精品解析：江西省吉安县城北中学等校2025-2026学年第二学期七年级数学学科练习

2025-2026学年第二学期七年级数学学科练习 时间：120分，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼 4. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 5. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，已知，A，D为上的点，M，B为上的点，延长至点C，平分，点N在直线上，平分，若．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，，则________． 8. 碘是人体必需的微量元素之一，碘原子的半径约为，数据用科学记数法表示为_____． 9. 如图为2×3的正方形网格，小正方形的顶点均为格点，点A，B，C在格点上，在2×3的正方形网格图中任取一格点D（A，B，C除外），所连直线与平行的概率为_____． 10. 已知，则的值为_____． 11. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_____． 12. 如图，已知，点，分别在，上，且，的三等分线交于点，过点的射线与相交的夹角为，交于点，则的度数为____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 b 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 （1）上表中的_____；_____． （2）摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.1）． （3）若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率． 16. 如图，已知直线，相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 17. 如图，已知，平分交于点B，平分．请仅用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，过点A作的垂线，垂足为F； （2）在图2中，所在直线上取一点O，使． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如果，那么我们规定．例：若，则． （1）根据上述规定，填空：_____，_____； （2）若，，．试说明：． 19. 如图，点D在上，点B在上，，， 试说明：．将下面的推理过程及依据补充完整． 解：∵（已知），（_______）， ∴（等量代换）． ∴_______（_______）． ∴_______（_______）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴_______（_______）． ∴（_______）． 20. 定义，如．已知，已知（为常数） （1）若，求的值； （2）若的代数式中不含的一次项，当时，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，平分平分． （1）求的度数； （2）求的度数，并判断与是否互补； （3）若，判断与是否互补，并说明理由． 22. 【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 六、（本大题共12分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级数学学科练习 时间：120分，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方法则，分别计算各选项判断正误． 【详解】解：选项A：∵，∴选项A计算正确； 选项B：∵，∴选项B计算错误； 选项C：∵，∴选项C计算错误； 选项D：∵，∴选项D计算错误． 2. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件就是一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、“画饼充饥”是不可能事件； B、“水涨船高”是必然事件； C、“一箭双雕”是随机事件； D、“缘木求鱼”是不可能事件； 故选B． 4. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∴， 即， ∴． 5. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 6. 如图，已知，A，D为上的点，M，B为上的点，延长至点C，平分，点N在直线上，平分，若．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义．按照平行线性质，结合题意，逐一判断即可． 【详解】解：对于结论①：∵平分， ∴． 故①正确； 对于结论②：∵， ∴， ∵由①可知，， ∴． 故②正确； 对于结论③：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故③正确； 对于结论④：∵， ∴在中， ，即， ∵， ∴， 由①可知，， 由②可知，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平方差公式将分解，然后整体代入可得出的值． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是关键，另外本题涉及了整体代入思想． 8. 碘是人体必需的微量元素之一，碘原子的半径约为，数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： 9. 如图为2×3的正方形网格，小正方形的顶点均为格点，点A，B，C在格点上，在2×3的正方形网格图中任取一格点D（A，B，C除外），所连直线与平行的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算公式．先确定一共有9种等可能性，再逐一判断得出符合题意的有2种等可能性，即可求出所连直线与平行的概率． 【详解】如图，一共有12个格点，除了A，B，C，还有9个格点可以作为格点D，将这9个格点进行如下标注， 则所连直线一共有9种等可能性，分别为直线、直线、直线、直线、直线、直线、直线、直线、直线，其中所连直线与平行的有：直线，直线，即符合题意的有2种等可能性， ∴所连直线与平行的概率为． 10. 已知，则的值为_____． 【答案】 9 【解析】 【分析】先将原式中各幂的底数统一化为，再利用幂的运算法则对原式变形，结合已知等式得到指数部分的值，最后计算出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 代入得原式． 11. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质，可推导出，再结合翻折的性质，得，即可得出的度数． 【详解】解：令与交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， 根据翻折的性质，可得， ∴． 12. 如图，已知，点，分别在，上，且，的三等分线交于点，过点的射线与相交的夹角为，交于点，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出的度数，由三等分线，得出的度数，再结合题意得，最终可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的三等分线， ∴， 又∵射线与相交的夹角为， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算各项，再进行加减运算； （2）将原式中的乘法变形，利用平方差公式化简后计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【详解】解： 当时，原式 15. 一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 b 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 （1）上表中的_____；_____． （2）摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.1）． （3）若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数，计算得到a和b的值； （2）根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，用频率估计概率得到结果； （3）先求出原有白球的数量，再计算添加黑球后总球数，最后根据概率公式计算最终概率； 【小问1详解】 解：已知摸球次数时，摸到白球的次数， ， 已知摸球次数时，摸到白球的频率为， ； 【小问2详解】  解：观察表格可知，随着摸球次数增大，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此摸到白球的概率的估计值是； 【小问3详解】 解：原有小球总个数为，可得白球个数为（个）， 添加个黑球后，总球数为（个）， 此时摸到白球的概率为， 答：此时摸到白球的概率是． 16. 如图，已知直线，相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义和已知角度即可解答； （2）根据邻补角的定义和，求出，结合，即可解答； 【小问1详解】 解：∵，，是直线， 根据平角的定义可得： ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵和是邻补角， ∴， ∵， 设，， 则 ， 解得， ∴， ∴， 又， ∴． 17. 如图，已知，平分交于点B，平分．请仅用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，过点A作的垂线，垂足为F； （2）在图2中，所在直线上取一点O，使． 【答案】（1）图1为所求： （2） 图2即为所求点； 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点F，即为所求的的垂线，F为垂足；根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答； （2）延长，与所在直线交于点，即为所求点；根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答； 【小问1详解】 解：如图1，连接并延长，交于点F，即为所求的的垂线，F为垂足； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 即，符合要求； 【小问2详解】 解：如图2，延长，与所在直线交于点，即为所求点； ∵， ∴， ∵， ∴，完全符合题目要求． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如果，那么我们规定．例：若，则． （1）根据上述规定，填空：_____，_____； （2）若，，．试说明：． 【答案】（1）， （2） 证明：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算； （2）利用新定义计算，得出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，； 【小问2详解】 略． 19. 如图，点D在上，点B在上，，， 试说明：．将下面的推理过程及依据补充完整． 解：∵（已知），（_______）， ∴（等量代换）． ∴_______（_______）． ∴_______（_______）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴_______（_______）． ∴（_______）． 【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．根据平行线的性质与判定，结合题意，依次填写即可． 【详解】解：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 20. 定义，如．已知，已知（为常数） （1）若，求的值； （2）若的代数式中不含的一次项，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义计算出A的展开结果，再根据的代数式中不含的一次项求出n的值，再求出A、B的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵的代数式中不含的一次项， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，平分平分． （1）求的度数； （2）求的度数，并判断与是否互补； （3）若，判断与是否互补，并说明理由． 【答案】（1） （2），是 （3） 解：与不一定互补，理由如下： 平分平分， ， ， ． 的度数不确定， 与不一定互补． 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差、角平分线的定义、补角的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用角的和差解答即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据角的和差可求得的度数，再根据补角的定义即可判断； （3）由角平分线的定义可得，再根据角的和差可求得的度数，再根据补角的定义即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：平分平分， ． 由（1）知，， ， 与互补． 【小问3详解】 略 22. 【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2 （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）仿照例题，设，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，令，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， ， 由条件可得， ， ； 【小问2详解】 解：设， 则， 由条件可得， ， ， ． 【小问3详解】 解：，正方形边长为， ， 令， ， ∵长方形的面积是24 ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积 ． 六、（本大题共12分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $