7.4.1 二项分布（2）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

回忆一下 _______________________的试验叫做伯努利试验 （1）同一个伯努利试验重复做n次； （2）各次试验的结果相互独立. 随机变量Ｘ服从二项分布，记作__________ 确定一个二项分布模型的步骤： 只包含两个可能结果 n重伯努利试验： Ｘ～Ｂ(n,p) （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； （3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n,p). 7.4.1 二项分布 自主研读 P76，梳理知识，记录疑问 二项分布的期望和方差公式是什么？ 关注以下问题： 问题一：若随机变量X~B(n，p)，那么X均值和方差各是什么？  E(X)=np， 若X~B(n，p)，则 D(X)=np(1−p) 问题二：若随机变量X~B(n，p)，那么X不用公式推导，你能从直观上理解为什么期望是E (X) ＝np吗？如果每次试验成功的概率是p，做了n次，平均成功次数应该是多少？ 直观理解：每次试验成功的期望是p（两点分布的期望），n次独立试验，总成功次数的期望就是n个p相加，即np. 类比：买彩票，每次中奖概率p，买n次，平均中奖次数就是np次. 虽然单次可能中也可能不中，但长期平均就是这个数. 问题三：0~1分布与二项分布有何关系？  两点分布： X 0 1 P 1―p p 二项分布：X~B(n，p) 一般情况 特例 (1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能的结果； (2)两点分布是n＝1时的二项分布. E (X)=p D(X)=p(1−p) E (X)=p D(X)=p(1−p) 典例精析 例1： D D 典例精析 例2.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是. ①求这位司机遇到红灯数的期望与方差； ②若遇上红灯，则需要等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差. 典例精析 例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？ ①3局2胜制中“甲胜”的情况： ②5局3胜制中“甲胜”的情况： 3:0——赛3局，甲连胜3局； 3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局； 3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局； 解法一 解法一符合比赛实际规则,比较容易理解, 但不符合二项分布的特征。 比赛局数越多，对实力较强者越有利. 2:0——赛2局，甲连胜2局； 2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局； 因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 典例精析 例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？ ①3局2胜制：不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数， 则X~B(3，0.6). ②5局3胜制：不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数， 则X~B(5，0.6). 解法二 解法2用二项分布求解,解法较简单, 但不易理解. 问题四：为什么假定赛满3局或5局不影响甲最终获胜的概率？  从比分上看: 3局2胜的比分应为2:0或2:1， 对“2:0”：若设赛满3局,则第3局甲无论胜、负总体都是甲胜，故这个“2:0”可分为“3:0”与“2:1”两种情况； 对“2:1”本身就赛满3局,故 p1＝P(X ＝2) + P(X ＝3) 同理可得，对5局3胜可定赛满5局与此类似. 从甲获胜对应的概率值上看: 2:0对应概率 ，2:1对应概率. 所以. 典例精析 典例精析 典例精析 归纳总结 n重伯努利试验 伯努利试验 二项分布Ｘ～Ｂ(n,p) 模型应用 二项式定理 数学思想： 1.特殊到一般 2.模型思想 3.数形结合 独立 重复 事件A发生次数 公式 联系 两点分布 两个重要数字特征： 期望： 方差： 随堂小测 课本P76 1 1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； 所以X的分布列为： 随堂小测 随堂小测 课后作业 课本P81 7，8 课本P91 6（参考数据：lg5=0.6990，lg7=0.8451） 9（不用计算具体结果） 课后研读 P81~P82 二项分布的性质 (1)已知离散型随机变量X服从二项分布 ,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. (2)已知随机变量 ，若 ，则 ( ) A． B． C． D． 例4：设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （2）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率. 解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，故，从而 . 所以，随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 随机变量 的数学期望 . (2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 且 . 由题意知事件 与 互斥， 且事件 与 ，事件 与 均相互独立， 从而由(1)知： . 2．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为 ，若中奖，则商场返回顾客现金100元.某顾客现购买2300元的台式电脑一台，得到奖券4张.每次抽奖互不影响. (1)设该顾客抽奖后中奖的奖券张数为 ，求 的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 （单位：元），求 的数学期望. 解：(1)由题意， 的可能取值为， ， ， ， ； 则 ； ， ， ， ， 0 1 2 3 4 (2)由题意， ，， 所以 ， 因此 元. $