精品解析：浙江省杭州市钱塘区学正实验学校2025-2026学年第二学期中学业素养评价八年级数学问卷

学正中学2025学年第二学期期中学业素养评价 八年级数学问卷 考生须知： 1．本试卷分问卷和答卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答卷的密封区内填写班级、姓名、学号、考场号和座位号． 3．所有答案都必须做在答卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只上交答卷． 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线，相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 44 B. 27 C. 34 D. 17 5. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，点C的对应点为E，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 192 9. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形为矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 10. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式中x的取值范围是________． 12. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________． 13. 已知关于x的方程，若方程的一个根是1，则方程的另一个根是________． 14. 已知是一个关于x的完全平方式，则常数m的值为________． 15. 如图，是的边上的点，是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为_____． 16. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为________． 三、解答题（本题有8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）以点O为对称中心，请画出与成中心对称的；点的坐标为________． （2）以点O为旋转中心，请画出将按逆时针方向旋转后的． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场销售这种衬衫每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）按这样的降价措施，该商场销售这种衬衫每天获利能否达到1300元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 23. 如图，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B，D重合），连接，，． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）若在上取一点F，使得，求的最小值． 24. 如图1，在矩形中，，点，分别是，的中点，连结，交于点． （1）当且时，如图2，求的面积． （2）若，求此时的值． （3）连结，请问能否为等腰三角形，若能，求出的值，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学正中学2025学年第二学期期中学业素养评价 八年级数学问卷 考生须知： 1．本试卷分问卷和答卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答卷的密封区内填写班级、姓名、学号、考场号和座位号． 3．所有答案都必须做在答卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只上交答卷． 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 3. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设， 故选：D． 4. 如图，的对角线，相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 44 B. 27 C. 34 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，AB=CD=10，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=10， ∵AC+BD=34， ∴CO+DO=17， ∴△OCD的周长=OC+OD+CD=27， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线的性质是解题的关键． 5. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“增长后出口量=初始出口量×（1+年平均增长率）的增长年数次方”列方程，从2023年到2025年间隔2年，即可得出对应方程． 【详解】∵年平均增长率为x，从2023年到2025年共经过2年，初始出口量为2023年的120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆， ∴可列方程为：． 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，点C的对应点为E，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转得，再根据“直角三角形的两个锐角互余”求出，进而得出，再根据“等边对等角”及三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：根据旋转得， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 8. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，勾股定理，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 9. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形为矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，求得，得到，推出，当时，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形为矩形，判断A选项；当时，由，得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形；判断B选项；当时，由，得到，求得，得到四边形为矩形；判断C选项；当时，则是等腰直角三角形，得到，但不能证得四边形是平行四边形，当时，四边形不一定为菱形，判断D选项． 【详解】解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 当时，， ， ， ， 四边形为矩形，故A选项不符合题意； 当时， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形；故B选项不符合题意； 当时， ， ， ， 四边形为矩形；故C选项不符合题意； 当时，则是等腰直角三角形， ， 但不能证得四边形是平行四边形， 当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，先根据根的判别式推出，则，进而可得原方程为，解得，求出，再根据的符号与的符号关系进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴原方程为， 解得， ∴ 若，则，即，则，故A正确，符合题意； 若，则，即，故B、D错误，不符合题意； 若，则不一定成立，则不一定成立，故C错误，不符合题意； 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式中x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 12. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________． 【答案】8 【解析】 【分析】直接根据内角和公式计算即可求解． 【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8． 故答案为8． 【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：． 13. 已知关于x的方程，若方程的一个根是1，则方程的另一个根是________． 【答案】 2 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，先将已知根代入原方程求出参数m的值，再根据根与系数的关系计算t的值即可． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 将代入方程得：， 解得， 根据根与系数的关系得， 解得，即方程的另一个根为2． 14. 已知是一个关于x的完全平方式，则常数m的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据所给多项式可确定两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个关于x的完全平方式， ∴一次项为， ∴，即， ∴或． 15. 如图，是的边上的点，是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分面积的性质的运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，可证，得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，中线平分面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴， ∵点是中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴点是中点， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：18 ． 16. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，过点作于，则，证明，可得，由折叠可得，从而求得，再由勾股定理求出，设，由勾股定理列方程可求出． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于， 则，如图： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本题有8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先计算乘除法，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 19. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）以点O为对称中心，请画出与成中心对称的；点的坐标为________． （2）以点O为旋转中心，请画出将按逆时针方向旋转后的． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，则； （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得和关于原点对称，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此确定点的坐标，描出点，并顺次连接点、O即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到点的位置，描出点，并顺次连接点、O即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 21. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键． （1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场销售这种衬衫每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）按这样的降价措施，该商场销售这种衬衫每天获利能否达到1300元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）20 （2） 解：按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元，理由如下： 设每件衬衫应降价y元，则每天售出件， 由题意得， 整理得， ， 方程无实数根， 按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，理解题意，正确列方程是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价元，则每天售出件，根据题意列方程求解即可； （2）设每件衬衫应降价y元，则每天售出件，根据题意列方程，并通过判别式判断根的情况即可得证． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天售出件， 由题意得， 整理得， 解得，， 尽快减少库存， ， 若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； 【小问2详解】 略 23. 如图，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B，D重合），连接，，． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）若在上取一点F，使得，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，则可证明，得到； （2）连接交于点，由等边对等角和三角形内角和定理可证明，过点E作于点G，由菱形的性质和勾股定理可得，，则；由角平分线的性质得到，根据，可得，则，据此可得答案； （3）不妨设点F在点E右侧，过点C作，且使得，连接，则四边形是平行四边形，可得，故当A、E、H三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点， 由（1）得，， ， ∵， ∴ ， ， 如图所示，过点E作于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，不妨设点F在点E右侧，过点C作，且使得，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、E、H三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 24. 如图1，在矩形中，，点，分别是，的中点，连结，交于点． （1）当且时，如图2，求的面积． （2）若，求此时的值． （3）连结，请问能否为等腰三角形，若能，求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，的值为或 【解析】 【分析】（1）连接，根据中点、矩形的性质、三角形的面积公式，推出，，根据，当且时，则，得出，计算，计算，最后根据，计算得出答案即可； （2）过点作于点，和相交，连接，根据矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质，证明是的中位线，是的中位线，是的中位线，根据中位线的性质，得出，，推出，证明三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，推出，根据含角的直角三角形的性质，得出，结合勾股定理计算，根据，计算得出答案即可； （3）分“当时”、“当时”和“当时”三种情况讨论．情况一，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点，交于点，根据矩形的性质与判定，证明四边形是矩形，由（2）得：点是中点，直线和相交于点，，，推出是的中位线，得出，推出，结合勾股定理计算，得出，根据，计算得出答案即可；情况二，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点，由（2）得：，推出，由情况一得：，，推出，结合勾股定理计算，根据，计算得出答案即可；情况三，当时，根据矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质，推出，根据当时，推出点是的中点，得出此时是的中位线，则，，根据点是和相交所得，故和平行的情况不存在，故的情况不存在． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在矩形中，，点，分别是，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当且时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，和相交，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点是中点，平分， ∵和是对顶角， ∴直线平分， ∴直线和相交于点， ∵点，分别是，的中点， ∴，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：能， 情况一，如图，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点，交于点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵由（2）得：点是中点，直线和相交于点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况二，如图，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点， ∴，， ∵由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∵由情况一得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况三，当时， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点是和相交所得， ∴和平行的情况不存在， ∴的情况不存在； 综上所述，能为等腰三角形，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明、数形结合、分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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