精品解析：陕西西安市新城区西光中学教育集团2025-2026学年八年级下学期 期中数学试题（4月）

西光中学教育集团八年级下学期期中试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点O对称，那么的值为( ) A. 3 B. C. 7 D. 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C D. 5. 等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的大小为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在等腰直角三角形中，，将沿方向平移得到，若，，则（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，与的平分线相交于点H，，点D在AC的延长线上，交BC于F，交AB于G，连接CH．下列结论，①；②；③BH垂直平分CE；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 把多项式分解因式的结果是_________________________. 10. 已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为____． 12. 如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为______． 13. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 14. 如图，等腰的底边，面积为，点是边上的一个动点，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 因式分解： （1）； （2） 16. 解不等式组：． 17. 已知：如图，∠MON及边ON上一点A． 求作：在内部的点P，使得，且点P到两边的距离相等． 18. 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足．试判断该三角形的形状，并说明理由． 19. 如图，中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 20. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 21. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的． 22. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：_______； （2）将变形为的形式，并求出的最小值． 23. 如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求度数； （2）若的周长为20，求的长． 24. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图2，可以发现代数式可以因式分解为______； （2）若图2中大长方形纸板的周长为，求的值； （3）在（2）的条件下，若图2中阴影部分的面积为，求图中空白部分的面积． 25. “植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 26. 已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． （1）如图，若为的中点，，求的长． （2）如图，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西光中学教育集团八年级下学期期中试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、（五角星）：是轴对称图形，但旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； B、（三叶草形）：是轴对称图形，但旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； C、是中心对称图形，但找不到对称轴使对折后两侧重合，不是轴对称图形，不符合要求； D、沿竖直中线/水平中线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后和原图形重合，也是中心对称图形，符合要求． 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，，不符合题意； 选项B：，，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，，符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点O对称，那么的值为( ) A. 3 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， ∴ 故选：B． 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是整式乘法，故此项错误； B.结果不是整式乘积的形式，故此项错误； C.符合定义，是分解因式，故此项正确； D.分解的结果含有分式，不符合因式分解的定义，故此项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，理解定义是解题的关键． 5. 等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，即可计算得到周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 此时三角形的周长为． 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由旋转的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在等腰直角三角形中，，将沿方向平移得到，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，再利用平移的性质得到，进而得到三角形相似，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：在等腰直角三角形中，， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 8. 如图，在中，与的平分线相交于点H，，点D在AC的延长线上，交BC于F，交AB于G，连接CH．下列结论，①；②；③BH垂直平分CE；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：， 故①正确； ∵平分， ∴H到，的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），故③正确； ∵与的平分线相交于点H， ∴点H到，的距离相等，点H到，的距离相等， ∴点H到，的距离相等， ∴点H也位于的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故④正确； 由④得：， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ，故⑤正确； 综上可知，①②③④⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 把多项式分解因式的结果是_________________________. 【答案】 【解析】 【详解】原式=，故填. 10. 已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和公式与任意多边形外角和为，结合题目条件列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在平面直角坐标系中的平移规律，向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即． 12. 如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据图象可以看出当时，直线在直线的上方，即可得到答案． 【详解】解：∵两条直线交点坐标为， 由图象可知，当时，直线在直线的上方，满足， ∴不等式的解集为． 13. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 14. 如图，等腰的底边，面积为，点是边上的一个动点，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图作于，连接，由垂直平分线段，推出，推出， 可得当共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：如图作于，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时，最小值就是线段的长， ∵， ∴， 根据垂线段最短， ∴当时最小， ∴的值最小为． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，根据不等式组解集的求法可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得： 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 解不等式②得： 两边同乘（分母的最小公倍数）去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为，得： ∴不等式组的解：． 17. 已知：如图，∠MON及边ON上一点A． 求作：在内部的点P，使得，且点P到两边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】依据点P到∠MON两边的距离相等，可得点P在∠MON的角平分线上；依据PA⊥ON，可得点P在过点A且与ON垂直的垂线上．作出∠MON的角平分线OB以及过点A且与ON垂直的垂线AC，它们的交点P即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． ． 【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握角平分线的性质以及垂线的尺规作图方法．解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 18. 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足．试判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】该三角形是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用和等边三角形的判定，正确变形、熟知非负数的性质是解题的关键；先将原式变形为，再根据非负数的性质得出且，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴且， ∴， ∴该三角形是等边三角形． 19. 如图，在中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，首先根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上可证结论成立． 【详解】证明：于点， ， ， ， 在和中， ， ， 平分． 20. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 【答案】 证明：由旋转可知， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据旋转的性质可得，再利用“”证明，结合全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】略 21. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析 【解析】 【分析】（）利用平面直角坐标系中“点向左平移，横坐标减、纵坐标不变”的平移规律，将的三个顶点横坐标减、纵坐标不变，得到新顶点坐标，顺次连接后得到平移后的，并确定点的坐标为； （）依据“关于原点对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数”的坐标规律，对的三个顶点坐标取反，得到对称点坐标，顺次连接后画出与关于原点对称的． 【小问1详解】 解：∵向左平移个单位时， ∴点的横坐标减，纵坐标不变， ∴对各点坐标变换后得：，，，顺次连接三个顶点即可得到， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵关于原点对称的点的坐标规律：对称点的横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴对各点坐标变换后得：，，，顺次连接三个顶点即可得到所求的 22. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：_______； （2）将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（）根据完全平方公式的特征求解； （）先配方，再求最小值． 【小问1详解】 解：根据完全平方公式：， ∵，一次项系数的一半为，平方为， ∴． 【小问2详解】 解： 根据完全平方的非负性，对任意都有， ∴当时，原式有最小值， 即：的最小值为． 23. 如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的周长为20，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别求出和，再利用即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为20， ∴， 由（1）可知，，， ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的基本性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，准确记忆并熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 24. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图2，可以发现代数式可以因式分解为______； （2）若图2中大长方形纸板的周长为，求的值； （3）在（2）的条件下，若图2中阴影部分的面积为，求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知代数式表示的是图2大长方形的面积，利用长方形的面积公式可得图2中大长方形面积可以表示为，由此即可解答； （2）据题目中的条件，根据大长方形的周长公式列出算式即可求解； （3）根据题意列出方程组，求出的值，表示出空白部分的面积的代数式求解即可． 【小问1详解】 解：大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形， 大长方形的面积为：； 又大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为：； ， 故答案是：； 【小问2详解】 解：∵图2中大长方形纸板的周长为， ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由题意得， ， 解得：， 空白部分的面积为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式在几何图形中的应用，整式加减的应用，解题的关键是：仔细观察图形，找到面积关系及周长的表示方法． 25. “植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元 （2）购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，根据购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元， 由题意：， 解得：， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元； 【小问2详解】 解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得：， 解得：， 设总费用为元， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时，， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少． 26. 已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． （1）如图，若为的中点，，求的长． （2）如图，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形性质、三线合一定理得出，，再结合等边对等角、三角形外角的性质可得，由等角对等边即可得解； （2）先结合等边对等角、平行线的性质证明是等边三角形，再结合等边三角形性质推得，由全等三角形性质可证； （3）过点作交延长线于点，先证是等边三角形，再结合等边三角形性质推得，得出，后，再证，可得． 【小问1详解】 解：等边中，为的中点， ，， ，， ， ， 是的外角， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ， ，， ，是等边三角形， ， ， 即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ，由平行线可得：， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， 等边中，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $