5.2分式的运算 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.2分式的运算》同步自主达标测试题（附答案） 1、 单选题（满分24分） 1．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 5．如果，那么的值等于（    ） A．3 B．2 C．1 D． 6．如果，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 7．已知，，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．甲工程队完成一项工程需a天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成的工作量为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．分式，，的最简公分母是______． 10．____． 11．，则____________． 12．已知，则分式的值是______． 13．已知，则的值为______． 14．已知x为整数，且为正整数，则整数________． 15．对于任意正有理数a，规定，例如：，．．．，利用以上规律计算：___________． 16．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 三、解答题（满分72分） 17．（12分）计算： (1)； (2)． 18．（12分）计算： (1)； (2)． 19．（8分）先化简，再求值： ，其中． 20．（10分）甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 21．（10分）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 22．（10分）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 23．（10分）阅读下列解题过程： 已知，求的值 解：由，知，所以，即， 的值为2的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，请你用“倒数法”解答下面问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此可得答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及积的乘方运算，先计算平方部分，再与分式相乘，约分后即可得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了同分母的分式的加减运算﹒先根据同分母分式的加减运算法则计算得，再约分即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故选：C﹒ 4．A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查分式，由已知条件化简得到的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：D 6．A 【分析】本题考查分式的化简求值，由给定条件出发，两边乘以得到，然后整体代入化简即可． 【详解】解：∵，且，， ∴两边同乘，得， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，计算出的结果，根据判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，解题的关键是正确列出分式． 根据工作效率的定义，甲的工作效率为，乙的工作效率为，两队合作一天的工作量是各自效率之和． 【详解】解：因为甲工程队完成一项工程需a天，所以甲的工作效率为， 因为乙工程队完成一项工程需天，所以乙的工作效率为， 所以两队共同工作一天完成的工作量为， 故选：A． 9． 【分析】本题考查最简公分母的求法，需将各分母因式分解后取所有因式的最高次幂的积，熟练掌握最简公分母的求法是解此题的关键． 【详解】解：分式中，分母为， 分式，分母为， 分式，分母为， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查了分式的乘除，乘方，熟练掌握法则是解题的关键； 应用指数运算规则，先分别计算两个分式的乘方，再将除法转化为乘法运算，最后化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查了分式的乘除运算．根据题意得出，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键． 先将括号内的表达式通分并利用完全平方公式化简，再将分式除法转化为乘法运算，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 当 时，原式， 故答案为：． 13．/0.6 【分析】本题考查了分式的求值． 由已知条件得到，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．4或5/5或4 【分析】根据异分母分式加减法计算得，利用x为整数，且为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值． 【详解】解： = = =     = ∵x为整数，且为正整数， ∴x-3=1或x-3=2， ∴x=4或5， 故答案为4或5． 【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键． 15．4047 【分析】本题考查了定义新运算以及探索规律，探究出是解题的关键．先计算，再计算，从而将原式按规律重新排列为，最后计算出式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4047． 16． 李明 【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地． 【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为； 李明从甲地到乙地所用的时间为， ， ∵，，， ∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间， ∴先到达乙地的是李明． 故答案为：；李明． 17．(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 18．(1) (2) 【分析】（）先对分母因式分解得到，以此确定最简公分母，将两个分式通分后合并分子，再对分子因式分解并约去分子分母的公因式，最终得到最简分式； （）先把括号内的转化为分母为的分式，与合并化简，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，最后约去公因式得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．； 【分析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 代入上式，得． 20．(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是 (2)所以乙的购买方式平均单价低． 【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． （1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价； （2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】（1）解：甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）解：甲－乙  即 因为（）， 所以， 所以，即 所以． 所以乙的购买方式平均单价低． 21．(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 22．(1)真 (2) (3)整数x的值为，，0，2 【分析】本题考查了分式的次数与“真分式”“假分式”的定义，假分式化为带分式及分式值为整数的条件． （1）根据“真分式”的定义，分子次数<分母次数，分析分子、分母的次数即可判断； （2）仿照“假分数化带分数”的方法，将分子拆分为“含分母的项”+“剩余项”，再拆分分式即可； （3）先将假分式化为带分式，再分析“真分式部分为整数”的条件，最终根据所求式子求解x的值即可． 【详解】（1）解：分式中分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，故为真分式， 故答案为：真． （2）解：． （3）解：， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴是3的因数，即或， 解得：，，2，， 即整数x的值为，，0，2． 23．(1) (2)1 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则． （1）同样将已知等式变形求出的值，原式变形后，将的值代入计算即可． （2）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，知 ∴，即 ∴ 故的值为21的倒数，即为 （2）解：依题意，∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $