专题03 实际问题与二元一次方程组重难点题型专训（2个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 实际问题与二元一次方程组重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 三元一次方程组的应用 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 二元一次方程组的综合应用 知识点一：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·周测）某学校组织七年级135名学生参加学雷锋活动．去人民广场的学生人数比去公园的学生人数的3倍少1，去人民广场和去公园的学生各有多少名？根据题意，列出方程组其中表示____________，表示____________。 知识点二：二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（2025·河北·模拟预测）红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 2．（24-25七年级·全国·课前预习）阅读教材P147－148页，完成下列问题： 利润＝售价－______；利润率＝_____÷成本×100%；利润＝_______×利润率． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少?设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东·期末）一个学习小组共有个学生，分为个小组．若每组分人，则余下人；若每组分人，则有一组少人，则可得方程组______． 1．（25-26八年级上·重庆·期中）在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·江西赣州·专题练习）《九章算术》是中国古代数学的智慧结晶，其中有一道关于方程的应用题：“四只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其一，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”大意是“四只麻雀六只燕子，一共重两，麻雀比燕子重．麻雀和燕子互换一只，则它们重量相等．问每只麻雀、燕子的重量各为多少两？”设每只麻雀重两，每只燕子重两，则可列出方程组为______________． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为_____ ． 1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·青海西宁·期末）如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横—竖—横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm，则一个小长方形的周长为________cm． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【经典例题三 方案问题】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江大兴安岭·月考）为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（    ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 【例2】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·月考）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 3．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 【经典例题四 行程问题】 【例1】（25-26七年级上·河北沧州·月考）甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 1．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 3．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【经典例题五 工程问题】 【例1】（2025七年级下·浙江宁波·模拟预测）某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（2025·重庆沙坪坝·二模）春末夏初， 正是枇杷成熟之际， 某枇杷基地的枇杷大量成熟， 于是安排了 20 个工人分三个小组分别对 三种枇杷进行采摘， 每人每天固定只采摘同一品种的枇杷， 每天采摘 三种枇杷的时间之比为 ， 采摘 三种枇杷的速度之比为 ． 第一次采摘用了 5 天时间； 第二次采摘时， 从原来采摘 种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘 种枇杷的小组中， 由于不熟悉 种枇杷采摘， 新加入的工人的采摘速度为原有采摘 种枇杷工人采摘速度的 ， 第二次采摘也用了 5 天时间， 两次采摘的三种枇杷的总量比为 ；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的 ． 为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入 种枇杷采摘组的工人采摘速度和 种枇杷采摘组其他工人一样）， 在总人数 20 人以外另再添加 人去采摘 种枇杷， 新加入的 人的采摘速度是原来采摘 种枇杷工人速度的 2 倍， 最终， 第 3 次用了整数天完成采摘任务． 则 的值至少为_____________． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 2．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【经典例题六 数字问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 【例2】（2026·浙江湖州·模拟预测）若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 2．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 3．（24-25七年级下·山东淄博·期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 9：00 9：48 11：00 里程碑 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0 如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么： (1)小明9：00时看到的两位数为______； (2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______； (3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数． 【经典例题七 数字问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆合川·期中）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 【例2】（24-25七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）小华4年后的年龄与小丽4年前的相等，3年后她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍.则小华和小丽今年的年龄分别为__. 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【经典例题八 分配问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得 _______． 1．（24-25七年级上·吉林·期中）七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【经典例题九 销售、利润问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）购买A种跳绳9根和购买B种跳绳11根的价钱相等，购买8根A种跳绳和1根B种跳绳比购买1根A种跳绳和10根B种跳绳少13元，则每根A种跳绳卖________元，每根B种跳绳卖________元． 1．（25-26七年级下·吉林·月考）为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 2．（25-26七年级下·广东广州·阶段练习）学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．请你根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的单价． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【经典例题十 和差倍分问题】 【例1】（2025·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有_______名同学，捐款50元的有_____名同学． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 2．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： (1)若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； (2)若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ (3)为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天        ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天        ④A套餐4天、B套餐1天 【经典例题十一 几何问题】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 3．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【经典例题十二 图表信息题】 【例1】（24-25七年级下·河南安阳·月考）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【例2】（25-26八年级上·山西运城·月考）学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则_____． x 2y y 6 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ (2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求果农应付运费总共多少元？ 3．（24-25七年级上·上海·期末）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”． 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． (1)在图2的“等和格”方格图中，可得a＝ ．（用含b的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得a＝ ，b＝ ； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得b＝ ． 【经典例题十三 古代问题】 【例1】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 【例2】（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 1．（2026·安徽合肥·一模）《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 【例2】（25-26八年级上·山西运城·月考）小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 1．（25-26七年级上·全国·单元复习）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 2．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 3．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）定义：对于任意一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“不偏不倚数”；将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令；将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到个新数，令．若被143除余121，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的的最大值为________． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 2．（24-25七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 3．（24-25七年级下·山西临汾·期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值．                                                         【拓展训练二 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下表格是4天的记录： 牙刷（支） 牙膏（盒） 收入（元） 第1天 13 7 144 第2天 14 7 147 第3天 20 10 210 第4天 23 20 366 聪明的小明发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（   ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）根据所给信息，可知每只小猫______元，每只小狗______元．买   一共要元，买 一共要元． 1．（2026·安徽·一模）随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 2．（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 3．（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． A基础训练 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）物理教师将一根米的导线交给小组长将其截成20厘米和30厘米两种长度的导线（每种长度的导线至少1根），则最多能截出（）根导线 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）A、B两地相距千米，甲车和乙车同时从A、B两地相向开出，经过1小时分钟相遇．相遇时，甲车比乙车多行驶千米．设甲车和乙车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 4．（24-25七年级下·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 5．（2025·山东临沂·二模）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购 买相差4元的2种快餐各1份，结账时，店员说：你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样，这位同学想了想说：我还是只多买 1 瓶指定饮料吧，要求你以最便宜的方式给我结账，这位同学要付的金额是（    ） A．56 B．57 C．58 D．60 B 提高训练 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有__________种. 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件．则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为________件． 8．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且不为0，这样的两位数学称为“异同数”．把一个“异同数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算：______．若a，b都是“异同数”，（，x，y为整数）当时，则的最大值为______． 9．（24-25七年级下·重庆·月考）中秋节期间，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和，已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为，每盒乙包装月饼售价91元，利润率是，两种包装的月饼共50盒总价6300元，总利润率是．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是 _____元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为______，与的差为______． C 培优训练 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元． (1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？ 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 13．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 15．（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实际问题与二元一次方程组重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 三元一次方程组的应用 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 二元一次方程组的综合应用 知识点一：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·周测）某学校组织七年级135名学生参加学雷锋活动．去人民广场的学生人数比去公园的学生人数的3倍少1，去人民广场和去公园的学生各有多少名？根据题意，列出方程组其中表示____________，表示____________。 【答案】 去公园的学生人数 去人民广场的学生人数 【分析】本题通过分析去人民广场的学生人数与去公园的学生人数的和为且人民广场人数是公园人数的倍少这两个数量关系，结合方程组的结构，确定未知数、的意义． 【详解】解：观察方程组，其中第二个方程体现了一个量是另一个量的倍少 的关系，因此： 表示去公园的学生人数； 表示去人民广场的学生人数． 故答案为：①去公园的学生人数,②去人民广场的学生人数． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用（和倍问题），解题关键是根据题目中的数量关系（和、倍数关系），结合方程组的形式，确定未知数所代表的实际意义． 知识点二：二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（2025·河北·模拟预测）红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 【答案】B 【分析】设女生x人，男生有y人，根据题意列方程组，计算解答即可． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出关系式是解题关键． 【详解】解：设女生x人，男生有y人， 若选择条件1： 由题意得方程组：， 解得，由于人数必须为整数，无解，故条件1无法确定具体人数． 若选择条件2： 由题意得方程组：， 解得，， 符合要求且均为整数，故条件2可以确定男生和女生人数． 故选：B． 2．（24-25七年级·全国·课前预习）阅读教材P147－148页，完成下列问题： 利润＝售价－______；利润率＝_____÷成本×100%；利润＝_______×利润率． 【答案】 成本价 利润 成本价 【解析】略 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少?设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出两个等量关系，即可列出对应的方程组. 【详解】∵五只雀、六只燕共重一斤，每只雀重斤，每只燕重斤， ∴得到第一个方程 . 互换其中一只后，一侧剩余4只雀和1只燕，另一侧剩余5只燕和1只雀，此时两侧重量相等， ∴得到第二个方程 . 因此可列方程组为 . 【例2】（25-26八年级上·广东·期末）一个学习小组共有个学生，分为个小组．若每组分人，则余下人；若每组分人，则有一组少人，则可得方程组______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设总人数为，组数为，根据题意列方程组即可，读懂题意，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设总人数为，组数为， 若每组人，则余下人，即，整理得； 若每组人，则有一组少人，即，整理得， 所以方程组为， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·重庆·期中）在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球，由题意知初二龚老师在一次比赛中14投10中得19分．若他投中了2个三分球，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球， 由题意得：， 故选：C． 2．（2025九年级·江西赣州·专题练习）《九章算术》是中国古代数学的智慧结晶，其中有一道关于方程的应用题：“四只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其一，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”大意是“四只麻雀六只燕子，一共重两，麻雀比燕子重．麻雀和燕子互换一只，则它们重量相等．问每只麻雀、燕子的重量各为多少两？”设每只麻雀重两，每只燕子重两，则可列出方程组为______________． 【答案】 【分析】根据题意找出两个等量关系，再根据等量关系列方程即可． 【详解】解：设每只麻雀重两，每只燕子重两， 根据“四只麻雀六只燕子一共重两”这一等量关系，可得； 互换一只后，一边剩下只麻雀和只燕子，另一边剩下只麻雀和只燕子，此时两边重量相等，根据这一等量关系，可得； ∴可列方程组为． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得：， 解得：， ∴10个碗叠成一列高度为， 即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：根据图示可以列出方程组为： ． 故答案为：． 1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 2．（24-25七年级下·青海西宁·期末）如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横—竖—横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm，则一个小长方形的周长为________cm． 【答案】672 【分析】设小矩形的长为xcm，宽为ycm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm．根据矩形的周长公式结合大矩形的周长为2016cm即可得出关于（x+y）的一元一次方程，解之即可得出（x+y）的值，再根据矩形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设小矩形的长为xcm，宽为ycm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm． 根据题意得：2（2x+y+x+2y）=2016， 解得：2（x+y）=672， ∴小矩形的周长为672cm． 故答案为：672． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，将（x+y）当成一个整体利用矩形的周长公式找出关于（x+y）的一元一次方程是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【经典例题三 方案问题】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江大兴安岭·月考）为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（    ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解应用，解题的关键是通过方程化简分析未知数的取值特征，确定符合条件的方案数． 设男生、女生人数为、，列方程化简后，根据为非负整数确定的偶数特征，进而找出所有方案． 【详解】解：设安排男生名，女生名， 由题意得：， 化简为， 则． 为非负整数，为非负偶数，即为非负偶数． 设（为非负整数），代入得． 由得，故取0，1，2，3，4， 对应5种方案：；；；；． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得，求出方程的非负整数解，问题得解﹒ 【详解】解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·月考）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 【答案】 租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 【分析】设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； 【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【分析】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 3．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元 (2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少 【分析】（1）设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，根据题意构造方程组求解即可； （2）设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，用含m的代数式分别表示两种方案的费用，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元， 由题意，得， 解得， 答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元． （2）解：设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件， 由题意，得， ． ∴． 当，即时，解得，此时两种方案花费一样； 当，即时，解得，此时方案一花费少； 当，即时，解得，此时方案二花费少， 又∵， ∴当时，方案二花费少； 当时，两种方案花费一样； 当时，方案一花费少． 【经典例题四 行程问题】 【例1】（25-26七年级上·河北沧州·月考）甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，通过背向而行相遇和同向而行追及的条件，建立关于甲、乙速度的方程组，解方程组求出甲的速度． 【详解】解：设甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟. 根据题意可得：， 整理得： 得： ， 解得：， 答：甲的速度为米/分钟． 故选：C． 【例2】（2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 1．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 3．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【经典例题五 工程问题】 【例1】（2025七年级下·浙江宁波·模拟预测）某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 【例2】（2025·重庆沙坪坝·二模）春末夏初， 正是枇杷成熟之际， 某枇杷基地的枇杷大量成熟， 于是安排了 20 个工人分三个小组分别对 三种枇杷进行采摘， 每人每天固定只采摘同一品种的枇杷， 每天采摘 三种枇杷的时间之比为 ， 采摘 三种枇杷的速度之比为 ． 第一次采摘用了 5 天时间； 第二次采摘时， 从原来采摘 种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘 种枇杷的小组中， 由于不熟悉 种枇杷采摘， 新加入的工人的采摘速度为原有采摘 种枇杷工人采摘速度的 ， 第二次采摘也用了 5 天时间， 两次采摘的三种枇杷的总量比为 ；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的 ． 为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入 种枇杷采摘组的工人采摘速度和 种枇杷采摘组其他工人一样）， 在总人数 20 人以外另再添加 人去采摘 种枇杷， 新加入的 人的采摘速度是原来采摘 种枇杷工人速度的 2 倍， 最终， 第 3 次用了整数天完成采摘任务． 则 的值至少为_____________． 【答案】1 【分析】根据时间、速度得出一二三次采摘总量，且第三次采摘时间为整数，可得出关于y的方程，讨论即可得出答案． 【详解】解：设初始每组人数分别为a、b、c，①, 则第一次采摘总量为10a＋50b＋10c， 设第二次采摘时从第三组抽调x人到第二组， 则第二次采摘总量为10a＋50b＋25x＋10 ＝10a＋50b＋10c＋15x 且 整理得a＋5b＋c＝4.5 x② 两次采摘总量为10a＋50b＋10c＋10a＋50b＋10c＋15x ＝20a＋100b＋20c＋15x 则第三次采摘总量为 设第三次采摘时间为n天， 则有③ 将①②代入③整理得④ ∵x、y、n为整数， ∴当n＝1时，④可化为23x＝2y，x＝2，y＝23； 当n＝2时，④可化为29x＝8y，x＝8，y＝29； 当n＝3时，④可化为x＝y，x＝1，y＝1； 当n＝4时，④可化为－5x＝16y，不符合题意； 故答案为：1． 【点睛】本题考查赋值讨论问题，正确理解题意、仔细计算化为最简、赋值讨论是解题的关键． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 【经典例题六 数字问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，设这一列数中有个，个3，其余为0，根据题意，建立关于和的方程组，解出和的值，再代入立方和的表达式即可求解． 【详解】解：设数列中有个，个3，则0的个数为个， 根据题意得：， 解得：， ∴ ， 故选：D． 【例2】（2026·浙江湖州·模拟预测）若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____． 【答案】63 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 整理得 ，即， 联立得方程组 ， 将两个方程相加得，， 解得，， 把代入，得， ∴． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 2．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 3．（24-25七年级下·山东淄博·期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 9：00 9：48 11：00 里程碑 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0 如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么： (1)小明9：00时看到的两位数为______； (2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______； (3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1) (2)； (3)小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数； （2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y； （3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可． 【详解】（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y， ∴两位数可表示为； 故答案为；． （2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴两位数可表示为； ∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴11：00时的三位数可表示为：； 故答案为；；． （3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下： ， 解得：． ∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15． 答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15． 【点睛】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键． 【经典例题七 数字问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆合川·期中）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 【答案】C 【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得： ，解得：．故选C． 【例2】（24-25七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 【答案】 28 21 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 2．（2025八年级上·全国·专题练习）小华4年后的年龄与小丽4年前的相等，3年后她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍.则小华和小丽今年的年龄分别为__. 【答案】5岁，13岁 【分析】设小华今年x岁，小丽今年y岁，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【详解】设小华今年x岁，小丽今年y岁， 依题意可得， 解得 故小华和小丽今年的年龄分别为5岁，13岁， 故填：5岁，13岁 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程. 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得： ， 解得： ． 答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题八 分配问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 【答案】D 【分析】设可以做成个竖式无盖纸盒，个横式无盖纸盒，根据四次领取正方形及长方形纸板的数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再结合，为正整数，即可得出结论． 【详解】设可以做成个竖式无盖的不锈钢盒子，个横式式无盖的不锈钢盒子， 第一次：，解得：，数据无误； 第二次：，解得：，数据无误； 第三次：，解得：，数据无误； 第四次：，解得：，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得 _______． 【答案】 【分析】根据车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓， 依题意，得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键． 1．（24-25七年级上·吉林·期中）七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，根据租用的帐篷正好住人，再根据列出关于x的一元一次方程，可解求得出x的值，再将其代入中，即可求出租用小帐篷的数量． 【详解】解：设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确审题，根据题目条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 设甲、乙两种票各买张，张，根据“35名学生购票恰好用去了750元”，作为等量关系列方程组即可求解． 【详解】解：设甲种票买张，乙种票买张， 由题意，得：， 解得：． 所以设甲种票买20张，乙种票买15张． 故选：B ． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）购买A种跳绳9根和购买B种跳绳11根的价钱相等，购买8根A种跳绳和1根B种跳绳比购买1根A种跳绳和10根B种跳绳少13元，则每根A种跳绳卖________元，每根B种跳绳卖________元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设每根A种跳绳的价格为 元，每根B种跳绳的价格为元，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每根A种跳绳的价格为元，每根B种跳绳的价格为元． 根据题意： 解得：， 答：每根A种跳绳卖元，每根B种跳绳卖元． 故答案为：，． 1．（25-26七年级下·吉林·月考）为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 【答案】A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 【分析】设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元．根据购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元，进行列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元． 依题意，得， 解得， ∴A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 2．（25-26七年级下·广东广州·阶段练习）学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．请你根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的单价． 【答案】每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元 【分析】设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，根据图片中的信息列出方程组求解即可． 【详解】解：设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购群1更划算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意分别求出团购群1和团购群2的费用，比较之后即可得到答案． 【详解】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购群1的费用为：， 团购群2的费用为：， ∵， ∴团购群1购买更合算． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例1】（2025·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有_______名同学，捐款50元的有_____名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 【详解】解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 2．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 【答案】(1)型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元 (2)该公司有2种购进方案 【分析】（1）设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进型号机器人个，型号机器人个，根据两种型号的机器人的价格之和为450元，列出方程，求方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元． 根据题意，得， 解得， 答：型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元． （2）解：设购进型号机器人个，型号机器人个． 根据题意，得． 整理，得： ， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司有2种购进方案． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： (1)若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； (2)若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ (3)为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天        ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天        ④A套餐4天、B套餐1天 【答案】(1) (2)该早餐中牛奶，谷物 (3)② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、百分数的应用等内容； （1）根据比例计算蛋白质总含量即可； （2）根据营养成分得条件建立二元一次方程组求解即可； （3）分别计算出每一方案的蔬菜总量和肉类总量，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，（g）； 答：该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设该早餐中牛奶，谷物， 由题意得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； （3）解：A套餐每天蔬菜250克，肉类80克，B套餐每天蔬菜300克，肉类50克， 一周按5天计算， ①A套餐1天、B套餐4天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ②A套餐2天、B套餐3天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ③A套餐3天、B套餐2天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ④A套餐4天、B套餐1天，蔬菜总量为克，肉类总量为． 只有A套餐2天、B套餐3天满足蔬菜不少于克，肉类不少于克， 故选：②． 【经典例题十一 几何问题】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 【答案】A 【分析】设每块木板的长为，宽为，根据长方形的对边相等及大长方形的宽为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每块木板的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴每块木板的长为，宽为． 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：， 解得， ． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 【答案】长是，宽是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解. 设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据图形可知，长方形的一个长的长度是3个宽的长度，一个长和宽的长度和为，由此列方程求解即可. 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 经检验，符合题意． 答：每块小长方形地砖长是，宽是． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【答案】每本书籍厚度为，桌子的高度为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为，根据3本A书籍与桌子的高度和为，5本B书籍与桌子的高度和为建立方程组求解即可． 【详解】解：设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为， 由题意，得， 解得：， 答：每本书籍厚度为，桌子的高度为． 3．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【经典例题十二 图表信息题】 【例1】（24-25七年级下·河南安阳·月考）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分，根据王林得23分和李华得19分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求解． 【详解】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分， 根据题意，得， 解得：， ∴， 即张明得分为21分， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·山西运城·月考）学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则_____． x 2y y 6 【答案】6 【分析】本题考查代数推理，方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．利用幻方中各行、各列及对角线上的三个数之和相等，列出方程并求解，得到x与y的关系． 【详解】解：设右下角数字为， ∵图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， 即， 则． 故答案为：6． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ (2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求果农应付运费总共多少元？ 【答案】(1)甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃 (2)果农应付总运费1200元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲种货车每辆可装吨水蜜桃，乙种货车每辆可装吨水蜜桃，再根据表格信息建立方程组求解即可； （2）根据货车的数量列式计算即可. 【详解】（1）解：设甲种货车每辆可装吨水蜜桃，乙种货车每辆可装吨水蜜桃． ，解得： 答：甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃． （2）（元） 答：果农应付总运费1200元； 3．（24-25七年级上·上海·期末）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”． 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． (1)在图2的“等和格”方格图中，可得a＝ ．（用含b的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得a＝ ，b＝ ； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得b＝ ． 【答案】(1) (2)－2，2 (3)－9 【分析】（1）根据每行、每列的3个代数式的和相等，可得a与b的关系； （2）根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值； （3）根据“等和格”的定义可得方程，分别进行整理代入可求出b的值． 【详解】（1）解：如图2，根据题意得， ，解得， 故答案为：； （2）解：如图3，可得，解得， 故答案为：； （3）解：如图4，可得， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等”，得出等式求解． 【经典例题十三 古代问题】 【例1】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】在正方形框内填入数字，由题中幻方规律列出关于的二元一次方程组，对每一个方程恒等变形得出关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：设正方形框内所填数字为，如图所示： 则由题意得， 由①得， 由②得， ， 解得， 将代入得． 【例2】（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 【答案】 【详解】解：设“天”与“地”分别为，， 由题意得：，整理得：， 得：， ∴， ∴“天”与“地”的和为． 1．（2026·安徽合肥·一模）《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 【答案】好田买了20亩，坏田买了80亩 【详解】解：设好田、坏田分别买了、亩， 由题意可得， 解得， ∴好田买了20亩，坏田买了80亩 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】本题可通过设苹果、香蕉和砝码的质量为未知数，根据天平平衡的条件列出方程组，然后通过消元法求解出苹果质量与香蕉质量的关系． 【详解】设一个苹果的质量为，一根香蕉的质量为，一个砝码的质量为 由第一个天平平衡，可得，化简为 由第二个天平平衡，可得 把代入中，得到，则 所以 即个苹果的质量是1根香蕉质量的倍． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握根据天平平衡建立三元一次方程组，通过消元法求解出苹果与香蕉的质量关系是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·山西运城·月考）小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·单元复习）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于、、的方程组，通过解方程组求出发送方的密码. 【详解】解：由题意，得解得 所以发送方发出的密码是 故答案为：. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组. 2．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 3．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义、两个已知等式的值可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据新运算的定义即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新运算的定义是解题关键． 【例2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）定义：对于任意一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“不偏不倚数”；将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令；将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到个新数，令．若被143除余121，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的的最大值为________． 【答案】8943 【分析】设自然数的千位数字是a，百位数字是b，千位数字与十位数字的和与百位数字与个位数字的和为x，则十位数字为，个位数字为，从而得， ，且，即，则，，所以，，再根据被143除余121，所以设，y为正整数，则，要使m为最大，则、；当、时，可得求得，，则十位数字为，个位数字为即可解答． 【详解】解：设自然数的千位数字是a，百位数字是b，千位数字与十位数字的和与百位数字与个位数字的和为x，则十位数字为，个位数字为， ∴， ， 且，即， ∴， ∴， ∵被143除余121， ∴设，y为正整数， ∴ ∵要使m为最大且， ∴，， 当，时，， ∵x是千位数字与十位数字的和， ∴， 又∵y为正整数， ∴，， ∴十位数字为，个位数字为 ∴满足条件的的最大值为8943． 故答案为：8943． 【点睛】本题考查多元一次方程的应用、求不定方程的解等知识点，根据要使m为最大求得、是解题的关键． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 【答案】(1)， (2)k的最大值为 【分析】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未知数的方程． （1）根据“相异数”的定义列式计算即可； （2）由，，结合，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合 的定义式，即可求出、的值，将其代入，即可得出k值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵s，t都是“相异数”，其中， ， ， ， ， ， ，都是正整数， ∴或或或或或或， 是“相异数”，，， 是“相异数”，，， 所以满足条件的有或或或， 所以或或或． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 3．（24-25七年级下·山西临汾·期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值． 【答案】（1），5；（2）购买这批防疫物资共需6700元；（3）-11 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】解：（1）， 由②-①得：，①+②得：， ∴， 答案：，5；                      （2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 由题意得：，                            由①+②得：， ∴， 答：购买这批防疫物资共需6700元；                       （3）由题意得：，                   由3×①-2×②可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． 【拓展训练二 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下表格是4天的记录： 牙刷（支） 牙膏（盒） 收入（元） 第1天 13 7 144 第2天 14 7 147 第3天 20 10 210 第4天 23 20 366 聪明的小明发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（   ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设牙刷单价为元，牙膏单价为元．通过第1天和第2天的数据建立方程组，解得，，代入后续天数验证即可． 【详解】解：设牙刷单价为元，牙膏单价为元．根据题意，得 ， 解得：， 则第3天收入应为元，与记录一致，无误． 第4天收入应为元，但记录为366元，相差3元，存在错误． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）根据所给信息，可知每只小猫______元，每只小狗______元．买   一共要元，买 一共要元． 【答案】 【分析】设每只小猫元，每只小狗元，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设每只小猫元，每只小狗元， 根据题意得：，解得：， ∴每只小猫元，每只小狗元． 1．（2026·安徽·一模）随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解，注意解二元一次方程组的方法有加减消元法和代入消元法． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得 解得 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 2．（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 【答案】(1)方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元；方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元；方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； (2)1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 【分析】（1）设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得，由x、y均为非负整数，求解即可； （2）设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】（1）解：设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得， 因为x、y均为非负整数，所以对y进行取值： 当时，；当时，；当时，； ∴有三种方案： 方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元； 方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元； 方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； （2）解：设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和， 则， 解得， 答：1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． A基础训练 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）物理教师将一根米的导线交给小组长将其截成20厘米和30厘米两种长度的导线（每种长度的导线至少1根），则最多能截出（）根导线 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设可以截出x根20厘米长的导线，y根30厘米长的导线，根据截出导线的总长度为米（即320厘米），可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各x，y的值，再将其相加取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设可以截出x根20厘米长的导线，y根30厘米长的导线， 根据题意得， ． ∵x，y均为正整数， ∴或或或或， ∴或14或13或12或11， ∴最多能截出15根导线． 故选C． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）A、B两地相距千米，甲车和乙车同时从A、B两地相向开出，经过1小时分钟相遇．相遇时，甲车比乙车多行驶千米．设甲车和乙车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键，根据题意分别找到：1、甲车比乙车多行驶千米；2、甲乙两车的路程和为千米，列出方程即可得到答案． 【详解】解：设甲车和乙车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时， ∵甲车比乙车多行驶千米； ∴， 又∵甲乙两车的路程和为千米， ∴， 综上所述：可得二元一次方程组， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 【答案】B 【解析】略 4．（24-25七年级下·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【分析】根据两台印刷机完成该任务共需和资料计划印制10000份，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需， ∴可列方程； ∵资料计划印制10000份， ∴可列方程， ∴甲和乙列的方程组都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2025·山东临沂·二模）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购 买相差4元的2种快餐各1份，结账时，店员说：你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样，这位同学想了想说：我还是只多买 1 瓶指定饮料吧，要求你以最便宜的方式给我结账，这位同学要付的金额是（    ） A．56 B．57 C．58 D．60 【答案】A 【分析】设价格较低的饭团单价为x元，价格较高的饭团单价为y元，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设价格较低的饭团单价为x元，价格较高的饭团单价为y元，由题意得 ， 解得， 较贵的饭团和一瓶饮料一起算组合优惠价，共29元， 需要付元， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． B 提高训练 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有__________种. 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求解． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有种购买方案． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件．则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为________件． 【答案】 25 155 【分析】根据一天完成的工件数量与计划完成的工件数额之间的数量关系列出方程组，其中工件数量计算式为：工人数量×平均每人一天完成的件数． 【详解】解：设这队工人有x人，全队每天制造的工件数额为y件． 由题意得： 解得： 即：工人有25人，全队每天制造工件数额为155件． 故答案为 ：25；155 【点睛】本题考查了二元一次方程（组）在工程生产中的应用，根据工人完成的工件数量与计划完成的数额之间的数量关系为思路列出方程组，进而求出解． 8．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且不为0，这样的两位数学称为“异同数”．把一个“异同数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算：______．若a，b都是“异同数”，（，x，y为整数）当时，则的最大值为______． 【答案】 7 136 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，理解新定义是解题的关键．根据题目中的新定义求解第一空；根据“异同数”的定义列出代数式，得出方程，结合方程的整数解可求解． 【详解】解：； ， ， ， ，x，y为整数， ∴当时，，此时，则， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，此时．则， ∴的最大值为， 故答案为：7，136． 9．（24-25七年级下·重庆·月考）中秋节期间，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和，已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为，每盒乙包装月饼售价91元，利润率是，两种包装的月饼共50盒总价6300元，总利润率是．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是 _____元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）． 【答案】2500 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，设乙的成本价为a元，由题意得，则，再设五仁饼的成本价为x元，则一个莲蓉饼的成本价为元，两豆沙饼成本价为元，设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，由题意得，再求出，则，即可解决问题． 【详解】解：设乙的成本价为a元， 根据题意得：， 解得：， 设五仁饼的成本价为x元，一个莲蓉饼的成本价为元， ∴两豆沙饼成本价为元， 设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒， 由题意得：， 则有， 整理得：， 得，， 中秋节后乙每盒成本为：（元）， 甲每盒成本为：（元）， 总成本为：（元）． 故答案为：2500． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为______，与的差为______． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了解二元一次方程组的意义，设小长方形的长为a，宽为b，则由题意得，可得到，解得：，设，则，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图： 设小长方形的长为a，宽为b， 则由题意得， 解得：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：3． C 培优训练 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元． (1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？ 【答案】(1)A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元 (2)该茶叶店有2种购进方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设A，B茶叶的单价分别为元，元，根据购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元，进行列方程组，即可作答． （2）先理解题意，列式，整理得，因为、都为正整数，22与15互质，得出n的正整数取值为15、30，即可作答． 【详解】（1）解：设A，B茶叶的单价分别为元，元， 依题意，得， 解得， ∴A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； （2）解：由（1）得A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； 设购进A茶叶盒，购进B茶叶盒， ∵某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元． ∴， 整理得， ∵、都为正整数， ∴是的正倍数， 则， ∴ ∵22与15互质， 则n的正整数取值为15、30， 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； 综上：该茶叶店有2种购进方案． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【答案】(1)该商场计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套 (2)①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套；②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套；获利最高的方案是方案② 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． （1）设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意可得，由于、都为正整数，则有2种方案，①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套或②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套，比较哪种方案获利最高即可． 【详解】（1）解：设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套， 根据题意得： 解得： 答：该商场计划购进种品牌的教学设备20套，购进种品牌的教学设备30套； （2）解：设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意得： 、都为正整数， 或 有2种方案 ①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套， 获利：万元； ②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套， 获利：万元， ， 获利最高的方案是购进品牌6套，品牌5套． 13．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2) (3)万公里 【分析】本题主要二元一次方程组的应用： （1）根据“汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，”即可得到答案； （2）根据用汽车行驶x万公里之后前轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后前轮的磨损程度为1，即可求解； （3）根据用汽车行驶x万公里之后后轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后后轮的磨损程度为1，再结合（2）中的方程，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： （2）解：根据题意得：， （3）解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)103元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得 所以方程组的解为； （2）解：， ①得③， 得：， 则，即无论取何值，的值始终不变； （3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元， 根据题意得：， ①②得： ， 购买篮球、足球、排球各1个需要103元． 15．（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 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