和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 课件-2027届高三数学一轮复习

第四章　三角函数、解三角形 第3节　和、差、倍角的正弦、 余弦和正切公式 1.会推导两角差的余弦公式. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用. 课标要求 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β): cos(α－β)＝______________________________;  (2)公式C(α＋β): cos(α＋β)＝______________________________;  (3)公式S(α－β): sin(α－β)＝______________________________;  cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β sin αcos β-cos αsin β 3 (4)公式S(α＋β): sin(α＋β)＝______________________________;  (5)公式T(α－β):tan(α－β)＝______________________; (6)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝______________________. sin αcos β+cos αsin β 4 2.辅助角公式 asin α＋bcos α＝__________________，其中sin φ＝，cos φ＝. 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α:sin 2α＝______________.  (2)公式C2α:cos 2α＝_______________＝________________＝_________________. (3)公式T2α:tan 2α＝. sin(α+φ) 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 5 常用结论与微点提醒 1.两角和与差的公式的常用变形: (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β; (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β; (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－－1. 6 常用结论与微点提醒 2.降幂公式:cos2α＝，sin2α＝， tan2α＝. 3.升幂公式:1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 7 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　) (3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) (4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的.(　　) 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ √ √ √ 8 2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝____________.  sin(α－π)＝－sin α＝，故sin α＝－， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×. 9 3.(苏教必修二P55例2改编)求值cos 15°＝____________.  cos 15°＝cos(60°－45°) ＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝. 10 4.(北师大必修二P156例4改编)已知tan α＝2，tan β＝－，则tan(α－β)＝___.  7 tan(α－β)＝＝＝7. 11 例1 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A.－3m B.－ C. D.3m A 考点一　公式的基本应用 由cos(α＋β)＝m得 cos αcos β－sin αsin β＝m.① 由tan αtan β＝2得＝2，② 由①②得 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A. (2)(2024·全国甲卷)已知，则tan＝(　　) A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ B 根据题意有， 即1－tan α＝，所以tan α＝1－， 所以tan＝2－1，故选B. 感悟提升 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”. (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. 训练1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π，cos ，则sin＝(　　) A. B. C. D. D 由题得cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－， 因为0<α<π，所以sin α＝， 所以sin(sin α－cos α)＝×. (2)(2026·鹰潭模拟)若α∈，tan α＝，则sin＝_________.  tan α＝， 即sin α(3－sin α)＝cos2α＝1－sin2α， 整理可得sin α＝， 因为α∈，sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝， 所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝××. 例2 (1)(2026·西安调研)cos 160°cos 130°－sin(－160°)cos 40°＝(　　) A. B. C.－ D.－ A 考点二　公式的逆用及变形 cos 160°cos 130°－sin(－160°)cos 40° ＝cos 160°cos(90°＋40°)＋sin 160°cos 40° ＝－cos 160°sin 40°＋sin 160°cos 40° ＝sin(160°－40°)＝sin 120°＝. (2)tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝____________.  因为tan(70°＋50°)＝ ＝tan 120°＝－， 所以tan 70°＋tan 50°＝－tan 70°tan 50°， 所以tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－. - 感悟提升 三角函数公式的活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式. (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式. (3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用. 训练2 (1)(多选)(2026·合肥质检)下列代数式的值为的是(　 　) A.cos275°－sin275° B. C.cos 36°cos 72° D.2cos 20°cos 40°cos 80° BCD 对于A，cos275°－sin275°＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－; 对于B，＝sin 30°＝; 对于C，cos 36°cos 72° ＝ ＝·; 对于D，2cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝ ＝·. (2)化简:cos 40°(1＋tan 10°)＝____________.  1 cos 40°(1＋tan 10°) ＝cos 40° ＝cos 40°· ＝ ＝＝1. 例3 (1)(2026·兰州诊断)已知sin，则cos的值为(　　) A.－ B. C.－ D. C 法一　cos＝cos2＝2cos2－1 ＝2cos2－1＝2sin2－1＝－. 考点三　角的变换问题 法二　cos＝1－2sin2 ＝1－2×， 所以cos＝cos ＝－cos＝－. (2)已知α∈，β∈，若sin(α＋β)＝，cos β＝，则sin α等于(　　) A. B. C. D. C 因为α∈，β∈， sin(α＋β)＝>0，cos β＝， 所以α＋β∈， 则sin β＝， cos(α＋β)＝－＝－， 所以sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝××. 感悟提升 1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的角的变换:2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，等. 训练3 (1)(2026·银川调研)已知α∈(0，π)，cos，则sin α＝(　　) A. B. C. D. A 因为α∈(0，π)，则α＋∈， 又cos>0 ， 可得sin， 所以sin α＝sin＝sincos－cossin××. (2)(2026·浙江名校联考)已知α，β∈，若sin，cos，则sin(α－β)的值为(　　) A. B. C. D. A 由题意可得α＋∈，β－∈， 所以cos＝－，sin＝－， 所以sin(α－β)＝－sin＝－××. (1)sin α＝;(2)cos α＝; (3)tan α＝. 上述三个公式统称为万能公式. 万能公式 拓展视野 典例 已知α，β∈(0，π)，tan ，sin(α－β)＝，则cos β＝_________.  ∵tan ， ∴sin α＝， cos α＝. ∵α，β∈(0，π)，cos α>0，∴α∈， ∴α－β∈， ∵sin(α－β)＝>0，∴α－β∈， ∴cos(α－β)＝， ∴cos β＝cos(－β)＝cos(α－β－α) ＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α ＝××. 训练 已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈，则tan α＝____________，sin＝____________.  - ∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ ＝＝0， 即6tan2α＋tan α－2＝0， 解得tan α＝－或tan α＝， ∵α∈，∴tan α＝－. ∴sin 2α＝＝－， cos 2α＝， ∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－××. 一、单选题 1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　) A.－ B. C.－ D.1 B sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77° ＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77° ＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝. 2.(2026·保定模拟)若cos 2α＝sin2α，则sin α＝(　　) A. B.± C. D.± B 因为cos 2α＝sin2α， 所以1－2sin2α＝sin2α，解得sin α＝±. 3.(2026·温州模拟)已知tan＝2，则tan θ＝(　　) A.3 B.2 C. D. C 由题意得，＝2，解得tan θ＝. 4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　) A.－ B. C. D.1 B 由sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝3， 整理得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝3， 所以cos(α－β)＝. 5.(2026·蚌埠模拟)＝(　　) A. B. C. D. C ＝cos 15° ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝. 6.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A. B. C. D. B 因为sin θ＋sin＝sin＋sin ＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sincos sin＝1， 所以sin. 7.4sin 40°－tan 40°的值为(　　) A. B. C. D.2－1 A 4sin 40°－tan 40°＝4sin 40°－ ＝ ＝ ＝ ＝. 二、多选题 8.下列等式成立的有(　　) A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 BC 对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误; 对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确; 对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确; 对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误. 9.已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　) A.tan α＝－ B.sin 2α＝ C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－ AC cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝， 因为α∈， 所以sin α＝，cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝， tan 2α＝＝－. 三、填空题 10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝____________.  2 由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°) ＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°， 又tan 20°＋tan 25° ＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°) ＝1－tan 20°tan 25°， 所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°) ＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25° ＝2. 11.(2026·长沙模拟)若cos，α∈，则cos α＝____________.  因为α∈，所以α＋∈， 由cos可得sin， 所以cos α＝cos＝ ＝. 12.(2026·郑州调研)定义运算＝ad－bc，若cos α＝，0<β<α<，则β＝____________.  由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝. ∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝， sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝××， ∴β＝. 四、解答题 13.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.求: 因为α，β∈，所以－<α－β<. 又因为tan(α－β)＝－<0，所以－<α－β<0， 且sin(α－β)＝－cos(α－β)， 又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1， 解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－. (1)sin(α－β)的值; 由(1)可得cos(α－β)＝. 因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝. 所以cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝××. (2)cos β的值. 14.已知函数f(x)＝2cos，x∈R. (1)求f(π)的值; f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－. (2)若f，α∈，求f(2α)的值. 因为f＝2cos＝－2sin α ＝，所以sin α＝－. 又α∈， 所以cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2× －1＝. 所以f(2α)＝2cos ＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin ＝2××＋2××. $