专题8.3 简单几何体的表面积与体积（5类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.3 简单几何体的表面积与体积 【知识梳理】 1 【考点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积】 3 【考点2：棱柱、棱锥、棱台的体积】 6 【考点3：圆柱、圆锥、圆台的表面积】 10 【考点4：圆柱、圆锥、圆台的体积】 12 【考点5：球的表面积】 14 【考点6：球的体积】 16 【考点7：组合体的表面积】 18 【考点8：组合体的体积】 22 【考点9：球的切、接问题】 26 【知识梳理】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 4．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【考点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积】 1．（25-26高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积． 【详解】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 2．（25-26高三下·海南·月考）已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 【答案】80 【分析】由正四棱台的结构特征，结合已知数据求出侧棱和斜高的长，即可计算正四棱台的侧面积． 【详解】正四棱台中，连接，则平面平面， 过作，垂足为，则平面， 由，得， 在中，，， 所以， 过点作，垂足为，则，得， 所以该正四棱台的侧面积为. 3．（25-26高一下·福建厦门·月考）若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【答案】(1)底面边长为，斜高为 (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的性质结合勾股定理计算求解； （2）根据正四棱锥侧面积计算公式计算求解. 【详解】（1）如图，在正四棱锥中，高， 侧棱， 则为直角三角形， 在中，， ， ∵四边形为正方形， ． 作交于，则为的中点，．连接，则即为正四棱锥的斜高． 在中，，， ，即正四棱锥的斜高为． 故正四棱锥的底面边长为，斜高为； （2）由（1）知，． 所以正四棱锥的侧面积为． 【考点2：棱柱、棱锥、棱台的体积】 1．（河北张家口市2026届高三第二次模拟考试数学试题）圆柱与圆锥的底面半径均为，母线长均为，则圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得圆锥的高为，则圆锥的体积， 圆柱的体积为，所以圆柱与圆锥的体积之比为． 2．（25-26高三下·河北·开学考试）在三棱锥中，底面，，则三棱锥的体积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】依题意得各边长度，再利用勾股定理求出的长度，由余弦定理解出，进而求出，最后根据体积公式求出体积. 【详解】由已知条件，可得各边长度：， 因为底面，底面，所以是直角三角形， 由勾股定理：，得 ， 同理，是直角三角形：，得 ， 由余弦定理：， 代入得：，解得，即， 因此的面积：， 则三棱锥体积公式，代入得：. 3．（2026·河北衡水·二模）中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（   ） A．14斤 B．24斤 C．38斤 D．56斤 【答案】A 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量，即可求解剩余米量. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为斤. 所以米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为斤 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 5．（2026·海南海口·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，，，为的中点，点是圆上的动点（点、在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，，. 所以，且. 所以. 因为. 所以当即时，的面积最大. 此时. 所以，所以. 所以. 又，所以. 所以. 又. 设点到平面距离为， 则. 【考点3：圆柱、圆锥、圆台的表面积】 1．（25-26高三下·上海·月考）一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 【答案】 【详解】因圆柱的底面半径为，母线长为， 则该圆柱的侧面积是. 2．（2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【详解】依题意，该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为，则由可得， 故该圆锥的侧面积为. 3．（2026·山东济南·二模）已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 【答案】 【分析】设圆锥和圆柱的底面半径，由题意可得圆锥的高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】由圆锥与圆柱的底面积相等，所以圆柱和圆锥的底面半径相等，设为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，设圆锥的高为， 由圆锥与圆柱的体积相等得，，所以， 则圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积， 则. 4．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 5．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 【考点4：圆柱、圆锥、圆台的体积】 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 2．（2026·江西吉安·一模）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆台上底半径，下底半径，半径之差， 已知母线与底面夹角的余弦值为， 设母线长为，则，解得， 设圆台的高为，由勾股定理可得， 圆台的体积为． 3．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由圆台的母线与底面所成的角求出圆台的高，再由圆台的体积公式求体积即可. 【详解】如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为， 过作于，即为母线与下底面所成角，则. 因为圆台的上、下底面半径分别为2和4，所以， 由，所以，所以，即， 由圆台的体积公式为. 4．（2026·福建厦门·二模）在中，，以一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为______. 【答案】 【分析】利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】由题意如图所示： 在直角中，， 所以， 所以围成的几何体是一个底面圆半径为，高为的圆锥， 故该几何体的体积为：. 5．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 【答案】 【分析】由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积即可． 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图： 其中，，，， 过作交于，则为的中点， 在中，，， 所以， 将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台， 其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 故此圆台体积为． 故答案为：；． 【考点5：球的表面积】 1．（2026·上海静安·二模）直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 【答案】 【详解】由题意知球的半径， 所以球的表面积. 2．（25-26高二上·上海·期末）设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【答案】 【分析】利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则该球的大圆面积为， 故该球的表面积为. 3．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 4．（2025·福建泉州·一模）已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆柱侧面积和球表面积公式列方程，解方程即可. 【详解】设圆柱的母线长为，则，解得. 故选：B. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式和改革前后球的外径，分别算出“小球”的表面积和“大球”的表面积，计算出它们表面积之比，即可得到本题的答案． 【详解】因为，， 所以． 故选：C 【考点6：球的体积】 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱、圆锥、球的体积公式运算求解即可. 【详解】设球的半径为， 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为. 故选：D. 2．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 3．（2026·河南洛阳·模拟预测）将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 4．（江西新余市第四中学等重点中学盟校2026届下学期高三年级四月测试数学试题）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 5．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（    ）    A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D．圆锥的体积与球的体积之比为 【答案】C 【分析】对于A，由圆锥的底面半径和高都等于球的半径， 可得，即可判断；对于B，算出圆锥的表面积和球的表面积，可得它们的面积关系，即可判断；对于C，求出圆锥的母线长，底面周长，可得圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数，即可判断；对于D，分别求出圆锥的体积和球的体积，可得它们的体积之比，即可判断. 【详解】    对于A，设球的半径为，则如图所示：， 所以，故A正确； 对于B，圆锥的表面积为， 球的表面积为，所以，故B正确； 对于C，在中，圆锥的母线长为，底面周长为， 所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：C. 【考点7：组合体的表面积】 1．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（    ）克 A．340π B．440π C．4600π D．6600π 【答案】C 【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的面积后，然后乘以100，再乘以1000可得． 【详解】由题意圆锥的母线长为， 所以台灯表面积为， 需胶重量为（克）． 故选：C． 2．（25-26高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面积公式以及正方体的表面积公式即可求解. 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 3．（25-26高三上·湖南常德·期末）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知：正四棱柱和正四棱锥的高相等，且该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，再通过题意建立方程求出正四棱柱和正四棱锥的高及底面正方形的边长，最后通过表面积公式计算即可求解． 【详解】因为球的体积为，球的半径， 正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面， 正四棱柱和正四棱锥的高相等， 设正四棱柱和正四棱锥的高都为，设正四棱柱的底面正方形的边长为， 作底面，交平面于N,易知N，H分别为中心， 根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线， 设球心为O,则O为NH中点， ，即， 又，，，，， 作，则为中点，又， 该几何体的表面积为． 故选：A 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 5．（2026·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设截面圆半径为，球的半径为，求出截面圆的半径，利用几何关系可求出球体的半径，求出球体的表面积和一个球冠的表面积， 再利用球体的表面积减去个球冠的表面积并加上个截面圆的面积可得出该实心工艺品的表面积. 【详解】设截面圆半径为，球的半径为， 则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为， 根据截面圆的周长可得，得，故，得， 所以球的表面积． 如图，，且，则球冠的高， 得所截的一个球冠表面积， 且截面圆面积为， 所以工艺品的表面积． 故选：B. 【考点8：组合体的体积】 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 【答案】 【分析】利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积. 【详解】正方体体积， 石凳体积为正方体体积减去8个被截去的正三棱锥体积，每个被截去的正三棱锥三条侧棱长为， 则一个正三棱锥体积为， 所以石凳的体积为. 2．（25-26高三·天津·二轮复习）某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为___________． 【答案】 【分析】先利用圆锥侧面展开图，结合“底面周长 = 展开图弧长”的关系，求出母线长，再通过勾股定理算出圆锥的高并用相似三角形求圆柱高度，最后根据几何体的体积等于圆锥体积减去圆柱体积，分别代入圆锥和圆柱的体积公式，计算后得到最终结果. 【详解】设圆锥的母线长为，圆锥的高为， 因为圆锥侧面展开图的圆心角为， 所以，所以，圆锥的高， 设圆柱的高为，则，解得， 所以该几何体的体积为． 故答案为：. 3．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下､左右､前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为.现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的表面积的最小值为__________，该鲁班锁的体积为__________. 【答案】 31 【分析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接球的直径； 该鲁班锁是由几个几何体互相交叉组合时，它的体积可以通过所有单个体积之和减去两两相交的体积再加上三者相交的体积计算即可. 【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为， ∴该球形容器表面积的最小值为： . 根据容斥原理计算，该鲁班锁六根完全一样的正四棱柱体分成三组，故所有单个体积为， 两两相交的体积为，三者相交的体积为，所以该鲁班锁的体积为. 故答案为：；31. 4．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【分析】根据球体的表面积和体积公式，圆锥表面积，圆台体积公式即可求解． 【详解】过点C作，垂足为F，则，， 所以， ； ． 5．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可； （2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积． 【详解】（1）由题知：在中，，，. 可得：，. 该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体, 是一个以为底面半径，为高的圆锥， 设圆锥的侧面积为：，底面积为：. 旋转体的表面积为+ （2）该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 由图知，则， 所以圆锥的底面半径，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：. 【考点9：球的切、接问题】 1．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 3．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 4．（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 5．（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先找到的外接圆圆心位置，结合三棱锥的体积确定外接球半径及外接球球心的位置，并利用勾股定理建立关于的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ， 因此平面，即在底面投影为. 设，球半径为，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球的表面积. 6．（2026·湖南·三模）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 【答案】 【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案 【详解】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 简单几何体的表面积与体积 【知识梳理】 1 【考点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积】 3 【考点2：棱柱、棱锥、棱台的体积】 4 【考点3：圆柱、圆锥、圆台的表面积】 5 【考点4：圆柱、圆锥、圆台的体积】 5 【考点5：球的表面积】 6 【考点6：球的体积】 6 【考点7：组合体的表面积】 7 【考点8：组合体的体积】 9 【考点9：球的切、接问题】 11 【知识梳理】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 4．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【考点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积】 1．（25-26高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 2．（25-26高三下·海南·月考）已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 3．（25-26高一下·福建厦门·月考）若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【考点2：棱柱、棱锥、棱台的体积】 1．（河北张家口市2026届高三第二次模拟考试数学试题）圆柱与圆锥的底面半径均为，母线长均为，则圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河北·开学考试）在三棱锥中，底面，，则三棱锥的体积为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2026·河北衡水·二模）中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（   ） A．14斤 B．24斤 C．38斤 D．56斤 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·海南海口·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，，，为的中点，点是圆上的动点（点、在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为（   ） A． B． C． D． 【考点3：圆柱、圆锥、圆台的表面积】 1．（25-26高三下·上海·月考）一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 2．（2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 3．（2026·山东济南·二模）已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 4．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考点4：圆柱、圆锥、圆台的体积】 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西吉安·一模）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·二模）在中，，以一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为______. 5．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 【考点5：球的表面积】 1．（2026·上海静安·二模）直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 2．（25-26高二上·上海·期末）设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 3．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 4．（2025·福建泉州·一模）已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一下·全国·单元测试）现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【考点6：球的体积】 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·河南洛阳·模拟预测）将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 4．（江西新余市第四中学等重点中学盟校2026届下学期高三年级四月测试数学试题）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（    ）    A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D．圆锥的体积与球的体积之比为 【考点7：组合体的表面积】 1．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（    ）克 A．340π B．440π C．4600π D．6600π 2．（25-26高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南常德·期末）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 【考点8：组合体的体积】 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 2．（25-26高三·天津·二轮复习）某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为___________． 3．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下､左右､前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为.现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的表面积的最小值为__________，该鲁班锁的体积为__________. 4．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 5．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【考点9：球的切、接问题】 1．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南·三模）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $