1.3《 乘法公式》同步练习 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

1.3《乘法公式》同步练习 一、单选题 1.下列各式计算正确的是() A.a2.as=alo B.（-x-y(-x+y)=x2-y2 c.（-a2）3=a D.(a-b)2=a2-b2 2.在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形 结合思想.如图，将边长为的大正方形通过剪裁、拼接，得到新的图形，利用图形面积不变 可以直观解释乘法公式的结构.现有甲、乙两种拼图方案（如图①和图②），其中能够验证公 式a2-b2=(a+b)(a-b)成立的是() 方案甲 方案乙 a a ① ② A.方案甲可以，方案乙不可以 B.方案甲不可以，方案乙可以 C.方案甲、乙都可以 D.方案甲、乙都不可以 3.下列各式计算正确的是() A.(a-b}=ad-B.(2x2）3=8x5C.a2+3a2=4a D.(-x)3÷x3=(-x) 4.求和符号“空”（其中≤，且和凌示正整载），这个符号我们进行如下定义： ∑表示k 从i开始取数一直取到n,全部加起来.如：当i=1时，∑k=1+2+3+4+…+n.若 ∑(2x-k+1(x-)=4r+ar+b则a+b的值为（) A.-4 B.4 C.-5 D.5 5.若x满足（x-2022)(2023-x)=0.25,则(x-20222+(2023-x)2=() A.0.25 B.0.5 C.1 D.-0.25 6.已知实数x,y满足(x2+4x+69y2-6y+5)=8,则y的值为() A.-9 D.g C.9 D._1 7.若x2+2(m-1x+9是一个完全平方式，则m的值为() A.±1 B.±3 C.4或-2 D.4 8.阅读材料：如果一个数的平方等于-1，记为2=-1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi (a,b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部.它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似(2+)+(3-41)=(2+3)+(1-4)i=5-3i; (3+i)i=3i+i2=3i-1. ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等， 虚部互为相反数，则称这两个复数共轭· 若a+bi是(1+2i)2的共轭复数，求(b-a)的值 A.1 B.-1 C.4 D.49 9.李明同学在计算5×(6+1)(62+1)(64+1)时，把5写成6-1，发现可以连续运用平方差公式计 算：(6-1)(6+1)(62+1(6+1=(62-1(62+1(64+1)=…，则计算(7+1)(72+1(74+1)(78+1的结果是 () A.78-1 B.71 C.716-1 D.716-1 6 6 10.现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.鑫嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个 大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片()块. a b b 甲 a 丙 b A.6 B.5 C.4 D.3 二、填空题 山.巴知m日3，则日 12.在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形(a>b),如图1，把余下的部分拼成一 个梯形，如图2，根据这两个图形的阴影部分面积关系，可以验证的等式是， a 6 b 图1 图2 13.已知a=x-2024,b=x-2025,c=x-2026,a2+c2=10,则b?= 14.有两个大小不同的正方形A,B,正方形A的边长为a,正方形B的边长为b.现将A,B 并列放置构造新的正方形得到图1，其阴影部分的面积为16；将B放在A的内部得到图2，其 阴影部分的面积为5，则ab= ,a2+b2= B A 图1 图2 15.已知实数x、y满足方程x2-y-x+y2-y+1=0,则x-y的值是 三、解答题 16.计算：22+88×9+182+193×201 441 17.【阅读材料】若x满足(8-x)x-3)=4,求(8-x)+(x-3)的值. 解：设8-x=a,x-3=b.则(8-x)x-3)=ab=4,a+b=8-x+(x-3)=5. .(8-x)+(x-3)2=d2+b=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. 这里用到了完全平方公式的变形： 2+b=(a+b2-2ab,或2ab=(a+b)2-(a2+b2）, 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： (a-b)2=(a+b2-4ab,(a+b)2=(a-b2+4ab. 【类比探究】解决下列问题： (1)若(n-2022)2+(2026-m)2=4,求(n-2022)(2026-n)的值. 【拓展应用】 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为X,E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3, 长方形EMFD的面积是24，分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH.求阴影 部分的面积. B M E G H D 18.(1)请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的 面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：(+b)-()'= b a b b a (2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题： ①若m+n=8,mn=12,求m-n的值； ②已知(2m+n)2=13,(2m-n)2=5,请利用上述等式求m的值. 19.用简便方法计算： (1)1032. (2)5(6+1)(62+1(64+1(6+1)(66+1)+1. 20.阅读与思考 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 [知识应用] (2)根据图②所得的公式，若a+b=5,a2+b2=15,则ab=· (3)若x满足(11-x(x-8)=2,求(11-x)2+(x-8)2的值. [拓展应用] (4)如图③，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,AC=7,若ADE与 &BCE的面积和为约，则。ABE与CDE的面积和为 D ab a + ab B ① ② ③ 参考答案 一、单选题 1.B 解：选项A:a2a3=a25=a≠a0,∴A错误； 选项B:(-x-y(-x+y)=[-(x+y][-(x-y]=(x+y川x-y)=x2-y2,B正确： 选项C:（-a2)=(-13a2=-a≠a,.C错误： .选项D:(a-b2=a2-2ab+b2≠a2-b2,∴.D错误； 故选B. 2.C 解：方案甲，左图阴影部分面积为a2-b,右图阴影部分为长为a+b,宽为a-b的长方形，面 积为(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2: 方案乙，左图阴影部分等于大正方形的面积减去小正方形的面积=-b2,右图是底为a+b, 高为a-b的平行四边形，面积可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2, 故选：C. 3.B 解：.根据完全平方公式，(a-b)2=a2-2ab+b2≠a2-b2, ∴A选项错误； :根据积的乘方与幂的乘方法则，(2x2=2×x2)=8x2=8x6, B选项正确； ,合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变，a2+3a2=(1+3)a2=4a2≠4a, C选项错误； (-x3÷x3=-x3÷x2=-x3=-x2,而(-x2=x2,-x2≠x2, D选项错误； 故选：B 4.C 解：4x2+ax+b中二次项系数为4， ∴.n=2, .∑(2x-k+1(x-k)=(2x-1+1(x-1+(2x-2+1(x-2)=4x2-7x+2 k 空2r-k+x-=4好+a+6, ∴.4x2+ax+b=4x2-7x+2, ∴.a=-7,b=2, .a+b=-7+2=-5. 故选：C 5.B 解：.x-2022)(2023-x=0.25, .2023x-x2-2022×2023+2022x=0.25, ∴.-x2+4045x-2022×2023=0.25, .-x2+4045x=2022×2023+0.25, .(x-2022)2+(2023-x)2 =x2+20222-4044x+20232+x2-4046x =2x2-8090x+20222+20232 =-2-x2+4045x)+20222+20232 =-2×2022×2023-0.5+20222+20232 =(2022-2023)2-0.5 =1-0.5 =0.5. 故选：B. 6.C .(x2+4x+6)(9y2-6y+5)=8 即(x2+4x+4+2(9y2-6y+1+4)=8 .[(x+22+2][3y-12+4]=8 .(x+2)2+2≥2，(3y-1)2+4≥4 [x+22+2][3y-12+4]≥8 要使(x+22+2]3y-12+4=8,则必须 [x+2=0 3y-1=0 x=-2 r周=9 故选：C 7.C 解：.x2+2(m-1)x+9=x2+2(m-1)x+32是一个完全平方式， ∴.2(m-1x=±2×x×3, 整理得m-1=3, 即m=±3+1 解得：m=4或m=-2. 故选：C. 8.A 解：，(1+2)2=12+212i+(2)2=1+4i+4i2, 又2=-1， ∴.1+4i+4-1=1+4i-4=-3+4i, a+bi是-3+4i的共轭复数， .∴.a=-3,b=-4, ∴.b-a=-4-(-3=-1, .(b-a2=(-12=1, 故选：A. 9.D 解：(7+1)(72+1(74+1(78+1 -名7-7+7++7+ 名2-7+07+07产+ 名-7+训7+ 名-川7+ 60-0 =716-1 6 故选：D. 10.A 解：先取甲纸片1块，再取乙纸片9块， ∴.已知面积为a2+9b2, ,a2+9b2+6ab=(a+3b) .还需要丙纸片6块. 故选：A. 二、填空题 11.±3V13 故答案为：313. 12.a2-b2=a+b)(a-b 解：如图1，阴影部分的面积为a2-b2; 如图2，阴影部分的面积为：2a+2a-创=a+0a-小： 所以a2-b2=(a-b)(a+b). 故答案为a2-b2=(a-b)(a+b 13.4 解：a=x-2024,b=x-2025,c=x-2026, ,c=b-1, .a2+c2=10, .(b+1)+(b-1=10, 展开得b2+2b+1+b2-2b+1=10, 即2b2+2=10, ∴.b2=4. 故答案为：4. 14. 8 21 解：，正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,图1阴影部分的面积为16， ∴.(a+b)2-a2-b2=16, ∴.2ab=16, ∴.ab=8, .图2阴影部分的面积为5， .(a-b)2=5, 即a2+b2-2ab=5, ∴.a2+b2=2ab+5=16+5=21, 故答案为：8,21. 15.0 解：x2-xy-x+y2-y+1=0, 等式两边同时乘以2得，2x2-2xy-2x+2y2-2y+2=0, ∴.(x2-2xy+y2）+(x2-2x+1)+(y2-2y+1=0, 整理得，（x-y+(x-+(y-1)=0, (x-y)2≥0，(x-1)2≥0，(y-12≥0， ∴.(x-y2=0,(x-1)2=0,(y-1)2=0时满足条件， 即x-y=0,x-1=0,y-1=0, ∴x-y=0, 故答案为：0. 三、解答题 16.解：22+88×9+182+193×20} 4 2+218x2*1s+0-20+ =(22+18)2+202-1） 16 =402+202-1 16 =2000-1 16 =199915 16 17.解：(1)设n-2022=a,2026-n=b, a+b=n-2022+2026-n=4, .(n-2022)2+(2026-n)2=4, .a2+b2=4, 2ab=(a+b)2-(a2+b2j =16-4 =12, ab=6, (m-2022)(2026-m)的值为6； (2):正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3, :DE=MF=x-1,ME=DF=x-3, 设x-1=a,x-3=b, a-b=x-1-(x-3)=2, :长方形EMFD的面积是24， .EM.MF=24, (x-10(x-3)=24, ab=24, ∴.(a+b)2=(a-b)2+4ab =4+4×24 =4+96 =100, :a+b>0, a+b=10, ·阴影部分的面积=正方形MFRN的面积-正方形GFDH的面积 MF2-DF2 =(x-1)2-(x-3)2 =a2-b =(a+b)(a-b) =10×2 =20. 18.解：(1)(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2) =a2+2ab+b2-a2+2ab+b2 =4ab; 故答案为：a-b,4ab; (2)①：m+n=8,mn=12, .(m-n)2=(m+n)2-4mn=82-4×12=16, m-n=±4； ②(2m+n)=13,（2m-n=5, (2m+n2-(2m-n)2=(2m+n-2m+nj(2m+n+2m-n)=2n×4m=8mn=13-5=8, ∴.mn=1. 19.(1)解：原式=(100+3)2=1002+2×100×3+32 =10000+600+9 =10609. (2)解：原式=(6-1(6+1(6+1(6+1)(6+166+1+1 =(62-10(62+1(64+1)(6+1(66+1+1 =(6-1)(6+0(63+1(66+1+1 =(6-1(6+1(66+1+1 =(66-1(66+1+1 =62-1+1 =62. 20.解：(1)由题意知，（a+b)2=a2+2ab+b2, 故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2; 由题意知，a2+b2=(a+b)2-2ab, 故答案为：a2+b2=(a+b)2-2ab; (2),a+b=5,a2+b2=15, .2ab=(a+b2-(a2+b2）=52-15=10, ∴.ab=5, 故答案为：5； (3)解：由题意知，11-x)+x-8)=11-x+x-8=3, .(11-x2+(x-8)2=[11-x+(x-8)]-211-x(x-8)=32-2×2=5; (4).AC L BD,AE=DE,BE =CE, SAAES.BE S.DE=S.ANE=AEBE, 2 2 2 SoA+S.mc=ABE2=45 1 2 2 ∴.AE2+BE2=45, AC AE CE AE +BE=7,AE2+BE2=(AE+BE2-2AE.BE, ∴.45=72-2AE·BE, ∴.AE·BE=2, ∴.ScDE+S4BE=AEBE=2, 故答案为：2.