精品解析：河南信阳市潢川县2025—2026学年度下学期期中教学质量监测七年级数学

2025—2026学年度下学期期中教学质量监测 七年级数学 注意事项: 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1010010001 2. 人体内的某种球状细胞的直径为0.000 001 56 m，数据0.000 001 56用科学记数法可表示为（ ） A. 1.56×10－6 B. 1.56×10－5 C. 156×10－5 D. 1.56×106 3. 如图，平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列代数式：①；②；③；④．其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 5. 新郑大枣以其瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 6. 如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A. 120° B. 90 ° C. 60° D. 30° 7. 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( ) A. 1+ B. 2+ C. 2﹣1 D. 2+1 9. 如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 10. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（ ） A. 21 B. 1 C. 35 D. 7 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 写出一个解为2的一元一次方程________． 12. 已知，则____． 13. 一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是___ 14. 如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______________． 15. 在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”．例如：，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为______． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）. 17. 解方程组． 18. （1），，求的值； （2）若，，求． 19. 如图，，，，求证：． 证明：，（__________） ，（__________） （__________） （__________） （__________） （__________） 20. 如图，若三角形是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，，． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标___________； （3）直接写出三角形的面积___________； （4）点在轴上，若三角形的面积为6，直接写出点的坐标___________． 21. 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； （2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 22. 某家电超市销售甲、乙两种型号的电风扇，每台进价分别为160元和120元，近两周的销售情况如下表所示． 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 甲型号 乙型号 第一周 2 3 850 第二周 3 4 1200 （备注：进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本．） （1）求甲、乙两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再次采购这两种型号的电风扇共50台，求乙型号电风扇至少要采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若，则=_______°； （2）若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中教学质量监测 七年级数学 注意事项: 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1010010001 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：为无理数，，，0.1010010001是有理数． 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的定义，牢记常见的无理数的类型是解题的关键． 2. 人体内的某种球状细胞的直径为0.000 001 56 m，数据0.000 001 56用科学记数法可表示为（ ） A. 1.56×10－6 B. 1.56×10－5 C. 156×10－5 D. 1.56×106 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.00000156用科学记数法表示为1.56×10﹣6， 故选A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 如图，平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义，平行线的性质．利用平行线的性质与角平分线的定义计算． 【详解】∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ 故选：A． 4. 下列代数式：①；②；③；④．其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，判断各代数式是否符合完全平方公式的结构形式，逐一进行分析即可作答． 【详解】解：符合完全平方公式，故①符合题意； 不符合完全平方公式，故②不符合题意； 不符合完全平方公式，故③不符合题意； 符合完全平方公式，故④符合题意； 故选：D 5. 新郑大枣以其瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等． 由图可知，成活概率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90． 故选：B． 6. 如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A. 120° B. 90 ° C. 60° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余解答． 【详解】由题意得，剩下的三角形是直角三角形， 所以，∠1+∠2=90°. 故选B. 【点睛】此题考查直角三角形的性质，解题关键在于掌握其性质. 7. 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题属于二元一次方程组的含参问题，根据方程组将x、y分别用k表示，然后代入即可求出k值． 【详解】解：， ① +②，得． ∴， 把代入②，得， ∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴． 即， ∴． 故选：B． 8. 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( ) A. 1+ B. 2+ C. 2﹣1 D. 2+1 【答案】D 【解析】 【详解】设点C所对应的实数是x． 根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有 ， 解得． 故选D． 9. 如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过作，得到，继而得到，得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 10. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（ ） A. 21 B. 1 C. 35 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第八行的数得出的各项系数，即可求解． 【详解】解：依题意，第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 即的各项系数为： 其中第四项为：， ∴的展开式中的系数是， 故选：C． 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 写出一个解为2的一元一次方程________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义以及一元一次方程的定义，一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；结合一元一次方程的定义写出一个方程即可，注意此题答案不唯一． 【详解】解为2的一元一次方程，可列方程． 故答案为． 12. 已知，则____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，求出，再根据幂的乘方运算法则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算，解题的关键是掌握：同底数幂的乘法（除法），底数不变，指数相加（相减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 13. 一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据每一个不等式的解集，结合口诀：同大取大可得答案． 【详解】解：， 由得，， 由得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， 是等腰三角形，分情况讨论： ①时，， ∴， 此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 15. 在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”．例如：，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出“水平底”为3，再根据“矩面积”的定义求出“铅垂直”为6，再讨论当点在点下方时，当点在点上方时，建立方程求解即可． 【详解】解：由题意知，D、、三点的“矩面积”的“水平底”， 、、三点的“矩面积”， 、、三点的“铅垂直”， 当点在点下方时，， 解得． 当点在点上方时， 解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式和立方根，再进行加减计算； （2）先计算绝对值和二次根式乘法，在进行加减计算． 本题考查实数的运算．正确运用绝对值的性质，二次根式的性质，立方根的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法计算即可得到答案. 【详解】解：原方程组整理为一般式可得， ①﹣②，得：y＝10， 将y＝10代入①，得：3x﹣10＝8， 解得：x＝6， 所以方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法. 18. （1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 19. 如图，，，，求证：． 证明：，（__________） ，（__________） （__________） （__________） （__________） （__________） 【答案】已知；垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查证明过程中理论依据的填写，垂线的性质、平行线的判定及性质，解题的关键是掌握证明步骤的书写，比较简单． 由知，利用平行线的判定知，由性质得，又因为，所以，故可由内错角相等两直线平行判定． 【详解】证明：，（已知） ，（垂直的意义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （等量代换） （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 20. 如图，若三角形是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，，． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标___________； （3）直接写出三角形的面积___________； （4）点在轴上，若三角形的面积为6，直接写出点的坐标___________． 【答案】（1） 作图如下： （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由经过平移后的对应点为，可知平移方式为，向左平移4个单位，向上平移2个单位，可得，，，然后画三角形即可： （1）由（1）可知，； （3）由题意知，，计算求解即可； （4）设，则，，由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由经过平移后的对应点为， ∴平移方式为，向左平移4个单位，向上平移2个单位， ∵，，， ∴，，， 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设，则，， ∵， ∴，解得， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平移后的点坐标，解一元一次方程，坐标与图形，平移作图，判断平移方式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； （2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】（1）具有， 理由如下： ， ①-②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， （2）或 （3）具有“友好关系”，， 【解析】 【分析】（）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； 【小问3详解】 解：， ①得，， 解得， 与都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 22. 某家电超市销售甲、乙两种型号的电风扇，每台进价分别为160元和120元，近两周的销售情况如下表所示． 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 甲型号 乙型号 第一周 2 3 850 第二周 3 4 1200 （备注：进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本．） （1）求甲、乙两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再次采购这两种型号的电风扇共50台，求乙型号电风扇至少要采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）甲、乙两种型号的电风扇销售单价为200元，150元 （2）乙型号电风扇至少要采购13台 （3） 解：能， 根据题意得， 解得， 则， 的正整数解为13，14． 能实现利润超过1850元的目标． 答：有两种采购方案， ①采购甲型电风扇37台，乙型13台； ②采购甲型电风扇36台，乙型14台． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用， （1）设甲、乙两种型号的电风扇的销售单价为元，元，根据表格列方程组解决即可； （2）设乙型号电风扇采购台，则甲型号电风扇采购台，根据题意列不等式解决即可； （3）根据超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元列出不等式，求出整数解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号的电风扇的销售单价为元，元． 根据题意得，， 解得， 答：甲、乙两种型号的电风扇销售单价为200元，150元； 【小问2详解】 解：设乙型号电风扇采购台，则甲型号电风扇采购台， 根据题意得，， 解得， 是正整数， 的最小值是13． 答：乙型号电风扇至少要采购13台； 【小问3详解】 略 23. 已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若，则=_______°； （2）若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 【答案】（1）45； （2） ①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【小问1详解】 解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：45； 【小问2详解】 解：①略 ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵ ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $