精品解析：浙江杭州地区(含周边)重点中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 命题：萧山中学金东平､吴文杰 审校：严州中学新安江校区 徐尚飞 长河高级中学 刘旭 校稿：李慧华 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级､考试号和姓名； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 矩形中，点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点，连接分别与交于两点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设直角三角形的两直角边长为，斜边长为．记该三角形绕边长为的边旋转所得的几何体体积为，则满足的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的函数满足：对任意的都有，当．若关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 10. 在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（） A. B. 的最大值为 C. 的值可取 D. 内切圆半径的值可取 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小正周期为 B. 当时，函数的图象关于对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数图象不是中心对称图形 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足与的夹角为，则的值为______． 13. 电视剧《太平年》再现了吴越国王钱弘俶“纳土归宋”的历史．杭州宝石山上的保俶塔，正是百姓为祈愿其平安而建的．为了测量这座历史古塔的高度（为塔顶，为塔底），测量人员在山脚平地上选取了两个观测点和，使得三点共线，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，若测得两点间距离为33米，则通过计算预估保俶塔的高度为______米． 14. 已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程的两个根为，且是一对共轭复数． （1）若（是虚数单位），求实数的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域． 17. 在中，角的对边分别为．已知，点是内部一点且满足平分． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值． 18. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到向量，则称点为关于的“旋转点”．已知为原点，，点为关于的“旋转点”，点为关于的“旋转点”，点为关于的“旋转点”． （1）若，求点及点的坐标； （2）当时，求的范围； （3）证明：对任意，存在唯一，使得共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 命题：萧山中学金东平､吴文杰 审校：严州中学新安江校区 徐尚飞 长河高级中学 刘旭 校稿：李慧华 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级､考试号和姓名； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，故在复平面内对应的点为， 该点在第一象限. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，，再求集合交集即可. 【详解】因为全集，集合 所以，， 所以 3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式直接计算求解即可. 【详解】因为向量， 所以，， 所以在上的投影向量为. 4. 在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据判断即可. 【详解】因为，所以 所以，即， 所以这样的三角形解的个数为2个，如图. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦展开式化简可得、，再相除可得答案. 【详解】由题意可得①， ②， 由①②得，， 两式相除得. 6. 矩形中，点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点，连接分别与交于两点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法、减法的几何运算以及向量共线定理求解即可. 【详解】已知点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点， 所以， 设，因为，，， 所以，解得. 设， 因为，，， 所以，解得. 则，故. 7. 设直角三角形的两直角边长为，斜边长为．记该三角形绕边长为的边旋转所得的几何体体积为，则满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的边判断几何体形状，利用圆锥的体积公式依次求得，通过作差比较法即可逐一判断各选项. 【详解】依题意，易得， 直角三角形斜边上的高为，绕斜边旋转后得到两个同底圆锥的组合，底面半径为，高之和为， 则， 对于A，，因，则，故A错误； 对于B， ，故，即B错误； 对于C，，即，故C错误； 对于D，，故正确. 8. 定义域为的函数满足：对任意的都有，当．若关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过已知条件和函数的性质，判断出 是减函数，再利用函数的单调性和性质将不等式转化为不等式组，最后通过求二次函数的最值，确定 的取值范围即可. 【详解】设，且，则， 因为当时，，所以。 因为， 所以，即， 因此， 在 上是减函数， 因为，令， 则，即，解得， 又因为，根据 可得：， 又因为函数在上单调递减，所以可得不等式组： ， 因为，， 因为，所以， 令 ，其中 ， 函数 在 处取得最大值 ， 所以在端点和 处，故， 原不等式 在 上恒成立，即， 因为，所以，故， 结合，得. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】BD 【解析】 【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误； 若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 10. 在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（） A. B. 的最大值为 C. 的值可取 D. 内切圆半径的值可取 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用正弦定理将边化为角,结合进行三角恒等变换,消去后用辅助角公式化简,求得. 选项B：由三角形面积公式得与的关系,结合余弦定理和基本不等式求出的最大值,代入可得最大值为. 选项C：由面积公式得出、表达式,代入化简后换元构造函数,转换成二次函数单调性问题,算出式子最小值大于. 选项D：根据内切圆半径公式整理出与的关系,结合正弦定理、余弦定理确定取值范围,验证时满足条件,三角形存在. 【详解】在中，已知，.由正弦定理， 得. 因为，所以， 代入化简得.由， 得，即，. 因为，所以，，故选项A正确. 设的面积为，则， 代入，，得. 由余弦定理，得. 由，得，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故选项B正确. 由，得，， 则.又，， 代入得. 令，，则， 令,由,得, 函数化为二次函数: 令开口向上,对称轴. 在区间上单调递增. 因此当(即)时,取得最小值 代入得最小值， 所以，故选项C错误. 设内切圆半径为，则，即，. 由余弦定理，得， 代入的表达式约分得：， 由正弦定理，，，故，得， 因此， 若​，代入得：， 此时，满足， 且方程的判别式，存在两个正根，即这样的三角形存在， 因此可取，选项D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小正周期为 B. 当时，函数的图象关于对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数图象不是中心对称图形 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，，再结合函数性质判断AB，当时，，结合二次函数性质即可判断C；对于D，易知最小正周期为，进而将问题转化为一个周期内研究，再结合函数的单调性验证函数在一个周期内的两个区间和上均不存在对称中心即可判断. 【详解】当时， ； 对于A，函数的最小正周期为，故A选项错误； 对于B，令，解得， 当时，故函数的图象关于对称，B选项正确； 当时， ， 对于C选项，， 故，故函数的最小值为，故C选项正确； 对于D，由题易知的最小正周期为， 故只需考虑函数在一个周期内的对称性问题， 函数在上单调递减，上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数如果存在对称中心，则必为或， 因为，， ， 所以函数不关于点或对称， 综上，函数图象不是中心对称图形，D选项正确. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足与的夹角为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，与的夹角， ， ，，， 所以. 13. 电视剧《太平年》再现了吴越国王钱弘俶“纳土归宋”的历史．杭州宝石山上的保俶塔，正是百姓为祈愿其平安而建的．为了测量这座历史古塔的高度（为塔顶，为塔底），测量人员在山脚平地上选取了两个观测点和，使得三点共线，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，若测得两点间距离为33米，则通过计算预估保俶塔的高度为______米． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示:设保俶塔的高度米. 由题意知,,,,米. 在Rt中,, 故. 在Rt中,, 由,得. 又,即. 整理得, 解得. 因此,保俶塔的高度为米. 14. 已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题关键是结合正方体的结构特征与平面基本性质,分析截面为五边形的临界条件,再利用勾股定理将线段长度转化为所求变量的表达式,进而求解取值范围. 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程的两个根为，且是一对共轭复数． （1）若（是虚数单位），求实数的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 法一：由是的一个根，可得， 整理得，则, 所以. 法二：由是的一个根，可知也是的一个根， 韦达定理可得：，. 【小问2详解】 设， 由，得. 又因为，得， 所以，. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像依次确定，，的值，从而得出函数解析式； （2）根据三角函数恒等变换，将函数化简，结合正弦函数的图像和性质，即可求出函数在上的值域. 【小问1详解】 由图可得，，， ，，则， 又，则， 解得，， ，，； 【小问2详解】 由题意得， ． ，，则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为，的取值范围为. 17. 在中，角的对边分别为．已知，点是内部一点且满足平分． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可； （2）方法一：结合题意得，再在中，利用余弦定理求得，再求的面积即可； 方法二：结合题意得，再在中，利用正弦余弦定理求得，再求的面积即可； （3）记，则，结合题意得，再根据正切的差角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理得 【小问2详解】 解：因为，所以， 因为点是内部一点且满足平分． 所以，所以 在中，， 法一：由余弦定理， 即，即 所以， 所以，在，的面积 法二：由正弦定理， 得 所以，在，的面积 【小问3详解】 解：记，因为，， 所以， 因为，所以， 所以 18. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先将函数解析式分离常数化为，再根据指数函数，取倒函数的单调性 即可求得 的值域； （2）将代入右式化简计算即可证得左式； （3）先证明函数是奇函数，将代入化简，通过，换元，整理后再由换元，构造函数，由在上的单调性求得最小值即得参数范围. 【小问1详解】 ， 当时，，则，得， 则有， 故函数在区间上的值域为 【小问2详解】 因 故. 【小问3详解】 ，则函数是奇函数， 将（2）代入不等式得， 令，不等式转化为， 整理得恒成立， 令，则在上单调递减，可得． 所以，即实数的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到向量，则称点为关于的“旋转点”．已知为原点，，点为关于的“旋转点”，点为关于的“旋转点”，点为关于的“旋转点”． （1）若，求点及点的坐标； （2）当时，求的范围； （3）证明：对任意，存在唯一，使得共线． 【答案】（1）． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转点的定义依次求得，，，再结合求解即可； （2），结合旋转点定义求解得，再求向量的模，并结合三角函数性质求范围； （3）结合题意得共线等价于，再结合旋转公式求得，，最后根据得即可证明． 【小问1详解】 解：由题知，，，当时， 因为点为关于的“旋转点”， 所以，即点的坐标为 则 因为点为关于的“旋转点” ， 所以，即点的坐标为． 【小问2详解】 解：由题知，当时， 则，， 设 根据向量旋转公式可得 . 因为，所以 【小问3详解】 证明：设的方向角为， 所以，根据旋转性质，的方向角为（由逆时针旋转得到）， 因为共线，所以，即的方向角为或， 又因为是逆时针旋转得到， 所以的方向角为或，即与共线 所以共线等价于 由（2）知， 设 根据向量旋转公式 则， ， 考虑， 即， 即， 故对任意，存在唯一，使得共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $