所需费用+租舒适型客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题． 【详解】解：（1）∵204÷40=5（辆）…4（人）， ∴保证204名师生都有车坐，汽车总数不能小于6； ∵只有6名教师， ∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6； 综上可知：共需租6辆汽车． （2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆， 由题意得：y=500x+350（6-x）=150x+2100， ∵学校计划在总费用2800元的限额内，师生总数为204人， ∴， 解得：3≤x≤， ∵x为整数， ∴x=3，4， ∴共有2种租车方案，方案1：租标准型客车3辆，舒适型客车3辆；方案2：租标准型客车4辆，舒适型客车2辆， 方案1所需费用=500×3+350×3=2550（元）， 方案2所需费用=500×4+350×2=2700（元）． ∵2700＞2550， ∴方案1租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键． 【题型三十六】最大利润问题(一次函数的实际应用) 62．（2024八年级下·上海·期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量． （2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域． 【答案】（1）第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；（2）y＝270x−1200，定义域为x≥6 【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）利用第二次购进数量比第一次少了30支，进而得出关系式进而得出答案； （2）利用（1）中所求，得出y＝（x−4）×150＋（x−5）×120从而列出不等式，求出x的范围即可． 【详解】解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a元/支， 则据题意得： ， ∴a1＝4，a2＝−5（舍）， 经检验：a=4是方程的解，且符合题意， 600÷4＝150， 答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支； （2）由题意得：y＝（x−4）×150＋（x−5）×120＝270x−1200， ∵y≥420， ∴270x−1200≥420，解得：x≥6， 即获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系为：y＝270x−1200，定义域为x≥6． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，利用第二次购进数量比第一次少了30支列出分式方程是解题关键． 【题型三十七】行程问题(一次函数的实际应用) 63．（2024八年级下·上海崇明·期末）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是__________分钟． A．4 B．6 C．16 D．10 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】由函数图象求出、解析式，再把代入解析式就可以求出小张、小王所用时间． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， 经过点， ， 得， 函数解析式为：①， 把代入①得：， 解得：， 小张到达乙地所用时间为96（分钟）； 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：②， 把代入②得：， 解得：， 则小王到达乙地的时间为小张出发后90（分钟）， 小王比小张早到（分钟）， 故选：B． 【点睛】本题考查的一次函数的应用，关键是由图象求函数解析式． 64．（24-25八年级下·上海崇明·期中）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图像． (1)当_______分钟时，小明爸爸正好回到家； (2)与之间的函数表达式为_______； (3)当___________分钟时，小明和爸爸第一次相遇．（第（3）需要写出过程） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）根据小明爸爸与家之间的距离总路程已行驶的路程，即可求解； （3）求出当时，，联立，即可求解． 【详解】（1）解：家和邮局之间的距离为米，小明爸爸的步行速度为每分钟米， 小明爸爸从邮局到家的时间为：（分钟）， 即当分钟时，小明爸爸正好回到家， 故答案为：； （2）与之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）当时，，将代入得： ， 解得：， 当时，， 联立， 解得：， 即当分钟时，小明和爸爸第一次相遇， 故答案为：． 【题型三十八】一次函数与几何综合 65．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ．    故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 66．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是___________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查直线上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，解一元一次方程．根据点A是直线在第一象限内的一点，设，其中，，根据点A到两坐标轴的距离相等列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点A是直线在第一象限内的一点， ∴设，其中，， ∵点A到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 67．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)秒或3秒 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $