期中培优：旋转性质的应用、旋转与全等三角形综合问题专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

期中培优：旋转性质的应用、旋转与全等三角形综合问题专项训练 期中培优：旋转性质的应用、旋转与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 旋转性质的应用 旋转与全等三角形综合问题 考点一 旋转性质的应用 例1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A．64° B．58° C．68° D．116° 例3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 例5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图；将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，则的度数为______． 例6．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度，得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为______°． 变式1．（2026·天津河东·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，P为等边三角形内一点，，，则以为边的三角形的面积为（　　） A． B． C．3 D． 变式4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为______．    变式5．（25-26八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，将绕顶点A逆时针旋转，得，点C恰好落在边上．若，则的大小是______．    变式6．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，，将绕着点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，连接，当时，的长是______． 考点二 旋转与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）综合与实践 “数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题． 【问题背景】如图1所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在线段上找一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)【特例研究】易证，判定理由是_______，进而可以得知； (2)【拓展探究】如图2所示，将绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由． (3)【迁移应用】如图3所示，将绕点A逆时针旋转，若点D为的中点，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点恰好第一次在一条直线上，求出线段的长． 例2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点， 【数学思考】如图1，当直线 与边 相交时交点为 ，与边 相交时交点为 (1)①折痕 的长为_______； ②判断 与 的数量关系是_______； 【数学探究】 (2)如图2，当直线 经过 中点时，求线段 的长度； 【问题延伸】 (3)在绕点 旋转的过程中，直线 与边 相交时交点为 ，当 时，是否存在点 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由． (4)在绕点 旋转的过程中，当 时，则与重叠部分图形的面积为_______． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）问题探究： (1)如图①，在和中，，，，求证：； (2)如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； (3)问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 变式2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）在中，，，，将绕点B逆时针方向旋转得到，点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图1，当点D落在边上时，求的长； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，将沿着直线翻折，得到，点G落在直线上，连接，当时，直接写出的长． 变式3．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，点D在所在的平面内运动． (1)如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； (2)如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：旋转性质的应用、旋转与全等三角形综合问题专项训练 期中培优：旋转性质的应用、旋转与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 旋转性质的应用 旋转与全等三角形综合问题 考点一 旋转性质的应用 例1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，对应边 与 的夹角即为旋转角，从而可以得到 的度数，由 结合角的和差关系可以得到 的度数． 【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A．64° B．58° C．68° D．116° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．先根据旋转的性质，结合已知条件得到且，再由等腰三角形性质可得 ，最后在中，运用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点， ∴且， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点A作于M，再过点D作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于M，再过点D作边上的高， 在中，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 例4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角，即；最后用减去，算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等，旋转角相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 例5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图；将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，则的度数为______． 【答案】 /度 【分析】根据旋转得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴ ． 例6．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度，得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为______°． 【答案】24 【分析】根据题意可得，结合旋转的性质可得，，再结合三角形内角和求即可． 【详解】解：, ， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，， 又， ，解得， ． 变式1．（2026·天津河东·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质与角平分线的性质，解题的关键是发现旋转后是的角平分线．先由旋转角度关系证得，再过点作于点，由角平分线性质得到，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：在中， ， ， 由旋转的性质得，， 绕点旋转得到， ， ， ，即是的角平分线， 过点作于点， ， ， 是的角平分线，， (角平分线上的点到角两边的距离相等)， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ，即． 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，P为等边三角形内一点，，，则以为边的三角形的面积为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先求得，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，得到是等边三角形，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵P为等边三角形内一点，，且， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 将绕点A逆时针旋转得到， 则，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴以为边的三角形的面积为， ∴以为边的三角形的面积为． 变式4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为______．    【答案】 【分析】根据旋转得到，，，即可得到，结合即可得到答案． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 变式5．（25-26八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，将绕顶点A逆时针旋转，得，点C恰好落在边上．若，则的大小是______．    【答案】 【分析】由旋转的性质可得，再结合角的和差运算即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得， ． 变式6．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，，将绕着点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，连接，当时，的长是______． 【答案】或 【分析】当在内部时，如图，过作交延长线于，则，当在外部时，然后通过旋转的性质，勾股定理，直角三角形性质即可求解． 【详解】解：当在内部时，如图，过作交延长线于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当在外部时，如图， ∵，， ∴，， ∴三点共线， ∴， 根据旋转的性质，， ∴， 综上可得：的长是或． 考点二 旋转与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）综合与实践 “数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题． 【问题背景】如图1所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在线段上找一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)【特例研究】易证，判定理由是_______，进而可以得知； (2)【拓展探究】如图2所示，将绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由． (3)【迁移应用】如图3所示，将绕点A逆时针旋转，若点D为的中点，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点恰好第一次在一条直线上，求出线段的长． 【答案】(1)； (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）将绕点A逆时针旋转，由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论；由旋转可得，，； （3）过点A作于F，先证明，得到，根据点D为的中点，得，根据等腰三角形求得，再根据勾股定理求得，继而求得，则可由求解． 【详解】（1）解：由旋转可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论依然成立； 证明：设将绕点A逆时针旋转， 由旋转可得：，，， ∴， ∴． （3）解：线段的长为；理由如下： 过点A作于F，如图3， 由旋转可得：，， 当点B，D，E恰好第一次在一条直线上时，设绕点A逆时针旋， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B，D，E恰好第一次在一条直线上， ∴在中，， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点， 【数学思考】如图1，当直线 与边 相交时交点为 ，与边 相交时交点为 (1)①折痕 的长为_______； ②判断 与 的数量关系是_______； 【数学探究】 (2)如图2，当直线 经过 中点时，求线段 的长度； 【问题延伸】 (3)在绕点 旋转的过程中，直线 与边 相交时交点为 ，当 时，是否存在点 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由． (4)在绕点 旋转的过程中，当 时，则与重叠部分图形的面积为_______． 【答案】(1)①；②相等 (2) (3)存在，的长度为或 (4) 【分析】（1）①连接，由折叠的性质，可得出，根据角度等量代换，可得，得出为中点，得为的中位线，故可得的长；②连接，证明，即可得； （2）连接，得为的中位线，得出，证明，即可得； （3）根据图形变换后的图象，可证出四边形为矩形，得出的长度，根据在的左边和右边两种情况讨论，即可求解； （4）过点作交于点，交于点，令交于点，连接，证明四边形为矩形，由勾股定理计算出、的长度，得出、的长度，令，则，，由，得，解得的值，证明，令，则，由，得，解得的值，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）解：①连接，如下图所示： ∵翻折的性质，可得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故点为中点， 又∵点为中点， ∴为的中位线， ∴； ②连接，如下图所示： ∵由绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：①；②相等． （2）解：连接，如下图所示： ∵、为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：存在，根据图形变换进行分类讨论： ①如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ②如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 综上，的长度为或． （4）解：过点作交于点，交于点，令交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 解得， ∴，， ∴， 令，则， 由，得， 解得， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， 由，得， 解得， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）问题探究： (1)如图①，在和中，，，，求证：； (2)如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； (3)问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为 【分析】（1）根据已知条件证明， （2）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，利用其性质以及角平分线的定义，得出，则，结合平行四边形的性质，得出；分别连接，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而证明，再证明是等边三角形，即可得出结论； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中： ； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ； 如图，分别连接，， 点绕点逆时针旋转，得到点， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， 在和中： ， ； ，， ， 即， 是等边三角形， ； （3）解：如图，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转，全等三角形，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据旋转的性质，可得，根据全等三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的性质，则，根据等边对等角，三角形的外角，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵边绕点旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）在中，，，，将绕点B逆时针方向旋转得到，点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图1，当点D落在边上时，求的长； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，将沿着直线翻折，得到，点G落在直线上，连接，当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）连接，设，求出,可得,证明，得，由勾股定理得，解得； （2）连接，过点B作于点J，设，证明，得，得，证明四边形是矩形，得,由三线合一得，得,由勾股定理得，解得,即得； （3）连接，设直线交于点H，，可得 ，，得垂直平分，根据，当点F在线段上时，当点F在延长线上时，分类讨论，在和中用勾股定理解答， 的长为或． 【详解】（1）解：连接，设， ∵在中，，，， ∴， 由旋转知，， 当点D落在边边上时，， ∵，所在直线与所在直线相交于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴． （2）解：连接，过点B作于点J，设， 则， ∵， ， 由（1）知， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． （3）解：连接，设直线交于点H，， 由（1）知，，， ∴， 由旋转和翻折知，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， ∵，， ∴当点F在线段上时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴解得， ∴； 当点F在延长线上时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴解得， ∴． 综上，的长为或． 变式3．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，点D在所在的平面内运动． (1)如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； (2)如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或1． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，得出，可得，即可得证； （2）连接，，先证明可得，，进而证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，，，利用三角形面积公式可求解；当点在的延长线上时，同理可求解． 【详解】（1）解：，， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下， 如图所示，连接，， 以为边在其右侧作等腰直角三角形， ，， ，， ， 点和分别为和的中点， ∴，，则， ， ， ，， ，，， ， 又， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 同理是等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 综上，的面积为或1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $