精品解析：福建省福州第十九中学2025-2026学年下学期九年级期中考数学试卷

福州第十九中学2025-2026学年第二学期期中测试九年级数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 【详解】解：根据图示，可得，，，， 所以这四个数中，绝对值最大的是． 2. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从正面得到的视图是主视图，从正面来观察就可以得到正六棱柱的主视图． 【详解】解：从正面来观察，主视图是由三个矩形组成的，即 故选：A． 3. 百里杜鹃风景名胜区，被誉为“世界上最大的天然花园”，享有“地球彩带，世界花园”之美誉．生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，是一个负整数，的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），据此解答即可． 【详解】解：0.0000021． 故选：A． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可确定正确选项． 【详解】解：A、∵， ∴，正确，符合题意； B、∵， ∴，原写法错误，不符合题意； C、∵， ∴，原写法错误，不符合题意； D、∵， ∴，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方、单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的除法法则计算各选项，判断运算是否正确． 【详解】解：、由，故该选项错误，不符合题意； 、由，故该选项正确，符合题意； 、由，故该选项错误，不符合题意； 、由，故该选项错误，不符合题意． 6. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为4，则弦长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，进而证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 7. 如图，半径为6的扇形中，，是上一点，点、分别在、上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，且平分，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图：  四边形为菱形，  ，，  ，  四边形为菱形，  平分，  ，  ，   ． 8. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据方程有实数根可得，联立求出的取值范围，进而确定符合条件的的个数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程且有实数根， 且， 解得且， 卡片上的数字为，，，， 满足条件的的值只有，共个， 使一元二次方程有实数根的概率是． 9. 晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（ ） A. 第1天 B. 第2天 C. 第3天 D. 第4天 【答案】B 【解析】 【分析】设笔记本和水笔的单价分别为元和元，根据第一天的记录得到和的关系式，再利用后三天卖出商品数量与第一天的倍数关系，计算正确的总收入，对比记录即可找出错误的一天 【详解】解：设笔记本单价为元，水笔单价为元 根据第1天记录可得 ； 观察数量关系：第2天卖出笔记本数量，水笔数量， 正确总收入应为 ，与记录的234元不符， 验证第3天：，，正确总收入为，与记录一致， 验证第4天：，，正确总收入为，与记录一致， 因此记录有误的是第2天 10. 小红发现某些函数图象上的三点、、满足如下性质：对于任意非零实数，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“纵坐标之和”与“横坐标之积”异号.下列函数不具备该性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合各函数性质分析． 【详解】解：由题意得，轴同侧的三点即同号，需要满足与异号，即. 对选项A，： 当时，取三个的点，可得，，满足异号； 当时，取三个的点，可得，，满足异号， 因此A具备性质，不符合题意； 对选项B，： 当时，对任意点都有，即与同号，若取轴同侧三点，则同号，因此也同号，可得与一定同号，不存在异号的情况，因此B不具备性质，符合题意； 对选项C，： 当时，取三个的点，可得，，满足异号； 当时，取三个的点，可得，，满足异号， 因此C具备性质，不符合题意； 对选项D，： 当时，取三个很小的正数，且都满足，，，满足异号； 当时，取三个绝对值很大的负数，且都满足，，，满足异号，因此D具备性质，不符合题意． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，掌握关于x轴对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”成为解题的关键． 直接利用关于x轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 中心角为的正多边形边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形中心角，根据正边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：． 13. 如果，那么的值为___________． 【答案】. 【解析】 【详解】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解. 解：∵=，∴ 5x=3（x+y），∴2x=3y，∴=. 故答案为. 14. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是_____． 【答案】##34度 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出，得到答案． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 16. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值即可，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键. 【详解】解：过点作交延长线于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形边长为，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项根据绝对值的代数意义去绝对值符号，第三项代入特殊角三角函数值计算，第四项利用负整数指数幂法则进行计算，最后进行加减运算即可得到结果． 【详解】解： 18. 如图，，，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】利用证明，利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，或 【解析】 【分析】先化简分式，再解方程求出的值，最后将符合条件的值代入求值． 【详解】解： ， ∵ ∴或， 当时，上式； 当时，上式． 20. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的______，______； （2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ （3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【答案】（1）8，8 （2）228人 （3），九年级成绩更稳定 【解析】 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义计算即可； （2）用总人数乘以样本中满分的同学所占的百分比即可； （3）根据两个年级方差解答即可． 本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数， 根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第25，26个人的分数的一半，即， ， 故答案为：8，8； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计满分有228人； 【小问3详解】 解：依题意，九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差： ， ∵八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，且， ∴九年级成绩更稳定． 21. 如图1，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请在图1中求作一条直线，使它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，且使，与的面积相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）好动脑的小明又发现一条满足条件的直线，请在图2中作出，并直接写出这两条直线对应的函数解析式． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，满足条件； （2）分两种情形，作线段的垂直平分线，作矩形，直线，利用待定系数法，分别求解即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图即为所求；作线段的垂直平分线满足条件， 【小问2详解】 ①作线段的垂直平分线， ∴， 作矩形，直线， ∵点的坐标为， ∴， ∴在中，， 即， 解得：， ∴点的坐标为， 又∵中点的坐标为，且直线经过B的中点， ∴设直线的表达式为， 将和代入得：， 解得，， ∴此时直线的解析式为； ②作矩形，直线，满足条件， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理得：直线的解析式为； 这两条直线对应的函数解析式为：，． 22. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售枇杷．已知该枇杷的成本为6元/千克，销售价格不高于18元/千克，且每售卖1千克需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量千克与销售价格元/千克之间满足一次函数关系：． （1）若果农当日销售价是15元/千克时，其销售量是多少千克？ （2）当每千克枇杷的销售价格定为多少元时，销售这种枇杷日获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）销售量是1500千克 （2）当每千克枇杷的销售价格定为18元时，日获利最大，最大利润为12000元 【解析】 【分析】（1）将给定的销售价格代入已知的一次函数解析式，即可直接计算出对应销售量；（2）根据利润的计算公式列出关于销售价格的二次函数，再结合二次函数的增减性和销售价格的限制条件，即可求出最大利润和对应价格． 【小问1详解】 解：已知每日销售量与销售价格的函数解析式为，将代入解析式得： 答：果农当日的销售量是1500千克； 【小问2详解】 设销售这种枇杷的日获利为元， 根据题意可得，每千克枇杷的利润为元，销售量为千克， ∴整理得： 配方得： ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 又销售价格不高于18元/千克，即， 当时，取得最大值， 将代入得： 答：当每千克枇杷的销售价格定为18元时，销售这种枇杷日获利最大，最大利润为12000元． 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有．求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）先找出对称轴为直线，从而可找到顶点坐标； （2）把和分别代入中，可得，，从而，由可得即最后根据列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 【小问2详解】 解：把和分别代入中， 可得，， ∴ ， 即 当时，有 又， ，从而， 又，， 从而 解得： ∴． 24. 【纸杯制作与探究活动】 如图1，无盖纸杯的侧面展开图是一个扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． （1）某班兴趣小组要制作如图1所示的纸杯，规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图拼接处不重叠，则侧面展开图中所在的圆的半径为______； （2）若用一张矩形纸片，按图2的方式剪裁图1中纸杯的侧面（即：矩形纸片的一边与相切，点、在对边上，点，分别在另外两边上，求这个矩形纸片的边与的长； （3）用一张（单位：）的矩形纸片（如图3）可以剪出扇环纸片吗？请画出示意图并计算说明． 【答案】（1） （2）矩形长为，宽为． （3）可以，图见解析 【解析】 【分析】（）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解； （）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，从而矩形长为，宽通过即可求解． （3）将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可． 【小问1详解】 解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， ∴侧面展开图中所在的圆的半径为； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形长：， 宽：， 所以矩形长为，宽为． 【小问3详解】 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． 25. 如图1，点、分别为的边、上的点，，，作关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点，使得，连接． （1）若平分，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，并延长交于点，请在图1中补全图形，并证明：点是线段的中点； （3）如图2，当为锐角，且时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，确定，利用全等三角形的判定和性质得出，，然后结合图形得出，即可得证； （2）连接，并延长交于点，由（1）得出，，，设，确定，根据各角之间的等量代换得出，，再由等角对等边即可得出结果； （3）过点作于点，于点，证明，过点作于点，设，则，证明，列出等式求值即可解答． 【小问1详解】 证明：∵与关于对称， ， ∵平分， ， ∵， ∴， ， ， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 由(1)得，，， 设， ∴， ∵， ， ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的中点； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，于点，，， 同（1）得， ， 又， ∴， ，， 过点作于点， 设，则， ∴，， ∴， ，， 设，则， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ∴， 即， 解得（舍负）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2025-2026学年第二学期期中测试九年级数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 百里杜鹃风景名胜区，被誉为“世界上最大的天然花园”，享有“地球彩带，世界花园”之美誉．生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为4，则弦长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 如图，半径为6的扇形中，，是上一点，点、分别在、上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. C. D. 1 9. 晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（ ） A. 第1天 B. 第2天 C. 第3天 D. 第4天 10. 小红发现某些函数图象上的三点、、满足如下性质：对于任意非零实数，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“纵坐标之和”与“横坐标之积”异号.下列函数不具备该性质的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为______． 12. 中心角为的正多边形边数为______． 13. 如果，那么的值为___________． 14. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 15. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是_____． 16. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，则的值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 20. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的______，______； （2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ （3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 21. 如图1，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请在图1中求作一条直线，使它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，且使，与的面积相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）好动脑的小明又发现一条满足条件的直线，请在图2中作出，并直接写出这两条直线对应的函数解析式． 22. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售枇杷．已知该枇杷的成本为6元/千克，销售价格不高于18元/千克，且每售卖1千克需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量千克与销售价格元/千克之间满足一次函数关系：． （1）若果农当日销售价是15元/千克时，其销售量是多少千克？ （2）当每千克枇杷的销售价格定为多少元时，销售这种枇杷日获利最大，最大利润为多少元？ 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有．求的取值范围． 24. 【纸杯制作与探究活动】 如图1，无盖纸杯的侧面展开图是一个扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． （1）某班兴趣小组要制作如图1所示的纸杯，规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图拼接处不重叠，则侧面展开图中所在的圆的半径为______； （2）若用一张矩形纸片，按图2的方式剪裁图1中纸杯的侧面（即：矩形纸片的一边与相切，点、在对边上，点，分别在另外两边上，求这个矩形纸片的边与的长； （3）用一张（单位：）的矩形纸片（如图3）可以剪出扇环纸片吗？请画出示意图并计算说明． 25. 如图1，点、分别为的边、上的点，，，作关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点，使得，连接． （1）若平分，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，并延长交于点，请在图1中补全图形，并证明：点是线段的中点； （3）如图2，当为锐角，且时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $