7.3.5 已知三角函数值求角-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.3.5 已知三角函数值求角 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角. 2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[-2π，2π]上对应的角. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.已知正弦值求角 对于正弦函数y=sin x，如果已知函数值y(y∈[-1，1])，那么在_________ 上有唯一的x值和它对应，记为x=________.  2.已知余弦值求角 对于余弦函数y=cos x，如果已知函数值y(y∈[-1，1])，那么在_______上有唯一的x值和它对应，记为x=________.  arcsin y [0，π] arccos y 3.已知正切值求角 一般地，如果y=tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在 开区间__________内，有且只有一个角x，使tan x=y，记为x=_________.  arctan y 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在区间上，满足条件sin x=a的x有一个. (　　) (2)在区间上，满足条件tan x=a的x有一个. (　　) (3)在区间上，满足条件cos x=a的x有一个. (　　) 基础落实训练 × × √ 2.下列说法错误的是 (　　) A.arcsin=- B.arcsin 0=0 C.arcsin(-1)= D.arcsin 1= √ 解析：根据已知正弦值求角的定义知arcsin(-1)=-，故C项错误. 3.已知α是三角形的内角，且sin α=，则α=(　　) A. B. C.或 D.或 √ 解析：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)， 当sin α=时，α=或，故选C. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　已知正弦值求角 [例1]　已知sin x=-，求x. 解：法一　由sin x=-<0可知，角x对应的正弦线方向 朝下，而且长度为.如图所示，可知角x的终边可能是 OP，也可能是OP'.又因为sin=sin=-， 所以x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z. 法二　因为sin x=-，如图所示，由正弦函数的图象，知在[0，2π]内，sin=sin=-，所以x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z. 　[变式拓展] 　将本例条件改为sin x=，试求x. 解：由sin x=>0可知，角x对应的正弦线方向朝上， 而且长度为，如图所示，可知角x的终边可能是OP， 也可能是OP'.又因为sin=sin=，所以x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z. 　|思|维|建|模| (1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用. (2)正弦函数值与角之间的对应关系 sin x=a (|a|≤1) x∈ x∈[0，2π] x=arcsin a 0≤a≤1 -1≤a<0 x1=arcsin a， x2=π-arcsin a x1=π-arcsin a， x2=2π+arcsin a 针对训练 1.已知sin x=. (1)当x∈时，求x的取值集合； 解：∵y=sin x在上是增函数，且sin=， ∴x=，∴是所求集合. (2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合； 解：∵sin x=>0，∴x为第一或第二象限角， 且sin=sin=，∴在[0，2π]上符合条件的角有x=或x=， ∴x的取值集合为. (3)当x∈R时，求x的取值集合. 解：当x∈R时，x的取值集合为 题型(二)　已知余弦值求角 [例2]　(1)已知cos α=-，α∈，则α=_______________.  2π-arccos 解析：(1)由余弦函数在[0，π]上是减函数和cos α=-可知，在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos，即arccos∈[0，π]. 又∵cos α=-<0，∴arccos∈， ∴0<π-arccos<.∴π<π+π-arccos<， 即π<2π-arccos<.∴α=2π-arccos. (2)已知cos=，求x. 解析：由cos=>0，知角2x-对应的余弦线方向向右，且长度为.如图所示，可知角2x-的终边可能是OP，也可能是OP'.又因为cos=cos=， 所以2x-=-+2kπ或2x-=+2kπ，k∈Z. 所以x=+kπ或x=+kπ，k∈Z. 　|思|维|建|模|　余弦函数值与角之间的对应关系 cos x= a(|a|≤1) x∈[0，π] x∈[0，2π] x=arccos a x1=arccos a， x2=2π-arccos a 针对训练 2.若cos=，则满足条件的角x的集合是 _________________________________.  解析：因为cos=，所以x-=2kπ-或x-=2kπ+(k∈Z)， 解得x=2kπ或x=2kπ+(k∈Z). 所以满足条件的角x的集合是. 3.求不等式2cos-<0的解集. 解：不等式变为cos<，则+2kπ<2x+<+2kπ，k∈Z， 解得+kπ<x<+kπ，k∈Z. 所以不等式的解集为. 题型(三)　利用正切值求角 [例3]　方程tan=在区间[0，2π)上的解的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：法一　令t=2x+，作出函数y=tan t的图象如图所示. 令2x+=+kπ，k∈Z，所以x=，k∈Z. 又由0≤<2π，所以k=0，1，2，3. 故方程在区间[0，2π)上有4个解. 法二　由tan=>0，设t=2x+， 所以角2x+对应的正切线方向朝上，而且长度为， 如图所示，可知2x+的终边可能是OT，也可能是OT'. 因为tan=tan=，所以2x+=+kπ，k∈Z. 所以x=，k∈Z.又由0≤<2π，所以k=0，1，2，3. 故方程在区间[0，2π)上有4个解. |思|维|建|模|　正切函数值与角之间的对应关系 tan x=a (a∈R) x∈ x∈[0，2π) x=arctan a a≥0 a<0 x1=arctan a， x2=π+arctan a x1=π+arctan a， x2=2π+arctan a 针对训练 4.当0<x<π时，使tan x<-1成立的x的取值范围为______________.  解析：由正切函数的图象知，当0<x<π时， 若tan x<-1，则<x<，即实数x的取值范围是. 5.函数y=1+tan在区间(-π，π)内的零点个数为______.  4 解析：函数y=1+tan，令1+tan=0， 得tan=-1，所以2x-=kπ-，k∈Z，解得x=-，k∈Z. 当k=-1时，x=-；当k=0时，x=-；当k=1时，x=； 当k=2时，x=，所以函数在区间(-π，π)内的零点有4个. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.使arcsin(1-x)有意义的x的取值范围是 (　　) A.[1-π，1] B.[0，2] C.(-∞，1] D.[-1，1] √ 解析：由题知应有-1≤1-x≤1，∴0≤x≤2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.cos的值为(　　) A. B. C.- D.- √ 解析：∵在上，arcsin=，∴cos=cos=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.方程cos x+=0，x∈[0，2π]的解集是(　　) A. B. C. D. √ 解析：在[0，2π]内，cos=cos=-cos=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若tan α=，且α∈，则α=(　　) A. B. C. D. √ 解析：∵tan=，又α∈，∴α=π+=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知sin x=-，x∈，则x等于(　　) A.arcsin B.π-arcsin C.π+arcsin D.-arcsin √ 解析：∵x∈，∴x=π+arcsin. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若cos(π-x)=，x∈(-π，π)，则x的值等于(　　) A. B.± C.± D.± √ 解析：由cos(π-x)=-cos x=得，cos x=-.又∵x∈(-π，π)， ∴x在第二或第三象限，∴x=±. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知sin x=-，且x∈，则x可以表示为(　　) A.arcsin B.-+arcsin C.-π+arcsin D.-π+arcsin √ 解析：∵x∈且sin x=-，∴π+x∈且sin(π+x)=. ∴π+x=arcsin，x=-π+arcsin. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若sin(x-π)=-，且-2π<x≤0，则x=__________.  -或- 解析：∵sin(x-π)=-sin(π-x)=-sin x=-，∴sin x=. ∴x=2kπ+或2kπ+(k∈Z). 又-2π<x≤0，∴x=-或x=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若α∈(0，2π)，tan α=1，cos α=-，则α=_______.  解析：由已知，得α是第三象限的角.又α∈(0，2π)，tan=1，cos=-，∴α=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是_________.  解析：∵arccos=，∴底角为=.∴tan=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)方程2cos=1在区间(0，π)内的解是________.  解析：∵2cos=1，∴cos=. ∵x∈(0，π)，∴x-∈， ∴x-=，∴x=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求方程tan x=-，x∈(-π，π)的解集. 解：∵tan=-tan=-，tan=-tan =-，-，π-=都在(-π，π)内， ∴方程tan x=-，x∈(-π，π)的解集为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知cos=-，x∈[0，2π]，求x的集合. 解：令θ=2x+，∴cos θ=-. 当0≤θ≤π时，θ=；当π<θ≤2π时，θ=. ∴当x∈R时，θ=∈R，∴2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z)，即x=kπ+或x=kπ+(k∈Z). 又x∈[0，2π]，∴x∈. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知cos x=-. (1)当x∈[0，π]时，求x的值；(3分) 解：∵cos x=-且x∈[0，π]，∴x=arccos. (2)当x∈R时，求x的取值集合.(7分) 解：当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解. ∵cos x=-，∴x是第二或第三象限角. 由(1)知x=arccos是第二象限角， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又cos=cos =-，且2π-arccos∈， ∴由余弦函数的周期性知， 当x=arccos+2kπ或x=2π-arccos+2kπ，k∈Z时， cos x=-，即所求x的取值集合是. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(15分)已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin(π-A)=cos cos A=-cos(π+B)，求角A，B，C的大小. 15 解：∵sin(π-A)=cos，∴sin A=sin B.① 又cos A=-cos(π+B)，∴cos A=cos B.② ①2+②2得cos2A=，即cos A=±. ∵A∈(0，π)，∴A=或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)当A=时，由②得cos B=，又B∈(0，π)， ∴B=，C=. (2)当A=时，由②得cos B==-<0. 可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解. 综上可知，角A，B，C的大小分别为. 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $