精品解析：天津市北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考数学试卷

2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考 数学试卷 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错. 【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确； 时，只说明向的长度相等，无法确定方向， 所以B，C均错； 时，只说明方向相同或相反，没有长度关系， 不能确定相等，所以D错. 故选：A. 【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题. 2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和复数实部以及虚部的概念即可. 【详解】因为的虚部为，的实部为， 所以新复数实部为，虚部为，即. 故选：A. 3. 设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，不共线， A选项，不存在，使得， 所以和可以作为基底. B选项，由， 得，解得，所以和共线，不能作为基底. C选项，由， 得，方程组无解，所以和可以作为基底. D选项，不存在，， 所以和可以作为基底. 故选：B 4. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（ ） A. 9 B. C. 21 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，物体从点处移动到点处，可得, 因为力，所以力对物体所做的功为. 故选：C. 5. 已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出向量的坐标，即可得出，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以，. 故选：D. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理知，，利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，， 由正弦定理可知，， ， 故选：C. 【点睛】关键点睛：在中，. 7. 已知向量不共线，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 8. 如图，若点在三角形的边上，且，，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】，所以 ，则, 故选：C 9. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可 【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形 故选：D 10. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 11. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】和的分别为和的方向向量，结合可判断的形状，再由数量积的运算可求，再根据三角形内角和为，即可求解. 【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以， 因为，,所以， 则． 故选：D 12. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 二、填空题：（每题5分，共40分） 13. __. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法法则求解． 【详解】 故答案为： 14. 已知复数满足，则其共轭复数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】进行分母有理化，分子分母同乘， ， 复数的共轭复数为. 故答案为； 15. 已知向量，则在方向上的投影向量为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】 在方向上的投影向量为 故答案为： 16. 在中，若，，，则_________. 【答案】5 【解析】 【分析】 根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解. 【详解】解：因为在中,,,, 由余弦定理：, , 所以. 故答案为： 【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题. 17. 已知向量，.若为锐角，则x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角定义及向量的数量积运算求解即可． 【详解】∵为锐角， ∴，且，不共线， ∴，解且， ∴x的取值范围为． 故答案为：． 18. 已知的内角的对边分别为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值. 【详解】由余弦定理可得， 所以， 于是有. 故答案为：. 19. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________. . 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度的目的. 20. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 21. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若z为纯虚数，求； （2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果. （2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围. 【小问1详解】 由z为纯虚数，得，解得，则， 所以. 【小问2详解】 由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 22. 已知向量与，，. （1）求； （2）设，的夹角为，求的值； （3）若向量与互相平行，求k的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）结合向量减法的坐标表示即可求解； （2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解； （3）结合向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）， （3），， 由题意可得，， 整理可得，， 解可得，. 【点睛】本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型. 23. 如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点， （1）用，表示，； （2）如果，，求的面积． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）将，作为基底，利用向量的加减法法则结合点是的中点，点是的三等分点可表示出，； （2）先计算可得，然后分别求出，从而可求出的面积． 【小问1详解】 因为是的三等分点， 所以 因为是的中点， 所以； 【小问2详解】 ， 因为为矩形，所以， 又，， 所以，即， ， 同理可得， 所以，，即三角形的面积为． 24. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果. （2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长. （3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. 【小问3详解】 由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故， ∴，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考 数学试卷 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 3. 设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（ ） A. 9 B. C. 21 D. 5. 已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量不共线，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 8. 如图，若点在三角形的边上，且，，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 9. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 二、填空题：（每题5分，共40分） 13. __. 14. 已知复数满足，则其共轭复数__________. 15. 已知向量，则在方向上的投影向量为______. 16. 在中，若，，，则_________. 17. 已知向量，.若为锐角，则x的取值范围是______. 18. 已知的内角的对边分别为，若，则__________． 19. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________. . 20. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 21. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若z为纯虚数，求； （2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 22. 已知向量与，，. （1）求； （2）设，的夹角为，求的值； （3）若向量与互相平行，求k的值. 23. 如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点， （1）用，表示，； （2）如果，，求的面积． 24. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $