专题03平行线的证明复习讲义(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题03平行线的证明复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平行线判定与性质的核心定理，明晰判定与性质的区别 2.熟记证明的基本步骤与格式，理解证明的逻辑严谨性 3.掌握同位角、内错角、同旁内角的识别方法 1.能快速识别截线与被截线，准确判断角的位置关系 2.能灵活运用判定 / 性质定理进行平行线的证明与角的计算 3.提升逻辑推理能力，规范书写证明步骤（因果对应） 1.基础题快速判定平行线、求角度，选择填空不丢分 2.证明题步骤完整、逻辑清晰，无推理漏洞 3.轻松解决平行线与角的综合推理题，高效拿分 题型01.两直线平行.同位角相等 题型02.两直线平行.内错角相等 题型03.两直线平行.同旁内角互补 题型04.同位角相等.两直线平行 题型05.内错角相等.两直线平行 题型06.同旁内角互补.两直线平行 题型07.同垂于一直线的两直线平行 题型08.平行公理及推论的应用 题型09.利用平行线性质探究角的关系 题型10.利用平行线性质求角的度数 题型11.利用平行线性质与判定求角度 题型12.利用平行线性质与判定证明 解答题5题 知识点01:证明基础：几何推理的 “通关前提” 1.命题三要素：判断语句才是命题，可拆成如果（条件）+ 那么（结论），分真 / 假命题（假命题举反例即可推翻） 2.公理 VS 定理：公理是公认真命题（无需证明），定理是证明后的真命题（可当推理依据） 3.证明三步法：已知（题设）→求证（结论）→证明（依公理 / 定理推导出结论） 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 知识点03.平行线 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 知识点04:判定定理：由 “角” 定 “线”，平行超简单 核心逻辑：角的数量关系→直线位置关系（找对角度，平行立现） 知识点05:性质定理：由 “线” 定 “角”，倒角超高效 核心逻辑：直线位置关系→角的数量关系（已知平行，直接用角） 避坑指南：这些错误别再犯！ ❌ 忽略前提：未说明角的位置关系，直接用角相等证平行 ❌ 逻辑颠倒：用性质定理证平行（如∵a∥b，∴∠1=∠2，再证 a∥b） ❌ 辅助线盲加：不构造三线八角，随意连线 / 延长，白费功夫 题型01.两直线平行.同位角相等. 【典例】已知直线，直线c与分别交于点．若，则的度数是（   ）（注：和为同位角关系） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是_____． 【跟踪专练2】如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02.两直线平行.内错角相等 【典例】如图，街道和平行，拐角，则拐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 【跟踪专练2】把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型03.两直线平行.同旁内角互补 【典例】下列命题中，是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【跟踪专练1】如图，，若，则的度数为________度． 【跟踪专练2】如图，，若，．则______． 题型04.同位角相等.两直线平行 【典例】下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，下列推理正确的是_______（填编号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【跟踪专练2】如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05.内错角相等.两直线平行 【典例】如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在下列条件中：①；②；③且；④，能判定的序号是_____． 【跟踪专练2】如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06.同旁内角互补.两直线平行 【典例】在铺设栅栏时，要求栅栏是互相平行的．如图，已知，要判断两条栅栏是否平行，需要再度量图中标出的哪个角（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，添加一个条件：___________，使得． 【跟踪专练2】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的（    ） A． B． C． D． 题型07.同垂于一直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，不重合的三条直线、、中，如果，，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定 【跟踪专练1】将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 【跟踪专练2】在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是______． 题型08.平行公理及推论的应用 【典例】已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练2】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【跟踪专练3】如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 题型09.利用平行线性质探究角的关系 【典例】如图，已知直线，并且被直线所截，以下结论：①，②，③，④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，，则________． 【跟踪专练2】如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 题型10.利用平行线性质求角的度数 【典例】如图，直线，直线与，分别相交，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则______． 【跟踪专练2】如图，已知，，H、G分别是和上的点，，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，若的3倍比大，则的度数为（    ） . A． B． C． D．或 题型11.利用平行线性质与判定求角度 【典例】如图，已知，则的度数（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四条直线相交，量得，，，则的度数为________． 【跟踪专练2】将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型12.利用平行线性质与判定证明 【典例】在下题括号内填上推理的依据．   已知：如图，点B，A，E在一条直线上，． 求证：． 证明：∵，( ) ∴．( ) ∴．( ) 【跟踪专练1】如图，下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练2】如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号） 解答题 1．如图，已知，判断与之间有怎样的数量关系？ 请补充完整下面的说理过程： 解：∵（已知） （   ） （   ） ∵（已知） ∴____________________ __________ ∴__________（等量代换） 2．已知：如图，，平分，，求证：． 3．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“七”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知） ___________（___________）． （已知） ___________（___________）． （等式的基本事实） 4．已知，点分别是上两点，点在之间，连接，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，且，求的度数． 5．学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行线的证明复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平行线判定与性质的核心定理，明晰判定与性质的区别 2.熟记证明的基本步骤与格式，理解证明的逻辑严谨性 3.掌握同位角、内错角、同旁内角的识别方法 1.能快速识别截线与被截线，准确判断角的位置关系 2.能灵活运用判定 / 性质定理进行平行线的证明与角的计算 3.提升逻辑推理能力，规范书写证明步骤（因果对应） 1.基础题快速判定平行线、求角度，选择填空不丢分 2.证明题步骤完整、逻辑清晰，无推理漏洞 3.轻松解决平行线与角的综合推理题，高效拿分 题型01.两直线平行.同位角相等 题型02.两直线平行.内错角相等 题型03.两直线平行.同旁内角互补 题型04.同位角相等.两直线平行 题型05.内错角相等.两直线平行 题型06.同旁内角互补.两直线平行 题型07.同垂于一直线的两直线平行 题型08.平行公理及推论的应用 题型09.利用平行线性质探究角的关系 题型10.利用平行线性质求角的度数 题型11.利用平行线性质与判定求角度 题型12.利用平行线性质与判定证明 解答题5题 知识点01:证明基础：几何推理的 “通关前提” 1.命题三要素：判断语句才是命题，可拆成如果（条件）+ 那么（结论），分真 / 假命题（假命题举反例即可推翻） 2.公理 VS 定理：公理是公认真命题（无需证明），定理是证明后的真命题（可当推理依据） 3.证明三步法：已知（题设）→求证（结论）→证明（依公理 / 定理推导出结论） 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 知识点03.平行线 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 知识点04:判定定理：由 “角” 定 “线”，平行超简单 核心逻辑：角的数量关系→直线位置关系（找对角度，平行立现） 知识点05:性质定理：由 “线” 定 “角”，倒角超高效 核心逻辑：直线位置关系→角的数量关系（已知平行，直接用角） 避坑指南：这些错误别再犯！ ❌ 忽略前提：未说明角的位置关系，直接用角相等证平行 ❌ 逻辑颠倒：用性质定理证平行（如∵a∥b，∴∠1=∠2，再证 a∥b） ❌ 辅助线盲加：不构造三线八角，随意连线 / 延长，白费功夫 题型01.两直线平行.同位角相等. 【典例】已知直线，直线c与分别交于点．若，则的度数是（   ）（注：和为同位角关系） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】直接利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵，和是同位角，， ∴． 【跟踪专练1】数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】设平行的两条直线为，根据平行线的性质得，由对顶角相等的性质得到，从而即可求解． 【详解】解：如图，， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，结合角平分线的定义可得，进而即可求解 【详解】解：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 题型02.两直线平行.内错角相等 【典例】如图，街道和平行，拐角，则拐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，， ，， 平分， ， 【跟踪专练2】把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ， 又， ． 题型03.两直线平行.同旁内角互补 【典例】下列命题中，是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、补角的性质、垂线段的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：A选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，∴A是假命题，符合题意； B选项，对顶角相等是真命题，不符合题意； C选项，等角的补角相等是真命题，不符合题意； D选项，垂线段最短是真命题，不符合题意． 【跟踪专练1】如图，，若，则的度数为________度． 【答案】 【分析】由平行线的性质证明，结合可得答案. 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴. 【跟踪专练2】如图，，若，．则______． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，，进而得到，，即可求出的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 题型04.同位角相等.两直线平行 【典例】下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 【跟踪专练1】如图，，下列推理正确的是_______（填编号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】②④/④② 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由，不能判定，故①不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 由，，不能判定，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上，推理正确的是②④． 【跟踪专练2】如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 题型05.内错角相等.两直线平行 【典例】如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项符合题意； B. ∵， ∴，故该选项不符合题意； C. ∵， ∴，故该选项不符合题意； D. ∵， ∴，故该选项不符合题意； 【跟踪专练1】如图，在下列条件中：①；②；③且；④，能判定的序号是_____． 【答案】③ 【分析】根据平行线的判定定理，需逐一分析每个条件，即可解答． 【详解】①与是直线、被直线所截形成的内错角．根据内错角相等，两直线平行，可推出，不能推出． ②这两个角是四边形的一对角，虽相等但无法直接推出任何一组对边平行，不能判定． ③已知，，则：即．与是直线、被直线所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出，符合要求． ④这两个角是直线、被直线所截形成的同旁内角．根据同旁内角互补，两直线平行，可推出，不能推出． 综上所述，能判定的序号是③ 【跟踪专练2】如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 题型06.同旁内角互补.两直线平行 【典例】在铺设栅栏时，要求栅栏是互相平行的．如图，已知，要判断两条栅栏是否平行，需要再度量图中标出的哪个角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得当时，可以判断栅栏是互相平行的，据此可得答案． 【详解】解：当时，可以判断栅栏是互相平行的， ∵， ∴只需要度量图中的度数即可， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，添加一个条件：___________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加，可根据内错角相等，两直线平行，判断； 添加，可根据同位角相等，两直线平行，判断； 添加或，可根据同旁内角互补，两直线平行，判断． 【跟踪专练2】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B、、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C、、是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； D、、是邻补角，邻补角和为，无法判断定，故本选项符合题意． 题型07.同垂于一直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，不重合的三条直线、、中，如果，，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据同一平面内直线位置关系的判定定理，直接推导与的位置关系即可. 【详解】解：∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条不重合的直线互相平行， 又∵，，且与不重合， ∴，即与的位置关系是平行． 【跟踪专练1】将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 【答案】 平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 故， 故平行；理由是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【跟踪专练2】在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是______． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 题型08.平行公理及推论的应用 【典例】已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系． 分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断． 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、若，，则（理由：平行公理推论），此项正确； B、若，则（理由：内错角相等，两直线平行），此项正确； C、若，则（理由：同位角相等，两直线平行），不能判定，此项错误； D、若，则（理由：同旁内角互补，两直线平行），此项正确． 【跟踪专练2】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数． 【详解】解：作，如图， ， ， ，， 是的平分线， ， ， ， 同理可得，， ， ， ，即， ， ． 题型09.利用平行线性质探究角的关系 【典例】如图，已知直线，并且被直线所截，以下结论：①，②，③，④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，，，据此可判断①②④，根据现有条件无法得到，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴正确的有①②④， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 【跟踪专练2】如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，则，，从而可得，结合，得出，分别表示出、、，得出规律即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， …， ∴， ∵， ∴． 题型10.利用平行线性质求角的度数 【典例】如图，直线，直线与，分别相交，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴, ∵， 【跟踪专练2】如图，已知，，H、G分别是和上的点，，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得，，则，，再根据平行线的定义求，最后根据求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【跟踪专练3】在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，若的3倍比大，则的度数为（    ） . A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分在右侧和左侧两种情况讨论，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶当在右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵的3倍比大， ∴，即 ∴； 当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的3倍比大， ∴，即 ∴． 题型11.利用平行线性质与判定求角度 【典例】如图，已知，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的判定和性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，四条直线相交，量得，，，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作直线，由结合平行公理的推论可得，再根据两直线平行内错角相等，得到，结合三角尺的角算出，最后依据，两直线平行同旁内角互补，通过求出． 【详解】解：如图，作直线，由题意得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型12.利用平行线性质与判定证明 【典例】在下题括号内填上推理的依据．   已知：如图，点B，A，E在一条直线上，． 求证：． 证明：∵，( ) ∴．( ) ∴．( ) 【答案】 已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 直接根据“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”作答即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 故答案为：已知，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等． 【跟踪专练1】如图，下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由题意直接根据平行线的性质与判定，对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A． 若，则，不符合题意； B． 若，则，原推理错误，符合题意； C． 若，则，不符合题意； D． 若，则，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，由可推出和，进而利用等式的性质判断结论④，对于结论①和③，需要或四边形为平行四边形才能成立，题设条件不足． 【详解】解：∵ ， ∴，故结论②是真命题， ∵ ， ∴ ， ∴，即，故结论④是真命题； 与是直线与被直线所截形成的内错角，只有当时，才成立，题设未给出，故结论①不是真命题 只有当四边形是平行四边形时，对角才成立，题设仅给出，无法判定四边形是平行四边形，故结论③不是真命题； 综上所述，与题设组成的命题是真命题的有②④． 解答题 1．如图，已知，判断与之间有怎样的数量关系？ 请补充完整下面的说理过程： 解：∵（已知） （   ） （   ） ∵（已知） ∴____________________ __________ ∴__________（等量代换） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；； 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ∵， ∴； ∴（等量代换）． 2．已知：如图，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由，平分，可证明，再由，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“七”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知） ___________（___________）． （已知） ___________（___________）． （等式的基本事实） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补即可证明． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式的基本事实）． 4．已知，点分别是上两点，点在之间，连接，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）过作，则，所以，，然后通过垂直定义与角度和差即可求解； （）过作，过点作，设，则，所以，然后通过角平分线定义与角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，过点作， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)； (2)①，是定值；②或 【分析】（1）根据平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义求解即可； （2）①先求出，然后同（1）的方法求解即可； ②分别画出两种情况的图形，根据角的和差关系写出答案即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 同理：， ∵和的角平分线相交于点， ∴，即 （2）解：①，是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：； ②情况一、如图所示： ∵，即； 情况二、如图所示： ，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $