精品解析：山西大学附属中学校2025-2026学年高一年级第二学期期中考试数学试题

山西大学附中 2025~2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：代婷 审核人：高一数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，且，则 D. 若，则与不共线 3. 在中，则 A. B. C. 或 D. 或 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 在中，，，，则“恰有一解”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 11. 已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 外接圆半径的范围为 C. 的面积最小值为 D. 的周长范围为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若△ABC中，，那么cosC=__________． 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 如图，在平面四边形中，，.若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 16. 如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. （1）用与表示； （2）求的取值范围； 17. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点是边上一点，且，若，求面积的最大值． 18. 在△ABC中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点. （1）过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（如图1），设，. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设△AEF的面积为，△ABC的面积为，求的最小值. （2）延长CO交AB于点Q（如图2），若，求的值. 19. 定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值． （ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值； （ⅱ）若，在锐角中，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025~2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：代婷 审核人：高一数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，且，则 D. 若，则与不共线 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 3. 在中，则 A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可知，，故选B. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 5. 在中，，，，则“恰有一解”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，利用一元二次方程根的情况，结合判别式即可分类求解只有一个解时的范围，即可根据逻辑关系求解. 【详解】由，得， 方程 的判别式， ①，解得． 当时， 转化为，解得 符合题意； 当时 转化为，解得 不符合题意； ②，且两根之积， 可得有一正根和一负根，负根舍去，此时有一解，此时； ③，且两根之积，解得， 当时，，解得 符合题意； 当时，解得不符合题意； 故若有一解，则或， 故“恰有一解”，是“”的必要不充分条件 故选：B． 6. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 7. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 8. 在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，将向量用表示，得到，进而判断的形状. 【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即△为钝角三角形， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又  ，所以 ，B正确. 选项C： ，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 11. 已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 外接圆半径的范围为 C. 的面积最小值为 D. 的周长范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围. 【详解】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得，故A正确； 对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即， 由A可知：，故，故，故B正确； 对C：由正弦定理，也即可得：， 故△的面积， 由A可知：，故，故，故，没有最小值，故C错误； 对D：由C可知：，， 设△的周长为，则 也即，由A可知：，故，则， 则，故，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若△ABC中，，那么cosC=__________． 【答案】-0.25. 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理得， 所以. 故答案为-0.25. 考点：正弦定理；余弦定理. 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】由题设，又与的夹角为锐角， 所以，则， 所以，可得且. 14. 如图，在平面四边形中，，.若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中由面积公式可得，由余弦定理得和，由得，所以四边形的面积为；设，在中由余弦定理得和，由正弦定理得，由和余弦定理得，根据的范围可得答案. 【详解】在中，，，， 所以， 由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为； 设，在中， 由余弦定理得， 因为，所以， 由正弦定理得， 所以，因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以，所以当即时， 取最大值为1，此时， 综上所述，的最大值为5. 【点睛】关键点点睛：本题考查了正余弦定理的应用及三角形面积的应用，解题的关键是利用余弦定理结合三角恒等变换，利用正弦函数的性质求解的最大值，属于较难题目. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. （2）根据向量模的计算公式计算可得. （3）利用向量夹角余弦公式可求出答案. 【小问1详解】 因为，, 所以 【小问2详解】 因为，, 所以， 所以, 【小问3详解】 . 16. 如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. （1）用与表示； （2）求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. （2）利用向量的线性运算、数量积的运算即可求出范围. 【小问1详解】 在直角梯形中，，，为的中点， 所以. 【小问2详解】 由，得，由，得， 因此，而， 所以. 17. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点是边上一点，且，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算求解； （2）应用向量的数乘运算及数量积公式，再结合余弦定理及基本不等式计算求解. 【小问1详解】 由结合正弦定理得：，即， 由余弦定理：， 因为，所以； 【小问2详解】 ，， 即， 两边同时平方： ， ≥， ，当且仅当即时，取等号． ， 即的最大值为． 18. 在△ABC中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点. （1）过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（如图1），设，. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设△AEF的面积为，△ABC的面积为，求的最小值. （2）延长CO交AB于点Q（如图2），若，求的值. 【答案】（1）（i）证明见解析（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为，即可求出为一定值； （ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. （2）根据题意，将作为基底表示，由三点共线以及，即可求出的值； 【小问1详解】 （i）证明：根据题意，，同理可得， 因为，所以， 因为是线段的中点，所以， 所以， 由于三点共线，所以， 即为一定值，且定值为. （ii），， 所以，由（i）可知，即， ， 所以当时，有最小值，此时. 【小问2详解】 设，由（1）可知， 所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 又因为， 所以， 所以，即. 19. 定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值． （ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值； （ⅱ）若，在锐角中，求的范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）应用和角正弦公式展开，再由伴随向量的定义写出； （2）（i）根据已知及辅助角公式得，，结合已知求得，，再由三角恒等变换、等面积法、基本不等式求的范围，即可得；（ii）根据已知及（i）得，应用正弦边角关系、三角恒等变换得且，利用余弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由已知 ，所以； 【小问2详解】 （i）根据题意，由知， ， 利用辅助角公式得，其中， 不妨令为锐角，当时，取到最大值，即， 则，同理 由二倍角公式得：， 如图，由三角形面积可得：， 所以， 由余弦定理得 ， 因为 ，所以， 则，当且仅当时取等号. （ii）由，结合（i），， 利用正弦定理边化角可得，其中，， 所以， ， 且，则， 所以， 由于三角形是锐角三角形，则，得，故， 所以，易知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $