第03讲 二元一次方程组的应用（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦二元一次方程组的应用这一核心知识点，承接方程组解法，以找等量关系、设未知数、列解方程组、写答句为学习支架，覆盖配套、行程、工程等九类实际问题，构建从解法到应用的完整脉络。 资料以典例引领、变式巩固为特色，通过真实情境问题（如配套问题、古代问题）培养学生抽象能力与模型意识，题型设计兼顾数学思维训练与应用意识提升，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

第03讲 二元一次方程组的应用 考点1：二元一次方程组的应用 重点： （1）会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 难点★： （1） 找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点： 二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2、 基本公式 【题型1 二元一次方程组的应用-配套问题】 【典例1】小敏和小强参加社会实践，要用白板纸做长方体包装盒，准备把所有白板纸分成两部分，一部分做盒身，另一部分做盒底，已知每张白板纸可以做盒身2个，或者做盒底3个，且一个盒身和两个盒底恰好做成一个包装盒． (1)现有12张白板纸，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？ (2)在（1）条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白板纸经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；否则说明理由． 【答案】(1)不能否使做成的盒身与盒底正好配套，理由见解析 (2)最多可做包装盒10个 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和方程组求解． （1）设用x张纸板作盒身，y张纸板做盒底，根据题意列出方程求解，根据x和y都是整数，即可得出结论； （2）设用a张纸板作盒身，b张纸板做盒底，根据题意列出方程，得出，根据a、b均为非负整数，且，求出a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解：设用x张纸板作盒身，y张纸板做盒底， ， 解得：， ∵、不是整数， ∴不能否使做成的盒身与盒底正好配套． （2）解：设用a张纸板作盒身，b张纸板做盒底， ， 整理得：， ∵a、b均为非负整数，且， ∴或， 当时，可制作包装盒个数为， 当时，可制作包装盒个数为， ∵， ∴最多可做包装盒10个． 【变式1】某校为庆祝建校70周年，定制了校庆纪念品．已知一套纪念品由2枚纪念币和3枚定制书签组成，1枚纪念币需要花费15元，1枚定制书签需要花费10元，学校一共花费了5400元，纪念币和定制书签刚好配套．求学校定制的纪念币的数量． 【答案】学校定制的纪念币的数量为180枚． 【分析】设学校定制的纪念币的数量为枚，书签的数量为枚．根据配套关系表示与 关系，再根据总费用表示与 关系，从而列出方程组求解． 【详解】解：设学校定制的纪念币的数量为枚，书签的数量为枚．依题意，得： 解得 答：学校定制的纪念币的数量为180枚． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用中题的配套问题。找出等量关系列方程组是解题的关键． 【变式2】丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一位爱好者都找到了生长的土壤．某校手工社团要用30张卡纸制作长方体的收纳盒，每个长方体需要4个侧面和2个底面．每张卡纸可裁出8个侧面，或裁出6个底面，要求制作出的侧面和底面恰好配套，且卡纸无剩余．问用多少张卡纸做侧面？多少张卡纸做底面？最多能制作出多少个这样的长方体收纳盒？ 【答案】用18张卡纸做侧面，12张卡纸做底面；最多能制作出36个这样的长方体收纳盒． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，根据共有30张卡纸、制作出的侧面和底面恰好配套列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面， 根据题意得：， 解得， 答：用18张卡纸做侧面，12张卡纸做底面． （个）或（个）， 答：最多能制作出36个这样的长方体收纳盒． 【变式3】某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得： ， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②106元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的实际运用，求解的方法等知识是解题的关键． （1）根据题意，用代数式表示数量关系即可求解； （2）①根据题意列二元一次方程求解即可；②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，可得，根据三种鞋的单价均超过元，不到元，通过代入合适的数字计算即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 故答案为：，，，． （2）解：①依题意有：，解得； ②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，依题意有：，即，则， ∵三种鞋的单价均超过元，不到元， ∴，． ∴型鞋的单价可能为元． 【变式1】每年的5月8日是国际红十字日．这一天，某班45名同学捐款，共捐得156元，捐款情况见下表．由于记录的同学不小心，造成捐款3元和4元的人数看不清楚了，请你根据表格中提供的信息，求出分别有多少同学捐3元和4元． 捐款/元 2 3 4 5 人数 5 6 【答案】捐款3元和4元的人数分别是20人和14人． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用．由于某校七年级（1）班共45人且捐款2元和5元的人数分别为5人、6人，那么捐款3元的人数+捐款4元的人数，捐款3元和4元的人的捐款总数捐款2元和5元的人的捐款总数，以这两个等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设捐款3元和4元的人数分别是人，人，则由题意，得 ， 解得， 即捐款3元和4元的人数分别是20人和14人． 【变式2】根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任王老师去文具店购买，两种款式的笔记本作为奖励． 素材 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元； 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元．    素材 为了满足市场需求，文具店推出每本元的加印服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印或者不印． 素材 王老师购，两款普通笔记本和加印笔记本各若干本，其中款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的． 问题解决 任务 求款普通笔记本和款普通笔记本的销售单价． 任务 学习委员为更好的了解王老师所买的各种笔记本的本数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通笔记本（本）     加印笔记本（本） 款加印与款普通笔记本之和为______（用含，的代数式表示）； 若王老师购买笔记本一共用了元，求王老师购买笔记本的总本数． 【答案】任务：款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元；任务： ；王老师购买笔记本的总本数为本． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程． 任务：设款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务：根据款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的，得购买笔记本总本数为本，即可解决问题； 根据王老师购买笔记本一共用了元，列出二元一次方程，求出满足条件的正整数解，即可解决问题． 【详解】解：任务：设款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元； 任务：∵款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的， ∴购买笔记本总本数为本， ∴款加印笔记本与款普通笔记本之和为：（本）， 故答案为：； 由题意得：，整理得， ∵为正整数，且， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 答：王老师购买笔记本的总本数为本． 【变式3】某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5；1 (2) (3)答对了道题 (4)不可能，见解析 【分析】（1）设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得：，进行计算即可得； （2）若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得：； （3）根据（2）中的所得y与x的关系式，将代入计算即可得； （4）令，即，进行计算即可得． 【详解】（1）解：设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得： ， 解得：， 即答对一题得分，答错一题得分， 故答案为：；； （2）解：若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得： ； （3）解：依题意得： ， 解得：， 即他答对了道题； （4）不可能，理由如下： 解：依题意，得： ， 解得：， 不为整数， 参赛者马小虎不可能得0分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 【答案】甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距9千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行甲3小时可追上乙，可列方程组求解． 【详解】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， ， 解得：， 答：甲的速度是6千米/时，乙的速度是3千米/时． 【变式1】两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【答案】第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 【变式2】从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 【答案】，两地间国道和高速公路分别是千米，千米 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组； 首先设，两地间国道和高速公路分别是、千米，根据题意可得等量关系：国道路程高速路程，在国道上行驶的时间在高速公路上行驶的时间，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设，两地间国道和高速公路分别是千米，千米， 根据题意，得， 解得， 答：，两地间国道和高速公路分别是千米，千米． 【变式3】一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 【答案】该轮船在静水中的速度为，水流速度为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——航行问题．熟练掌握船顺水速度、逆水速度与静水中速度和水流速度的关系，列出二元一次方程组，是解题的关键． 设该轮船在静水中的速度是，水流速度是，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度为，水流速度为． 依题意，得， 解得，． 答：该轮船在静水中的速度为，水流速度为． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 【变式1】为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【答案】甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【变式2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【答案】(1) (2)时间上考虑选择甲公司 (3)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解． （2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （3）解：从节约开支上考虑选择乙公司，理由如下； 设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 【变式3】加工一批零件，计划甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时可完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件，零件共350个． (1)问甲、乙两人每小时各加工多少个零件? (2)甲每小时工资25元，乙每小时工资20元，要在15小时完成任务，实际怎样雇佣俩人费用最少，最少费用是多少? 【答案】(1)甲每小时加工20个零件，则乙每小时加工18个零件 (2)雇佣甲4小时，乙15小时所需费用最少，最少费用为400元 【分析】（1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工y个零件，根据甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时可完成任务，即加工350个零件，乙每小时比甲少加工2个零件，列出方程组，解方程组即可； （2）先求出甲、乙加工1个零件需要的费用，并进行比较，根据让加工1个零件费用少的多做，则所需要的费用最少，然后进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工y个零件，根据题意得： ， 解得：， 答：甲每小时加工20个零件，则乙每小时加工18个零件． （2）解：甲平均加工一个零件需要的费用为（元）， 乙平均加工一个零件需要的费用为：（元）， ∵， ∴加工1个零件，乙需要的费用要少， 让乙工作15个小时，剩下的让甲加工，所需费用最少，此时甲加工的时间为： （小时）， 最少费用为：（元）． 答：雇佣甲4小时，乙15小时所需费用最少，最少费用为400元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为114米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．小长方形的长和宽各是多少米？ 【答案】小长方形的长为15米，宽为6米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意可列方程组： ， 解得：， 故小长方形的长为15米，宽为6米． 【变式1】如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 【答案】长是，宽是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解. 设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据图形可知，长方形的一个长的长度是3个宽的长度，一个长和宽的长度和为，由此列方程求解即可. 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 经检验，符合题意． 答：每块小长方形地砖长是，宽是． 【变式2】小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 【答案】每个小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，掌握利用二元一次方程组解决图形面积问题是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图的长方形的对边相等可得：，由图的信息可得：，再解方程组，从而可得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得： 解得 ∴每个小长方形的长为，宽为． 【变式3】如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】某学校计划组织七年级400名师生到相关部门规划的林区植树．经过研究，决定租用当地租车公司小客车、大客车两种型号客车作为交通工具．已知每辆车都坐满时，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送85位乘客；用1辆小客车和3辆大客车每次可运送155位乘客． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次分别可运送多少位乘客？ (2)若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)辆小客车坐满后一次可运送位乘客，辆大客车坐满后一次可运送位乘客． (2)共有种租车方案：方案1：租用小客车辆；方案：租用小客车辆，大客车辆；方案：租用小客车辆，大客车辆． 【分析】（1）通过设未知数，根据两种乘车组合运送的乘客数列出方程组求解； （2）根据总人数和（1）中求出的每辆车运送人数，列出方程，再结合车辆数为正整数确定租车方案． 【详解】（1）解：设1辆小客车坐满后一次可运送位乘客，1辆大客车坐满后一次可运送位乘客． 根据题意，得解得 答：辆小客车坐满后一次可运送位乘客，辆大客车坐满后一次可运送位乘客． （2）解：根据题意，得，则． 又∵均是自然数， ∴或或 ∴共有种租车方案： 方案1：租用小客车辆；方案：租用小客车辆，大客车辆；方案：租用小客车辆，大客车辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，掌握根据实际问题中的数量关系列出方程组和方程，再结合正整数条件求解是解题的关键． 【变式1】综合与实践 某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下： 车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆） 新能源大巴 60 1000 18 中型客车 30 600 15 设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆． (1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案． (2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方案． 【答案】(1)共有种租车方案，方案1：租用辆新能源大巴，方案2：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案3：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案4：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案5：租用辆新能源大巴，辆中型客车． (2)租用辆新能源大巴，辆中型客车． 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）根据租用车辆恰好载客240人列出二元一次方程，求出方程的非负整数解即可； （2）设租用辆新能源大巴，辆中型客车，组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，据此列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴， ∵x，y为非负整数， ∴或或或或， ∴共有种租车方案， 方案1：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案2：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案3：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案4：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案5：租用辆新能源大巴，辆中型客车． （2）由已知租用辆新能源大巴，辆中型客车， 根据题意得到， ， 答：租用辆新能源大巴，辆中型客车． 【变式2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A，B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案，最大利润是多少万元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元． (2)该公司共有4种购买方案，最大利润是18.4万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意可得： ， 解得， 答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元． （2）解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数， 解得：，，， 所以该4S店共有4种购买方案． 当，时，获得的利润为（万元）， 当，时，获得的利润为（万元） 当，时，获得的利润为（万元）， 当，时，获得的利润为（万元）， 综上所述，最大利润为18.4万元． 【变式3】某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元 (2)①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元； （2）解：设购进a件A种飞船模型和b件B种飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，；当时，， ∴所有购买方案如下： ①购进7件A种飞船模型和5件B种飞船模型； ②购进4件A种飞船模型和10件B种飞船模型； ③购进1件A种飞船模型和15件B种飞船模型． 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例7】临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 【答案】甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元 【分析】假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元，根据题意解方程组即可得出结果． 【详解】解：假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元， 根据题意可得方程组， 解得， 故甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元． 【变式1】“元旦促销活动”的调研分析： 背景 商场为迎接元旦，搞优惠促销活动，将购进的甲，乙两种商品打折销售，折扣由顾客抽奖确定． 素材1 商场购进甲，乙两种商品后，均加价作为销售价． 素材2 某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款390元． 素材3 两种商品原销售价之和是455元． 问题解决 任务（1） 求这两种商品的原销售价分别是多少元？ 任务（2） 求这两种商品的进价分别是多少元？ 根据背景素材，请完成“问题解决”中任务（1）和任务（2）． 【答案】 任务（1）：甲商品原销售价为195元，乙商品原销售价为260元；任务（2）：甲商品进价为150元，乙商品进价为200元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握营销问题，找到两个合适的等量关系列二元一次方程组，是解决问题的关键． [任务1]设甲种商品原售价为x元，乙种商品原售价为y元，根据两种商品原售价之和为455元，购买甲、乙两种商品时分别抽到八折和九折，共付款390元，列方程组， [任务2]根据“商品的进价售价”即可得出甲乙两商品的进价 【详解】[任务1] 解：设甲种商品原售价为x元，乙种商品原售价为y元。 依题意得方程组：， 解这个方程组，得， 答：甲种商品原销售价为195元，乙种商品原销售价为260元 [任务2] 解：甲商品的进价为： 乙商品的进价为： 答：甲商品的进价为150元，乙商品的进价为200元． 【变式2】某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价30元，乙种产品打8折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？ 【答案】(1)商场购进甲产品120件，购进乙产品80件 (2)14800元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）设购进甲种产品x件，乙种产品y件，根据题意列出方程组求解即可； （2）分别计算甲、乙种产品的利润，再求和即可． 【详解】（1）解：设购进甲种产品x件，乙种产品y件｡ 根据题意，得， 解得：， 答：购进甲种产品120件，乙种产品80件； （2）甲产品∶ 进价∶50元， 标价元， 促销价=标价元， 单件利润=促销价-进价元， 总利润元， 乙产品∶ 进价∶80元， 标价=进价+原利润元， 促销价=标价元， 单件利润元， 总利润元， 总获利∶ 元， 答：商场最终获利14800元． 【变式3】在某商店购买50件A商品和60件B商品共用9500元，购买30件A商品和20件B商品共用4500元． (1)求购买一件A商品和一件B商品各需多少元？ (2)若该商店在店庆期间所有商品均按原价的八折出售，则购买50件A商品和若干件商品可比打折前节省超过1300元，那么最少购买B商品多少件？ 【答案】(1)购买一件A商品和一件B商品各需元和元 (2)21件 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设购买一件A商品和一件B商品各需元和元，根据购买50件A商品和60件B商品共用9500元，购买30件A商品和20件B商品共用4500元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买B商品件，根据购买50件A商品和若干件B商品可比打折前节省超过1300元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一件A商品和一件B商品各需元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一件A商品和一件B商品各需元和元； （2）设购买B商品件，由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴最小为； 答：最少购买B商品21件． 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例8】古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；由“三个坐一棵，五个没去处”可得乌鸦数等于每棵树坐三只的乌鸦数加五；由“五个坐一棵，闲了一棵树”可得乌鸦数等于五倍的实际使用的树数（即树数减一），据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得方程组为：， 故选：D． 【变式1】《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子比木长4.5尺，可得；对折绳子量木，木比对折绳子长1尺，可得，即，可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺，依题意，得： ， 故选：B． 【变式2】《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意如下：有几个小伙伴一起去买一件物品，如果每个人出6元钱，则会少2元；若每个人出7元，则会多6元．若设人数为x人，物品的价格为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．在本题中根据“人数物品价格、物品价格人数”可得方程组． 【详解】解：设人数为x人，物品价格为y元， 根据题意，每个人出6元钱会少2元，则总共需要支付元，每个人出7元钱会多6元，则总共需要支付元，由于物品价格不变，所以可以列出方程组：． 故选：A． 【变式3】我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题：“一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个”，大意为：100匹马拉100片瓦，已知1个大马拖3片瓦，3匹小马拖一片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设有m匹大马，n匹小马，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了古籍中的方程组，熟练掌握方程组的布列是解题的关键．设有m匹大马，n匹小马，根据题意，联立方程组即可． 【详解】解：设有m匹大马，n匹小马， 根据题意，得． 故选：D． 【题型9二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例9】某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 【答案】(1)正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人 (2)至少需要分钟，教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离 【分析】（1）设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据“李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人．”列出方程组，即可求解； （2）教学楼内全体师生在紧急情况下撤离所需的最短时间，即可求解． 【详解】（1）解：设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据题意，得： ， 解这个方程组，得 答：正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人． （2）解：师生共有人数为：（人）． 紧急情况下1分钟最多能撤离人数：（人）， 教学楼内全体师生在紧急情况下撤离时间至少为：（分钟）， ， 答：教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离． 【变式1】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 【答案】(1) (2)行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 【分析】（1）根据汽车前轮轮胎报废的里程和总磨损量可得答案； （2）设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里，根据两对轮胎同时报废，且报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵每个新轮胎报废时的总磨损量为1，且前轮轮胎在行驶6万公里时报废， ∴安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为； （2）解：设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里， 由题意得，， 解得， ， 答：行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 【变式2】某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费元；为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付元超重费．设某件物品的重量为千克． (1)当时，支付费用为________元（用含的代数式表示）；当时，支付费用为________元（用含和、的代数式表示）； (2)甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示． 物品重量（千克） 支付费用（元） 18 39 25 60 ①试根据以上提供的信息确定，的值． ②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①，；②能；将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，费用为105元． 【分析】（1）当时，只需付基础费30元+保险费a元，所以支付费用为元；当时，需付费用为基础费30元+保险费a元+超重费，即元． （2）①根据表格列出关于a，b的二元一次方程组求解即可． ②将物品拆成三件：两件均为16千克，另一件为18千克，然后计算即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意知当某件物品之类时，支付费用元； 当时，支付费用为元． （2）解：①由题意得 解得，． ②将物品拆成三件：两件均为16千克，另一件为18千克， 则所需费用为： ∵， ∴用不超过120元的费用能托运50千克物品． 【变式3】某电视台组织竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数/道 答错题数/道 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)答对1道题得　　　　分，答错1道题得　　　　分． (2)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗?请说明理由． 【答案】(1)5， (2)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设答对1道题得x分，答错1道题得y分，根据“答对的得分和答错得分的和等于总积分”列方程组求解； （2）假设可以，列方程求解． 【详解】（1）解：设答对1道题得x分，答错1道题得y分， 则：， 解得：， 故答案为：5，； （2）解：不可能； 理由：设参赛者F答对a道题， 则：， 解得：（不合题意，舍去）， 故参赛者F不可能得80分． 1．垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多，周长为，设长为，宽为，则由题意可列得方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出各个方程是解决问题的关键．设长为，宽为，根据题意，停车位为长方形，由长比宽多3米得，周长为16米得，建立方程组即可得到答案． 【详解】解：设长为，宽为， 则由题意可得， 故选：C． 2．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列符合题意的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 根据本题中的相等关系“盒身的个数盒底的个数”和“制作盒身的白铁皮张数制作盒底的白铁皮张数”，列方程组即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得， 故选：A． 3．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？”设大容器容积为x斛，小容器容积为y斛，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意，设大容器容积为斛，小容器容积为斛，利用题目中的两个等量关系建立方程组即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：设大容器容积为x斛，小容器容积为y斛， 由题意可得：， 故选：D． 4．《九章算术》是我国古代数学的经典之作，对数学的发展产生了深远的影响，其中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满．问：大、小船分别有几只？设大船有只，小船有只，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据题意列二元一次方程组即可． 【详解】解：设大船有只，小船有只， ∵所有人共坐了8只船， ∴ ∵大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满 ∴ ∴ 故选：C． 5．共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 【答案】大箱：24，小箱：10 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水，根据题意列出方程组并求解即可得到答案． 【详解】解：设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水， 依题意得， 解得． 答：大箱每箱装24瓶矿泉水，小箱每箱装10瓶矿泉水． 6．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 【答案】1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克 【分析】设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得，解方程组即可； 【详解】解：设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得 解得 答：1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克． 7．2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 【答案】(1)购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． (2)共有三种购买方案，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题： （1）题目中的等量关系为：蜀绣纪念品数量熊猫文创纪念品数量件，蜀绣纪念品总价熊猫文创纪念品总价元，据此列二元一次方程组即可； （2）根据题意可知，共有三种购买方案：购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件． 【详解】（1）解：设购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． 根据题意，得 解得 所以，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． （2）根据题意可知，共有三种购买方案： （Ⅰ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅱ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅲ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） 综上所述，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 8．我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 【答案】井深8尺 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，仔细阅读题目从中找出等量关系建立方程是解题的关键． 设绳长是x尺，井深是y尺，再根据题意把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程组即可． 【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺， 由题意得：， 解得：， 答：井深是8尺． 9．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意， ，解得， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 10．某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【答案】x的值为60，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为60，y的值为 11．一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 【答案】(1)5；2 (2)同学G不可能得82分，见解析 【分析】（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）假设同学G得了82分，设同学G答对了m道题，则答错了道题，根据得分答对题目数答错题目数，列出关于m的一元一次方程，解之可得出m值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得：， 解得：， 即答对一道题得5分，答错一道题扣2分， 故答案为：5；2； （2）解：同学G不可能得82分，理由如下： 假设同学G得了82分， 设同学G答对了m道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得， 又∵m为自然数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即同学G不可能得82分． 12．府谷是中国黄米之乡，其香味独特，营养丰富，含有人体所需的多种维生素和氨基酸．某超市以5元/千克的价格购进一批府谷黄米，由于销量良好，该超市又以4.5元/千克的价格再次购进同一种府谷黄米，这样该超市两次购进府谷黄米共600千克，超市花去2800元． (1)求该超市两次分别购买了多少千克府谷黄米？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但超市仍以相同的价格售出，若第一次购进的府谷黄米有3%的损耗，第二次购进的府谷黄米有5%的损耗，并且在销售过程中的其他成本共计392元，如果该超市希望售完这些府谷黄米共获得1400元的利润，求该超市每千克府谷黄米的售价． 【答案】(1)第一次购买了200千克府谷黄米，第二次购买了400千克府谷黄米 (2)该超市每千克府谷黄米的售价为8元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了x千克府谷黄米，则第二次购买了（）千克府谷黄米，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该超市每千克售价应定为m元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购买了x千克，则第二次购买了（）千克府谷黄米． 根据题意，得， 解得． 所以． 答：第一次购买了200千克府谷黄米，第二次购买了400千克府谷黄米． （2）解：设该超市每千克售价定为m元． 根据题意，得． 解得． 答：该超市每千克府谷黄米的售价为8元． 13．河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 【答案】；；70； 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意得到y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意，得 ， 解得， 所以应选用A种食品4包，B种食品2包． 故答案为：，，70；． 14．某商场销售一种流行玩具，分为A，B两种款式，已知A款玩具每个的进价是50元，售价是80元，B款玩具每个的进价是40元． (1)该商场购进A，B两款玩具共计200个，总进货款8400元，请你计算一下，A，B两款玩具各进货多少个？ (2)春节临近，该商场推出如下优惠促销活动．小张按照优惠活动方案在该商场一次性购买A款玩具若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该商场购买了多少个A款玩具？ 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折 【答案】(1)A款玩具进货40个，B款玩具进货160个 (2)小张购买了14个或16个A款玩具 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用及分类讨论． （1）设A款玩具进货x个，B款玩具进货个，根据“A款总进价+B款总进价=总进货款”列方程，最后解方程求出x，进而得到B款进货数量； （2）设购买数量为y，计算打折前总金额，分三种优惠区间讨论，每个区间内列方程求解，验证解是否符合区间条件，保留符合条件的解即可． 【详解】（1）解：设A款玩具进货x个，B款玩具进货个， 由题意得：， 解得：，， 即A款玩具进货40个，B款玩具进货160个． （2）解：设小张购买了y个A款玩具，打折前总金额为元， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得， 当时，，解得， 即小张购买了14个或16个A款玩具． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二元一次方程组的应用 考点1：二元一次方程组的应用 重点： （1）会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 难点★： （1） 找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点： 二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2、 基本公式 【题型1 二元一次方程组的应用-配套问题】 【典例1】小敏和小强参加社会实践，要用白板纸做长方体包装盒，准备把所有白板纸分成两部分，一部分做盒身，另一部分做盒底，已知每张白板纸可以做盒身2个，或者做盒底3个，且一个盒身和两个盒底恰好做成一个包装盒． (1)现有12张白板纸，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？ (2)在（1）条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白板纸经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；否则说明理由． 【变式1】某校为庆祝建校70周年，定制了校庆纪念品．已知一套纪念品由2枚纪念币和3枚定制书签组成，1枚纪念币需要花费15元，1枚定制书签需要花费10元，学校一共花费了5400元，纪念币和定制书签刚好配套．求学校定制的纪念币的数量． 【变式2】丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一位爱好者都找到了生长的土壤．某校手工社团要用30张卡纸制作长方体的收纳盒，每个长方体需要4个侧面和2个底面．每张卡纸可裁出8个侧面，或裁出6个底面，要求制作出的侧面和底面恰好配套，且卡纸无剩余．问用多少张卡纸做侧面？多少张卡纸做底面？最多能制作出多少个这样的长方体收纳盒？ 【变式3】某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 【变式1】每年的5月8日是国际红十字日．这一天，某班45名同学捐款，共捐得156元，捐款情况见下表．由于记录的同学不小心，造成捐款3元和4元的人数看不清楚了，请你根据表格中提供的信息，求出分别有多少同学捐3元和4元． 捐款/元 2 3 4 5 人数 5 6 【变式2】根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任王老师去文具店购买，两种款式的笔记本作为奖励． 素材 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元； 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元．    素材 为了满足市场需求，文具店推出每本元的加印服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印或者不印． 素材 王老师购，两款普通笔记本和加印笔记本各若干本，其中款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的． 问题解决 任务 求款普通笔记本和款普通笔记本的销售单价． 任务 学习委员为更好的了解王老师所买的各种笔记本的本数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通笔记本（本）     加印笔记本（本） 款加印与款普通笔记本之和为______（用含，的代数式表示）； 若王老师购买笔记本一共用了元，求王老师购买笔记本的总本数． 【变式3】某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 【变式1】两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【变式2】从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 【变式3】一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【变式1】为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【变式2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【变式3】加工一批零件，计划甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时可完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件，零件共350个． (1)问甲、乙两人每小时各加工多少个零件? (2)甲每小时工资25元，乙每小时工资20元，要在15小时完成任务，实际怎样雇佣俩人费用最少，最少费用是多少? 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为114米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．小长方形的长和宽各是多少米？ 【变式1】如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 【变式2】小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 【变式3】如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】某学校计划组织七年级400名师生到相关部门规划的林区植树．经过研究，决定租用当地租车公司小客车、大客车两种型号客车作为交通工具．已知每辆车都坐满时，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送85位乘客；用1辆小客车和3辆大客车每次可运送155位乘客． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次分别可运送多少位乘客？ (2)若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【变式1】综合与实践 某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下： 车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆） 新能源大巴 60 1000 18 中型客车 30 600 15 设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆． (1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案． (2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方案． 【变式2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A，B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案，最大利润是多少万元？ 【变式3】某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例7】临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 【变式1】“元旦促销活动”的调研分析： 背景 商场为迎接元旦，搞优惠促销活动，将购进的甲，乙两种商品打折销售，折扣由顾客抽奖确定． 素材1 商场购进甲，乙两种商品后，均加价作为销售价． 素材2 某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款390元． 素材3 两种商品原销售价之和是455元． 问题解决 任务（1） 求这两种商品的原销售价分别是多少元？ 任务（2） 求这两种商品的进价分别是多少元？ 根据背景素材，请完成“问题解决”中任务（1）和任务（2）． 【变式2】某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价30元，乙种产品打8折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？ 【变式3】在某商店购买50件A商品和60件B商品共用9500元，购买30件A商品和20件B商品共用4500元． (1)求购买一件A商品和一件B商品各需多少元？ (2)若该商店在店庆期间所有商品均按原价的八折出售，则购买50件A商品和若干件商品可比打折前节省超过1300元，那么最少购买B商品多少件？ 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例8】古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（   ） A． B． C． D． 【变式1】《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意如下：有几个小伙伴一起去买一件物品，如果每个人出6元钱，则会少2元；若每个人出7元，则会多6元．若设人数为x人，物品的价格为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式3】我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题：“一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个”，大意为：100匹马拉100片瓦，已知1个大马拖3片瓦，3匹小马拖一片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设有m匹大马，n匹小马，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【题型9二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例9】某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 【变式1】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 【变式2】某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费元；为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付元超重费．设某件物品的重量为千克． (1)当时，支付费用为________元（用含的代数式表示）；当时，支付费用为________元（用含和、的代数式表示）； (2)甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示． 物品重量（千克） 支付费用（元） 18 39 25 60 ①试根据以上提供的信息确定，的值． ②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由． 【变式3】某电视台组织竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数/道 答错题数/道 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)答对1道题得　　　　分，答错1道题得　　　　分． (2)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗?请说明理由． 1．垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多，周长为，设长为，宽为，则由题意可列得方程组为（　　） A． B． C． D． 2．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列符合题意的是（   ） A．B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？”设大容器容积为x斛，小容器容积为y斛，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代数学的经典之作，对数学的发展产生了深远的影响，其中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满．问：大、小船分别有几只？设大船有只，小船有只，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 6．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 7．2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 8．我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 9．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 10．某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 11．一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 12．府谷是中国黄米之乡，其香味独特，营养丰富，含有人体所需的多种维生素和氨基酸．某超市以5元/千克的价格购进一批府谷黄米，由于销量良好，该超市又以4.5元/千克的价格再次购进同一种府谷黄米，这样该超市两次购进府谷黄米共600千克，超市花去2800元． (1)求该超市两次分别购买了多少千克府谷黄米？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但超市仍以相同的价格售出，若第一次购进的府谷黄米有3%的损耗，第二次购进的府谷黄米有5%的损耗，并且在销售过程中的其他成本共计392元，如果该超市希望售完这些府谷黄米共获得1400元的利润，求该超市每千克府谷黄米的售价． 13．河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 14．某商场销售一种流行玩具，分为A，B两种款式，已知A款玩具每个的进价是50元，售价是80元，B款玩具每个的进价是40元． (1)该商场购进A，B两款玩具共计200个，总进货款8400元，请你计算一下，A，B两款玩具各进货多少个？ (2)春节临近，该商场推出如下优惠促销活动．小张按照优惠活动方案在该商场一次性购买A款玩具若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该商场购买了多少个A款玩具？ 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折 1 学科网（北京）股份有限公司 $