精品解析：河南省 开封市集英中学2025-2026学年八年级下学期 期中数学试题（4月）

开封市集英中学2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试题 注： （1）考试时间100分钟，满分120分． （2）所有试题的答案要写在答题卡上，否则不得分． （3）考试结束只交答题卡，请将试题卷保存好，以备讲评时使用 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式的二次根式是最简二次根式”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、1.5和2.5不是正整数，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的加法，正确计算是解题的关键．直接利用二次根式的运算法则化简，进而判断即可得到答案． 【详解】解：A、与不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 四边形中，，要判定是平行四边形，那么还需要满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知四边形中，根据平行四边形的判定规则，只需再推出另一组对边，即可判定该四边形是平行四边形，结合平行线的判定定理验证各选项即可． 【详解】解：（已知）， ，（两直线平行，同旁内角互补）， A选项：是的已有结论，无法推出，不能判定四边形为平行四边形，故A错误； B选项：， （同旁内角互补，两直线平行）， 又， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故B正确； C选项：是的已有结论，无法推出，不能判定四边形为平行四边形，故C错误； D选项：等腰梯形满足，此时，结合可得，但等腰梯形不是平行四边形，故D错误． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得、的长，根据勾股定理求出，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 由题意得，， ∵点在轴的正半轴上， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 6. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝120°可知∠ABC=60°，AB=AC，即△ABC为等边三角形，则AB=AC=BC=4，作AE⊥BC于点E，可得BE=2，AE= ，求得S菱形ABCD=BC·AE=4×= 【详解】解：在菱形ABCD中，有AB=AC ∵∠BAD＝120° ∴∠ABC=60° ∴△ABC为等边三角形 即AB=AC=BC=4 作AE⊥BC于点E ∴BE=2，AE= ∴S菱形ABCD=BC·AE=4×= 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，30°，60°，90°角三角形的边长关系，解本题的关键是发现图中的等边三角形，将对角线长度转化为菱形边长． 7. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 8. 如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先说明是的中位线，即；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的中点， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动．设移动时间为t秒，当四边形为菱形时，t的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理．根据矩形的性质可得，，从而得到，然后根据菱形的性质，可得，再在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即当四边形为菱形时，t的值为4． 故选：A 10. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可知，证明，利用全等三角形的性质可证，根据两点之间线段最短可知，利用勾股定理求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接、、， 则有， 四边形是矩形， ，， 在和中，， ， ， ， 两点之间线段最短， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， . 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式组，然后再求解即可． 【详解】解：由题意得： ，解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据题意列出不等式组是正确解答本题的关键． 12. 如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高处折断，若木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为，则木杆折断前的高度为____． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， ∴折断的部分长为＝5， ∴折断前高度为5＋3＝8m． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 13. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了边形的内角和，熟练掌握该知识点是解题的关键．设这个多边形为边形，根据公式可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形为边形， 故答案为：9 14. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换．根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： 根据题意得每个正方形的面积为， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，为正方形的中心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】2.5或10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理．根据题意分两种情况①点的对应点落在矩形的内部，②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：①点的对应点落在矩形的内部， 过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 点刚好落在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 解得； ②点的对应点落在矩形的外面， 过点作于点，延长交于点， 由①同理可得，四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上所述的长为2.5或10， 故答案为：2.5或10． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可求解； （2）先计算平方差和完全平方，再进行加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： （1）体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； （2）体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； （3）请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】（1）2.5，15； （2）1，20； （3）km/分． 【解析】 【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【小问1详解】 解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； 【小问2详解】 由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； 【小问3详解】 由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 18. 测得一块四边形草地的边长如图所示（单位：米），且，求这个四边形的草地的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】如图：连接，运用勾股定理可求得，再利用勾股定理逆定理可证明是直角三角形，最后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， ∴． 19. 如图，M、N是平行四边形对角线上两点．．求证：四边形为平行四边形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，交于点，根据平行四边形的性质推出，进而证明． 【详解】证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 20. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交分别于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）猜想：四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质证明可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答． 【小问1详解】 解：如图，作的垂直平分线即为所求； 【小问2详解】 解：猜想：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 21. 如图，在中，是的中点，平分于点，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】延长与相交于点F，再证明，可得，进而得到，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得求解即可． 【详解】解：如图：延长与相交于点F， ∵平分于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴是的中位线， ∴． 22. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为2，，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，再根据矩形的性质即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形．    ∴． 【小问2详解】 解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 23. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 问题发现：如图，若直角三角形斜边的长为，直角边的长为，则的长为_____． 知识迁移：已知正方形，点是直线上一动点，连接，分别过点，，向直线作垂线，垂足分别为，，． （1）如图，若点在边上，则线段和线段的数量关系为_____． （2）如图，若点在的延长线上，（）中结论是否成立？请说明理由． （3）当直线与正方形一边的夹角为时，若，请直接写出正方形的面积． 【答案】问题发现：；（）；（）结论成立，理由见解析；（）正方形的面积为或． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 问题发现：根据全等三角形的性质得，，利用勾股定理即可求解； （）如图，过点作于，可得四边形是矩形，，证明，则，可得 ，即可得出； （）如图，同（）的方法即可求解； （）分两种情况：当直线与边的夹角为时，当直线与边的夹角为时，根据含角的直角三角形的性质求出正方形的边长， 即可求解. 【详解】解：问题发现：由题意得：， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）若点在的延长线上，（）中结论成立，理由如下： 如图，过点作于， ∵，，，， ∴四边形是矩形，，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）当直线与边的夹角为时，如图，分别过点向直线作垂线，垂足分别为，过点作于， ∵，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； 当直线与边的夹角为时，如图，分别过点向直线BP作垂线，垂足分别为，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 综上，正方形的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封市集英中学2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试题 注： （1）考试时间100分钟，满分120分． （2）所有试题的答案要写在答题卡上，否则不得分． （3）考试结束只交答题卡，请将试题卷保存好，以备讲评时使用 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形中，，要判定是平行四边形，那么还需要满足（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 7. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 8. 如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动．设移动时间为t秒，当四边形为菱形时，t的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为_________． 12. 如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高处折断，若木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为，则木杆折断前的高度为____． 13. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 14. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 15. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： （1）体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； （2）体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； （3）请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 18. 测得一块四边形草地的边长如图所示（单位：米），且，求这个四边形的草地的面积． 19. 如图，M、N是平行四边形对角线上两点．．求证：四边形为平行四边形； 20. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交分别于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 21. 如图，在中，是的中点，平分于点，，求的长． 22. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为2，，求的长 23. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 问题发现：如图，若直角三角形斜边的长为，直角边的长为，则的长为_____． 知识迁移：已知正方形，点是直线上一动点，连接，分别过点，，向直线作垂线，垂足分别为，，． （1）如图，若点在边上，则线段和线段的数量关系为_____． （2）如图，若点在的延长线上，（）中结论是否成立？请说明理由． （3）当直线与正方形一边的夹角为时，若，请直接写出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $