7.3.5已知三角函数值求角课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数 7.3.5已知三角函数值求角 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1.掌握已知正弦、余弦、正切值求角的基本步骤与方法（特殊角、非特殊角、多解情况）。 2.会用符号表示非特殊角。 3.掌握 “定象限→找主值→加周期” 的通用解题步骤。 4.会根据三角函数值与范围，写出所有满足条件的角（通解）。 探究新知 在三角函数知识的应用中，经常会遇到尝试与发现中的类似问题，即已知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围的问题，这也就是本小节我们要研究的内容. 尝试与发现的问题(1)中,由sinx=>0可知,角x对应的正弦线方向朝上,而且长度为. 作示意图,如图7-3-18所示.可知角x的终边可能是OP,也可能是OP'. 探究新知 又因为sin=sin=, 所以尝试与发现的问题(1)中的x=+2kx=+2k，k∈Z.   上述问题的解答也可借助正弦函数的图象-正弦曲线来完成，请读者自行尝试. 对于尝试与发现中的问题（2）来说，同样由图7-3-18可知，如果x的终边在∠POP′中，则一定有sinx≥，因此，x的取值范围是 +2k≤x≤+2k，k∈Z 探究新知   上述问题的解答也可借助正弦函数的图象-正弦曲线来完成，请读者自行尝试. 上述问题的解答也可借助正弦函数的图象-正弦曲线来完成 探究新知 例1 已知cos(2x+)=-，求x. 解  由cos(2x+)=-<0可知，角2x+对应的余弦线方向朝左，且长度为. 作示意图，如图7-3-19所示．可知角2x+的终边可能是OP， 也可能是OP'.又因为cos=cos=-，所以 2x+=+2k或2x+=+2k，k∈Z, 即 x=+或x=+,，k∈Z. 探究新知 例1 已知cos(2x+)=-，求x. 解 同样可以通过余弦函数的图像——余弦曲线求解.   - 2 探究新知 同前面类似，从图7-3-19可以得到不等式 cos(2x+)<- 的解集为{x|+x+,k∈Z}. 详细的解的过程如下页： 探究新知 求不等式cos(2x+)<-的解集. 令2x+=u由cosu=-可知,角u对应的余弦线方向朝左,而且长度为.作示意图,如图7-3-19所示.可知角u的终边可能是OP,也可能是OP'. 又因为cos=cos=-, 所以，2x+=+2k或2x+=+2k，k∈Z, 由图7-3-19可知，cosu<-的终边在∠POP′内，即 +2k<2x+<+2k,所以，+x+,k∈Z，故解集为：{x| ,k∈Z} 探究新知 例2 已知tanx=-1.x∈(3π,5π)，求x. 解 由tanx=-1<0可知,角x对应的正切线方向朝下，且长度为1. 由图可知角x的终边可能是OT，也可能是OT′.又因为 tan(-)=tan(π-)=-1,所以 x=-+kπ,k∈Z. 又由3π<-+kπ<5π,k∈Z可知k=4或k=5,因此 x=或 x= 探究新知 由图7-3-20还可得到不等式 tanx>-1 的解集为{x|−+kπ<x<+kπ,k∈Z} 详细的解的过程如下页： 探究新知 求不等式tanx>-1的解集 由tanx=-1可知,角x对应的余弦线方向朝下,而且长度为.作示意图,如图7-3-19所示.可知角x的终边可能是OT,也可能是OT'. 又因为tan(-)=tan(π-)=-1,所以，x=-+2k或x=+2k，k∈Z, 由图7-3-19可知，tanx>-1的终边在∠TOP或∠T′OP′内，即 -+2k<x<+2k或+2k<x<+2k（-+（2k+1<x<+（2k+1）） 故解集为：{x|−+kπ<x<+kπ,k∈Z} P P′ 探究新知 解 同样可以通过正切函数的图像——正切曲线求解.   例2 已知tanx=-1.x∈(3π,5π)，求x. 探究新知 由上面可以知道，即使给出的三角函数值是特殊值，求对应的角也并不容易.不过，借助计算器或者计算机软件，给定三角函数值可以求出特定范围内的角. 由图7-3-18或正弦曲线可以看出，任意给定一个y∈[-1,1]，满足sinx=y的x在区间[-,]内只有一个，利用计算器或计算机软件可以方便地求出这个x的值.不过，在不同的计算器或计算机软件中，表示满足条件的x的符号不同. 探究新知 例如，很多科学计算器用SIN-1y表示满足条件的x值，如图7-3-21所示．此时，要在区间[-,-]内求出满足sinx=0.5的x值，只要输入SIN-10.5即可． 在Excel中，用ASIN(y）表示满足条件的x值．如图7-3-22所示，在Excel的任意一个单元格输入“=ASIN(0.5)”，就能得到的小数形式. 探究新知 在GeoGebra中,用arcsin(y）和asind(y）表示满足条件的x值,但前者得到的是弧度值,后者得到的是角度值.在GeoGebra的运算区中,输入“arcsin(0.5）”,就能得到,如图7-3-23(1）所示；输入“asind(0.5）”,就能得到30°,如图7-3-23(2）所示． 探究新知 事实上，在数学中，任意给定一个y∈[-1,1]，当sinx=y且x∈[-,]时，通常记作 x=arcsiny. 因此，不难知道 arcsin=,arcsin(−)=-, arcsin1= 类似地，我们有： 在区间[0,π]内，满足cosx=y (y∈[-1,1])的x只有一个（参见图7-3-19或余弦曲线），这个x记作,arccos y，即x=arccosy; 在区间(-)内，满足tanx=y (y∈R)的x只有一个（参见图7-3-20或正切曲线），这个x记作arctany，即x=arctany. 小结 1.利用三角函数线求角的步骤： 判断三角函数线方向→做示意图→求角. 2.会用符号表示非特殊角(arcsin\arccos\arctan) 3.掌握 “定象限→找主值→加周期” 的通用解题步骤。 y=arcsinx ·定义域：x ·主值范围：y ·含义：在主值区间内， 正弦值为x的角 y=arccosx ·定义域：x ·主值范围：y ·含义：在主值区间内， 余弦值为x的角 y=arctanx ·定义域：x ·主值范围：y ·含义：在主值区间内， 正切值为x的角 巩固提升 1.已知cosx＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　) A.　　 　B. C. D. B 巩固提升 2．已知α是三角形的内角，且sinα＝，则α＝(　　) A. B. C.或 D.或 D 巩固提升 3.不等式2cosx+≥0在[-,]上的解集 解析 原不等式即求conx≥-，由图可知，xϵ[-,] 巩固提升 4.若sinx=−,x∈（π,），则x的值为 。 解析：因为x∈（π,），所以x-π∈（0,）， 因为sinx=−，所以，sin（x-π）=， 所以，x-π=arcsin,所以，x=π+arcsin π+arcsin 反正弦函数：y=arcsinx ·定义域：x ·主值范围：y ·含义：在主值区间内， 正弦值为x的角 巩固提升 5.若sinx=−,x∈（π,），则x等于（ ） A.arcsin(−) B.π-arcsin C.π+arcsin D.-arcsin C 解析：arcsinx的主值范围是： arcsin）的取值范围是 arcsin的取值范围是 C.sin（π+arcsin）=-sin(arcsin)=- D.sin(-arcsin)=-cos(arcsin) ∴C正确 巩固提升 6.若sinx=,x∈（，π），则x等于（ ） A.arcsin B.π-arcsin C.π+arcsin D.-arcsin B arcsinx是[-]内的一个角， sinx=的角x有无数个 解析：arcsin的取值范围是 sin(π-arcsin)=sin(arcsin)= ∴x可以等于π-arcsin、arcsin、 A.arcsin∈ B.π-arcsin∈(,π) C.π+arcsin∈（π,）D.-arcsin∈ ∴B正确 $