专题10.2 消元——解二元一次方程组（4大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题10.2 消元——解二元一次方程组（4大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 【知识点2】代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 【要点提示】 （1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3】加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 【要点提示】用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4】选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 考点与题型目录 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法......................................................2 【题型2】变形后代入消元法....................................................2 【题型3】整体（思想）代换消元法..............................................3 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法......................................................3 【题型5】变形后加减消元法....................................................4 【题型6】整体思想代换消元法..................................................4 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考............................................................5 【题型8】拓展延伸............................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）用代入法解方程组 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【题型2】变形后代入消元法 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知满足方程组，则无论取何值，恒有的关系式是 ． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如果的解是整数，那么可能的值是（    ） A． B． C． D． 【题型3】整体（思想）代换消元法 【例3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， （1）请直接写出方程组的解为________． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）若：，则 ． 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法 【例4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组：． 【变式1】（2025七年级下·安徽·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）方程组的解为 ． 【题型5】变形后加减消元法 【例5】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【题型6】整体思想加减消元法 【例6】（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： （1）若，则　 　． （2）解方程； （3）已知关于x、y的方程组，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·河北衡水·阶段练习）已知m，n是方程组的解，则代数式的值是（   ） A．14 B．17 C．12 D．15 【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知是方程组的解，则 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型7】链接中考 【例1】（2024·广西·中考真题）解方程组： 【例2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 【题型8】拓展延伸 【例1】（20-21九年级·江苏南京·自主招生）解方程组：． 【例2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． （1）若，在，，中，的“3系数补角”是______； （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 消元——解二元一次方程组（4大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 【知识点2】代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 【要点提示】 （1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3】加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 【要点提示】用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4】选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 考点与题型目录 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法......................................................2 【题型2】变形后代入消元法....................................................3 【题型3】整体（思想）代换消元法..............................................5 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法......................................................7 【题型5】变形后加减消元法....................................................9 【题型6】整体思想代换消元法.................................................11 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考...........................................................13 【题型8】拓展延伸...........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）用代入法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点，准确计算是解题的关键；将代入，求出x的值，然后再求出y的值即可． 解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想． 根据消元的思想解答即可． 解：将代入，消去后所得到的方程是， 去括号，得， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案． 解：∵，， ∴， 解得：， 则． 故答案为：3． 【题型2】变形后代入消元法 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组， 对于（1），由②得出③，把③代入①求出x，再把解代入③求出x即可； 对于（2），由①得出③，把③代入②求出y，再把解代入③求出x即可． 解：（1）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以方程组的解是； （2）解：， 得，③， 由①得，④， 把④代入③得，， 解得，， 将代入④，得y， 所以方程组的解是． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知满足方程组，则无论取何值，恒有的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，理解二元一次方程的解得定义是解题的关键． 将代入求解即可． 解：将代入得， ，即． 故答案为：． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如果的解是整数，那么可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 首先解方程组求得方程组的解，然后根据方程组的解是整数，把选项中的数据代入验证即可． 解：， 由①得：， 代入②得：， 则， 则， 即方程组的解是：， 则在可能的取值，，，中只有能使，的值是整数． 故选：． 【题型3】整体（思想）代换消元法 【例3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， （1）请直接写出方程组的解为________． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． （2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x值，即可确定出方程组的解． 此题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解：（1）由①得：③， 将③代入②得：，即， 将代入③得：， 则方程组的解为 ． 故答案为 ． （2）由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 【变式2】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）若：，则 ． 【答案】5 【分析】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．注意此题中的整体思想．先解出方程组的解，然后求出；或直接让两个方程相加整体求得的值． 解： 方法一：①②得：，解得：． 将代入①得：，解得：． ∴． 方法二：两个方程相加，得， ． 故答案为：5． 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法 【例4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握消元法解方程组的方法，并能准确计算是解题的关键． 根据加减消元法进行方程组的求解即可． 解： ，得， 解得：， 把代入，， 解得：， 方程组的解为． 【变式1】（2025七年级下·安徽·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【题型5】变形后加减消元法 【例5】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 解：（1）解：得： ， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是． （2）解：得： ， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确解二元一次组的方法． 方程组的解即为能使方程组中每个方程都成立的未知数的值．利用加减消元法求出方程组的解，即可作出判断． 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为 ． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性，得出二元一次方程组，解方程求出、，代入计算即可． 解：∵ ∴， 解得： ∴ 故答案为：． 【题型6】整体思想加减消元法 【例6】（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： （1）若，则　 　． （2）解方程； （3）已知关于x、y的方程组，求的值． 【答案】（1）9；（2）；（3）25 【分析】（1）将变形为，再整体代入计算即可； （2）将方程①变形为，将方程②变形为，把③代入④，解得：，把代入③，解得：，即可得方程组的解； （3）将方程①变形为，将方程②变形为，再由即可求解． 解：（1）解：∵， ∴； （2）解：， 由①得， 由②得， 把③代入④，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， ∴； （3）解：， 由①得， 由②得， 由得． 【点拨】此题考查了代数式求值，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．注意整体思想的运用． 【变式1】（24-25七年级下·河北衡水·阶段练习）已知m，n是方程组的解，则代数式的值是（   ） A．14 B．17 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求代数式的值；原方程组可化为，两方程相加即可求得的值，再整体代入即可求解． 解：原方程组可化为， 两式相加得：， ∴， ∴； 故选：B． 【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知是方程组的解，则 ． 【答案】1 【分析】将方程组的解代入原方程可得到关于参数a，b的二元一次方程组，分别利用两式相减可得到，利用两式相加可得到，再代入进行计算，即可解题．本题考查了二元一次方程组，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 解：∵是方程组的解， ∴， 得，解得； 得，解得； ∴ 故答案为． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型7】链接中考 【例1】（2024·广西·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可． 解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴方程组的解为：. 【例2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解． 解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴点Q的横坐标为5， ∵， 由得，，解得：， 把代入①得，，解得：， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（20-21九年级·江苏南京·自主招生）解方程组：． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了三元二次方程组的求解，合理求差是本题解题的关键． 用一式减二式、二式减三式，根据不同的取值进行分类讨论求解． 解： ①②得：， ②③得：， （1）且时， ， 代入式①得，， ， （2）且， ， 代入式③得，， （3）且， ， 代入式①得，， （4）且， ， 代入式②得，， 方程组的解为：或或或． 【例2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． （1）若，在，，中，的“3系数补角”是______； （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【答案】（1）；（2）是或； 【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）设，，再根据的位置，结合，再建立方程组，解方程组即可得到答案； 解：（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为： （2）解：设，， 如图，设与相交于点H，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， ∴， 联立①②得， ， 解得， 即是； 如图，当在之间时，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得， ， 解得， ∴； 如图，当在的下方时， 同理可得：， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得， ， 解得：， 综上：是或； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$