第2讲：解三角形【 九大题型】-2025-2026学年高一数学下学期期中核心考点题型讲义（人教A版必修第二册）

第2讲：解三角形高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：正弦定理应用 · 考点二：余弦定理应用 · 考点三：三角形面积公式应用 · 考点四：正余弦定理边角互化 · 考点五：解三角形的实际应用 · 考点六：几何图形的计算 · 考点七：三角形的边长或者周长的最值范围问题 · 考点八：三角形的面积的最值范围问题 · 考点九：正、余弦定理与三角函数交汇综合应用问题 【知识梳理】 知识点一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点三．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 考点四　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 考点五：高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正弦定理应用 【典例1】．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则角（   ） A． B． C． D．或 【变式1】．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知是边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知，点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二：余弦定理应用 【典例2】．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·福建厦门·月考）在中，，，，则（    ） A．45° B． C． D． 【变式2】．（2026·云南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型三：三角形面积公式应用 【典例3】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．（25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】．（2026·湖南常德·二模）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 题型四：正余弦定理边角互化 【典例4】．（24-25高一下·湖南·期中）记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·湖北武汉·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．的面积为6 【变式2】．（25-26高一下·湖南长沙·月考）在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五：解三角形的实际应用 【典例5】．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（   ） A． B． C．从点观测峰顶的仰角为，则 D．从点观测点的仰角为，则 【变式2】．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 题型六：几何图形的计算 【典例6】．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【变式1】．（25-26高三上·重庆·期中）如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的值； (2)设边的中点为，若，求的面积. 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 题型七：三角形的边长或者周长的最值范围问题 【典例7】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【变式1】．（25-26高一下·湖南常德·月考）在中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【变式2】．（2026·山西太原·二模）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， (1)求角的取值范围； (2)求的取值范围. 题型八：三角形的面积的最值范围问题 【典例8】．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【变式1】．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【变式2】．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 题型九：正、余弦定理与三角函数交汇综合应用问题 【典例9】．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【变式1】．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 【变式2】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，公路北侧有一幢楼，高为300米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走400米到点B处，测得仰角为30°，再行走400米到点C处，测得仰角为θ，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 5．（25-26高一下·北京朝阳·月考）记内角的对边分别为，若，则（　　） A． B． C． D．或 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D．1 7．（25-26高一下·江苏·月考）在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南株洲·期中）在中，角所对的边分别为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则， B．若为锐角三角形，则可能有 C．若，，，则解此的结果有一解． D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 10．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，，，，则（   ） A． B．的面积为8 C． D． 11．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 12．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的面积最大值为6 13．（25-26高一下·山东济南·月考）满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题 14．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 15．（25-26高一下·福建厦门·月考）在中，是边上一点，，，，，则_____. 16．（25-26高一下·山东临沂·月考）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 17．（25-26高一下·全国·期中）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. 四、解答题 18．（25-26高一下·山东济南·月考）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 19．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，在锐角中，，，. (1)求的长； (2)若点在边上，且，求. 20．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，，E，F是分别是线段AB，AC的中点，BF和CE交于点O． (1)求的值； (2)求的值； (3)点P是线段AC上的动点（含端点），求的取值范围． 21．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的三个内角所对的边分别为，. (1)求角的大小. (2)若，的面积为，求a的值. (3)若，，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 22．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，在等腰梯形ABCD中，，，P为线段CD上的一个动点. (1)若，，，求BP的值； (2)若，Q为线段AP上一点，且，求实数m的值； (3)设x，，，求的值. 23．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：解三角形高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：正弦定理应用 · 考点二：余弦定理应用 · 考点三：三角形面积公式应用 · 考点四：正余弦定理边角互化 · 考点五：解三角形的实际应用 · 考点六：几何图形的计算 · 考点七：三角形的边长或者周长的最值范围问题 · 考点八：三角形的面积的最值范围问题 · 考点九：正、余弦定理与三角函数交汇综合应用问题 【知识梳理】 知识点一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点三．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 考点四　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 考点五：高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正弦定理应用 【典例1】．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则角（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接由正弦定理并结合大边对大角定理可得. 【详解】由正弦定理得：， 又因为 且，所以. 【变式1】．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知是边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 因为，所以， 在中，. 【变式2】．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知，点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用表示与，借助于，应用正弦定理、和角公式与二倍角公式、同角三角函数关系计算即得. 【详解】因，则， 在中，因，则. 由正弦定理得，即，整理得， 两边取平方得， 由，可得，代入得，即. 题型二：余弦定理应用 【典例2】．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理，. 由为三角形内角，所以. 【变式1】．（25-26高一下·福建厦门·月考）在中，，，，则（    ） A．45° B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：， 由已知，， ，， 代入得：， 又因为，故. 【变式2】．（2026·云南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理、余弦定理、勾股定理求解即可. 【详解】 由正弦定理知，，所以，. 所以，又，所以. 在中，. 因为为的中点，所以. 在中，. 在中，. 题型三：三角形面积公式应用 【典例3】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据面积公式得出，利用正弦定理得出，进而得出，再利用求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得，， 则， 因为，所以，则，即， 因为是角的平分线，所以，所以， 则， 因为，，所以， 因为，所以， 则，得（负值舍去），故， 在中利用余弦定理得， 故 【变式1】．（25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 【变式2】．（2026·湖南常德·二模）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】，化简得， 再由正弦定理，得， 又， 代入得，整理得． 又，为的内角，则，即． 因为为的平分线，所以，， 在中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 题型四：正余弦定理边角互化 【典例4】．（24-25高一下·湖南·期中）记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据三角形边角关系，结合正、余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可知， 即，故A正确； 对于B，在边上取一点，使得，则，   ，故， 在中，由正弦定理可得， 即， 故，故B错误； 对于C，由射影定理可得， 故， 因为，所以， 由余弦定理可得， 故，即，故C正确； 对于D，由B知，，可得， 故， 即，故，即，故D正确. 故选：ACD. 【变式1】．（25-26高一下·湖北武汉·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．的面积为6 【答案】AD 【分析】对A，利用余弦定理得到，从而得到；对B，根据，利用正弦定理和正弦的两角和公式即可得到，从而得到；对C，利用正弦两角和公式得到，再利用正弦定理即可得到；对D，根据面积公式直接求解即可. 【详解】对选项A，因为，所以， 即，所以，故A正确. 对选项B，因为，所以 即：， 所以，因为， 所以，，即，故B错误. 对选项C，因为，，所以， 又，可得，. 所以， 因为，所以，故C错误. 对选项D，，故D正确. 【变式2】．（25-26高一下·湖南长沙·月考）在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理可判断A；根据弦切互化及三角恒等变换化简可判断B；结合B由基本不等式可得，根据两角和的正切公式化简计算可判断C；由C可得，根据正弦定理化简可判断D. 【详解】对于A选项，由正弦定理可得，但是不能得到，故A错误； 对于B选项，，故选项B正确； 对于C选项，由为锐角，故， 从而，故， 因为，所以， 因此，故C正确； 对于D选项，由C可知，则， 由正弦定理可得，得，故D正确. 题型五：解三角形的实际应用 【典例5】．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件即可. 【详解】由题意，因为, 且平面,平面, 所以平面, 对于A，在中，借助直角三角形用表示出，然后在中由余弦定理解三角形求得，故A正确； 对于B，在中，根据,可利用正弦定理求得，再根据求得，故B正确； 对于C，由，借助直角三角形和余弦定理，用和表示出，然后结合在中利用余弦定理列方程，解方程求得，故C正确； 对于D，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故D错误； 故选：ABC. 【变式1】．（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（   ） A． B． C．从点观测峰顶的仰角为，则 D．从点观测点的仰角为，则 【答案】ABD 【分析】首先求出，即可求出，从而判断A，过点作交于点，求出，即可判断B，利用锐角三角函数判断C，利用余弦定理求出，即可判断D. 【详解】对于A：依题意，，且， 所以，则， 因为峰顶在所在地平面垂直投影点为，即平面，平面，所以， 所以，故A正确； 对于B：因为在地平面投影点落在上，即平面，且平面， 所以，过点作交于点，则，， 又，，所以， 因为山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，即， 所以， 则，故B正确； 对于C：因为从点观测峰顶的仰角为，则， 所以，则，故C错误； 对于D：因为，平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 所以，所以， 所以从点观测点的仰角为，则，故D正确. 故选：ABD 【变式2】．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【分析】根据三角形的边角关系可得是正三角形，进而根据余弦定理可得，进而可求解速度，即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD. 【详解】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 题型六：几何图形的计算 【典例6】．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 【变式1】．（25-26高三上·重庆·期中）如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的值； (2)设边的中点为，若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，代入 所以，即，又，则； （2）如图，作，垂足为，， 为中点，设，因为为中点，所以， 在中，，所以， 在中，，， 由勾股定理得， ，，则. 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； （2）由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 题型七：三角形的边长或者周长的最值范围问题 【典例7】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 【变式1】．（25-26高一下·湖南常德·月考）在中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 【变式2】．（2026·山西太原·二模）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， (1)求角的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，根据角的关系，再根据锐角三角形列式求解； （2）根据正弦定理由边的关系转化为角的关系，再根据三角恒等变换转化为的二次函数求解. 【详解】（1），∴由正弦定理得， 即，为锐角三角形，,则 所以，即，， . （2）由正弦定理得 ， . 题型八：三角形的面积的最值范围问题 【典例8】．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.      【变式1】．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 【变式2】．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 题型九：正、余弦定理与三角函数交汇综合应用问题 【典例9】．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案； （2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可； （3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）解：由正弦定理，可得， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． （3）解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 【变式1】．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由， 因为，可得 又因为在上恰有2个极值点，则满足， 解得，所以的取值范围为. （2）解：当时，可得 由，可得，即， 因为，可得，所以， 解得，所以， 又由正弦定理，可得， 所以， 又因为，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 【变式2】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，所以，进而得到，即可求得的大小； （2）由正弦定理化简得到，再由为锐角三角形，得到，求得的范围，进而得到的取值范围； （3）由余弦定理得和，得到，化简，根据，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）解：由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，可得，所以. （3）解：由余弦定理，可得，即， 又由 则， 由 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，则，即， 所以，即的取值范围为. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵三角形三边长均为正， ∴，解得. ∵三角形两边之和大于第三边，且为最长边， ∴ ，即 ， 解得. ∵为钝角三角形，最长边对应角为钝角，∴， 由余弦定理得 ， ∵ ，∴ ， 代入边长得：， 展开整理得，即， 解得. 结合，得实数的取值范围为. 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角解的个数，可得，求解即可. 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 3．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，公路北侧有一幢楼，高为300米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走400米到点B处，测得仰角为30°，再行走400米到点C处，测得仰角为θ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理求出即可. 【详解】在中，， 则， 在中，，由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得， 在中，. 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】由，利用二倍角公式得到，再利用正弦定理求解. 【详解】由， 得，即， 由正弦定理得， 即，因为， 所以，解得， 所以一定为直角三角形. 5．（25-26高一下·北京朝阳·月考）记内角的对边分别为，若，则（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合三角形的面积公式求解,再结合余弦定理进行取舍即可. 【详解】由题意知： 所以 又因为所以或 又由余弦定理可知： 所以 所以 所以 所以. 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题可得当的值最大等价于的面积最大，由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值. 【详解】由于，， 所以的面积， 则当的值最大时，的面积最大， 由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又，故为锐角， 所以， 则面积最大时，的值为 7．（25-26高一下·江苏·月考）在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值. 【详解】由正弦定理可得，由余弦定理可得， 故 . 8．（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南株洲·期中）在中，角所对的边分别为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则， B．若为锐角三角形，则可能有 C．若，，，则解此的结果有一解． D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 【答案】AD 【分析】选项A：若，可利用大角对大边及正弦定理推导；选项B：因为三角形内角和，所以，利用正切的两角和公式变形，可推导与的关系，再结合锐角三角形的条件判断等式是否可能成立；选项C，利用正弦定理计算的值，根据的取值范围及三角形解的个数判定规则，判断解的个数；选项D，因为，根据正弦定理可得三边之比，可设三边为；再利用余弦定理计算内角余弦值，进而得到正弦值，结合外接圆半径公式求出；利用三角形面积公式和建立等式求出，最后计算的值. 【详解】选项A，在中，在上单调递减，因此可推出； 根据大角对大边，，结合正弦定理，可得，A 正确； 选项B，由得，对等式两边取正切，整理后恒有：， 该等式对所有非直角三角形都成立，锐角三角形恒满足该等式，不是“可能成立”，表述错误，B 错误； 选项C，已知，由正弦定理得：， 又，因此既可以是锐角也可以是钝角，该三角形有两解，C 错误； 选项D，由正弦定理得， 设： 由余弦定理得，因此，结合正弦定理，得， 半周长，三角形面积，结合得， ，D 正确. 10．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，，，，则（   ） A． B．的面积为8 C． D． 【答案】ACD 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长及数量积运算公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，所以， 解得，因为，所以为直角三角形，， 所以，所以A正确； ，所以B错误； ，， 所以，所以C正确； 因为，所以， 所以D正确. 11．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 【答案】ABC 【分析】由正弦定理有结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合判断B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D. 【详解】A：设的外接圆半径为， 因为的面积为， 所以，故A正确； B：由，即，B选项正确； C：由，则，当时取， 所以，当且仅当且时取等号，C选项正确； D：若为钝角三角形，设为钝角，，即得， 由C选项知，所以，即， 又因为，所以，所以与矛盾，假设不成立， 同理B，C也不可能为钝角，D选项错误. 12．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的面积最大值为6 【答案】BC 【分析】A选项，利用展开，再借助两角和的正弦公式化简，即可求得；B选项，由，结合正余弦定理化简，可得结果；C选项，将用表示，用均值不等式可得最小值；D选项，代入，结合与面积公式，可求得面积的最大值. 【详解】对于A：因为，又，所以， 所以，即， 所以，即， 所以，故A错误； 对于B：因为，由正余弦定理得：，整理得：，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时取到最小值，故C正确； 对于D：因为，，所以， 又因为， 又因为， 所以 ， 所以当时，面积达到最大值为，故D错误. 13．（25-26高一下·山东济南·月考）满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题 14．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以 ， ， 所以， 则的面积为. 故答案为：8. 15．（25-26高一下·福建厦门·月考）在中，是边上一点，，，，，则_____. 【答案】 【分析】法一：根据余弦定理求解即可；法二：先根据勾股定理逆定理得到，进而求得结果. 【详解】法一：在中，，，， 由互补角余弦值互为相反数得 由余弦定理得 即，故 法二：在中，，故 故 16．（25-26高一下·山东临沂·月考）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 【答案】 【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长. 【详解】设，因为，，则， 又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：，解得：， 则. 17．（25-26高一下·全国·期中）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】本题主要利用三角形内角和与三角恒等变换，求出角，再利用余弦定理建立等量关系，将转化为关于的表达式，进而利用二次函数的性质求出的最小值. 【详解】在中，，则，由诱导公式可知， 所以由，可得， 即， 化简得，因为，所以， 因此，又因为，所以. 在中，由余弦定理可知，已知，， 则，所以， 当时，取最小值为，因此的最小值为. 四、解答题 18．（25-26高一下·山东济南·月考）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，再根据三角恒等变形化简求解即可； （2）利用的和角公式，结合及，可得，利用正弦定理得，再根据余弦定理求出即可． 【详解】（1）解：由正弦定理得， ， ， ， 因为，所以，解得： 又因为，所以； （2）由（1）知，则， ， ，， 解得：， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即，解得：， 故的周长． 19．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，在锐角中，，，. (1)求的长； (2)若点在边上，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合角的范围，利用同角三角函数关系二倍角公式求出的正弦、余弦值，再由正弦定理即可求解； （2）利用（1）中结果及正弦的和角公式，求出，进而可得，再由余弦定理，即可求解. 【详解】（1）因为，则①，又②，， 由①②可得，又，， 所以，所以， 又，由正弦定理，得到，解得. （2）由（1）知，，， 则，所以，则， 又，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得. 20．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，，E，F是分别是线段AB，AC的中点，BF和CE交于点O． (1)求的值； (2)求的值； (3)点P是线段AC上的动点（含端点），求的取值范围． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）用余弦定理求出，再根据数量积定义求解即可； （2）先用余弦定理算出，再由重心的性质求和，再用余弦定理； （3）建系求解即可. 【详解】（1）由余弦定理知， 代入题目条件得， 解得或(舍去)，所以， 所以. （2）由余弦定理知， 代入题目条件得，所以， 再由余弦定理. （3）如图，以为原点建立平面直角坐标系， 分别写出各点坐标，，由重心坐标公式得， 写出， 设，得， 因为，所以的范围是. 21．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的三个内角所对的边分别为，. (1)求角的大小. (2)若，的面积为，求a的值. (3)若，，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据正弦定理将转化为， 再根据对上式进行化简，最后求出的值. （2）根据三角形面积公式可求出的值，再结合余弦定理以及的值求解出的值. （3）先根据求解出的值，再利用面积法求解出角平分线的长度. 【详解】（1），. 在中，， ，可得， ，，，又，可得． （2）由，解得， 由余弦定理得，所以，故． （3）由，， 设AD的长为x，由，， 解得，即. 22．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，在等腰梯形ABCD中，，，P为线段CD上的一个动点. (1)若，，，求BP的值； (2)若，Q为线段AP上一点，且，求实数m的值； (3)设x，，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据同角三角函数关系求出的值，再利用余弦定理求解出. （2）设，然后利用表示出，然后利用向量相等列出方程组，求解出. （3）设，然后利用表示出，再利用向量相等列出方程组，求解出的值. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， ， . （2），，. 因为点Q为线段AP上一点，所以存在，使得， ，，解得. （3）由已知， ①， 因为点P在线段CD上，所以存在，使得， 则， 又， ②， 由①②得，. 23．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又， 所以 （2）在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $