专题06正方形期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题06正方形期中复习讲义 期中复习◆重点 1.定义：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形（特殊矩形、特殊菱形）。 2. 性质：四边相等、四角直角；对角线平分、垂直且相等；中心对称+4条轴对称。 3. 判定：平行四边形、矩形、菱形为基础，补充对应条件（邻边相等、直角、对角线关系）。 4. 易错：区分从属关系；判定需补全基础图形条件。 5.. 常考题型：对角线相关计算、判定证明、与矩形/菱形综合求值、折叠问题。 6.. 拓展知识：正方形对角线与边长关系（对角线=边长×）；与全等三角形、勾股定理综合应用。 核心题型◆归纳 题型1正方形性质理解 题型2根据正方形的性质求解 题型3正方形折叠问题 题型4正方形重叠部分的面积 题型5正方形的性质证明 题型6正方形判定定理理解 题型7添一个条件使四边形是正方形 题型8根据正方形的性质与判定求解 题型9利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型10（特殊）平行四边形的动点问题 题型11四边形中的线段最值问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01正方形的定义 1.有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 2.正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 知识点02正方形的性质 1.边：四条边长度相等，对边平行且相等，邻边互相垂直，构成四个全等的等腰直角三角形； 2.角：四个角均为直角（度数为90°），邻角互补、对角相等，内角和为360°； 3.对角线：两条对角线互相平分、互相垂直且长度相等，每条对角线平分一组对角，将正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 4.对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），也是轴对称图形，共有4条对称轴（两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线）。 知识点03正方形的判定 1.一个平行四边形，若有一组邻边相等且有一个角是直角，则该平行四边形为正方形； 2.一个矩形，若有一组邻边相等（或对角线互相垂直），则该矩形为正方形； 3.一个菱形，若有一个角是直角（或对角线相等），则该菱形为正方形 4.矩形、菱形、正方形的区别如下 图形类型 核心定义 边的区别 角的区别 对角线的区别 矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对边平行且相等，邻边不一定相等 四个角均为直角（核心区别） 互相平分且相等，不一定垂直 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四条边都相等（核心区别） 对角相等，邻角互补，不一定是直角 互相平分且垂直，不一定相等 正方形 有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形（特殊矩形+特殊菱形） 四条边都相等（兼具菱形特点） 四个角均为直角（兼具矩形特点） 互相平分、垂直且相等（兼具两者特点） 补充：三者共性——均为平行四边形，具备平行四边形对边平行、对角相等、对 角线互相平分的性质。 知识点04正方形的计算与应用 1.周长计算：周长公式为 C=4a ,a表示边长。 2.面积计算：常用公式①S=,a 表示边长。 3.拓展应用：正方形对角线与边长的固定关系为“对角线长度 = 边长 × ”，该关系常结合勾股定理、全等三角形，解决几何综合求值问题。 知识点05正方形常考题型 1.基础计算题：考查正方形的边长、周长、面积及对角线长度的直接求解，难度较低，重点掌握公式应用； 2.判定证明题：核心考查正方形的判定定理，常结合矩形、菱形的性质综合证明，需注意完整书写判定条件； 3.综合应用题：结合矩形、菱形、全等三角形、勾股定理进行综合求值，是期中考查的重点题型，需灵活运用各类图形性质； 4.实操应用题：以正方形折叠、裁剪为背景，考查角度、边长的计算，需结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）解题。 题型解析◆精准备考 题型1正方形性质理解 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用图表示，则图中阴影部分表示的图形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 2．在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 3．如图，在中，，D为的中点，四边形是平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)填空： ①当且时，四边形的周长等于______； ②当_____时，四边形的形状为正方形． 题型2根据正方形的性质求解 1．如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，P为正方形对角线上任意一点，于E，于F，，则________． 3．西安一社区在2025年老旧小区改造中，为增加居民活动空间，计划将一块闲置的正方形空地改造成“社区健身角”．如图，空闲地块，边长为米．计划在地块上设计两个相同的长方形健身区（铺设塑胶地面），每块长方形健身区的长为米，宽为米． (1)求正方形空闲地块的面积； (2)已知塑胶地面约80元/平方米，那么铺设完健身区需要花费多少元？ 题型3正方形折叠问题 1．如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 3．你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 题型4正方形重叠部分的面积 1．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 3．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 题型5正方形的性质证明 1．如图，正方形边的延长线上有两点E和F，且，连接，交于点G，与边交于点H，下列结论中正确的是（    ） A．B．C． D．无法确定 2．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 3．仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 题型6正方形判定定理理解 1．下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．根据两条对角线的关系判断一个四边形是矩形或菱形或正方形的必不可少的条件是________． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，其中C、D两点为格点． (1)在图①中，正方形； (2)在图②中，等腰三角形面积为； 题型7添一个条件使四边形是正方形 1．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B．C．平分D．平分 2．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 3．如图：已知：是的角平分线，交于，交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 题型8根据正方形的性质与判定求解 1．如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 2．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 题型9利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 2．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 3．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型10（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 2．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的倍，则它们第次相遇在边________上． 3．在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 题型11四边形中的线段最值问题 1．如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 2．如图，在中，，，D是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为________． 3．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 2．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，在长方形中，，，、交于点，四边形是正方形．若长度已知．则只需要知道以下哪个长方形的周长（    ），就能求出图中阴影部分面积． A．长方形B．长方形 C．长方形 D．长方形 5．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 6．正方形纸片的边长为，点在边上，连接，点在边上，沿折叠该纸片，使点落在上的点，折痕与交于点，若，则的长为（    ） A．3 B． C． D．5 二、填空题 7．下列说法： ①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ②矩形的对角线互相垂直 ③一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线垂直的矩形是正方形 其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都填上） 8．顺次连接对角线垂直平分且相等的四边形各边中点所得的四边形是________． 9．如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则__________．    10．如图，已知，若四边形的面积为，则长是__________． 11．如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 12．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 三、解答题 13．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 14．如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 15．如图，在中，，平分，四边形是平行四边形，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形对角线的长． 16．如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 17．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 18．如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06正方形期中复习讲义 期中复习◆重点 1.定义：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形（特殊矩形、特殊菱形）。 2. 性质：四边相等、四角直角；对角线平分、垂直且相等；中心对称+4条轴对称。 3. 判定：平行四边形、矩形、菱形为基础，补充对应条件（邻边相等、直角、对角线关系）。 4. 易错：区分从属关系；判定需补全基础图形条件。 5.. 常考题型：对角线相关计算、判定证明、与矩形/菱形综合求值、折叠问题。 6.. 拓展知识：正方形对角线与边长关系（对角线=边长×）；与全等三角形、勾股定理综合应用。 核心题型◆归纳 题型1正方形性质理解 题型2根据正方形的性质求解 题型3正方形折叠问题 题型4正方形重叠部分的面积 题型5正方形的性质证明 题型6正方形判定定理理解 题型7添一个条件使四边形是正方形 题型8根据正方形的性质与判定求解 题型9利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型10（特殊）平行四边形的动点问题 题型11四边形中的线段最值问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01正方形的定义 1.有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 2.正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 知识点02正方形的性质 1.边：四条边长度相等，对边平行且相等，邻边互相垂直，构成四个全等的等腰直角三角形； 2.角：四个角均为直角（度数为90°），邻角互补、对角相等，内角和为360°； 3.对角线：两条对角线互相平分、互相垂直且长度相等，每条对角线平分一组对角，将正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 4.对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），也是轴对称图形，共有4条对称轴（两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线）。 知识点03正方形的判定 1.一个平行四边形，若有一组邻边相等且有一个角是直角，则该平行四边形为正方形； 2.一个矩形，若有一组邻边相等（或对角线互相垂直），则该矩形为正方形； 3.一个菱形，若有一个角是直角（或对角线相等），则该菱形为正方形 4.矩形、菱形、正方形的区别如下 图形类型 核心定义 边的区别 角的区别 对角线的区别 矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对边平行且相等，邻边不一定相等 四个角均为直角（核心区别） 互相平分且相等，不一定垂直 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四条边都相等（核心区别） 对角相等，邻角互补，不一定是直角 互相平分且垂直，不一定相等 正方形 有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形（特殊矩形+特殊菱形） 四条边都相等（兼具菱形特点） 四个角均为直角（兼具矩形特点） 互相平分、垂直且相等（兼具两者特点） 补充：三者共性——均为平行四边形，具备平行四边形对边平行、对角相等、对 角线互相平分的性质。 知识点04正方形的计算与应用 1.周长计算：周长公式为 C=4a ,a表示边长。 2.面积计算：常用公式①S=,a 表示边长。 3.拓展应用：正方形对角线与边长的固定关系为“对角线长度 = 边长 × ”，该关系常结合勾股定理、全等三角形，解决几何综合求值问题。 知识点05正方形常考题型 1.基础计算题：考查正方形的边长、周长、面积及对角线长度的直接求解，难度较低，重点掌握公式应用； 2.判定证明题：核心考查正方形的判定定理，常结合矩形、菱形的性质综合证明，需注意完整书写判定条件； 3.综合应用题：结合矩形、菱形、全等三角形、勾股定理进行综合求值，是期中考查的重点题型，需灵活运用各类图形性质； 4.实操应用题：以正方形折叠、裁剪为背景，考查角度、边长的计算，需结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）解题。 题型解析◆精准备考 题型1正方形性质理解 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用图表示，则图中阴影部分表示的图形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系解答即可． 【详解】解：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 故图中阴影部分表示的图形是正方形． 2．在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 【答案】3 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对题干给出的图形逐一判断即可得到结果． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 综上，符合条件的图形共有个． 3．如图，在中，，D为的中点，四边形是平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)填空： ①当且时，四边形的周长等于______； ②当_____时，四边形的形状为正方形． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）由四边形为平行四边形，证明且．再证明，可得．证明四边形为平行四边形．．从而可得结论； （2）①由且，，可得，，结合四边形为矩形可得答案； ②利用正方形的性质，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形． 理由如下：∵四边形为平行四边形， ∴且． ∵D为的中点， ∴， ∴． ∵B，D，C三点共线且， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形． （2）解：①∵且，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴四边形的周长为； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型2根据正方形的性质求解 1．如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 2．如图，P为正方形对角线上任意一点，于E，于F，，则________． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质，勾股定理，得，再证明四边形是矩形，继而证明，等量代换求解即可． 【详解】解：P为正方形对角线上任意一点，， ，, ， ，， 故四边形是矩形，， ， ． 3．西安一社区在2025年老旧小区改造中，为增加居民活动空间，计划将一块闲置的正方形空地改造成“社区健身角”．如图，空闲地块，边长为米．计划在地块上设计两个相同的长方形健身区（铺设塑胶地面），每块长方形健身区的长为米，宽为米． (1)求正方形空闲地块的面积； (2)已知塑胶地面约80元/平方米，那么铺设完健身区需要花费多少元？ 【答案】(1)米 (2)7840元 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先计算长方形健身区的总面积，再求铺设健身区需要的总费用即可． 【详解】（1）解：由题意得，正方形空闲地块ABCD的面积平方米 答：正方形空闲地块的面积为平方米； （2）解：由题意，单个长方形健身区的长为米，宽为米， 单个长方形健身区的面积平方米， 铺设完健身区需要的花费元 答：铺设完健身区需要花费7840元． 题型3正方形折叠问题 1．如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ∴， 在正方形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，即， ∵和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离相等， 设点G到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴△的面积为． 2．如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由四边形为正方形，垂直平分，可得四边形是矩形，，，，再由折叠可得，，，，在中求得，可得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可知，，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即． 3．你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 【答案】(1)图见解析 (2)点为的三等分点，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂直平分线，正方形与折叠，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据折叠的性质，得到垂直平分，连接，作的中垂线即为直线； （2）设正方形的边长为1，作，连接，设，则，在，勾股定理求出的值，设，则，，在和中，勾股定理表示出，，再在中，利用勾股定理求出的值，即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：点为的三等分点，证明如下： 设正方形的边长为1，作，连接，则四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，； 在中，， 在中，， ∴，解得； ∴， 即点为的三等分点． 题型4正方形重叠部分的面积 1．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后可得，，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由两个边长为2的正方形中心重合，可知：， ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 3．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 【详解】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 题型5正方形的性质证明 1．如图，正方形边的延长线上有两点E和F，且，连接，交于点G，与边交于点H，下列结论中正确的是（    ） A．B．C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用与正方形的性质可证，通过面积的和差即可得到． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 【答案】①②③ 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点A作于点E，根据角平分线的性质可得， 证明，可得，证明，可得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴，故①正确； ②∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③过点A作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ，故③正确； ④∵是的中点， ∴， 假设是的中点，此时， ∴， ∵， ∴，与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时不是的中点，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 3．仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①连接平行四边形的对角线、交于点，连接延长交于点，点F即为所求中点； ②连接延长交于点，点H即为所求，满足； （2）连接正方形的对角线、交于点O，连接交于点P，连接并延长交于M，点M即为所求，满足． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是正方形， 垂直平分、、， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型6正方形判定定理理解 1．下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴A错误． ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，∴B错误． ∵一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，∴C错误． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴D正确． 2．根据两条对角线的关系判断一个四边形是矩形或菱形或正方形的必不可少的条件是________． 【答案】互相平分 【分析】本题考查了矩形、菱形以及正方形的判定，掌握相关判定定理是解题关键．根据矩形、菱形、正方形的对角线都具有平分的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵矩形、菱形、正方形的对角线都具有互相平分的性质， 根据两条对角线的关系判断一个四边形是矩形或菱形或正方形的必不可少的条件是互相平分． 故答案为：互相平分． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，其中C、D两点为格点． (1)在图①中，正方形； (2)在图②中，等腰三角形面积为； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据格点特征和正方形的判定作图即可； （2）根据格点特征和等腰三角形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图①，正方形即为所求： ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：如图②，等腰三角形即为所求： ∵，， ∴是等腰三角形，且面积为． 题型7添一个条件使四边形是正方形 1．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B．C．平分D．平分 【答案】A 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 2．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 3．如图：已知：是的角平分线，交于，交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到时，四边形是正方形，即可. 【详解】（1）（1）， ， 四边形是平行四边形，， 是的角平分线， ， ， （等角对等边）， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴当，四边形是正方形， 即， 当时，四边形是正方形． 题型8根据正方形的性质与判定求解 1．如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，证得四边形是正方形，再利用正方形的性质求得，，最后利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， ∵，是直角， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 如图可得，，， 在中，根据勾股定理可得，． 2．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 题型9利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 2．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 【答案】/ 【分析】如图，采用局部求解的方法，先求出正八边形的内角，再结合菱形的性质证明，进而证明，依次推出，，结合为正方形，可得，设，则，，由此可解． 【详解】解：如图， 正八边形的每个内角的度数为：， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， 由对称性易知四边形为正方形， ， 设，则，， ． 3．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型10（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 2．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的倍，则它们第次相遇在边________上． 【答案】 【分析】先根据甲、乙的运动速度和运动方向分别得出第、、、、次相遇位置，再归纳类推出一般规律，由此即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，因为甲的速度是乙的速度的倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； 归纳推理得：它们相遇位置每四次一循环， ， 它们第次相遇位置与第一次相遇位置相同，即在边相遇． 3．在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且；②； (2)，，，，为整数且． 【分析】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解； （2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可． 【详解】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为， 又因为， 所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， 所以； （2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， 所以为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得，由，，解得， 再由对称性，得，， 所以的所有可能取值是，，，，为整数且． 题型11四边形中的线段最值问题 1．如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为2． 2．如图，在中，，，D是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握相关知识点是解题的关键． 设交于点，过点作于点，由勾股定理求得，再根据等面积法求得，根据垂线段最短，可知当点与点重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，将求的最小值问题转化为求线段的长度问题，再结合特殊四边形的性质求出构成直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵为线段上的动点， ∴如图，可以看作是定线段沿菱形在方向上水平运动， 点的运动轨迹为线段，过点作关于线段的对称点． 由对称性，得， ∴， 如图，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 设与交于点，交于点，延长交延长线于点，菱形中，，， ∴，，． 由题意可得， ∴由对称性可得，∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【详解】A、B、C选项的说法均正确． 对于D选项，只有特殊的矩形（正方形）的对角线互相垂直且平分，其他的矩形的对角线互相平分但不垂直． 2．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴ 3．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接，交于H点，如图，利用基本作图得到垂直平分，先根据正方形的性质得到，所以，然后根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：连接，交于H点，如图，根据作法得垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 4．如图，在长方形中，，，、交于点，四边形是正方形．若长度已知．则只需要知道以下哪个长方形的周长（    ），就能求出图中阴影部分面积． A．长方形B．长方形 C．长方形 D．长方形 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正方形的性质，掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 连接，根据图形可得，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 四边形是长方形，且，， 四边形是长方形， ， ， ，长度已知， 当长方形的周长已知时，可求出阴影部分的面积． 5．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小，此时，再证明四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴点落在上， 则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 6．正方形纸片的边长为，点在边上，连接，点在边上，沿折叠该纸片，使点落在上的点，折痕与交于点，若，则的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 二、填空题 7．下列说法： ①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ②矩形的对角线互相垂直 ③一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线垂直的矩形是正方形 其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】④ 【分析】依次根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理，对每个说法进行判断．本题主要考查了菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键． 【详解】解：菱形的判定是对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，仅垂直且相等不行，所以①错误； 矩形的对角线相等但不垂直，所以②错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，所以③错误； 对角线垂直的矩形是正方形，满足正方形的判定，所以④正确． 故答案为：④． 8．顺次连接对角线垂直平分且相等的四边形各边中点所得的四边形是________． 【答案】正方形 【分析】本题考查了正方形的性质与判定等知识，全等三角形的判定与性质等知识．先根据四边形对角线垂直平分且相等证明四边形是正方形，根据中点定义证明，，得到四边形为菱形，，即可证明菱形为正方形． 【详解】解：如图， ∵互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形， ∵， ∴为菱形， ∴四边形是正方形． ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴菱形为正方形． 故答案为：正方形 9．如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则__________．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，    ∵以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上的点，折痕与交于点， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 由再一次折叠，得 ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10．如图，已知，若四边形的面积为，则长是__________． 【答案】 【分析】由“”可证，可得与的面积相等，由面积关系可求解． 【详解】解：如图，作，交的延长线于点， 则， ， ∴四边形为矩形，， ， ， 在与中， ， ， ∴与的面积相等， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积正方形的面积， 由勾股定理得：， ∵四边形的面积为， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 11．如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【答案】3或6 【分析】先求出，，，再分三种情况：①，②，③，利用勾股定理和正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，，． ①如图1，当时，为直角三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图2，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴； ③如图3，当时，为直角三角形， ∵， ∴在中，斜边，不符合题意，舍去； 综上，或． 12．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 三、解答题 13．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【答案】5 【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 易知，且， ，则，此时有最小值． ，， ． 由勾股定理，得，即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 14．如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意得，又因为，，可得，根据可证明全等； （2）由（1）得，从而有，再根据．据此解答． 【详解】（1）证明：在正方形和中，，，， ，， ． 在和中， ， ． （2）解：， ∴ ， 15．如图，在中，，平分，四边形是平行四边形，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件易推知四边形是平行四边形．结合等腰“三线合一”的性质证得，即，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到是矩形； （2）证出矩形是正方形，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴在中，， 即矩形对角线的长为． 16．如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 (3)见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由正方形的判定可得出结论； （2）过点作的垂线，垂足为．由直角三角形的性质及三角形面积可得出答案； （3）由全等三角形的性质得出，四边形的面积正方形的面积．设，则，即，求出，由图形的面积关系可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 即， ． ， ， ， 四边形为正方形． （2）解：过点作的垂线，垂足为． 由题意得为等腰直角三角形，即点为斜边的中点．   ， ， 又，，， 四边形的面积； （3）证明：四边形为正方形， ． ， ，四边形的面积正方形的面积． 设，则， 即， ， 正方形的面积． ， 整理得， ． 【点睛】题是四边形综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 17．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1)①；②直线表达式为 (2)当的值为或时，的面积为 【分析】（1）由勾股定理得出的长度，即为菱形的边长，可得点坐标，结合点、的坐标，采用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据菱形的性质，证明，即，，由（1）中所求直线表达式得出点的坐标，对点位置进行分类讨论，分别由面积公式或求解出的值即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 令直线表达式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线表达式为． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， 对于直线． 当时，， ∴， 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 综上，当的值为或时，的面积为． 18．如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得，则可得出答案； （2）正方形的判定问题，若是正方形，则必有对角线，所以为的中点，同样在中，当时，可满足其为正方形； （3）菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而可判断出不可能为菱形，再通过正方形是有一个角是的菱形，进而可判断出也不可能为正方形． 【详解】（1）解：． 理由如下： 是的角平分线， ， 又∵， ， ， ， 同理可得：， ； ． （2）解：当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： 当点运动到的中点时，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 四边形是矩形． 已知，当，则 ， ， 四边形是正方形； （3）解：不可能．理由如下： 如图，平分，平分， ， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形． ∵四边形不可能是菱形， 又∵正方形是有一个角为的菱形， ∴四边形也不可能是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $