8.3 简单几何体的表面积与体积讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦简单几何体的表面积与体积核心知识点，系统梳理多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的表面积及体积公式，延伸至旋转体截面、组合体的综合应用，构建从基础公式到复杂问题的学习支架。 资料以考点为纲，通过典例解析（如正三棱台侧面积计算、圆锥体积推导）和过关检测，培养学生空间观念与运算能力，体现数学眼光观察空间形式、数学思维推理数量关系的核心素养。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固公式应用，查漏补缺提升解题能力。

8.3 简单几何体的表面积与体积 【考点梳理】 考点一 多面体体积与表面积 2 角度1.表面积 2 角度2.体积 3 考点二 旋转体的体积与表面积 5 角度1.表面积 5 角度2.体积 6 考点三 旋转体的截面问题 7 考点四 组合体的体积表面积 8 1.柱体 ① 棱柱 体积： (其中是棱柱的高) ② 圆柱 (1) 侧面积： (2) 全面积： (3) 体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 2.锥体 ① 棱锥 棱锥体积：(其中为圆柱的高)； ② 圆锥 (1) 圆锥侧面积： (2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线) (3) 圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 3.台体 ① 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  ② 台体体积 其中分别为上，下底面面积，为圆台的高. 4.球体 面积，体积（其中为球的半径） 考点一 多面体体积与表面积 角度1.表面积 【典例1-1】 已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）. A． B． C． D． 【过关检测】 1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( ) A． B． C． D． 3．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 角度2.体积 【典例1-2】 1.已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积. 2．已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D． 3．在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【过关检测】 1．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.求正三棱锥的体积. 2．正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______． 3．如图所示，三棱台中，，且三棱锥的体积，则三棱锥的体积为________． 考点二 旋转体的体积与表面积 角度1.表面积 【典例2-1】 1．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积___________；表面积______________. 2.若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（    ） A．2 B． C． D．1 【过关检测】 1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（    ） A． B．2 C．3 D． 2．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A．10 B． C． D． 3.某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 角度2.体积 【典例2-2】 将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【过关检测】 1．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A．3 B． C．9 D． 2．已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为 ，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 3．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ） A． B．16π C．18π D． 考点三 旋转体的截面问题 【典例3】 若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【过关检测】 一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 考点四 组合体的体积表面积 【典例4】 如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【过关检测】 1.如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（    ） A． B． C．12 D． 2．如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______. 3．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 简单几何体的表面积与体积 【考点梳理】 考点一 多面体体积与表面积 2 角度1.表面积 2 角度2.体积 4 考点二 旋转体的体积与表面积 8 角度1.表面积 8 角度2.体积 11 考点三 旋转体的截面问题 13 考点四 组合体的体积表面积 15 1.柱体 ① 棱柱 体积： (其中是棱柱的高) ② 圆柱 (1) 侧面积： (2) 全面积： (3) 体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 2.锥体 ① 棱锥 棱锥体积：(其中为圆柱的高)； ② 圆锥 (1) 圆锥侧面积： (2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线) (3) 圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 3.台体 ① 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  ② 台体体积 其中分别为上，下底面面积，为圆台的高. 4.球体 面积，体积（其中为球的半径） 考点一 多面体体积与表面积 角度1.表面积 【典例1-1】 已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形 等腰梯形的高为： 等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为： 本题正确选项： 【过关检测】 1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】棱锥表面积的有关计算、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各侧面面积计算作答. 【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为， 所以四棱锥的表面积为. 故选：C 2．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A. 3．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 角度2.体积 【典例1-2】 1.已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积. 【答案】 【解析】如图所示： 连接AC，BD交于点O，连接SO， 因为四棱锥的棱长均为4， 所以平面ABCD，即SO为四棱锥的高， 所以, 所以， 所以. 2．已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据三棱锥的体积与三棱柱体积的关系求解. 【详解】正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为， 棱柱的底面面积为：． 棱柱的体积为：． 由三棱锥的体积的推导过程可知： 三棱锥的体积为：． 故选：C． 3．在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】作出轴截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可. 【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为， 因为正四棱台中， 所以，，，即梯形为等腰梯形， 所以，， 所以，该四棱台的体积为 故选：B 【过关检测】 1．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.求正三棱锥的体积. 【答案】. 2．正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，过点作于点，利用勾股定理求出，即棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】解：如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点， 则即为斜高， 过点作于点， 则， ， 所以， 所以， 上底面面积， 下底面面积， 所以棱台的体积. 故答案为：. 3．如图所示，三棱台中，，且三棱锥的体积，则三棱锥的体积为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】由棱台的结构特征可知，，结合锥体的体积公式分析求解即可. 【详解】设三棱台的高为， 因为，可知， 所以. 设，所以， 设到平面的距离为， 因为，且，所以， 所以三棱锥的体积. 故答案为：. 考点二 旋转体的体积与表面积 角度1.表面积 【典例2-1】 1．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积___________；表面积______________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】由已知求圆柱的底面半径，根据圆柱的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】因为四边形是圆柱的轴截面， 所以为底面圆的直径， 又点为底面圆上异于点的点， 所以， 因为，， 所以，即底面圆的半径， 因为，所以圆柱的母线长， 所以圆柱的侧面积，设圆柱的表面积为， 则． 故答案为：；. 2.若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，, 所以，所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 3．已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，由题意确定下底面的半径为，由圆台的侧面积公式求出，由此求解圆台的高即可． 【详解】解：设圆台的上底面半径为，母线长为，高为， 因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍， 所以下底面的半径为， 又母线长，圆台的侧面积为， 则， 解得， 则圆台的高． 故选：B． 【过关检测】 1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】利用圆台的侧面积公式，列出关于母线长的方程，求解即可． 【详解】解：设圆台的母线长为，上、下底面半径分别为，，则， 因为圆台的侧面积是， 所以， 解得，所以． 故选：C． 2．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为， 所以底面圆的半径为r=10， 所以圆锥的高为. 故选：B 3.某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆台的结构特征辨析、圆锥表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， 圆锥的侧面积记为， 截去的小圆锥的侧面积即为， 故圆台的侧面积为, 故选：C 角度2.体积 【典例2-2】 将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为， 圆锥底面半径，圆锥的高， 圆锥的体积. 故选：. 【过关检测】 1．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 则圆柱的侧面积为， 故表面积为，得①， 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即， 得②， 联立①②得：，. 故该圆锥的体积为. 故选：B. 2．已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为 ，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，由题意得即可解得母线长. 【详解】解：设该圆锥的底面半径为，母线长为 ， 圆锥的侧面积为：， 圆锥的底面积为：， 圆锥的体积为： ， 由题意得， 解得： ，． 所以母线长为：． 故选：C． 3．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ） A． B．16π C．18π D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积. 【详解】底面积为9π，即， 所以底面圆的半径, 所以底面圆周长为， 即圆锥侧面展开图的弧长， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形， 所以扇形半径， 如图所示：则圆锥的高， 则圆锥的体积. 故选：D 考点三 旋转体的截面问题 【典例3】 若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】由扇形面积计算出底面半径r＝4，因为截面为一个等腰三角形，可以将三角形面积表示为底边长的函数，利用函数求出最值. 【详解】设圆锥的底面圆半径为r，则，解得r＝4， 设截面与圆锥底面的交线长为a（），由题意，截面是一个等腰三角形， 截面三角形的高，所以截面面积 ，当且仅当，即 时等号成立， 故选：C． 【过关检测】 一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【答案】(1) (2)；当时， 【难度】0.65 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式，圆锥的底面积公式，圆锥的表面积公式求解； （2）设圆柱的底面半径为，利用三角形相似得到，解得，求出圆柱的轴截面面积，得到是的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 考点四 组合体的体积表面积 【典例4】 如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面， 取MN的中点H，连接，因为平面， 所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，，， 所求几何体的体积为 解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC， 又， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是． 【过关检测】 1.如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求组合多面体的表面积 【分析】根据图形求出相关线段长，判断截面形状，逐一计算其面积，求和即得. 【详解】由题意得，，， 从而，所以， 所以，，， ，，， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为: ． 故选：A. 2．如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由题意可得，然后分别求出的值，从而可求得答案. 【详解】由题意可得， 因为是的中点， 所以，， ，， 所以， 故答案为：10. 3．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为 . 故选：A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $